PERANGKAT PEMBELAJARAN

PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : PROGRAM LINEAR KODE : MKK206515 DOSEN : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

KONTRAK PEMBELAJARAN PROGRAM LINEAR MKK206515 Semester II / 3 SKS Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

A. Identitas Mata Kuliah Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Semester / SKS : II / 3 SKS Pengampu Mata Kuliah : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. Kode Mata Kuliah : MKK206515 B. Manfaat Mata Kuliah Setelah mengikuti kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat : 1. Mengenal program linear sebagai penunjang pengambilan keputusan 2. Memahami syarat-syarat pemecahan persoalan program linear dengan metode grafik 3. Memahami masalah teknis dalam program linear 4. Memahami bentuk standar model program linear 5. Memahami metode simpleks untuk memecahkan permasalahan program linear C. Deskripsi Mata Kuliah Program Linear adalah mata kuliah yang mempelajari tentang metode optimasi untuk menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan linear pada kondisi pembatasan-pembatasan tertentu. Metode yang digunakan dalam optimasi adalah : metode grafik dengan titik ekstrim, metode grafik dengan isoline, serta metode simpleks. Kejadian-kejadian khusus dalam permasalahan program linear juga dipelajari dan disertai pula dengan cara pengambilan keputusan apabila terjadi kejadian khusus, baik untuk metode grafik maupun metode simpleks. D. Kompetensi Dasar dan Indikator Kompetensi Dasar 1. Membentuk model matematika dari permasalahan program linear 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks Indikator 1.1 Menentukan variabel keputusan dari permasalahan program linear 1.2 Menentukan fungsi kendala dari permasalahan program linear 1.3 Menentukan fungsi tujuan dari permasalahan program linear 2.1 Menentukan daerah layak (feasible region) dari permasalahan program linear 2.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode grafik menggunakan isoline 2.3 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear menggunakan metode grafik dengan menentukan titik ekstrim 2.4 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat optimasi dengan metode grafik 3.1 Menentukan bentuk standar dari model matematika 3.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode simpleks 3.3 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode simpleks menggunakan teknik M 3.4 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode simpleks dua tahap 3.5 Melakukan Interpretasi terhadap Tablo Optimal Simpleks 3.6 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat optimasi dengan metode simpleks

E. Organisasi Materi KD I KD II KD III F. Pendekatan Dan Strategi Pembelajaran Strategi pembelajaran yang digunakan mengarah pada Active Learning. Metode-metode yang digunakan adalah sebagai berikut : 1. Questions Students Have 2. Kelompok Belajar (The Study Group) 3. Concept Sentences 4. The Learning Cell G. Sumber Belajar [1] Aminudin. 2005. Prinsip prinsip Riset Operasi. Jakarta : Erlangga [2] Ruminta. 2009. Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear. Bandung : Rekayasa Sains [3] Siswanto. 2006. Operations Research Jilid I. Jakarta : Erlangga [4] Handout Kuliah H. Penilaian Dan Kriteria Pembelajaran 1. Presensi dan Keaktifan : 30 % 2. Tugas Terstruktur : 20 % 3. UTS : 20 % 4. UAS : 30 % 100 % I. Jadwal Perkuliahan Pertemuan 1 2 3 4 5 P E M B E L A J A R A N Materi : a. Pengenalan Pemrograman Linear b. Membentuk permasalahan program linear ke dalam model matematika, yang menyangkut : Menentukan variabel keputusan dari permasalahan program linear Menentukan fungsi kendala dari permasalahan program linear Menentukan fungsi tujuan dari permasalahan program linear Materi : a. Menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear b. Menentukan daerah layak (feasible region) dari permasalahan program linear Materi : Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode grafik menggunakan isoline Materi : Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode grafik menggunakan titik ekstrim Materi : Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat optimasi dengan metode grafik 6 QUIZ 1 : KD 1 dan KD 2

7 Materi : a. Bentuk standart dari permasalahan program linear b. Konsep dasar dan algoritma metode simpleks 8 Materi : Penyelesaian permasalahan program linear dengan metode simpleks 9 Ujian Tengah Semester 10 Materi : a. Peyelesaian awal semu b. Metode simpleks dengan teknik M 11 12 13 Materi : Metode simpleks dua tahap Materi : Interpretasi tablo optimal simpleks Materi : Berbagai kejadian khusus pada metode simpleks 14 QUIZ II Materi : KD 3 15 REVIEW: Persiapan Ujian Semester 16 Ujian Akhir Semester

UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN SILABUS Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Kode Mata Kuliah : MKK206515 Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Bobot : 3 SKS Semester : II Mata Kuliah Prasyarat : Aljabar Standar Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode Kompetensi Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok 1. Membentuk model matematika dari permasalahan program linear 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik 1.1 Menentukan variabel keputusan dari permasalahan program linear 1.2 Menentukan fungsi kendala dari permasalahan program linear 1.3 Menentukan fungsi tujuan dari permasalahan program linear 2.1 Menentukan daerah layak (feasible region) dari permasalahan program linear 2.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode grafik menggunakan isoline 2.3 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear menggunakan metode grafik Tatap muka Memberikan deskripsi tentang program linear Memberi contoh permasalaahan program linear Memberikan gambaran tentang variabel, fungsi kendala dan fungsi tujuan Kegiatan terstruktur Pre-test Mendiskusikan pemodelan dengan menentukan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi tujuan pada permasalahan pemrograman linear Post-test Tatap muka Memberikan deskripsi singkat tentang daerah layak (feasible region) Memberikan definisi dari titik ekstrim cara penentuan nilai optimum dengan evaluasi nilai fungsi tujuan pada titik ekstrim Menjelaskan secara singkat tentang isoline dan cara penentuan nilai optimum dengan isoline Kegiatan terstruktur Pengenalan Pemrograman Linear Membentuk permasalahan program linear ke dalam model matematika Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear Penentuan daerah layak (feasible region). Meetode grafik dengan titik ekstrim. Metode grafik dengan isoline Alokasi Waktu (menit) Sumber/ Bahan/ Alat 3 50 Sumber : Buku panduan mata kuliah Program Linear Modul Alat : 9 50 Sumber : Buku panduan mata kuliah Program Linear Modul Alat : Penilaian/ Evaluasi Bentuk evaluasi : Pre-test Post-test Instrumen : Lembar Kerja Individu Bentuk evaluasi : Pre-test Post-test Instrumen : Lembar Diskusi Kelompok

3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks dengan menentukan titik ekstrim 2.4 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat optimasi dengan metode grafik 3.1 Menentukan bentuk standar dari model matematika 3.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode simpleks 3.3 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode simpleks menggunakan teknik M 3.4 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode simpleks dua tahap 3.5 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat optimasi dengan metode simpleks Pre-test Mendiskusikan berbagai kejadian khusus yang muncul saat optimasi dengan metode grafik Post-test Tatap muka Menjelaskan tentang bentuk standar (bentuk kanonik) dalam pemodelan matematika permasalahan program linear Menjelaskan optimasi permasalahan pemrograman linear dengan metode simpleks, metode simpleks dengan teknik M, dan metode simpleks dua tahap Kegiatan terstruktur Post test Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus Bentuk standart/bentuk kanonik Metode simpleks. Interpretasi tablo optimal simpleks Kejadian khusus pada metode simpleks Peyelesaian awal semu Metode simpleks dengan teknik M Metode simpleks dua tahap 18 50 Sumber : Buku panduan mata kuliah Program Linear Modul Alat : Bentuk evaluasi : Post-test Instrumen : Lembar Kerja Individu Lembar diskusi kelompok

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. NIP : 19860715 2013032174 Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 3 SKS Semester : II Pertemuan ke- : 1 Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode Kompetensi Dasar : 1. Membentuk model matematika dari permasalahan program linear Indikator : 1.1 Menentukan variabel keputusan dari permasalahan program linear 1.2 Menentukan fungsi kendala dari permasalahan program linear 1.3 Menentukan fungsi tujuan dari permasalahan program linear Tujuan : Menentukan model matematika dari permsalahan pemrograman linear A. DEFINISI PEMROGRAMAN LINEAR MATERI Suatu perusahaan atau organisasi harus membuat keputusan mengenai cara mengalokasikan sumber-sumbernya dan tidak ada organisasi yang beroperasi secara permanen dengan sumber yang tidak terbatas, akibatnya manajemen harus secara terus menerus mengalokasikan sumber langka untuk mencapai tujuan yang optimal. Tiap organisasi mencoba untuk mencapai tujuan tertentu sesuai dengan batasan sumber daya, seperti : bahan mentah, uang, waktu, tenaga, dll. Pemrograman Linear adalah metode optimasi untuk menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan linear pada kondisi pembatasan-pembatasan (constrains) tertentu. Persoalan pemrograman linear dapat ditemukan pada berbagai bidang dan dapat digunakan untuk membantu membuat keputusan, memilih suatu alternatif yang paling tepat. Aplikasi program linear misalnya untuk keperluan : perencanaan produksi, produksi campuran, penjadwalan, relokasi sumber daya, masalah transportasi, dll. B. MODEL PEMROGRAMAN LINEAR Bentuk umum model program linear adalah : Optimumkan : Dengan batasan : Z = c1x1 + c2x2 +... + cnxn a11x1 + a12x2 +... + a1nxn b1 a21x1 + a22x2 +... + a2nxn b2 am1x1 + am2x2 +... + amnxn bm x1, x2,..., xn 0 Terminologi umum untuk model program linear di atas adalah : 1. Fungsi yang akan dicari nilai optimumnya (Z) disebut fungsi tujuan (objective function) 2. Fungsi batasan (constrains) yang dikelompokkan menjadi dua, yaitu : a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi-fungsi batasan sebanyak m. b. Fungsi batasan non-negatif (non-negative constrains)

3. Variabel keputusan (decision variables) 4. Parameter model C. PERSOALAN PEMROGRAMAN LINEAR Persoalan pemrograman linear adalah persoalan optimasi yang memenuhi ketentuan sebagai berikut : 1. Fungsi tujuan merupakan fungsi linear dari variable keputusan. 2. Nilai variabel keputusan harus memenuhi pembatasan-pembatasan yang berbentuk persamaan atau ketaksamaan. 3. Setiap variabel keputusan harus dibatasi yaitu non negatif. Model adalah sebuah tiruan terhadap realitas. Langkah yang dilakukan untuk membuat peralihan dari realita ke model kuantitatif disebut perumusan model. Ada beberapa tahap dalam memformulasikan persoalan pemrograman linear ke model kuantitatif, yaitu : 1. Mengidentifikasi variabel keputusan 2. Mendeskripsikan fungsi tujuan sebagai kombinasi linear dari variabel keputusan 3. Mendeskripsikan pembatasan-pembatasan sebagai kombinasi linear dari variabel keputusan 4. Mengidentifikasi batas bawah atau batas atas dari variabel keputusan 5. Mengekspresikan semua hasil identifikasi tersebut dalam model kuantitatif Contoh 1.1 : Sebuah perusahaan memproduksi sofa, meja dan kursi. Sumber daya untuk produksi tersebut adalah kayu, bahan pelapis, dan waktu produksi. Sumber daya yang dibutuhkan untuk pembuatan tiap unit barang per minggunya ditunjukkan sebagai berikut : Jenis Produk Kebutuhan sumber daya Kayu (lembar) Pelapis (m) Waktu kerja (jam) Sofa 7 12 6 Meja 5-9 Kursi 4 7 5 Sumber daya tersedia 1400 840 540 Pembuatan produk dibatasi perminggunya 500 buah karena keterbatasan tempat penyimpanan. Laba masing-masing produk per unit adalah Rp. 50.000,00 untuk sofa, Rp. 25.000,00 untuk meja dan Rp. 40.000,00 untuk kursi. Perusahaan ingin mengetahui berapa banyak masing-masing produk harus dibuat agar mencapai laba maksimum. Tentukan model matematikanya! Penyelesaian : Variabel keputusan : a = banyak produksi sofa b = banyak produksi meja c = banyak produksi kursi Fungsi tujuan (Z) : Memaksimumkan laba Memaksimumkan Z = 50.000a + 25.000b + 40.000c Fungsi pembatas : 7a + 5b + 4c 1400 (keterbatasan kayu) 12a + 7b 840 (keterbatasan pelapis) 6a+ 9b + 5c 540 (keterbatasan waktu) a + b + c 500 (keterbatasan tempat penyimpanan) Batas variabel keputusan : a, b, c 0 Model matematisnya : Tentukan nilai a, b, c Memaksimumkan : Z = 50.000a + 25.000b + 40.000c Dengan pembatas : 7a + 5b + 4c 1400 12a + 7b 840 6a+ 9b + 5c 540 a + b + c 500 a, b, c 0 METODE PEMBELAJARAN Learning Cell

