KABAKUTA METODE PENGECEKAN Metode Berhitung Cepat Tanpa Kalkulator oscar ridhwan www.oscarridhwan.com KABAKUTA
BAB 7 METODE PENGECEKAN Pada bab-bab sebelumnya anda sudah mempelajari metode menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, membagi, menguadratkan dan mengakarkan suatu bilangan. Ketika kita sedang melakukan proses perhitungan dan telah mendapatkan hasilnya, tentu muncul pertanyaan di benak kita apakah hasil yang kuhitung sudah benar? apabila anda belum mengenal metode pengecekan seperti yang akan dijelaskan di bab ini, anda akan mengecek hasil perhitungan anda dengan cara mengulang proses perhitungan anda ataupun mengecek angka per angka pada kertas coretan perhitung anda. Sudah tentu proses pengecekan yang seperti ini akan membuang waktu kita yang berharga apalagi anda melakukannya saat ujian. Nah, untuk mengatasi masalah ini, di bab ini anda akan mempelajari bagaimana cara mengetahui bahwa jawaban yang telah kita hitung tersebut benar atau salah. Metodenya kita sebut metode pengecekan, dalam bab ini kita akan mempelajari 2 macam metode pengecekan yakni metode pengecekan 9 dan metode pengecekan 11. Metode ini berlaku untuk semua operasi hitung (+, -, x, :, 2 dan ). Jadi anda hanya cukup mengingat bagaimana metode ini bekerja pada setiap kasus operasi hitung tersebut. 1. METODE PENGECEKAN 9 Metode Pengecekan 9 berawal dari sifat-sifat bilangan yakni suatu bilangan apabila dibagi dengan 9, maka sisanya akan sama dengan jumlah angka-angka dari penyusun bilangan tersebut. Hal ini dibahas dalam cabang matematika yakni tentang teori bilangan dan biasanya disebut dengan modulo (mod). www.oscarridhwan.com 2
Untuk memperjelas pernyataan di atas perhatikan contoh berikut : 6584 : 9 =.sisa (6 + 5 + 8 + 4) = 23 ==> 2 + 3 = 5 Jadi, 6584 : 9 sisanya 5 451 : 9 = sisa (4 + 5 + 1) = 10 ==> 1 + 0 = 1 Jadi, 451 : 9 sisanya 1 Sifat ini dapat kita gunakan untuk mengecek hasil suatu perhitungan yang telah kita kerjakan. Berikut penjelasan metode beserta contohnya untuk masing-masing operasi hitung.untuk selanjutnya jumlah angka-angka ini kita sebut angka terkecil 1.Penjumlahan. 658 465 321 946 + 2390 Jumlahkan angka-angka pada masing-masing bilangan sampai menjadi 1 digit (angka terkecil) dengan sifat modulo 9 seperti berikut 658 === (6+5+8) = 19 ==> 1 465 === (4+6+5) = 15 ==> 6 321 === (3+2+1) = 6 + 946 === (9+4+6) = 19 ==> 1 2390 === (2+3+9+0) = 14 ==> 5 tanda ==> berarti jumlahkan angka-angkanya sampai menjadi 1 digit. 19 ==> 1+9 = 10 ==>1+0 = 1 www.oscarridhwan.com 3
Langkah 2 Jumlahkan angka terkecil masing-masing bilangan, apabila jumlah angka terkecil ini sama dengan angka terkecil hasil penjumlahan dalam perhitungan anda, maka hasil perhitungan anda benar 658 1 465 6 1+6+6+1 = 14 ==>1+4 = 5 321 6 946 + 1 2390 5 Karena jumlah angka terkecil bilangan-bilangan yang dijumlahkan sama dengan hasil perhitungan berarti jawaban ini benar 2.Pengurangan 3245 645 2600 Jumlahkan angka-angka pada masing-masing bilangan sampai menjadi 1 digit (angka terkecil) dengan sifat modulo 9 seperti berikut 3245 == (3+2+4+5) = 14 ==>1+4 = 5 645 == (6+4+5) = 15 ==> 1+5 = 6 2600 == (2+6+0+0) = 8 www.oscarridhwan.com 4
