Kuis Selamat Datang MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 23 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit 1. Mahasiswa yang datang ke ruang kuliah mengikuti suatu proses dengan laju kedatangan λ. Misalkan 2 mahasiswa datang pada satu jam pertama. Berapa peluang (i) keduanya datang pada 20 menit pertama? (ii) setidaknya satu mahasiswa datang pada 20 menit pertama? 2. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya atau representasi distribusi peluang bersyaratnya adalah... 1
Kuis 1 MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 24 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit 1. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70% pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20% mengasuransikan jenis sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari satu mobil, 15% mengasuransikan sports car. Hitung peluang bahwa seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car. 2. Maskapai penerbangan Serigala Air mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? 3. Laila, seorang tenaga pemasaran cantik, memiliki dua jadwal pertemuan dengan calon klien untuk menjual suatu produk. Pertemuan pertama berpotensi untuk terjualnya produk dengan peluang 0.3; pertemuan kedua mungkin akan menghasilkan penjualan dengan peluang 0.6 (kedua pertemuan saling bebas). Hasil pertemuan dengan klien akan menghasilkan penjualan (dengan peluang sama) produk kelas 1 dengan harga 1000 atau produk standar dengan harga 500. Tentukang fungsi peluang dari peubah acak X yang menyatakan nilai penjualan. 2
Kuis 2 MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 31 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit 1. Buktikan: E(X) = E(E(X Y )). 2. Terdapat 3 buah lemari A, B dan C, yang masing-masing memiliki 2 laci. Setiap laci berisi 1 koin. Lemari A berisi 2 koin emas, lemari B berisi 2 koin perak, lemari C berisi 1 koin emas dan 1 koin perak. Sebuah lemari dipilih secara acak dan sebuah laci dibuka. Ditemukan koin perak. Berapa peluang laci yang lain pada lemari tersebut berisi koin perak? 3. Pada hari menjelang ujian ProsStok, setiap mahasiswa yang datang ke gedung CAS menanyakan satu pertanyaan yang akan muncul di ujian dengan peluang θ. Banyaknya mahasiswa yang datang adalah peubah acak Poisson dengan parameter mean λ. Hitung peluang gedung CAS tidak menjawab pertanyaan mahasiswa. 4. Banyak orang yang datang ke mal adalah peubah acak N dengan mean 50. Nilai uang yang dibelanjakan oleh orang-orang tersebut adalah peubah acak dengan mean 8. Nilai yang yang dibelanjakan saling bebas dengan N. Tentukan nilai uang yang dibelanjakan orang-orang tersebut di mal. 5. Lian membawa uang 3 untuk berjudi. Peluang Lian menang 1 dalam taruhan adalah 1/3, peluang menang 2 adalah 1/6, peluang kalah 1 adalah 1/2. Lian akan berhenti taruhan kalau sudah memiliki uang 5 (tentu saja Lian berhenti taruhan kalau sudah tidak punya uang). Hitung peluang Lian tidak punya uang. Berapa banyak taruhan yang Lian lakukan sebelum Lian meninggalkan tempat judi. (*) 3