LANGKAH PEMBELAJARAN No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan a. Apersepsi Memberi gambaran tentang permasalahan program linear b. Motivasi Memberikan gambaran tentang permasalahan program linear dalam kehidupan sehari-hari 2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan permasalahan program linear kemudian menjelaskan tentang penentuan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi tujuan. b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi contoh permasalahan. b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup menuliskan pertanyaan berkaitan dengan materi. c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II bertanya, dan grup I menjawab. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan program linear kemudian membentuknya dalam model matematika Alokasi Waktu 10 menit 15 menit 15 menit 10 menit 5 menit 10 menit 30 menit 25 menit 30 menit MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Aminudin. 2005. Prinsip prinsip Riset Operasi. Jakarta : Erlangga [2] Ruminta. 2009. Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear. Bandung : Rekayasa Sains [3] Siswanto. 2006. Operations Research Jilid I. Jakarta : Erlangga [4] Handout Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. NIP : 19860715 2013032174 Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 3 SKS Semester : II Pertemuan ke- : 2 Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode Kompetensi Dasar : 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik Indikator : 2.1 Menentukan daerah layak (feasible region) dari permasalahan program linear. Tujuan : Menentukan daerah feasible dari permalsalahan program linear MATERI PENYELESAIAN PERMASALAHAN PROGRAM LINEAR DAERAH LAYAK (FEASIBLE REGION) Pada setiap kasus pemrograman linear, susunan dari kendala-kendala akan membentuk suatu bidang yang menjadi tempat kedudukan bagi variabel-variabel yang memenuhi seluruh kendala. Fungsi Pembatasnya : a b 1 (i) a 7 (iii) 3a + 2b 12 (ii) b 6 (iv) b 3 (v) (i) b (ii) b 6 1-1 a 4 a (iii) b (iv) dan (V) b 6 3 7 a a Gambar 1.1

Jika keempat daerah tersebut dijadikan satu bidang kemudian dicari irisannya diperoleh : 6 3 1-1 4 7 Gambar 1.2 Masing-masing kendala pertidaksamaan di atas menjangkau suatu bidang penyelesaian dimana variabel-variabel keputusan memenuhi fungsi-fungsi matematikanya. Perpotongan antara bidang penyelesaian dari masing-masing kendala membentuk suatu bidang baru yang dinamakan dengan daerah layak (feasible region). Oleh karena itu, penyelesaian optimum, yaitu variabel-variabel keputusan yang memenuhi seluruh kendala dan mengakibatkan fungsi tujuan bernilai ekstrim, pasti terletak pada daerah layak. METODE PEMBELAJARAN Learning Cell LANGKAH PEMBELAJARAN No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan a. Apersepsi Memberikan permasalahan program linear kemudian menjelaskan tentang penentuan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi tujuan b. Motivasi Memberikan gambaran tentang permasalahan program linear dalam kehidupan sehari-hari 2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan permasalahan program linear kemudian meminta mahasiswa menjelaskan tentang penentuan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi tujuan. b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi contoh permasalahan penetuan daerah feasible. b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup menuliskan pertanyaan berkaitan dengan materi. c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II bertanya, dan grup I menjawab. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan program linear kemudian membentuknya dalam model matematika Alokasi Waktu 10 menit 15 menit 15 menit 10 menit 5 menit 10 menit 30 menit 25 menit 30 menit MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop

SUMBER BELAJAR [1] Aminudin. 2005. Prinsip prinsip Riset Operasi. Jakarta : Erlangga [2] Ruminta. 2009. Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear. Bandung : Rekayasa Sains [3] Siswanto. 2006. Operations Research Jilid I. Jakarta : Erlangga [4] Handout Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. NIP : 19860715 2013032174 Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 3 SKS Semester : II Pertemuan ke- : 3 Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode Kompetensi Dasar : 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik Indikator : 2.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode grafik menggunakan isoline. Tujuan : 2.2.1 Menentukan penyelesaian basis awal yang feasible. 2.2.2 Menggunakan bantuan isoline untuk mengevaluasi optimasi nilai fungsi tujuan MATERI METODE GRAFIK DENGAN ISOLINE Ada dua cara untuk menentukan solusi optimum pada daerah layak (feasible region) dengan metode grafik. Teknik yang pertama adalah dengan teknik kesamaan garis (isoline). Langkah yang dilakukan untuk menentukan solusi optimum dengan teknik isoline adalah : 1. Tentukan kemiringan garis fungsi tujuan (merupakan himpunan infinitif dari isoline) Pilihlah titik tertentu pada daerah layak Gambarkan garis fungsi tujuan yang mengenai titik tersebut 2. Tentukan arah peningkatan/penurunan dari fungsi tujuan persoalan maksimum/minimum. Pilih dua garis (isoline) fungsi tujuan di daerah layak dan evaluasi nilai fungsi tujuan pada kedua garis isoline. 3. Ikuti arah peningkatan/penurunan sampai mencapai titik batas (sudut) dimana peningkatan/penurunan dari fungsi tujuan keluar dari daerah layak. 4. Solusi optimum diperoleh dari titik batas dimana peningkatan atau penurunan dari fungsi tujuan akan meninggalkan daerah layak. Contoh 1.3 Untuk mengetahui proses penentuan solusi optimum dari suatu permasalahan program linear menggunakan metode grafik dengan teknik isoline, lebih jelasnya perhatikan gambar berikut. Z2 Z4 (Solusi Optimum) Maksimum Z3 Z3 (Solusi Optimum) Minimum Z1 Z4

METODE PEMBELAJARAN Learning Cell No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan a. Apersepsi Memberi permasalahan program linear kemudian menentukan daerah layaknya serta memberikan gambaran penggunaannya dalam menentukan nilai optimum fungsi b. Motivasi Memberikan gambaran tentang kaitan titik ekstrim dan daerah layak dari sistem pertidaksamaan linear untuk penentuan nilai optimum dari permasalahan program linear 2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan permasalahan program linear kemudian meminta mahasiswa membentuk dalam model matematis, yang meliputi penentuan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi tujuan. b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok Elaborasi d. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi contoh permasalahan beserta langkah pemecahannya dengan metode titik ekstrim menggunakan isoline. e. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup menuliskan pertanyaan berkaitan dengan materi. f. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II bertanya, dan grup I menjawab. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan program linear kemudian di selesaikan sendiri dengan metode grafik menggunakan isoline. Alokasi Waktu 15 menit 10 menit 15 menit 10 menit 5 menit 10 menit 30 menit 25 menit 30 menit MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Aminudin. 2005. Prinsip prinsip Riset Operasi. Jakarta : Erlangga [2] Ruminta. 2009. Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear. Bandung : Rekayasa Sains [3] Siswanto. 2006. Operations Research Jilid I. Jakarta : Erlangga [4] Handout Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. NIP : 19860715 2013032174 Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 3 SKS Semester : II Pertemuan ke- : 4 Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode Kompetensi Dasar : 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik Indikator : 2.3 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear menggunakan metode grafik dengan menentukan titik ekstrim. Tujuan : Menggunakan bantuan titik ekstrim untuk mengevaluasi optimasi nilai fungsi tujuan MATERI METODE GRAFIK DENGAN BANTUAN TITIK EKSTRIM Teknik kedua untuk menentukan solusi optimum pada daerah layak (feasible region) dengan metode grafik adalah titik ekstrim. Titik ekstrim merupakan titik-titik sudut pada daerah layak. Nilai ekstrim dari fungsi tujuan pasti terletak pada salah satu titik ekstrim. Langkah yang dilakukan untuk menentukan solusi optimum dengan teknik titik ekstrim adalah : 1. Tentukan irisan (intersection) daerah penyelesaian dari semua fungsi kendala, sehingga diperoleh daerah layak (feasible region). 2. Tentukan tiitik ekstrim (titik sudut) dari daerah layak. 3. Evaluasi nilai fungsi tujuan pada setiap titik ekstrim daerah layak. Solusi optimum terletak pada salah satu titik ekstrim daerah layak. 4. Tentukan nilai optimumnya, dengan aturan: nilai terbesar dari evaluasi pada langkah 3 menjadi nilai maksimum, dan nilai terkecilnya menjadi nilai minimum Contoh 1.4 Untuk mengetahui proses penentuan solusi optimum dari suatu permasalahan program linear menggunakan metode grafik dengan teknik isoline, lebih jelasnya perhatikan gambar berikut. C B O A

