Analisis Sinusoida Dibuat Oleh : Danny Kurnianto Diedit oleh : Risa Farrid Christianti Sekolah Tinggi Teknologi Telematika Telkom Purwokerto
1. Fungsi Pemaksa Sinusoida 1.1 Karakteristik sinusoida Kita tinjau sebuah tegangan secara sinusoida. V = V m sin ωt (1) Dari persamaan (1) di atas, bisa didapatkan amplitudo gelombang sinus (V m ), kecepatan sudut (), nilai puncak-puncak (V p-p ), periode (T), dan frekuensi (f).
Nilai-nilai diatas adalah sebagai berikut : Amplitudo maksimum = V m Kecepatan sudut = rad/s (2f rad/s) Nilai puncak-puncak = V p-p (2V m ) Periode = T detik (2/ detik) Frekuensi = f Hz (/2 Hz)
Hubungan antara frekuensi dengan kecepatan sudut adl: 2f.(2) V(t) 0 2 wt Gambar 1.
Perhatikan gambar dibawah ini
V m sint digambarkan sebagai fungsi t, dan jelas sekali terlihat pada Gambar 1 bahwa terlihat sifat periodik dari gelombang sinus. Fungsi ini berulang setiap 2 radian. Sekarang perhatikanlah persamaan gelombang sinus berikut ini: v( t) V sin( t )..(3) m Persamaan (3) digambarkan dalam Gambar 2 sebagai fungsi t, dan sudut fase () muncul sbg jumlah radian dg gelombang sinus yg semula.
V m sin t Vm V(t) V m sin t 2 wt -Vm Gambar 2. Bisa dikatakan bahwa t mendahului sebesar terhadap V m sin( ) sin( t) V m
Diagram fasor dari gambar gelombang sinus pada Gambar 2 adalah Gambar 2.a
Gambar 2.b. Pada Gambar 2.b, bisa dikatakan bahwa gel sinus Y 4 tertinggal sebesar dari Y 3
Secara umum, jika dua gelombang sinusoida yang akan dibandingkan fasenya, maka keduanya harus ditulis sebagai gelombang sinus atau cosinus, kedua gelombang harus ditulis dengan amplitudo positif; dan masingmasing harus mempunyai frekuensi yang sama. v1 Vm 1 sin(5t v V sin(5t 2 m2 0 30 ) 100 0 ) Bisa dikatakan bahwa v 1 terbelakang/tertinggal dari v 2 sebesar 130 0.
Contoh soal : 1. Sebuah tegangan sinusoida diberikan oleh v = 282,8 sin 314t volt. Tentukan nilai puncaknya/amplitudonya, tentukan nilai tegangan rms, berapa frekuensinya, nilai tegangan saat t = 4ms. Jawab : a.) dari v = 282,8 sin 314t volt, maka kita tahu bahwa nilai puncaknya Vm = 282,8 Volt. b.) tegangan rms (Vrms) = 0,707 x Vm = 0,707 x 282,8 = 200 V
c.) dari v = 282,8 sin 314t volt, kita dapatkan nilai kecepatan sudut = 314 rad/s, dengan rumus = 2f maka f = / 2 f = 314 / 2 = 50 Hz. d.) Nilai tegangan saat t = 4ms, v = 282,8 sin 314(4ms) v = 6,198 Volt.