Kuis 3 MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 7 September 2016, Waktu: suka-suka menit 1. Perusahaan asuransi menawarkan polis yang mencakup kerugian dengan deductible 100. Nilai kerugian adalah peubah acak eksponensial dengan mean 300. Hitung persentil ke-95 dari kerugian yang melebihi deductible? 2. Sebuah alat secara terus menerus mencatat aktivitas gempa. Misalkan T waktu yang menyatakan kerusakan alat, berdistribusi eksponensial dengan mean 3 (tahun). Ternyata, alat tidak akan dicek pada dua tahun pertama setelah dibeli. Dengan demikian, waktu untuk mengetahui kerusakan alat adalah X = maks(t, 2). Hitung E(X). 4
Ujian 1 MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 8 September 2016, Waktu: 100 menit Pilih dan kerjakan HANYA 5 dari 9 soal yang tersedia. Nilai tiap soal tertulis diawal soal. 1. (5) Sebagai seorang sekretaris, Aniq tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada dengan peluang sama. Misalkan θ i adalah peluang bahwa Aniq akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat i, i = 1, 2, 3. Misalkan Aniq mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat. Berapa peluang kejadian itu akan terjadi? Jika Aniq mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1? 2. (3) Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F. Misalkan Y = F (X). Tentukan fungsi peluang f Y (y) dan fungsi kesintasan S Y (y). 3. (3) Diketahui masa hidup (lifetime) ponsel adalah peubah acak exponensial dengan mean 5 (tahun). Saya membeli ponsel yang berumur 7 tahun. Berapa peluang ponsel saya tersebut masih bisa digunakan untuk 3 tahun kedepan? 4. (5) Sebuah bilangan X diambil secara acak dari selang (0, 1). Kemudian sebuah bilangan Y diambil secara acak dari selang (0, X). Hitung ekspektasi dan variansi bersyarat dari Y untuk setiap bilangan yang mungkin dari X. 5. (5) Misalkan Y peubah acak eksponensial dengan parameter θ = 0.2. Diberikan kejadian A = {Y < 2}. Tentukan fungsi peluang bersyarat f Y A (y). Tentukan E(Y A). 6. (7) Sebuah alat secara terus menerus mencatat aktivitas gempa. Misalkan T waktu yang menyatakan kerusakan alat, berdistribusi eksponensial dengan mean 3 (tahun). Ternyata, alat tidak akan dicek pada dua tahun pertama setelah dibeli. Dengan demikian, waktu untuk mengetahui kerusakan alat adalah X = maks(t, 2). Hitung E(X). 7. (5) Misalkan X i, i = 1, 2 peubah acak-peubah acak geometrik dengan parameter α. Tentukan distribusi X 1, diberikan X 1 + X 2 = k. 5
8. (7) Yono membawa uang 2 untuk berjudi. Peluang Yono menang 1 dalam taruhan adalah 1/2, peluang menang 2 adalah 1/4, peluang kalah 1 adalah 1/4. Yono akan berhenti taruhan kalau sudah memiliki uang 5 (tentu saja Yono berhenti taruhan kalau sudah tidak punya uang). Berapa banyak taruhan yang Yono lakukan sebelum Yono meninggalkan tempat judi. 9. (3) Perusahaan asuransi menawarkan polis yang mencakup kerugian dengan deductible 100. Nilai kerugian adalah peubah acak eksponensial dengan mean 300. Hitung persentil ke-90 dari kerugian yang melebihi deductible? 6