Jika fungsi tujuan dari permasalahan diatas adalah Z, setelah ditentukan koordinat titik O, A, B, dan C, maka selanjutnya eveluasi nilai Z di setiap titik tersebut. Tentukan ZO, ZA, ZB, dan ZC. Nilai maksimum = maks (ZO, ZA, ZB, ZC) Nilai minimum = min (ZO, ZA, ZB, ZC) METODE PEMBELAJARAN Kelompok belajar (The Study Group) LANGKAH PEMBELAJARAN No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan a. Apersepsi Memberi permasalahan program linear kemudian menentukan daerah layaknya serta memberikan gambaran penggunaannya dalam menentukan nilai optimum fungsi b. Motivasi Memberikan gambaran tentang kaitan titik ekstrim dan daerah layak dari sistem pertidaksamaan linear untuk penentuan nilai optimum dari permasalahan program linear 2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan berbagai permasalahan program linear yang memuat kejadian khusus berikut : b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan nilai optimum dari berbagai permasalahan pemrograman linear. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan program linear kemudian di selesaikan sendiri dengan metode grafik menggunakan titik ekstrim. Alokasi Waktu 15 menit 5 menit 10 menit 50 menit 50 menit 20 menit MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Aminudin. 2005. Prinsip prinsip Riset Operasi. Jakarta : Erlangga [2] Ruminta. 2009. Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear. Bandung : Rekayasa Sains [3] Siswanto. 2006. Operations Research Jilid I. Jakarta : Erlangga [4] Handout Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. NIP : 19860715 2013032174 Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 3 SKS Semester : II Pertemuan ke- : 5 Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode Kompetensi Dasar : 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik Indikator : 2.4 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat optimasi dengan metode grafik. Tujuan : 2.4.1 Mengidentifikasi ciri kasus degenerasi 2.4.2 Mengidentifikasi ciri kasus optimal alternatif 2.4.3 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak terbatas 2.4.4 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak feasible MATERI KEJADIAN KHUSUS PADA METODE GRAFIK Permasalahan program linear terkadang ada yang memiliki lebih dari satu penyelesaian, atau memiliki penyelesaian yang nilainya tidak terbatas, bahkan ada permasalahan yang tidak dapat dicari penyelesaiannya. Berikut akan dibahas berbagai kejadian khusus yang dapat muncul saat optimasi fungsi tujuan dengan menggunakan metode grafik. 1. Degenerasi Satu titik terbentuk dari perpotongan antara dua buah garis. Apabila terjadi perpotongan tiga garis melalui satu titik maka kejadian ini disebut dengan over determined. Over deternimed inilah yang menyebabkan salah satu kejadian khusus pada metode grafik, yaitu degenerasi. Dengan alasan ini dapat dikatakan bahwa terdapat satu batasan yang melimpah atau berlebih. Batasan yang seperti ini dinamakan dengan batasan redundan (redundant constarins). 2. Optimal Alternatif Dalam kejadian ini terdapat beberapa alternatif penyelesaian optimal pada suatu permasalahan. Hal ini terjadi apabila fungsi tujuan sejajar dengan fungsi batasan pembentuk penyelesaian optimal. Akibatnya, fungsi tujuanakan bernilai optimal sama pada lebih dari satu titik penyelesaian. 3. Penyelesaian tidak feasible Suatu model pemrograman linear dikatakan memiliki penyelesaian tak feasible apabila fungsi-fungsi batasan dalam model tersebut tidak dapat dipenuhi secara simultan. Dengan kata lain, Interseksi dari semua fungsi batasan yang ada tidak dapat ditemukan. 4. Penyelesaian tidak terbatas Pada model masalaah program linear ada beberapa model dimana variabel-variabel tersebut dapat dinaikkan sampai tak terhingga tanpa melanggar fungsi batasan. Hal ini berarti ruang penyelesaian atau daerah penyelesaian dari permasalahan pemrograman linear tersebut tidak terbatas. Akibatnya, nilai fungsi tujuan dalam kasus memaksimumkan dapat naik sampai tak terhingga. Melihat kejadian

ini dikatakan bahwa permasalahan pemrograman linear tersebut memiliki daerah penyelesaian yang tak terbatas dan nilai fungsi tujuannya pun tidak terbatas. METODE PEMBELAJARAN Kelompok belajar (The Study Group) LANGKAH PEMBELAJARAN No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang kejadian khusus permasalahan program linear, karena kemungkinan ada permasalahan yang tidak memiliki penyelesaian atau bahkan penyelesaiannya tidak tunggal. 2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan berbagai permasalahan program linear yang memuat kejadian khusus berikut : 1). Degenerasi 2). Optimal alternatif 3). Penyelesaian tidak terbatas 4). Penyelesaian tidak layak b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan nilai optimum dari berbagai permasalahan pemrograman linear. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan program linear kemudian di selesaikan sendiri dengan metode grafik menggunakan titik ekstrim. Alokasi Waktu 15 menit 5 menit 10 menit 50 menit 50 menit 20 menit MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Aminudin. 2005. Prinsip prinsip Riset Operasi. Jakarta : Erlangga [2] Ruminta. 2009. Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear. Bandung : Rekayasa Sains [3] Siswanto. 2006. Operations Research Jilid I. Jakarta : Erlangga [4] Handout Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. NIP : 19860715 2013032174 Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 3 SKS Semester : II Pertemuan ke- : 7 Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks Indikator : 3.1 Menentukan bentuk standar dari model matematika. Tujuan : Mengubah permasalahan pemrograman linear menjadi bentuk standar MATERI PENDAHULUAN Apabila suatu persoalan program linear hanya mengandung dua variabel keputusan, maka untuk menentukan solusinya dapat dilakukan dengan metode grafik. Akan tetapi apabila permasalahan mengandung tiga variabel atau lebih, maka akan sangat sulit, bahkan tidak bisa dilakukan optimasi dengan metode grafik sehingga diperlukan metode lain untuk menentukan titik serta nilai optimumnya. Salah satu metode yang bisa digunakan adalah metode simpleks. Gagasan metode simpleks adalah menerjemahkan definisi geometris atau grafik dari titik ekstrim atau titik sudut menjadi definisi aljabar. Metode simpleks adalah suatu teknik penyelesaian pemrograman linear secara iterasi. Metode simpleks mencari suatu penyelesaian dasar yang feasible ke penyelesaian dasar feasible lainnya yang dilakukan secara berulang-ulang sehingga akhirnya tercapai suatu penyelesaian optimum. Setiap tahap penyelesaian menghasilkan nilai fungsi tujuanyang selalu lebih optimum atau sama dari tahap-tahap penyelesaian sebelumnya. Metode simpleks sangat sistematik dan dilengkapi test kriteria yang dapat memberitahukan kapan perhitungan harus dilanjutkan atau dihentikan sampai diperoleh solusi optimum. BENTUK STANDAR MODEL PROGRAM LINEAR Pada metode simpleks permasalahan pemrograman linear selalu diubah menjadi bentuk standart (bentuk kanonik). Ciri dari bentuk kanonik adalah sebagai berikut : 1. Semua batasan atau kendala adalah persamaan dengan sisi kanan yang non negatif. 2. Semua variabel keputusan adalah non negatif. 3. Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi dan minimasi. Secara umum bentuk kanonik dari permasalahan program linear adalah sebagai berikut : Optimumkan : Dengan batasan : Z = c1x1 + c2x2 +... + cnxn a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 +... + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 +... + amnxn = bm x1, x2,..., xn 0 b1, b2,..., bm 0

Berikut ini adalah cara pengubahan dari masalah program linear ke dalam bentuk kanonik. No Tinjauan Cara Pengubahan ke Bentuk Kanonik 1 Fungsi Batasan Fungsi batasan berupa pertidaksamaan dengan tanda Tambahkan variabel slack pada ruas kiri. Variabel slack biasa disimbolkan dengan S dengan S 0. Contoh : 3a + 2b 36 dengan a, b 0 Bentuk kanoniknya menjadi 3a + 2b + S = 36 dengan a, b, S 0 Fungsi batasan berupa pertidaksamaan dengan tanda Tambahkan variabel slack pada ruas kiri. Variabel surplus biasa disimbolkan dengan S dengan S 0. Contoh : 3a + 2b 36 dengan a, b 0 Bentuk kanoniknya menjadi 3a + 2b S = 36 dengan a, b, S 0 Fungsi batasan dengan nilai kanan negatif Mengalikan masing-masing sisi dari fungsi batasan dengan 1. Contoh : 3a + 2b 12 dengan a, b 0 3a + 2b + S = 12 dengan a, b, S 0 Bentuk kanoniknya menjadi 3a 2b S = 12 dengan a, b, S 0 2 Variabel Keputusan Variabel yang tidak dibatasi tanda Misalkan ada variabel x yang nilainya tidak dibatasi, maka x harus disubstitusi dengan x1 x2 dengan x1, x2 0. Substitusi ini menyebabkan perubahan pada fungsi tujuan dan fungsi batasannya. 3 Fungsi Tujuan Catatan : Sisi kanan dari fungsi tujuan dibuat nol (0) Bentuk memaksimumkan fungsi tujuan ekuivalen dengan meminimumkan negatif dari fungsi tujuan tersebut. METODE PEMBELAJARAN Kelompok belajar (The Study Group) LANGKAH PEMBELAJARAN No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang kelemahan metode grafik, yang dapat diselesaikan dengan metode simpleks 2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan sebuah contoh permasalahan program linear, dan meminta siswa mengidentifikasi cara mengubahnya kedalam bentuk standar. b. Memberikan beberapa permasalahan program linear dan membentuk siswa dalam beberapa kelompok Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan bentuk standar dari berbagai permasalahan pemrograman linear berikut. 1. Memaksimumkan : Z = 8p + 6q Terhadap batasan : 4p + 3q 18 6p + 5q 30 2p + q 8 p, q 0 2. Meminimumkan : P = 3x + 2y + 4z Terhadap batasan : x + y z 12 2x + y 3 x, z 0, y tidak dibatasi Alokasi Waktu 15 menit 15 menit 10 menit 40 menit 50 menit

3. Meminimumkan : W = 6a + 5b + 2c Terhadap batasan : 3a + 2b + 5c 30 2a + 7b 28 3a 5c 15 a, b 0, c tidak dibatasi Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat dua buah permasalahan program linear kemudian mengubahnya ke dalam bentu standar. 20 menit MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Aminudin. 2005. Prinsip prinsip Riset Operasi. Jakarta : Erlangga [2] Ruminta. 2009. Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear. Bandung : Rekayasa Sains [3] Siswanto. 2006. Operations Research Jilid I. Jakarta : Erlangga [4] Handout Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. NIP : 19860715 2013032174 Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 3 SKS Semester : II Pertemuan ke- : 8 Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks Indikator : 3.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode simpleks. Tujuan : Menentukan penyelesaian permasalahan pemrograman linear dengan metode simpleks MATERI KONSEP DASAR METODE SIMPLEKS Konsep dasar metode simpleks bertolak dari konsep dasar metode grafik, yaitu penyelesaian optimum terjadi pada titik ekstrim. Metode simpleks dalam bekerja menggunakan proses iterasi dimulai dari titik ekstrim feasible awal ke titik ke titik ekstrim feasible lain yang terhubung (adjecent), dan iterasi akan berhenti jika penyelesaian optimal telah diperoleh. Perhatikan contoh permasalahan program linear dan penyelesaiannya dengan metode grafik berikut ini: Memaksimumkan : Z = 3a + 5b Terhadap batasan : 2a 6 3b 15 6a + 4b 24 a, b 0 D C B O A Algoritma simpleks dimulai dari titik feasible awal (misalkan titik asal O) dan akan menghasilkan penyelesaian awal. Kemudian iterasi dilanjutkan ke titik ekstrim lain yang terhubung dengan O. Dalam permasalahan ini ada dua kemungkinan titik ekstrim yang terhubung dengan O yaitu titik A dan D. Untuk menentukan titik mana yang terpilih untuk iterasi selanjutnya dapat dilihat dari koefisien-koefisien pada fungsi tujuannya. Jika koefisien a b dan masalahnya memaksimumkan maka penyelesaian akan bergerak sejalan dengan kenaikan b. Jadi,iterasi selanjutnya terjadi di titik D. Di titik D ini proses diulang untuk melihat apakah ada titik ekstrim lain yang dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Demikian seterusnya sehingga diperoleh nilai optimum. Cara penentuan titik awal feasible pada metode simpleks adalah sebagai berikut : Ubah permasalahan program linear kedalam bentuk kanonik.