Langkah 2 Kurangi angka terkecil bilangan I dengan angka tekecil bilangan II, apabila angka terkecil hasil operasi ini sama dengan angka terkecil hasil hasil pengurangan dalam perhitungan anda, maka hasil perhitungan anda benar 3245 5 5 6 = -1 ==> -1 + 9 = 8 645-6 2600 8. Ingat! 9 = 0. berarti (-1) sama dengan 8 (Dalam modulo 9) Karena hasil pengurangan angka terkecil bilangan di atas sama dengan angka terkecil hasil perhitungan, maka jawaban perhitungan di atas benar. 3.Perkalian 2313 x 1353 = 3129489 Jumlahkan angka-angka pada bilangan yang akan dikalikan sampai menjadi 1 digit (angka terkecil). www.oscarridhwan.com 5
2313 == (2+3+1+3) = 9 ==> 0 1353 x == (1+3+5+3) = 12 ==> 1+2 = 3 3129489 == (3+1+2+9+4+8+9) = 36 ==> 3+6 = 9 ==> 0 dalam modulo 9, 9 => 0, sehingga untuk mempercepat dalam mencari angka terkecil anda tidak perlu memperhitungkan 9. contoh 3+1+2+9+4+8+9 = 9 => 0 Karena hasil perkalian angka terkecil bilangan-bilangan tersebut (0 x 3) = 0, sama dengan angka terkecil hasil perhitungan, maka jawaban di atas benar. 4.Pembagian 39168 : 256 = 153 Jumlahkan angka-angka pada masing-masing bilangan untuk mencari angka terkecil 39168 : 256 = 153 (3+9+1+6+8) = 0 (2+5+6) = 13 ==>1+3 = 4 (1+5+3) = 9 = 0 Apabila ada angka-angka yang berjumlah 9, langsung dicoret, tidak perlu dijumlah 0 : 4 = 0 Karena hasil pembagian angka terkecil sama dengan angka terkecil hasil perhitungan berarti jawaban di atas benar www.oscarridhwan.com 6
Pengecekan bisa dibalik menjadi operasi perkalian, hal ini untuk menghindari apabila angka terkecil bilangan yang dibagi lebih kecil dibanding dengan angka terkecil bilangan pembagi, sebagai berikut : 0 x 4 = 0 ( sama dengan angka terkecil bilangan yang dibagi ) Karena hasil perkalian angka terkecil hasil pembagian dengan angka terkecil bilangan pembagi sama dengan angka terkecil bilangan yang dibagi berarti jawaban di atas benar 5.Penguadratan 324 2 = 104976 Jumlahkan angka-angka dari bilangan yang akan dikuadratkan dan hasil kuadratnya menjadi 1 digit (angka terkecil). 324 2 = 104976 (1+0+4+9+7+6) = 18 ==> 1+8 = 9=> 0 (3+2+4) = 9 => 0 Karena kuadrat angka terkecil bilangan yang dikuadratkan (0 2 ) sama dengan hasil penguadratan dalam perhitungan, berarti hasil penguadratan di atas benar. 6.Pengakaran 55696 236 www.oscarridhwan.com 7
Jumlahkan angka-angka dari bilangan yang diakarkan maupun hasilnya sampai menjadi 1 digit (angka terkecil) 55696 236 (2+3+6) = 2 (5+5+6+9+6) = 22 ==>2+2 = 4 Dapat kita lihat disini, karena 4 = 2, dan angka terkecil dari jawaban yang di atas juga 2, maka hasil pengakaran di atas benar Nah, metode pengecekan 9 di atas secara umum langkahnya sama, ubah bilangan dalam operasi menjadi angka terkecilnya kemudian lakukan operasi yang sama terhadap angka terkecil tersebut. Kelemahan dari metode 9 adalah metode ini akan menghasilkan prediksi yang salah tentang jawaban yang benar apabila angka-angka pada jawaban yang kita peroleh ada angka yang tertukar, artinya metode ini tidak dapat mendeteksi penukaran angka pada jawaban. Agar lebih jelas perhatikan contoh berikut : Dalam modulo 9 angka terkecil dari bilangan-bilangan di bawah ini sama nilainya 235 1 ada penukaran angka 325 1 145 1 514 1 640 1 406 1 Jadi, apabila jawaban kita menghasilkan angka terkecil yang sama, tetapi ada angka yang tertukar dalam posisinya, maka pengecekan dengan metode 9 akan gagal. Misalnya dalam contoh pengakaran yang diberikan disini 55696 236 angka terkecilnya 2. kita tidak tahu apakah 236 adalah jawaban yang benar, karena bisa jadi jawabannya 326, atau 434 atau yang lainnya yang mempunyai angka terkecil 2. www.oscarridhwan.com 8