Solusi Ujian 1 MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 8 September 2016, Waktu: 100 menit Pilih dan kerjakan HANYA 5 dari 9 soal yang tersedia. Nilai tiap soal tertulis diawal soal. 1. (5) Sebagai seorang sekretaris, Aniq tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada dengan peluang sama. Misalkan θ i adalah peluang bahwa Aniq akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat i, i = 1, 2, 3. Misalkan Aniq mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat. Berapa peluang kejadian itu akan terjadi? Jika Aniq mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1? Misalkan K i, i = 1, 2, 3 adalah kejadian surat berada di kotak surat i. Misalkan T kejadian mengecek kotak surat 1 dan tidak mendapatkan surat. Peluang kejadian itu akan terjadi adalah P (T ) = P (T K 1 )P (K 1 ) + P (T K 2 )P (K 2 ) + P (T K 3 )P (K 3 ) = (1 θ 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3. Jika diketahui Aniq mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, maka peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1 adalah P (T K 1 )P (K 1 ) P (K 1 T ) = P (T K 1 )P (K 1 ) + P (T K 2 )P (K 2 ) + P (T K 3 )P (K 3 ) (1 θ 1 )(1/3) = (1 θ 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3. 2. (3) Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F. Misalkan Y = F (X). Tentukan fungsi peluang f Y (y) dan fungsi kesintasan S Y (y). 7
F Y (y) = P (Y y) = P (F (X) y) = P (X F 1 (y)) = F X (F 1 (y)) = y. Jadi, Y U(0, 1); fungsi peluang: f Y (y) = 1, 0 < y < 1. Fungsi kesintasan: S Y (y) = 1 F Y (y) = 1 y, 0 < y < 1. 3. (3) Diketahui masa hidup (lifetime) ponsel adalah peubah acak exponensial dengan mean 5 (tahun). Saya membeli ponsel yang berumur 7 tahun. Berapa peluang ponsel saya tersebut masih bisa digunakan untuk 3 tahun kedepan? Fungsi peluang peubah acak T : f T (t) = (1/5) e (1/5) t, t > 0. P (T > 10 T > 7) = P (T > 3) = e (1/5)3. 4. (5) Sebuah bilangan X diambil secara acak dari selang (0, 1). Kemudian sebuah bilangan Y diambil secara acak dari selang (0, X). Hitung ekspektasi dan variansi bersyarat dari Y untuk setiap bilangan yang mungkin dari X. Diketahui: X U(0, 1); Y X U(0, x); Jadi, f Y X (y x) = 1/x, 0 < y < x. E(Y X = x) = = V ar(y X = x) = x 0 x 0 x 0 y f Y X (y x) dy y 1/x dy = x/2. y 2 f Y X (y x) dy ( E(Y X = x) ) 2 = = x 2 /12. 5. (5) Misalkan Y peubah acak eksponensial dengan parameter θ = 0.2. Diberikan kejadian A = {Y < 2}. Tentukan fungsi peluang bersyarat f Y A (y). Tentukan E(Y A). 8
Fungsi peluang f Y (y) = (1/5)e (1/5)y, y > 0. Peluang kejadian A: P (A) = P (Y < 2) = 1 e (1/5)2. Fungsi peluang bersyarat: f Y A (y) = f Y (Y ) P (Y < 2) = (1/5)e (1/5)y, 0 < y < 2. 1 e (1/5)2 Ekspektasi bersyarat: E(Y A) = 5 7 e (1/5)2 1 e (1/5)2. 6. (7) Sebuah alat secara terus menerus mencatat aktivitas gempa. Misalkan T waktu yang menyatakan kerusakan alat, berdistribusi eksponensial dengan mean 3 (tahun). Ternyata, alat tidak akan dicek pada dua tahun pertama setelah dibeli. Dengan demikian, waktu untuk mengetahui kerusakan alat adalah X = maks(t, 2). Hitung E(X). Fungsi peluang f T (t) = (1/3)e (1/3)t, t > 0. E(X) = E(maks(T, 2)) = 2 (2/3) e (1/3)t dt + 0 2 = 2 + 3 e (1/3)2. (t/3) e (1/3)t dt+ 7. (5) Misalkan X i, i = 1, 2 peubah acak-peubah acak geometrik dengan parameter α. Tentukan distribusi X 1, diberikan X 1 + X 2 = k. P (X 1 = l X 1 + X 2 = k) = P (X 1 = m, X 2 = k m) P (X 1 + X 2 = k) = P (X 1 = m)p (X 2 = k m) P (X 1 + X 2 = k) = (1 α)m 1 α (1 α) k m α (k 1) (1 α) k 2 α 2 = 1, l = 1, 2,..., k 1. k 1 8. (7) Yono membawa uang 2 untuk berjudi. Peluang Yono menang 1 dalam taruhan adalah 1/2, peluang menang 2 adalah 1/4, peluang kalah 1 adalah 1/4. Yono akan berhenti taruhan kalau sudah memiliki uang 5 (tentu saja Yono berhenti taruhan kalau sudah tidak punya uang). Berapa banyak taruhan yang Yono lakukan sebelum Yono meninggalkan tempat judi. 9