Misal permasalahan tersebut terdiri atas n buah variabel dan m buah fungsi batasan, titik ekstrim feasible awal ditentukan dengan terlebih dahulu mengambil sebanyak (n m) variabel yang disamadengankan nol, dan disebut sebagai variabel non basis. Variabel selain variabel non basis, disebut sebagai variabel basis. Penyelesaian tunggal yang dihasilkan dengan menetukan variabel basis, disebut dengan penyelesaian basis. Untuk dapat menyelesaikan dengan metode simpleks penyelesaian basis awal yang diperoleh harus merupakan penyelesaian basis awal yang feasible, yang memenuhi syarat non negatif. A. ALGORITMA SIMPLEKS Berikut ini merupakan algoritma penyelesaian permasalahan pemrograman linear dengan menggunakan Metode Simpleks. 1. Langkah 1 : Ubah permasalahan menjadi bentuk kanonik. 2. Langkah 2 : Tentukan variabel basis dan variabel non basis dari bentuk kanonik persamaan linear untuk mencari penyelesaian basis awal yang feasible. 3. Langkah 3 : Susun persamaan-persamaan ke dalam tablo simpleks. Berikut ini adalah cara menyusun bentuk kanonik kedalam tablo simpleks. Variabel Bais Z X1 X2... Xn Xn+1 Xn+2... Xn+m Nilai Kanan Z 1 -c1 -c2 0 0... 0 0 Xn+1 0 a11 a12... a1n 1 0... 0 b1 Rasio Xn+2 0 a21 a22... a2n 0 1... 0 b2................................. Xn+m 0 am1 am2... amn 0 0... 1 bm Keterangan : Nilai kanan adalah nilai di belakang tanda sama dengan dan sering disebut sebagai penyelesaian. Xn+1, Xn+2,..., Xn+m merupakan simbol lain dari variabel slack yang biasa disimbolkan S1, S2,..., Sm. 4. Langkah 4 : Memilih entering variable yang biasa disimbolkan dengan ev. Entering variable adalah variabel non basis yang masuk sebagai variabel basis pada iterasi berikutnya. Cara menentukan ev adalah : Jika fungsi tujuan memaksimumkan Pilih nilai yang terletak pada baris fungsi tujuan yang memiliki nilai negatif dengan angka terbesar. Variabel yang memiliki koefisien nilai terpilih (variabel pada tablo terletak di atas nilai terpilih), ditentukan sebagai ev. Jika pada baris fungsi tujuan, semua koefisien sudah bernilai non negatif, maka penyelesaian selesai dan iterasi berhenti. Jika fungsi tujuan meminimumkan Pilih nilai yang terletak pada baris fungsi tujuan yang memiliki nilai positif dengan angka terbesar. Variabel yang memiliki koefisien nilai terpilih (variabel pada tablo terletak di atas nilai terpilih), ditentukan sebagai ev. Jika pada baris fungsi tujuan, semua koefisien sudah bernilai non positif, maka penyelesaian selesai dan iterasi berhenti. 5. Langkah 5: Memilih leaving variable yang biasa disimbolkan dengan lv. Leaving variable adalah variabel basis yang akan keluar menjadi variabel non basis pada iterasi berikutnya. Berikut adalah cara penentuan lv.

Baik untuk fungsi tujuan memaksimumkan dan meminimumkan lv. Dipilih diantara variabal basis yang memiliki nilai rasio terkecil. Rasio ditentukan dengan cara sebagai berikut : Rasio = Nilai Kanan Elemenkolom ev Hal yang perlu diperhatikan dalam mencari nilai rasio adalah sebagai berikut : Baris fungsi tujuan tidak dicari nilai rasionya. Jika elemen pada kolom ev nol atau negatif maka nilai rasio diabaikan. Baris yang memuat variabel yang terpilih sebagai lv disebut sebagai baris pivot. Irisan antara baris pivot dan kolom pivot disebut sebagai elemen pivot. 6. Langkah 6 : Memperbaiki nilai-nilai pada baris persamaan pivot, caranya : Nilai baris pivot baru = Nilai baris pivot lama Elemen pivot 7. Langkah 7 : Memperbaiki nilai pada baris lain selain baris pivot, dengan aturan : Nilai baris baru = nilai baris lama (koefisien kolom ev nilai baris pivot baru ) 8. Langkah 8 : Ulangi langkah 4 sampai dengan 8 sampai diperoleh penyelesaian optimal. METODE PEMBELAJARAN Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning LANGKAH PEMBELAJARAN No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Mengulas pengubahan permasalahan program linear menjadi bentuk standar 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang algoritma metode simpleks. Elaborasi a. Memberikan permaslahan program linear b. Kegiatan Kelompok Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan penyelesaiannya menggunakan metode simpleks Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat yang telah disediakan. c. Diskusi antar kelompok 3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain. 3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan bertanya pekerjaan kelompok lain. Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang sudah dibuat dikerjakan mahasiswa. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai kelebihan metode simpleks. Alokasi Waktu 10 menit 35 menit 5 menit 30 menit 5 menit 40 menit 20 menit 5 menit MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop

SUMBER BELAJAR [1] Aminudin. 2005. Prinsip prinsip Riset Operasi. Jakarta : Erlangga [2] Ruminta. 2009. Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear. Bandung : Rekayasa Sains [3] Siswanto. 2006. Operations Research Jilid I. Jakarta : Erlangga [4] Handout Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. NIP : 19860715 2013032174 Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 3 SKS Semester : II Pertemuan ke- : 10 Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks Indikator : 3.3 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode simpleks menggunakan teknik M. Tujuan : 3.3.1 Menetukan bentuk kanonik dari permasalahan dengan penyelesaian awal semu. 3.3.2 Menggunakan algoritma simpleks untuk menyelesaikan permasalahan yang mengandung variabel semu dengan metode simpleks teknik M. Perhatikan contoh permasalahan linear berikut : MATERI PENYELESAIAN AWAL SEMU Permasalahan Program Linear Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k Terhadap batasan : 2i + 6k 3 (1) 3j + 4k 5 (2) i, j, k 0 Bentuk Kanonik Meminimumkan : W 6i 15j 24k = 0 Terhadap batasan : 2i + 6k S1 = 3 (1) 3j + 4k S2 = 5 (2) i, j, k, S1, S2 0 Bentuk kanonik tersebut terdiri atas dua persamaan dan lima variabel tek diketahui. Sehingga untuk menentukan penyelesaian basis awal terlebih dahulu harus menentukan sebanyak n m = 5 2 = 3 variabel non basis. Misalkan dipilih i = j = k = 0 maka diperoleh variabel basisnya adalah S1, dan S2 dengan nilai S1 = -3 dan S2 = -5. Karena terdapat variabel basis yang nilainya negatif, berarti penyelesaian basis awal yang diperoleh merupakan penyelesaian basis awal yang tidak feasible. Untuk mengatasi hal tersebut maka pada bentuk kanonik untuk setiap persamaan yang tidak mengandung variabel slack ditambah variabel semu pada ruas kirinya. Variabel semu biasa disimbolkan R dengan R 0. Penambahan variabel ini diperlakukan seperti variabel slack maupun variabel surplus. Sebagai konsekuensi dari penggunaan variabel semu ini adalah penambahan sebesar M R pada ruas kanan fungsi tujuan yang meminimalkan dan adanya pengurangan sebesar M R pada ruas kanan fungsi tujuan yang memaksimalkan (M adalah bilangan positif yang sangat besar) Karena variabel semu tidak berarti pada masalah aslinya, maka prosedur akan valid hanya apabila pada saat optimasi, variabel semu ini bernilai nol. Dengan kata lain, variabel semua hanya digunakan pada awal penyelesaian dan sebagai konsekuensinya harus dinolkan pada penyelesaian akhirnya. Apabila ada variabel semu yang tidak sama dengan nol pada penyelesaian akhirnya berarti penyelesaian tersebut tidak feasible. METODE PENALTI / TEKNIK M Metode ini merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan program linear yang bentuk kanoniknya mengandung variabel semu.

Perhatikan contoh berikut. Permasalahan Program Linear Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k Terhadap batasan : 2i + 6k 3 (1) 3j + 4k 5 (2) i, j, k 0 Bentuk Kanonik Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k + M (R1 + R2) Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3 (1) 3j + 4k S2 + R2 = 5 (2) i, j, k, S1, S2, R1, R2 0 Karena (1) 2i + 6k S1 + R1 = 3 R1 = 3 2i 6k + S1 (2) 3j + 4k S2 + R2 = 5 R2 = 5 3j 4k + S2 Maka R1 + R2 = 8 2i 3j 10k + S1 + S2 Sehingga bentuk kanoniknya menjadi : Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k + M (R1 + R2) = 6i + 15j + 24k + M (8 2i 3j 10k + S1 + S2) W = (6 2M)i + (15 3M)j + (24 10M)k + MS1 + MS2 + 8M W + ( 6 + 2M)i + ( 15 + 3M)j + ( 24 + 10M)k MS1 MS2 = 8M Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3 3j + 4k S2 + R2 = 5 i, j, k, S1, S2, R1, R2 0 Permasalahan tersebut memiliki 2 persamaan dengan 7 variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya permasalahan ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut : Mencari penyelesaian basis awal feasible. Ambil sebanyak 7 2 = 5 variabel non basis yaitu : i = j = k = S1 = S2 = 0. Akibatnya R1 = 3, R2 = 5 sebagai variabel basis. Hal ini menghasilkan nilai awal fungsi tujuan W = 8M. Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut : Ket Var. Basis W I j k S1 S2 R1 R2 Nilai Kanan Rasio Iterasi Awal W 1-6+2M -15+3M -24+10M -M -M 0 0 8M - ev = k R1 0 2 0 6-1 0 1 0 3 1/2 lv = R1 R2 0 0 3 4 0-1 0 1 5 5/4 Iterasi (1) W 1 2-(4M/3) -15+3M 0-4+(2M/3) -M 4-(5M/3) 0 12+3M - ev = j k 0 1/3 0 1-1/6 0 1/6 0 ½ - lv = R2 R2 0-4/3 3 0 2/3-1 -2/3 1 3 1 Iterasi (2) W 1-14/3 0 0-2/3-5 4/6 - M 5 M 27 Optimal k 0 1/3 0 1-1/6 0 1/6 0 ½ j 0-4/9 1 0 2/9-1/3-2/9 1/3 1 Karena pada iterasi (2) semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka penyelesaian optimal tercapai. Jadi permasalahan tersebut mencapai nilai optimal di titik (i, j, k) = Wmin = 27. 1 0, 1, dengan 2 METODE PEMBELAJARAN Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning LANGKAH PEMBELAJARAN No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Mengulas tentang metode simpleks 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang algoritma metode simpleks untuk Alokasi Waktu 10 menit 35 menit