2. Sebuah tegangan sinusoida (v), mempunyai perioda T = 0,01s dan tegangan puncak V m = 40 V, saat t = 0 maka tegangan v = -20 V. Tuliskan ekpresi dari tegangan sinusoida dalam bentuk v = V m sin (t )? Jawab : V m = 40 V = 2 / T = 2/0,01 = 200 rad/s Saat t = 0, maka -20 = 40 sin, sin = -0,5
sin 1 0,5 30 0 Karena masih dalam sudut, maka kita ubah ke dalam radian = -30 x (/180) = -/6 rads Jadi bentuk gelombang tegangan sinusoidanya menjadi : V= 40 sin (200t - /6) Volt
1.2 Respon paksaan dari fungsi sinusoida Respon keadaan tunak (steady state) digunakan untuk menyebut respon paksaan. Kita tinjau sekarang sebuah rangkaian RL seri sederhana seperti pada Gambar 3. Gambar 3
Tegangan sumber sinusoida (v s ) pada gambar 3 telah lama dihubungkan ke rangkaian, sehingga respon alamiah telah lenyap sama sekali. Sekarang tinggal mencari respon paksaan yang harus memenuhi persamaan diferensial berikut ini: di L Ri Vm cos t dt.(4) Respon paksaan harus memenuhi bentuk umum: i t) I cost I sin t.(5) ( 1 2
Atau dengan diketahui nilai I 1 dan I 2 sbb: I I 1 2 R 2 RVm 2 L LVm 2 2 R L 2 2.(6).(7) Maka didapat respon paksaan sbb : RVm LVm i( t) cos t 2 2 2 2 2 2 R L R L sin t (8)
Tetapi, respon pada persamaan (8) diatas agak rumit, akan lebih mudah dan jelas jika respon paksaan dinyatakan sebagai respon sinusoida atau cosinus tunggal dengan sudut fase. Respon paksaan dengan sinusoida tunggal dg sudut fase diberikan oleh permasaan 9 dibawah ini. i( t) Acos( t )..(9)
Dengan mendapatkan nilai dan A sbb: tan 1 A R 2 L R V m 2 L 2 (10) (11) Sehingga bentuk lain dari respon paksaan adalah : Vm 1 L ( t) cos( t tan ).(12) 2 2 2 R i R L
2. Konsep Fasor Arus atau tegangan sinusoida pada suatu frekuensi yg diketahui disifatkan oleh hanya dua parameter, yaitu amplitudo dan sudut fase. Kita lihat contoh berikut ini, sebuah arus sinusoida riil ditransformasikan ke dalam fasor. Arus sinusoida riil : i( t) I cos( t ) Dinyatakan sbg bagian riil bilangan komplek oleh identitias Euler : m
i ( t ) Re( I e m j( t) ) Kemudian lakukan penyederhanaan dengan menghilangkan faktor Re dan menambahkan komponen imajiner sehingga menjadi I I m e j Dan menuliskan hasil tersebut ke bentuk polar (bentuk fasor) : I I m
i(t) adalah representasi daerah waktu sedangkan fasor I sebagai representasi daerah frekuensi. Langkah-langkah untuk mengubah i(t) ke dalam I dinamai transformasi fasor dari waktu ke daerah frekuensi: 1. Diberikan fungsi sinusoida i(t) didalam daerah waktu, tuliskan i(t) sbg cosinus dg sudut fase. 2. Nyatakan cosinus sbg bagian riil kuantitas komplek dg menggunakan identita Euler. 3. Hilangkan Re 4. Tekan j t e
Contoh : Tranformasikan tegangan v(t) berikut ini ke dalam fasor. v( t) 100cos(400t 30) Dengan mengambil bagian riil dari representasi kompleknya: v( t) Re(100e j( 400t 30) dan membuang Re dan menekan ) j t e V 100 30
Langkah-langkah tranformasi dari daerah frekuensi (fasor) ke daerah waktu adalh sbb: 1. Diberikan arus fasor I dlm bentuk polar dalam daerah frekuensi. 2. Sisipkan kembali (kalikan dengan ) faktor j t e 3. Ganti operator bagian riil Re. 4. Dapatkan representasi daerah waktu dg identitas Euler.
Contoh : Ubahlah fasor (I) berikut ke daerah waktu i(t)? I 115 45 0 Maka kita bisa langsung menuliskan ke daerah waktu : v( t) 115cos( t 45 atau jika ditulis dalam bentuk sinus adl: 0 ) v( t) 115sin( t 45 0 )
SELESAI