Untuk mengatasi kekurangan metode pengecekan 9, berikut ini anda akan mempelajari metode pengecekan lain yang keakuratannya sungguh luar biasa!!! 2. METODE PENGECEKAN 11 Pengecekan hasil perhitungan dengan metode 11 pada dasarnya hampir sama dengan metode penngecekan 9 yang sudah anda pelajari dimuka. Perbedaan kecil antara keduanya terletak pada proses mencari angka terkecilnya. Dimana untuk metode 9 menggunakan deret (+ + + +), sedangkan pada metode 11 menggunakan deret gonta-ganti (- + - +). Dasarnya sama yakni berdasarkan teori modulo pada bab teori bilangan dalam matematika. Untuk memahami perbedaan antara kedua metode ini perhatikan contoh berikut ini : Dengan menggunakan contoh yang sama seperti yang dipakai dalam modulo 9. angka terkecil bilangan-bilangan berikut dalam metode pengecekan 11 6584 : 9 = sisa (6+5+8+4) = 5 451 : 9 = sisa (4+5+1) = 1 6584 : 11 = sisa (4 8+5-6) = -3 atau (11 3) = 8 451 :11 = sisa (1-5+4) = 0 Lihatlah perbedaan antara keduanya. Dan yang perlu diperhatikan dalam metode 11 deretnya selalu dimulai dengan tanda minus (-) kemudian (+) dan seterusnya gonta-ganti (- + - +..) sejumlah angka yang ada di bilangan tersebut dan juga mulainya dari angka terakhir dari bilangan tersebut (6584 dimulai dari 4), ( 451 dimulai dari 1) Sekarang kita coba pada sejumlah penerapan operasi hitung www.oscarridhwan.com 9
1.PENJUMLAHAN 2445 2314 3546 + 8035 Carilah angka terkecilnya dari masing-masing bilangan dengan menggunakan deret gontaganti 2445 == (5-4+4-2) = 3 2314 == (4-1+3-2) = 4 3546 + == (6-4+5-3) = 4 8035 == (5-3+0-5) = -3 Langkah 2 Lakukan operasi hitung yang sama (penjumlahan) pada angka terkecil ini 2445 3 2314 4 (3+4+4) = 11 ==> 0 3546 + 4 8035-3 -3 Karena jumlah angka terkecil dari masing-masing bilangan (0) tidak sama dengan angka terkecil dari hasil perhitungan (-3), berarti jawaban di atas salah. Setelah dicoba lagi jawaban yang benar adalah 8305. bila dicek menggunakan metode 11 8305 ==> (5-0+3-8) = 0 (sama dengan jumlah angka terkecil bilangan-bilangan yang dijumlahkan). www.oscarridhwan.com 10
Apabila dicek dengan metode 9. maka hasil 8035 akan dianggap jawaban yang benar meskipun ada pertukaran angka dalam bilangan hasil tersebut. Sedangkan metode 11 lebih jeli dan menghasilkan prediksi yang akurat tentang jawaban yang benar. 2.PENGURANGAN 3125 235 2890 Carilah angka terkecil dari masing-masing bilangan dengan menggunakan deret gonta-ganti 3125 == (5-2+1-3) = 1 235 == (5-3+2) = 4 2890 == (0-9+8-2) = -3 Langkah 2 Lakukan operasi hitung yang sama (pengurangan)) pada akan terkecil ini 3125 1 (1-4) = -3 235 4 2890-3 Karena hasil operasi dari angka terkecil masing-masing bilangan sama dengan angka terkecil dari hasil perhitungan. Berarti hasil perhitungan di atas benar. www.oscarridhwan.com 11
3.PERKALIAN 3254 x 4651 = 15134354 Carilah angka terkecil dari masing-masing bilangan dengan menggunakan deret gonta-ganti 3254 x 4651 = 15134354 (4-5+2-3) = - 2 (1-5+6-4) = - 2 (4-5+3-4+3-1+5-1) = 4 Langkah 2 Lakukan operasi hitung yang sama (perkalian) pada angka terkecil ini (- 2) x (- 2) = 4 Karena hasil perkalian angka terkecil kedua bilangan sama dengan angka terkecil hasil perkalian di atas, berarti hasil perkalian di atas pasti benar 4.PEMBAGIAN 109908 : 426 = 258 Carilah angka terkecil dari masing-masing bilangan dengan menggunakan deret gonta-ganti www.oscarridhwan.com 12