menyelesaiakan permasalahan yang penyelesaian awalnya semu. Elaborasi a. Memberikan permaslahan program linear b. Kegiatan Kelompok Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan penyelesaiannya menggunakan metode simpleks teknik M. Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat yang telah disediakan. c. Diskusi antar kelompok 3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain. 3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan bertanya pekerjaan kelompok lain. Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang sudah dibuat dikerjakan mahasiswa. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai kejadian penyelesaian awal semu. 5 menit 30 menit 5 menit 40 menit 20 menit 5 menit MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Aminudin. 2005. Prinsip prinsip Riset Operasi. Jakarta : Erlangga [2] Ruminta. 2009. Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear. Bandung : Rekayasa Sains [3] Siswanto. 2006. Operations Research Jilid I. Jakarta : Erlangga [4] Handout Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. NIP : 19860715 2013032174 Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 3 SKS Semester : II Pertemuan ke- : 11 Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks Indikator : 3.4 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode simpleks Dua Tahap. Tujuan : 3.4.1 Menentukan prasyarat awal pemakaian metode dua tahap 3.4.2 Menentukan fungsi tujuan pada tahap I dan tahap II 3.4.3 Menentukan kriteria optimum pada tahap I dan tahap II 3.4.3 Menentukan nilai optimum dari permasalahan program linear MATERI METODE SIMPLEKS DUA TAHAP Pemberian koefisien M pada variabel semu fungsi tujuan untuk metode penalti, ternyata menghambat sekali. Karena pemberian bilangan yang sangat besar tersebut akan mengurangi kecepatan perhitungan. Jika pada tablo optimal simpleks dari permasalahan yang mengandung variabel semu ternyata R tidak sama dengan nol, maka penyelesaian yang diperoleh adalah penyelesaian optimal yang tidak feasible. Untuk mengatasi hal tersebut maka dikembangkan metode dua tahap. Sesuai dengan namanya, cara kerjanya dibagi menjadi dua tahap. Tahap I bertujuan untuk mengetahui apakah R dalam suatu permasalahan dapat mencapai nilai nol atau tidak. Jika R mencapai nilai nol berarti penyelesaian optimal yang akan diperoleh pada tahap II merupakan penyelesaian optimal yang feasible. Jika R tidak nol berarti penyelesaian optimal yang akan diperoleh pada tahap II merupakan penyelesaian optimal yang tidak feasible. Jika hal ini terjadi maka tahap II pada metode dua tahap tidak perlu dikerjakan. Tahap II pada metode duan tahap bertujuan untuk mencari penyelesaian optimal dari permasalahan aslinya. LANGKAH METODE DUA TAHAP Tahap I Mencari nilai minimal dari jumlah variabel-variabel semu terhadap fungsi batasan pada masalah aslinya. Tahap II Meminimumkan r = i Jika rmin = 0 maka dilanjutkan ke tahap II Jika rmin > 0 maka tidak dilanjutkan ke tahap II Menggunakan penyelesaian basis optimal pada tahap I sebagai penyelesaian basis awal pada masalah aslinya. Untuk lebih jelasnya perhatikan conoth berikut. n 1 R i

Contoh Tahap I Permasalahan Program Linear Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k Terhadap batasan : 2i + 6k 3 (1) 3j + 4k 5 (2) i, j, k 0 Bentuk Kanonik Meminimumkan : r = i 1 Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3 (1) 3j + 4k S2 + R2 = 5 (2) i, j, k, S1, S2, R1, R2 0 2 R i Karena (1) 2i + 6k S1 + R1 = 3 R1 = 3 2i 6k + S1 (2) 3j + 4k S2 + R2 = 5 R2 = 5 3j 4k + S2 Maka R1 + R2 = 8 2i 3j 10k + S1 + S2 Sehingga bentuk kanoniknya menjadi : 2 Meminimumkan : r = R i = 8 2i 3j 10k + S1 + S2 i 1 r + 2i + 3j + 10k S1 S2 = 8 Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3 3j + 4k S2 + R2 = 5 i, j, k, S1, S2, R1, R2 0 Permasalahan tersebut memiliki 2 persamaan dengan 7 variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya permasalahan tahap I ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut : Mencari penyelesaian basis awal feasible. Ambil sebanyak 7 2 = 5 variabel non basis yaitu : i = j = k = S1 = S2 = 0. Akibatnya R1 = 3, R2 = 5 sebagai variabel basis. Hal ini menghasilkan nilai awal fungsi tujuan r = 8. Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut : TAHAP II Keterangan Var. Basis R i j K S1 S2 R1 R2 Nilai Kanan Iterasi Awal r 1 2 3 10-1 -1 0 0 8 - ev = k R1 0 2 0 6-1 0 1 0 3 1/2 lv = R1 R2 0 0 3 4 0-1 0 1 5 5/4 Iterasi (1) r 1-4/3 3 0 2/3-1 -5/3 0 3 - ev = j K 0 1/3 0 1-1/6 0 1/6 0 1/2 - lv = R2 R2 0-4/3 3 0 2/3-1 -2/3 1 3 1 Iterasi (2) r 1 0 0 0-5/3 0-1 -1 0 Optimal k 0 1/3 0 1-1/6 0 1/6 0 1/2 j 0-4/9 1 0 2/9-1/3-2/9 1/3 1 Karena pada iterasi (2) semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka penyelesaian optimal tercapai. Berdasarkan iterasi pada tahap I diperoelh bahwa rmin = 0 berarti masalah tersebut memiliki penyelesaian yang feasible dan dapat dilanjutkan pada tahap II. Karena rmin = 0 berarti R1 = R2 = 0 sehingga variabel-variabel semu pada perhitungan tahap II dapat diabaikan. Sehingga tablo optimal tahap I dapat ditulis dalam bentuk persamaan menjadi : 1 1 1 4 2 1 i + k S1 = (1) dan i + j + S1 S2 = 1 (2) 3 6 2 9 9 3 Sehingga permasalahan pada tahap II menjadi : Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k Rasio

1 1 1 Terhadap batasan : i + k S1 = 3 6 2 4 2 1 i + j + S1 S2 = 1 9 9 3 i, j, k, S1, S2 0 Permasalahan tersebut memiliki 2 persamaan dengan 5 variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya permasalahan ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut : Mencari penyelesaian basis awal feasible. Pada tahap II ini penyelesaian basis awal feasible telah diperoleh dari tablo optimal permasalahan pada tahap I. Jadi dari tablo optimal permasalahan tahap I diperoleh bahwa : (1) (2) 1 1 1 1 1 1 i + k S1 = k = i + S1 3 6 2 2 3 6 4 2 1 4 2 1 i + j + S1 S2 = 1 j = 1 + i S1 + S2 9 9 3 9 9 3 1 1 1 4 2 1 Sehingga penyelesaian basis awal tahap II terjadi pada saat : k = i + S1 dan j = 1 + i S1 + S2 2 3 6 9 9 3 dengan : W = 6i + 15j + 24 4 2 1 1 1 1 W = 6i + 15 1 + i- S1 + S2 + 24 - i S1 9 9 3 2 3 6 14 2 W = i + S1 +5S2 + 27 3 3 14 2 W i S1 5S2 = 27 3 3 Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut : Keterangan Variabel Basis W i j k S1 S2 Nilai Kanan Rasio Iterasi awal W 1-14/3 0 0-2/3-5 27 (0) k 0 1/3 0 1-1/6 0 1/2 Optimum j 0-4/9 1 0 2/9-1/3 1 Karena pada iterasi awal (0) semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka penyelesaian optimal telah tercapai. Jadi permasalahan tersebut mencapai nilai optimal di titik (i, j, k) 1 = 0, 1, dengan nilai Wmin = 27. 2 METODE PEMBELAJARAN Practice Rehearsal Pairs LANGKAH PEMBELAJARAN No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan a. Apersepsi Mengulas kembali tentang metode penalti. b. Motivasi 1. Memberikan permasalahan program linear yang penyelesaian awalnya semu 2. Mengungkapkan kesulitasn yang dialami pada saat menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode penalti Alokasi Waktu 5 menit 10 menit

3. Memberikan wawasan tentang metode dua tahap sebagai salah satu alternatif untuk menyelesaikan permasalahan program linear 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang metode simpleks dua tahap untuk menyelesaiakan permasalahan yang penyelesaian awalnya semu. Elaborasi a. Memberikan permaslahan program linear yang penyelesaian awalnya semu. b. Meminta mahasiswa berkelompok. c. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus menyelesaiakan permassalahan meggunakan metode simpleks dua tahap dan menjawab pertanyaan yang ada pada LKM. d. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran. Eksplanasi Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada siswa tentang konsep yang harus dipahami mahasiswa. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal, yang menyangkut : a. Penentuan prasyarat awal pemakaian metode dua tahap b. Penentuan fungsi tujuan pada tahap I dan tahap II c. Penentuan kriteria optimum pada tahap I dan tahap II d. Penentuan nilai optimum dari permasalahan program linear 10 menit 5 menit 5 menit 30 menit 30 menit 15 menit 10 menit MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Aminudin. 2005. Prinsip prinsip Riset Operasi. Jakarta : Erlangga [2] Ruminta. 2009. Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear. Bandung : Rekayasa Sains [3] Siswanto. 2006. Operations Research Jilid I. Jakarta : Erlangga [4] Handout Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. NIP : 19860715 2013032174 Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 3 SKS Semester : II Pertemuan ke- : 12 Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks Indikator : 3.5 Melakukan Interpretasi terhadap Tablo Optimal Simpleks Tujuan : 3.5.1 Menentukan penyelesaian optimal dari tablo optimal simpleks 3.5.2 Menentukan bobot satuan pada tablo optimal simpleks 3.5.3 Menentukan status sumber pada tablo optimal simpleks MATERI INTERPRETASI TABLO OPTIMAL SIMPLEKS Dalam suatu tablo optimal simpleks terdapat beberapa informasi penting yang dapat digunakan sebagai bahan pertimbangan dalam meningkatkan nilai keoptimalan fungsi tujuan. Informasi penting tersebut meliputi : 1. Penyelesaian optimal 2. Status sumber 3. Bobot satuan (unit worth) suatu sumber Contoh 2.5 Sebuah industri rumah tangga memproduksi dua jenis roti, yaitu roti jenis A dan B dengan bahan dasar berupa terigu, keju dan daging. Kebutuhan dasar utama per unit produksi dan batas maksimum persediaan bahan dasar utama untuk satu masa produksi serta laba dari penjualan kue tertera pada tabel berikut : Bahan Dasar Utama Jenis Kue A B Persediaan Maksimum Satuan Terigu 12 8 52 Kg Keju 0 6 30 ons Daging 4 0 12 ons Laba 6 10 Ratusan Rupiah Permasalahan tersebut dapat diubah ke dalam bentuk matematis menjadi : Permasalahan Program Linear Memaksimumkan : P = 6a + 10b Terhadap batasan : 12a + 8b 52 (1) 6b 30 (2) 4a 12 (3) a, b 0 Bentuk Kanonik Memaksimumkan : P 6a 10b = 0 Terhadap batasan : 12a + 8b + S1 = 52 (1) 6b + S2 = 30 (2) 4a + S3 = 12 (3) a, b, S1, S2, S3 0 Apabila permasalahan tersebut diselesaikan dengan metode simpleks, maka diperoleh tablo simpleks berikut :