Misalkan p i = P (0 i) menyatakan peluang tidak punya uang dengan modal i. p 2 = (1/2)p 3 + (1/4)p 4 + (1/4)p 1 p 3 = (1/2)p 4 + (1/4)p 5 + (1/4)p 2 p 4 = (1/2)p 5 + (1/4)p 6 + (1/4)p 3 p 1 = (1/2)p 2 + (1/4)p 3 + (1/4)p 0, dengan p 5 = p 6 = 0 dan p 0 = 1. Misalkan e i = P (0 i) menyatakan banyak taruhan sebelum Yono meninggalkan tempat judi dengan modal i. e 2 = (1/2)(1 + e 3 ) + (1/4)(1 + e 4 ) + (1/4)(1 + e 1 ) e 3 = (1/2)(1 + e 4 ) + (1/4)(1 + e 5 ) + (1/4)(1 + e 2 ) e 4 = (1/2)(1 + e 5 ) + (1/4)(1 + e 6 ) + (1/4)(1 + e 3 ) e 1 = (1/2)(1 + e 2 ) + (1/4)(1 + e 3 ) + (1/4)(1 + e 0 ) dengan e 0 = e 5 = e 6 = 0. Hitung e 2. 9. (3) Perusahaan asuransi menawarkan polis yang mencakup kerugian dengan deductible 100. Nilai kerugian adalah peubah acak eksponensial dengan mean 300. Hitung persentil ke-90 dari kerugian yang melebihi deductible? 10
Ujian 1 (lagi) MA5181 Proses Stokastik Tanggal 15 September 2016, Waktu: 100 menit 1. Misalkan T menyatakan waktu hidup atau lifetime (menit) sebuah lampu. Asumsikan lampu memiliki waktu hidup yang diharapkan (expected lifetime) 2 jam. Diketahui T berdistribusi eksponensial. Pada pukul 17, lampu di kamar saya dipasang dan dinyalakan (dan terus nyala). Pada waktu yang acak, selama waktu hidup lampu, saya masuk kamar. Pukul berapa saya (diharapkan) akan masuk kamar? Hitung peluang saya masuk kamar setelah pukul 18.40. 2. Misalkan X dan Y harga dua saham pada akhir periode lima tahun. Diketahui X berdistribusi Uniform pada selang (0, 12). Diberikan X = x, Y berdistribusi Uniform pada selang (0, x). Hitung Cov(X, Y ). 3. Suatu studi tentang kecelakaan kendaraan bermotor memberikan data sebagai berikut: Thn model kend Proporsi dari seluruh kend Peluang ktrlibatan dlm kecelakaan 1997 0.16 0.05 1998 0.18 0.02 1999 0.20 0.03 Lainnya 0.46 0.04 Sebuah kendaraan bermotor dari salah satu Tahun model kendaraan 1997, 1998 dan 1999 terlibat dalam kecelakaan. Tentukan peluang bahwa Tahun model kendaraan tersebut adalah Tahun 1997. 4. Pandang sistem antrean dengan 2 penerima. Orang yang datang akan ke penerima 1, penerima 2 lalu pulang. Waktu layanan di penerima i adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ i. Ketika saya datang, penerima 1 sedang tidak melayani orang. Sedang di penerima 2 ada A dan B (A sedang dilayani, B antre). Hitung E(T ), waktu yang saya habiskan di sistem antrean. 5. Misalkan (sisa) masa hidup pasangan suami isteri saling bebas dan berdistribusi Uniform pada selang [0, 40]. Perusahaan asuransi menawarkan dua produk: pertama, produk yang membayar nilai klaim saat suami meninggal; kedua, produk yang membayar nilai klaim saat kedua suami isteri meninggal. Tentukan kovariansi kedua waktu pembayaran tersebut. 11