109908 : 426 = 258 (8-0+9-9+0-1) = 7 (6-2+4) = 8 (8-5+2) = 5 Langkah 2 Lakukan operasi hitung yang sama (pembagian) pada angka terkecil ini Karena angka terkecil bilangan yang dibagi (7) lebih kecil dibanding angka terkecil bilangan pembagi (8) maka untuk mengecek hasil pembagian bisa kita akali dengan membalik prosesnya, yakni angka terkecil pembagi dikali angka terkecil hasil perhitungan 5 x 8 = 40 angka terkecilnya (0-4) = - 4 (11 4) = 7 Karena angka terkecil dari hasil perkalian ini (7) sama dengan angka terkecil bilangan yang dibagi (7), maka hasil pembagian di atas benar 5.PENGUADRATAN 542 2 = 293764 Carilah angka terkecil dari masing-masing bilangan dengan menggunakan deret gonta-ganti www.oscarridhwan.com 13
542 2 = 293764 (4-6+7-3+9-2) = 9 (2-4+5) = 3 Langkah 2 Lakukan operasi hitung yang sama (penguadratan) pada angka terkecil ini 3 2 = 9 Karena hasil penguadratan angka terkecil bilangan yang dikuadratkan (9) sama dengan angka terkecil hasil perhitungan (9), berarti hasil perhitungan yang diperoleh di atas benar. 6.PENGAKARAN 125316 354 Carilah angka terkecil dari masing-masing bilangan dengan menggunakan deret gonta-ganti 125316 354 (4-5+3) = 2 (6-1+3-5+2-1) = 4 Langkah 2 Lakukan operasi hitung yang sama (pengakaran)pada angka terkecil ini www.oscarridhwan.com 14
4 = 2 atau operasinya dibalik 2 2 = 4 Pembalikan operasi dilakukan untuk menghindari kerumitan dalam mencari akar dari angka terkecil misalnya 729 27 angka terkecil 729 => (9-2+7) = 14 (4-1) = 3 angka terkecil 27 => (7-2) = 5 untuk mengecek dengan operasi yang sama hal ini pasti sulit apabila dibalik 3 =? ( nah kesulitan bukan? ) Akan tetapi dengan proses kebalikan, hal ini dapat dihindari. 5 x 5 = 25 angka terkecilnya (5-2) = 3 Yang sama dengan angka terkecil bilangan yang di dalam tanda akar. Metode yang anda pelajari disini bersufat umum dan berlaku untuk semua jenis operasi hitung. Selain itu metode pengecekan ini dapat digunakan sebagai alat penghitung tercepat misalnya saat UJIAN AKHIR NASIONAL, karena soalnya biasanya multiple choice(pilihan ganda), maka dengan hanya menghitung angka terkecilnya maka jawaban yang diinginkan kelihatan dengan jelas. Saya sarankan hal ini anda lakukan dengan metode pengecekan 11 jangan metode pengecekan 9 karena kurang akurat, tapi untuk keperluan yang praktis metode 9 juga sudah memadai. www.oscarridhwan.com 15
Contoh Sebuah balok memiliki panjang 24 cm, tinggi 15 cm, lebar 13 cm. Hitung berapa luas permukaan balok tersebut? A. 3174 cm 2 C. 4137 cm 2 B. 1734 cm 2 D. 3741 cm 2 Penyelesaian Diket : p = 24 cm t = 15 cm l = 13 cm Dit : L Balok Jawab : Luas Balok = [2 x (p x l)] +[ 2 x (p x t)] + [2 x (l x t)] Jadi : Luas Balok = [2 x (24 x 15)] +[ 2 x (24 x 13)] + [2 x (15 x 13)] Untuk menyelesaikan ini anda tidak perlu menghitung keseluruhan, cukup anda hitung dengan metode pengecekan 11 atau 9. Berikut ini penyelesaian soal dengan metode 11 24 angka terkecilnya (4-2) = 2 15 angka terkecilnya (5-1) = 4 13 angka terkecilnya (3-1) = 2 Jadi Luas Balok = [2 x (2 x 4 )] +[2 x (2 x 2)] + [2 x (4 x 2)] = 16 + 8 + 16 Luas balok = 40 angka terkecilnya (0-4) = - 4 atau ( 11-4) = 7 www.oscarridhwan.com 16
Jadi cari jawaban yang memiliki angka terkecil 7 A. 3174 ==> (4-7+1-3) = -5 = (11-5) = 6 B. 1734 ==> (4-3+7-1) = 7 C. 4137 ==> (7-3+1-4) = 1 D. 3741 ==> (1-4+7-3) = 1 Jadi, jawabannya B. 1734 cm 2 Metode ini sering saya pakai untuk menyelesaikan soal pilihan ganda seperti ini Apabila anda menggunakan metode 9 untuk mengecek soal ini, maka akan gagal total karena angkanya sama semua yakni 1, 3, 4, 7, Cuma susunannya saja yang berbeda. Selain metode pengecekan metode modulo 9 dan 11 sebetulnya kita bisa juga menggunakan metode lain yang diturunkan berdasarkan konsep modulo. Akan tetapi metode pengecekan dengan modulo selain 9 dan 11 akan nampak cukup merepotkan apabila diterapkan pada bilangan-bilangan yang besar. Sebagai gambaran tentang metode pengecekan selain kedua metode yang dibahas dalam bab ini, berikut penjelasan untuk masing masing metode. Metode pengecekan modulo 7 Untuk mendapatkan rumus umum untuk metode ini, cobalah cari sisa pembagian bilangan 10, 10 2, 10 3, 10 4, dst dengan angka 7 Maka, akan diperoleh : www.oscarridhwan.com 17