Keterangan Variabel Basis P a b S1 S2 S3 Nilai Kanan Iterasi Awal P 1-6 -10 0 0 0 0 - Rasio 0 S1 0 12 8 1 0 0 52 13/2 ev = b S2 0 0 6 0 1 0 30 5 lv = S2 S3 0 4 0 0 0 1 12 - Iterasi P 1-6 0 0 5/3 0 50 - (1) S1 0 12 0 1 4/3 0 12 1 ev = a b 0 0 1 0 1/6 0 5 - lv = S1 S3 0 4 0 0 0 1 12 3 Iterasi P 1 0 0 1/2 1 0 56 (2) a 0 1 0 1/12-1/9 0 1 Optimal b 0 0 1 0 1/6 0 5 S3 0 0 0-1/3 4/9 1 28/3 PENYELESAIAN OPTIMAL Dalam membaca informasi penyelesaian optimal, klasifikasi variabel sebagai variabel basis maupun non basis tidak begitu penting. Variabel yang tidak tercantum dalam kolom variabel basis berarti bernilai nol. Sedangkan nilsi variabel-variabel yang terletak pada kolom variabel basis dapat dilihat pada kolom nilai kanan. Dari tablo optimal simpleks pada contoh 2.5 dapat diperoleh informasi seperti yang terlihat pada tabel berikut: Variabel Keputusan Nilai Optimal Keputusan STATUS SUMBER a 1 Dalam satu masa produksi membuat roti jenis A sebanyak 1 B 5 Dalam satu masa produksi membuat roti jenis B sebanyak 5 P 56 Keuntungan yang diperoleh sebesar Rp. 5.600,- Status dari sumber dalam satu masa produksi diklasifikasikan menajdi dua jenis, yaitu : Scarce, sumber dikatakan scarce apabila kapasitas persediaan sumber tersebut dipakai semua Abundant, sumber dikatakan abundant apabila kapasitas persediaan sumber tersebut tidak dipakai semua Dalam pembahasan mengenai status sumber ini berkaitan dengan persediaan sumber yang mempunyai batas maksimal, yang ebrarti fungsi batasan yang berkaitan dengan sumber tersebut merupakan pertidaksamaan dengan tanda. Sehingga untuk permasalahan program linear dengan fungsi batasan berupa pertidaksamaan dengan tanda secara fisik tidak dapat dikaji tentang status sumber dari permasalahan tersebut. Informasi mengenai status sumber dapat dilihat langsung dari tablo optimal simpleks dengan cara memperhatikan nilai-nilai variabel slacknya. Untuk lebih jelasnya, berikut ini akan dibahas status sumber pada permaslaahan dari contoh 2.5. Sumber Variabel slack Status sumber Sumber 1 (terigu) S1 = 0 Scarce / terpakai semua Sumber 2 (keju) S2 = 0 Scarce / terpakai semua Sumber 3 (daging) S3 = 28/3 Abundant / melimpah Variabel slack yang bernilai positif berarti kapasitas dari sumber melimpah atau tidak digunakan seluruhnya. Sedangkan apabila variabel slack bernilai nol berarti persediaan sumber dipakai semua dalam produksi. Berdasar tabel di atas terlihat bahwa terigu dan keju dipakai semua dalam produksi roti. Sehingga, baik terigu maupun keju apabila kapasitasnya ditambah akan menigkatkan keuntungan. Untuk daging kapasitas sebesar 12 ons dalam satu masa produksi ternyata tidak dipakai seluruhnya, jadi masih ada

sisa. Sehingga apabila kapasitas daging ditambah maka akan sia-sia karena tidak akan menambah keuntungan. BOBOT SATUAN (UNIT WORTH) SUATU SUMBER Unit worth suatu sumber adalah laju penambahan nilai optimal dari fungsi tujuan sebagai akibat kenaikan persediaan/kapasitas sumber. Informasi mengenai unit worth suatu sumber dapat diperoleh langsung dari tablo optimal simpleks. Untuk lebih jelasnya akan dilihat unit worth dari tablo optimal simpleks pada contoh 2.5 berikut : Keterangan Variabel Basis P a b S1 S2 S3 Nilai Kanan Iterasi P 1 0 0 1/2 1 0 56 (2) a 0 1 0 1/12-1/9 0 1 Optimal b 0 0 1 0 1/6 0 5 Dari tabel di atas diperoleh informasi bahwa : S3 0 0 0-1/3 4/9 1 28/3 Unit worth dari sumber 1 (terigu) sebesar 1/2 Berarti penambahan kapasitas terigu setiap 1 kg menyebabkan kenaikan keuntungan sebesar Rp. 50,- Unit worth dari sumber 2 (keju) sebesar 1 Berarti penambahan kapasitas keju setiap 1 ons menyebabkan kenaikan keuntungan sebesar Rp. 100,- Unit worth dari sumber 3 (daging) sebesar 0 Berarti penambahan kapasitas daging tidak akan mempengaruhi keuntungan Penambahan kapasitas sumber 2 (keju) seharusnya lebih diprioritaskan dibandingkan sumber yang lain. METODE PEMBELAJARAN Practice Rehearsal Pairs LANGKAH PEMBELAJARAN Rasio No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi Mengulas kembali tentang metode penalti. 2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang cara menginterpretasikan tablo optimal simpleks Elaborasi a. Memberikan permaslahan program linear. b. Meminta mahasiswa berkelompok. c. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus menyelesaiakan permassalahan dengan metode simpleks dan menginterpretasi hasilnya. d. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran. Eksplanasi Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada siswa tentang konsep yang harus dipahami mahasiswa. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal, yang menyangkut : a. Menentukan penyelesaian optimal dari tablo optimal simpleks b. Menentukan bobot satuan pada tablo optimal simpleks c. Menentukan status sumber pada tablo optimal simpleks Alokasi Waktu 10 menit 20 menit 5 menit 5 menit 40 menit 30 menit 25 menit 15 menit MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop

SUMBER BELAJAR [1] Aminudin. 2005. Prinsip prinsip Riset Operasi. Jakarta : Erlangga [2] Ruminta. 2009. Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear. Bandung : Rekayasa Sains [3] Siswanto. 2006. Operations Research Jilid I. Jakarta : Erlangga [4] Handout Kuliah PENILAIAN 1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. NIP : 19860715 2013032174 Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Kode Mata Kuliah : MKK206515 Bobot : 3 SKS Semester : II Pertemuan ke- : 13 Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks Indikator : 3.6 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat optimasi dengan metode simpleks. Tujuan : 2.6.1 Mengidentifikasi ciri kasus degenerasi 2.6.2 Mengidentifikasi ciri kasus optimal alternatif 2.6.3 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak terbatas 2.6.4 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak feasible MATERI KEJADIAN KHUSUS PADA METODE SIMPLEKS DEGENERASI Dalam penggunaan metode simpleks syarat ke-feasible-an ditunjukkan dengan rasio minimal. Dalam aplikasinya dimungkinkan terjadi rasio minimal tersebut lebih dari satu. Apabila hal itu terjadi maka satu atau lebih variabel basis akan bernilai nol pada iterasi berikutnya. Kejadian seperti ini dikatakanbahwa penyelesaian baru yang diperoleh adalah degenerate. Peristiwa ini terjadi disebabkan permasalahan program linear tersebut memiliki satu fungsi batasan yang berlebih. Contoh 2.6 Permasalahan Program Linear Memaksimumkan : Z = 3a + 9b Terhadap batasan : a + 4b 8 (1) a + 2b 4 (2) a, b 0 Berikut adalah tablo simpleks dari permasalahan di atas : Keterangan Variabel Basis Bentuk Kanonik Memaksimumkan : Z 3a 9b = 0 Terhadap batasan : a + 4b + S1 = 8 (1) a + 2b + S2 = 4 (2) a, b, S1, S2 0 Z a b S1 S2 Nilai Kanan Iterasi Awal (0) Z 1-3 -9 0 0 0 - ev = b S1 0 1 4 1 0 8 2 lv = S2 S2 0 1 2 0 1 4 2 Iterasi (1) Z 1-3/4 0 9/4 0 18 - ev = a B 0 1/4 1 1/4 0 2 8 lv = S1 S2 0 1/2 0-1/2 1 0 0 Rasio

Iterasi (2) Z 1 0 0 3/2 3/2 18 Optimal B 0 0 1 1/2-1/2 2 a 0 1 0-1 2 0 Secara umum, pada peristiwa degenerasi, prosedur simpleks akan terulang dalam iterasi pada baris yang sama, nilai fungsi tujuan tidak berubah dan perhitungan tidak pernah berhenti. Peristiwa ini disebut cycling. Tabel pada contoh 2.6 diatas memperlihatkan degenerasi terjadi karena pada iterasi (1) dan (2) walaupun variabel basis dan non basisnya berbeda, namun tetap menghasilkan nilai yang sama untuk semua variabel dalam fungsi tujuan, yaitu : a = 0, b = 2, S1 = 0, dan S2 = 0 menghasilkan Wmaks = 18. Jadi peristiwa degenerasi tidak selamanya seperti pada cycling, namun ada kemungkinan degenerasi tersebut sifatnya hanya sementara saja (temporarily degenerate). OPTIMAL ALTERNATIF Dalam kejadian ini terdapat beberapa alternatif penyelesaian optimal pada suatu permasalahan. Artinya, fungsi tujuanakan bernilai optimal sama pada lebih dari satu titik penyelesaian. Perhatikan contoh berikut ini : Permasalahan Program Linear Memaksimumkan : P = 2a + 4b Terhadap batasan : a + 2b 5 (1) a + b 4 (2) a, b 0 Bentuk Kanonik Memaksimumkan : P 2a 4b = 0 Terhadap batasan : a + 2b + S1 = 5 (1) a + b + S2 = 4 (2) a, b, S1, S2 0 Berikut adalah tablo simpleks dari permasalahan di atas : Keterangan Variabel Basis P a B S1 S2 Nilai Kanan Rasio Iterasi Awal (0) P 1-2 -4 0 0 0 - ev = b S1 0 1 2 1 0 5 5/2 lv = S1 S2 0 1 1 0 1 4 4 Iterasi (1) Optimal P 1 0 0 2 0 10 - ev = a b 0 1/2 1 1/2 0 5/2 5 lv = S2 S2 0 1/2 0-1/2 1 3/2 3 Iterasi (2) P 1 0 0 2 0 10 Optimal b 0 0 1 1 1 1 a 0 1 0-1 2 3 Pada metode simpleks iterasi terjadi dari satu titik ekstrim ke titik ekstrim lain yang saling terhubung. Pada tabel diatas terlihat bahwa penyelesaian optimal tercapai di titik (a, b) = (0, 5/2) dan menghasilkan Pmaks = 10. Perhatikan iterasi (1), koefisien dari variabel non basis a pada fungsi tujuan adalah nol, selanjutnya a masuk sebagai variabel basis pada iterasi berikutnya tanpa mengubah nilai P, tetapi berakibat pada perubahan nilai variabelnya. Pada iterasi (2), a masuk menjadi variabel basis dan memaksa S2 keluar menjadi variabel non basis. Pada iterasi (2) penyelesaian optimal baru terjadi di (a, b) = (3, 1) dan menghasilkan Pmaks = 10. PENYELESAIAN TIDAK TERBATAS Perhatikan contoh permasalahan pemrograman linear berikut : Permasalahan Program Linear Memaksimumkan : T = 2a + b Terhadap batasan : a b 10 (1) 2b 40 (2) a, b 0 Bentuk Kanonik Memaksimumkan : T 2a b = 0 Terhadap batasan : a b + S1 = 5 (1) 2a + S2 = 40 (2) a, b, S1, S2 0