Solusi Ujian 1 (lagi) MA5181 Proses Stokastik Precise. Prospective. Tanggal 15 September 2016, Waktu: 100 menit 1. Misalkan T menyatakan waktu hidup atau lifetime (menit) sebuah lampu. Asumsikan lampu memiliki waktu hidup yang diharapkan (expected lifetime) 2 jam. Diketahui T berdistribusi eksponensial. Pada pukul 17, lampu di kamar saya dipasang dan dinyalakan (dan terus nyala). Pada waktu yang acak, selama waktu hidup lampu, saya masuk kamar. Pukul berapa saya (diharapkan) akan masuk kamar? Hitung peluang saya masuk kamar setelah pukul 18.40. Misalkan T exp(1/120), X menyatakan lama (banyaknya menit) setelah pukul 17; X T = t U(0, t). Jadi, E(X) = 0 E(X T = t) f T (t) dt = 60. P (X > 100) = 100 0 P (X > 100 T = t) f T (t) dt + 100 P (X > 100 T = t) f T (t) dt, dengan P (X > 100 T = t) = t 100 t untuk t > 100; P (X > 100 T = t) = 0 untuk t < 100; 2. Misalkan X dan Y harga dua saham pada akhir periode lima tahun. X berdistribusi Uniform pada selang (0, 12). (0, x). Hitung Cov(X, Y ). Diberikan X = x, Y berdistribusi Uniform pada selang Fungsi peluang bersama f(x, y) = f(y x)f(x) = 1 12x, 0 y x 12. E(XY ) = 12 x x=0 y=0 xy 12x dydx = 24; E(Y ) = 12 x x=0 y=0 y 12x dydx = 3 Jadi, Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = 24 6 3 = 6. 3. Suatu studi tentang kecelakaan kendaraan bermotor memberikan data sebagai berikut: Thn model kend Prop dr seluruh kend Peluang ktrlibatan dlm kecelakaan 1997 0.16 0.05 1998 0.18 0.02 1999 0.20 0.03 Lainnya 0.46 0.04 12
Sebuah kendaraan bermotor dari salah satu Tahun model kendaraan 1997, 1998 dan 1999 terlibat dalam kecelakaan. Tentukan peluang bahwa Tahun model kendaraan tersebut adalah Tahun 1997. P (C 97)P (97) P (97 C) = P (C) P (C 97)P (97) = P (C 97)P (97) + P (C 98)P (98) + P (C 99)P (99) (0.05)(16/54) = (0.05)(16/54) + (0.02)(18/54) + (0.03)(20/54) = 0.45 4. (i) Perhatikan sistem antrean dengan 2 penerima berikut: Orang yang datang akan ke penerima 1 atau 2 lalu pulang. Saat saya datang, penerima 1 dan 2 sedang melayani orang lain. Saya akan ke penerima 1 atau 2 jika mereka telah selesai dengan orang yang sedang mereka layani. Tidak ada orang lain yang antre di depan saya. Diketahui waktu layanan penerima i adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ i. Berapa lama saya berada dalam sistem antrean tersebut? Misalkan T waktu yang saya habiskan di sistem antrean. dengan E(T ) = E(min(S 1, S 2 ) + S) = E(min(S 1, S 2 )) + E(S) = 1 µ 1 + µ 2 + E(S), E(S) = E(S S 1 < S 2 )P (S 1 < S 2 ) + E(S S 2 < S 1 )P (S 2 < S 1 ) = 1 µ 1 µ 1 µ 1 + µ 2 + 1 µ 2 µ 2 µ 1 + µ 2 = 2 µ 1 + µ 2. (ii) Pandang sistem antrean dengan 2 penerima. Orang yang datang akan ke penerima 1, penerima 2 lalu pulang. Waktu layanan di penerima i adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ i. Ketika saya datang, penerima 1 sedang tidak melayani orang. Sedang di penerima 2 ada A dan B (A sedang dilayani, B antre). Hitung E(T ), waktu yang saya habiskan di sistem antrean. - 13
5. Misalkan (sisa) masa hidup pasangan suami isteri saling bebas dan berdistribusi Uniform pada selang [0, 40]. Perusahaan asuransi menawarkan dua produk: pertama, produk yang membayar nilai klaim saat suami meninggal; kedua, produk yang membayar nilai klaim saat kedua suami isteri meninggal. Tentukan kovariansi kedua waktu pembayaran tersebut. Misalkan X dan Y berturut-turut adalah (sisa) masa hidup suami dan isteri. Misalkan Z = maks(x, Y ). Kita akan menentukan Cov(X, Z), dengan E(X) = 3 dan E(Z) = E(maks(X, Y )) = 1 40 40 maks(x, Y ) dydx, 40 2 x=0 y=0 dengan maks(x, Y ) = y jika x y dan maks(x, Y ) = x jika X > y. Jadi, 40 40 x=0 y=0 maks(x, Y ) dydx = 40 x x=0 y=0 x dydx + 40 y x=0 x=0 y dydx 14