1 : 7 = sisa 1 ditulis 1 1(mod 7) 10 : 7 =..sisa 3 ditulis 10 3(mod 7) 10 2 : 7 = sisa 2 ditulis 10 2 2(mod 7) 10 3 : 7 = sisa -1 ditulis 10 3 1(mod 7) dst; Apabila proses di atas dilanjutkan maka akan diperoleh pola sebagai berikut : 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2,. Sehingga bilangan yang dinyatakan dengan Bilangan = a n.10n +..+ a 3 10 3 + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0 a mewakili angka-angka pada bilangan tersebut, a 0 = satuan, a 1 = puluhan, a 2 = ratusan dst maka apabila kita subtitusikan mod dari masing - masing bilangan yang telah kita peroleh sebelumnya pada bilangan yang dilambangka dengan koefisien a ini, maka untuk mod 7 akan kita peroleh : sisa bilangan = a 0 + 3a 1 + 2a 2 a 3-3a 4-2a 5 + a 6 +3a 7 + 2a 8 -.. Contoh 2435 angka terkecilnya adalah 5 + 3(3) +2(4) 4 = 0 4596 angka terkecilnya adalah 6 + 3(9) +2(5) 6 = 37 ==> 2 (sisanya bila dibagi 7) Metode Pengecekan 13 Dengan cara yang sama dalam mencari angka sisa pada metode 7, kita peroleh angka sisa (angka terkecil) untuk modulo 13 adalah sebagai berikut www.oscarridhwan.com 18
1 1(mod13) 10 3 1(mod13) 10 6 1(mod13) 10 3(mod13) 10 4 3(mod13) dst 10 2 4(mod13) 10 5 4(mod13) Sehingga diperoleh Deret 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3, -4, -1, 3, 4, Yang berulangan setiap 6 digit Bilangan = a n.10n +..+ a 3 10 3 + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0 Sisa bilangan(angka terkecil) dalam mod 13 dapat dicari sebagai berikut sisa bilangan = a 0-3a 1-4a 2-1a 3 + 3a 4 + 4a 5 + a 6-3a 7-4a 8 -.. nah, menarik bukan. Contoh 42576, angka terkecil (mod 13) adalah 6 3(7) 4(5) (2) + 3(4) = - 25 ==> - 12(mod 13) Metode Pengecekan 9 dan 11 diperoleh dengan cara yang sama. Metode pengecekan 9 1 1(mod 9) 10 3 1(mod 9) 10 6 1(mod 9) 10 1(mod 9) 10 4 1(mod 9) dst 10 2 1(mod9) 10 5 1(mod 9) Sehingga diperoleh dere 1, 1, 1, 1, 1,. dst www.oscarridhwan.com 19
Bilangan = a n.10n +..+ a 3 10 3 + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0 Sisa bilangan(angka terkecil) dalam mod 9 dapat dicari sebagai berikut sisa bilangan = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 +a 7 + a 8 +.. yang merupakan jumlahan dari setiap digit penyusun bilangan tersebut. Metode pengecekan 11 1 1(mod11) 10 3 1(mod11) 10 6 1(mod11) 10 1(mod11) 10 4 1(mod11) dst 10 2 1(mod11) 10 5 1(mod11) Sehingga diperoleh deret gonta-ganti : 1, -1, 1, -1, 1, -1,. Bilangan = a n.10n +..+ a 3 10 3 + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0 Sisa bilangan(angka terkecil) dalam mod 11 dapat dicari sebagai berikut sisa bilangan = a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 - a 5 + a 6 - a 7 + a 8 -.. yang merupakan deret gonta-ganti dari setiap digit penyusun bilangan tersebut dimulai dari satuannya. Dengan cara modulo ini, maka anda bisa mencari metode-metode pengecekan baru yang sesuai dengan selera anda. Menarik Bukan...!!!!! Selamat Mencoba... www.oscarridhwan.com 20
www.oscarridhwan.com 21