Berikut adalah tablo simpleks dari permasalahan di atas : Keterangan Variabel Basis P a b S1 S2 Nilai Kanan Iterasi Awal (0) T 1-2 -1 0 0 0 - ev = b S1 0 1-1 1 0 10 10 lv = S1 S2 0 2 0 0 1 40 20 Iterasi (1) T 1 0-3 2 0 20 - ev = b A 0 1-1 1 0 10 - lv = S2 S2 0 0 2-2 1 20 10 Iterasi (2) T 1 0 0-1 3/2 50 - A 0 1 0 0 1/2 30 - b 0 0 1-1 1/2 10 - Rasio Perhatikan tabel di atas. Pada iterasi (2) penyelesaian optimal belum tercapai, S1 terpilih sebagai entering variable, akan tetapi leaving variable-nya tidak dapat ditentukan. Jadi permasalahan tersebut memiliki penyelesaian yang tidak terbatas. Secara umum, perhatikan tabel diatas, a dan b merupakan variabel non basis. Salah satu variabel ini akan terpilih menjadi entering variable yang akan masuk sebagai variabel basis pada iterasi selanjutnya. Tetapi perhatikan bahwa semua fungsi batasan di kolom b adalah non-positif. Artinya, nilai b dapat dinaikkan sampai tak hingga tanpa melanggar satupun batasan. Jadi dengan melihat tablo awal simpleks, tanpa melalui perhitungan pun dapat disimpulkan bahwa permasalahan tersebut memiliki penyelesaian yang tidak terbatas. PENYELESAIAN TIDAK FEASIBLE Perhatikan contoh permasalahan pemrograman linear berikut : Permasalahan Program Linear Memaksimumkan : K = 3a + 2b Terhadap batasan : 2a + b 2 (1) 3a + 4b 12 (2) a, b 0 Berikut adalah tablo simpleks dari permasalahan di atas : Keterangan Variabel Basis Bentuk Kanonik Memaksimumkan : K 3a 2b + M(12 3a 4b + S2)= 0 Terhadap batasan : 2a + b + S1 = 2 (1) 3a + 4b S2+ R = 12 (2) a, b, S1, S2, R 0 K a b S1 S2 R Nilai Kanan Iterasi Awal (0) K 1 3 3M 2 4M 0 M 0 0 - ev = b S1 0 2 1 1 0 0 2 2 lv = S1 R 0 3 4 0-1 1 12 3 Iterasi (1) T 1 1 + 3M 0 2 + 4M M 0 4 4M Optimum b 0 2 1 1 0 0 2 R 0-5 0-4 -1 1 4 Pada tabel tersebut terlihat bahwa pada iterasi (1) telah tercapai penyelesaian optimum. Untuk penyelesaian optimum tersebut diperoleh nilai variabel semu R = 4. Hal ini menunjukkan bahwa penyelesaian permasalahan tersebut merupakan penyelesaian yang tidak feasible. Rasio METODE PEMBELAJARAN Kelompok belajar (The Study Group) LANGKAH PEMBELAJARAN

No. Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang kejadian khusus permasalahan program linear, karena kemungkinan ada permasalahan yang tidak memiliki penyelesaian atau bahkan penyelesaiannya tidak tunggal. 2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan berbagai permasalahan program linear yang memuat kejadian khusus berikut : 1). Degenerasi 2). Optimal alternatif 3). Penyelesaian tidak terbatas 4). Penyelesaian tidak layak b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan nilai optimum dari berbagai permasalahan pemrograman linear. Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal. 3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan ciri kejadian khusus pada metode simpleks Alokasi Waktu 15 menit 5 menit 10 menit 50 menit 50 menit 20 menit MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD, Laptop SUMBER BELAJAR [1] Aminudin. 2005. Prinsip prinsip Riset Operasi. Jakarta : Erlangga [2] Ruminta. 2009. Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear. Bandung : Rekayasa Sains [3] Siswanto. 2006. Operations Research Jilid I. Jakarta : Erlangga [4] Handout Kuliah PENILAIAN 3. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test 4. Bentuk Instrumen : Tes Uraian

METODE PENALTI (TEKNIK M) \ Tentukan nilai a dan b dari permasalahan berikut dengan Metode Penalti (Teknik M) Meminimumkan : P = 6a + 4b Terhadap batasan : 3a + b 30 a + b = 15 a + 2b 24 a, b 0 Bentuk Kanonik S O L U S I Permasalahan Bentuk Kanonik Meminimumkan : P = 6a + 4b Terhadap batasan: 3a + b 30 a + b = 15 a + 2b 24 a, b 0 Variabel basis dan non basis Tablo Simpleks Kesimpulan :

PENDALAMAN MATERI 1. Pada kasus seperti apa metode penalti (Teknik M) digunakan? Jawab : 2. Batasan apa saja yang ditambah dengan variabel semu? Berikan Alasannya! Jawab : 3. Apa ciri batasan yang harus ditambah dengan variabel semu? Jawab : 4. Pada fungsi tujuan (meminimumkan) apa arti penambahan M R? Bagaimana jika kasusnya meminimumkan? Jawab : Anggota Kelompok : 1. ( ) 2. ( ) 3. ( ) 4. ( )

PERMASALAHAN METODE DUA TAHAP Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks dua tahap : Meminimumkan : P = 20r + 30s Terhadap batasan : 2r + s 10 r + 4s 12 r, s 0 PENYELESAIAN TAHAP I Permasalahan Program Linear Meminimumkan : P = 20r + 30s Terhadap batasan : 2r + s 10 (1) r + 4s 12 (2) r, s Bentuk Kanonik Meminimumkan : W = R i i 1 Terhadap batasan : 2r + s S1 + R1 = 10 (1) r + 4s S2 + R2 = 12 (2) i, j, k, S1, S2, R1, R2 0... [ 10 ] 2 Karena (1) 2r + s S1 + R1 = 10 R1 = 10 2r s + S1 (2) r + 4s S2 + R2 = 12 R2 = 12 r 4s + S2 Maka R1 + R2 = 22 3r 5s + S1 + Sehingga bentuk kanoniknya menjadi : Meminimumkan : W = i Terhadap batasan : 2r + s S1 + R1 = 10 r + 4s S2 + R2 = 12 r, s, S1, S2, R1, R2 0 2 1 R i = 22 3r 5s + S1 + S2 W + 3r + 5s S1 S2 = 22 Permasalahan tersebut memiliki persamaan dengan variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya permasalahan tahap I ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut : Mencari penyelesaian basis awal feasible. Ambil sebanyak variabel non basis yaitu :. Akibatnya R1 =, R2 = sebagai variabel basis. Hal ini menghasilkan nilai awal fungsi tujuan W = Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut : Keterangan Iterasi Awal ev =... lv =... Iterasi (1) ev =... lv =... Var. Basis Nilai Kanan Rasio Karena pada iterasi semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka penyelesaian optimal tercapai. Berdasarkan iterasi pada tahap I diperoelh bahwa Wmin =.

TAHAP II Sehingga tablo optimal tahap I dapat ditulis dalam bentuk persamaan menjadi : Sehingga permasalahan pada tahap II menjadi : Meminimumkan : Terhadap batasan : Permasalahan tersebut memiliki persamaan dengan variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya permasalahan ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut : Mencari penyelesaian basis awal feasible. Pada tahap II ini penyelesaian basis awal feasible telah diperoleh dari tablo optimal permasalahan pada tahap I. Jadi dari tablo optimal permasalahan tahap I diperoleh bahwa : (1) (2) Penyelesaian basis awal tahap II terjadi pada saat : r = dan s = dengan : P = 20r + 30s P = Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut : Keterangan Variabel Basis P r s S1 S2 Nilai Kanan P 1 0 0 50/7 40/7 140 r 0 1 0 4/7 1/7 4 s 0 0 1 1/7 2/7 2 Rasio Kesimpulan: Anggota : 1. 2. 3. 4.

ISOLINE Suatu industri kecil memproduksi kue jenis A dan B. Kue tersebut dibuat dari 2 bahan pokok. Kebutuhan bahan setiap kue sebagai berikut : Jenis Kue Bahan Pokok X Y Bahan Baku Keterangan (dalam ribuan) Biaya Produksi Harga Jual A 3 ons 1 ons 9 2 14 B 2 ons 2 ons 12 3 19 Kapasitas Bahan 180 ons 100 ons Pada satu periode produksi, industri kecil tersebut paling tidak harus membuat kue sebanyak 20 buah. Jika industri tersebut menginginkan laba sebesar-besarnya, maka tentukan model matematika dari permasalahan tersebut, kemudian cari penyelesaiannya dengan Metode grafik teknik isoline. POST TEST Tentukan solusi dari permasalahan berikut ini menggunakan metode grafik dengan teknik isoline : 1. Tentukan nilai a dan b yang memenuhi : Fungsi Tujuan : Memaksimumkan Z = 40a + 30b Terhadap kendala : 2a + b 20 2a + 3b 32 2a b 0 b 2 dan a 0 2. Tentukan nilai t dan u yang memenuhi : Fungsi Tujuan : Meminimumkan P = 20t + 30u Terhadap kendala : 2t + u 10 t + u 14 t + 4u 12 t 8 dan u 0

KEJADIAN KHUSUS METODE GRAFIK ANGGOTA KELOMPOK 1. NIM : 2. NIM : 3. NIM : 4. NIM : 5. NIM : 1. Tentukan nilai a dan b yang memenuhi : Fungsi tujuan : Memaksimumkan W = 3a + 9b Terhadap kendala : a + 4b 8 a + 2b 4 a, b 0 SOLUSI : Nilai maksimum Wmaks = dicapai pada titik (, ) Perhatikan daerah feasible nya kemudian jawab pertanyaan berikut : 1. Titik mana saja yang menjadi batas dari daerah feasiblenya? Jawab : 2. Adakah batasan yang sama sekali tidak mempengaruhi daerah feasible? Jawab : 3. Apabila batasan yang tidak mempengaruhi daerah feasible tersebut direduksi (dihilangkan) apakah daerah feasible-nya berubah? Jawab : Batasan yang memiliki sifat seperti pada pertanyaan 2 dan 3 disebut sebagai batasan redundan (redundant constrains) Kesimpulan : Permasalahan program linear yang memiliki sifat khusus seperti pada contoh di atas disebut dengan 2. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi : Fungsi tujuan : Memaksimumkan T = 2x + 4y Terhadap kendala : x + 2y 5 x + y 4 x, y 0 (Kerjakan dengan isoline dan titik ekstrim, kemudian bandingkan hasilnya)

SOLUSI : Titik ekstrim (x, y) T = 2x + 4y Nilai maksimum Tmaks = dicapai pada titik (, ) Penjelasan : Adakah keanehan yang anda temukan? atau kesulitan yang anda hadapi dalam menentukan titik optimumnya? Jika ada, tuliskan : Kesimpulan : Permasalahan program linear yang memiliki sifat khusus seperti pada contoh di atas disebut dengan 3. Tentukan nilai r dan s yang memenuhi : Fungsi tujuan : Memaksimumkan K = 3r + 2s Terhadap kendala : 2r + s 2 3r + 4s 12 r, s 0 SOLUSI : Nilai maksimum Kmaks = dicapai pada titik (, ) Penjelasan : Kesimpulan : Permasalahan program linear yang memiliki sifat khusus seperti pada contoh di atas disebut dengan

4. Tentukan nilai t dan u yang memenuhi : Fungsi tujuan : Memaksimumkan S = 2t + u Terhadap kendala : t u 10 2t 40 t, u 0 (Kerjakan dengan isoline dan titik ekstrim, kemudian bandingkan hasilnya) SOLUSI : Titik ekstrim (t, u) T = 2t + u Nilai maksimum Smaks = dicapai pada titik (, ) Penjelasan : Kesimpulan : Permasalahan program linear yang memiliki sifat khusus seperti pada contoh di atas disebut dengan

MODEL MATEMATIKA PERMASALAHAN PROGRAM LINEAR 1. Suatu perusahaan memproduksi 3 jenis barang dengan 2 bahan yang tersedia. Kebutuhan barang dan ketersediaan sumber terlihat pada tabel berikut ini: Sumber Barang Kapasitas Sumber K L M P 3 4 2 Minimal 60 unit Q 5 1 3 Minimal 75 unit Waktu 8 jam 5 jam 7 jam Maksimal 450 jam Biaya Produksi 45 30 50 Biaya Transport 15 12 13 (dalam ribuan) Harga Jual 90 75 80 Kebijakan yang diambil perusahaan : Dalam satu periode produksi, produk K dibuat lebih banyak dari pada produk L dengan selisih tidak kurang dari 10 unit. Tentukan model matematika dari permsalahan tersebut apabila : a. Perusahaan ingin menekan biaya pengeluaran b. Perusahaan ingin memperoleh hasil penjualan barang yang sebesar-besarnya

MENENTUKAN DAERAH FEASIBLE PERMASALAHAN PROGRAM LINEAR Suatu perusahaan memproduksi 2 jenis barang dengan 2 buah bahan mentah. Kebutuhan bahan untuk setiap unit barang terlihat pada tabel berikut!. Barang Bahan Baku X Y Biaya Produksi (Jutaan Rp.) Biaya Distribusi (Jutaan Rp.) Harga Jual (Jutaan Rp.) A 1 3 70 13 113 B 2 2 60 12 82 Dalam satu periode produksi, perusahaan tersebut memiliki bahan X paling tidak 240 unit, dan bahan Y tidak lebh dari 400 unit. Banyak produkdi barang A tidak boleh diproduksi melebihi 4 kali banyak produksi barang B. Perusahaan menginginkan pendapatan sebesar-besarnya. Tentukan model matematikanya! Gambarkan Daerah Feasible.nya!

QUIZ I (Tipe A) Suatu perusahaan memproduksi 2 macam barang dengan 2 jenis bahan utama. Kebutuhan bahan untuk setiap barang terlihat pada tabel berikut. Jenis Bahan Utama Keuntungan Barang X Y per unit A 3 2 Rp. 30.000,00 B 1 2 Rp. 20.000,00 Bahan X disediakan Kapasitas tidak kurang dari 60 unit Bahan Y disediakan Bahan tetapi tidak melebihi tidak melebihi 120 unit Utama 240 unit Untuk memenuhi permintaan konsumen, barang A diproduksi paling tidak 10 unit. Kebijakan perusahaan menetapkan bahwa 3 kali banyak produksi barang A tidak boleh kurang dari 2 kali banyak produksi barang B. Tentukan model matematikanya dan banyak produksi setiap jenis barang agar perusahaan mendapatkan keuntungan sebesar-besarnya! QUIZ I (Tipe B) Suatu perusahaan memproduksi 2 macam barang dengan 2 jenis bahan utama. Kebutuhan bahan untuk setiap barang terlihat pada tabel berikut. Bahan Utama X Jenis Barang A 2 3 B 2 1 Biaya Produksi Rp. 400.000,00 Y Rp. 600.000,00 Kapasitas Bahan A disediakan tidak kurang dari 60 unit tetapi tidak melebihi 240 unit Bahan B disediakan tidak melebihi 120 unit Untuk memenuhi permintaan konsumen, barang Y diproduksi paling tidak 10 unit. Kebijakan perusahaan menetapkan bahwa 3 kali banyak produksi barang Y tidak boleh kurang dari 2 kali banyak produksi barang X. Tentukan model matematikanya dan banyak produksi setiap jenis barang agar perusahaan mengeluarkan biaya produksi sekecil-kecilnya! QUIZ I (Tipe C) Suatu perusahaan memproduksi 2 macam barang dengan 2 jenis bahan utama. Kebutuhan bahan untuk setiap barang terlihat pada tabel berikut. Jenis Bahan Utama Keuntungan Barang P Q per unit X 1 1 Rp. 30.000,00 Y 1 3 Rp. 20.000,00 Kapasitas Bahan Q disediakan Bahan P disediakan Bahan tidak kurang dari 150 tidak kurang dari 90 unit Utama unit Untuk memenuhi permintaan konsumen, barang A diproduksi paling tidak 20 unit. Kebijakan perusahaan menetapkan bahwa banyak produksi barang A tidak boleh kurang dari 2 kali banyak produksi barang B. Tentukan model matematikanya dan banyak produksi setiap jenis barang agar perusahaan mendapatkan keuntungan sebesar-besarnya!

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 2014/2015 UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA Jl. Letjend. S. Humardani No. 1, Jombor Sukoharjo. Telp. (0271) 593156 Mata Kuliah Waktu Semester Dosen Pengampu : PROGRAM LINEAR : 90 Menit : II : Erika Laras Astutiningtyas, S.Pd., M.Pd. KETENTUAN UJIAN: Sifat ujian : Closed Book Boleh menggunakan alat bantu hitung selain handphone. KASUS: UD. Bahagia adalah suatu industri yang bergerak dalam bidang handycraft. Ada 2 jenis handycraft yang dibuat, yaitu jenis X dan jenis Y. Kedua jenis handycraft tersebut akan dipasarkan per lusin. Untuk membuat 1 lusin handycraft X diperlukan 2m kayu dan 1m papan. Sedangkan untuk membuat 1 lusin handycraft Y diperlukan 3m kayu dan 1m papan. Handycraft jenis X lebih digemari dari pada jenis Y sehingga X harus diproduksi lebih banyak daripada Y. Disisi lain, industri tersebut memiliki kebijakan bahwa selisih produksi kedua jenis produk tersebut tidak lebih dari 6 lusin. Pada satu periode produksi, industri tersebut hanya memiliki 72m kayu dan 26m papan. Tabel berikut menunjukkan biaya operasional dari UD. Bahagia. Jenis Hadycraft Biaya Operasional (per unit) Harga Jual Biaya Biaya Produksi (per unit) Pengemasan X Rp. 1.800,00 Rp. 300,00 Rp. 2.700,00 Y Rp. 2.000,00 Rp. 400,00 Rp. 3.000,00 UD. Bahagia ingin menghitung berapa laba terbesar yang bisa diperoleh dan menentukan berapa lusin masingmasing jenis handycraft harus diproduksi untuk mencapai laba terbesar itu. SOAL 1. Tentukan model matematika untuk permasalahan di atas! 2. Selesaikan permasalahan tersebut dengan metode grafik teknik isoline! _Semoga Berhasil dengan Jujur_

UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP TA 2014/2015 UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA Jl. Letjend. S. Humardani No. 1, Jombor Sukoharjo. Telp. (0271) 593156 Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Semester : II Waktu : 90 Menit Dosen Pengampu : Erika Laras Astutiningtyas, M.Pd. KETENTUAN UJIAN: Sifat ujian : Closed Book Boleh menggunakan alat bantu hitung selain handphone. Tuliskan tanggal, bulan dan tahun lahir pada lembar jawab A. Kasus I : Untuk mahasiswa yang bulan lahir bulan Januari, Pebruari, Maret, April Suatu perusahaan memproduksi barang A dan B dengan 2 jenis bahan mentah P dan Q. Kebutuhan bahan untuk setiap barang terlihat pada tabel berikut. Barang Bahan Laba per unit P Q (ratusan) A 2 2 12 B 3 1 18 Kapasitas Maksimal 96 Minimal 48 unit unit Tentukan keuntungan optimal yang dapat diperoleh perusahaan dengan Metode grafik dan metode simpleks. Kemudian interpretasikan tablo optimal simpleksnya. Jika ada kejadian khusus, jelaskan! B. Kasus II : Untuk mahasiswa yang bulan lahirnya bulan Mei, Juni, Juli, dan Agustus Suatu perusahaan memproduksi barang P dan Q dengan 2 jenis bahan mentah A dan B. Kebutuhan bahan untuk setiap barang terlihat pada tabel berikut. Bahan Barang P Q Kapasitas A 3 2 Maksimal 90 unit B 3 5 Minimal 90 unit Laba per unit (ratusan) 24 16 Tentukan keuntungan optimal yang dapat diperoleh perusahaan dengan Metode grafik dan metode simpleks. Kemudian interpretasikan tablo optimal simpleksnya. Jika ada kejadian khusus, jelaskan! C. Kasus IV : Untuk mahasiswa yang bulan lahirnya bulan September, Oktober, Nopember dan Desember Suatu perusahaan memproduksi barang P dan Q dengan 2 jenis bahan mentah A dan B. Kebutuhan bahan untuk setiap barang terlihat pada tabel berikut. Bahan Barang P Q Kapasitas A 3 2 Maksimal 144 unit B 1 2 Minimal 72 unit Laba per unit (ratusan) 24 16 Tentukan keuntungan optimal yang dapat diperoleh perusahaan dengan Metode grafik dan metode simpleks. Kemudian interpretasikan tablo optimal simpleksnya. Jika ada kejadian khusus, jelaskan!

QUIZ II Waktu : 90 menit Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks. 1. Memaksimumkan : Z = 15a + 30b Terhadap batasan : 2a 3b 30 a + 2b 40 a 0, b tidak dibatasi 2. Meminimumkan : T = 20x + 30y Terhadap batasan : x + y 15 4x + 3y 75 3x + 2y 60 x tidak dibatasi, y 0 QUIZ II Waktu : 90 menit Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks. 1. Memaksimumkan : W = 50x + 25y Terhadap batasan : 6x 4y 60 2x + y 40 x tidak dibatasi, y 0 2. Meminimumkan : P = 24a + 16b Terhadap batasan : a + b 10 2a + 3b 40 3a + 4b 50 a 0, b tidak dibatasi QUIZ II Waktu : 90 menit Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks. 1. Memaksimumkan : F = 18r + 36s Terhadap batasan : 6r 9s 90 r + 2s 40 r 0, s tidak dibatasi 2. Meminimumkan : Y = 24t + 36u Terhadap batasan : t + u 20 4t + 3u 60 3t + 2u 48 t tidak dibatasi, u 0 QUIZ II Waktu : 90 menit Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks. 1. Memaksimumkan : W = 40x + 20y Terhadap batasan : 3x 2y 45 2x + y 30 x tidak dibatasi, y 0 2. Meminimumkan : M = 45p + 30q Terhadap batasan : p + q 20 2p + 3q 80 3p + 4q 100 a 0, b tidak dibatasi QUIZ II Waktu : 90 menit Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks. 1. Memaksimumkan : H = 18p + 36q Terhadap batasan : 6p 9q 45 p + 2q 20 p 0, q tidak dibatasi 2. Meminimumkan : G = 32a + 48b Terhadap batasan : a + b 30 8a + 6b 80 9a + 6b 96 a tidak dibatasi, b 0