b I Sistem Persmn Linier I Sistem Persmn Linier TUJUN PEMELJRN: Mhsisw memhmi konsep-konsep tentng sistem persmn linier, eksistensi dn keunikn sistem persmn linier, keunikn sistem persmn linier homogen, solusi sistem persmn linier. OUTCOME PEMELJRN Mhsisw mmpu membedkn SPL homogen dn nonhomogen, SPL ng mempuni penelesin dn tidk mempuni penelesin. Mhsisw jug mempu menghitung penelesin SPL dengn metode eliminsi gussin dn gus-jourdn... DEFINISI SISTEM PERSMN LINIER Persmn Linier Mislkn sebuh gris dlm sebuh bidng ditulis secr ljbr seperti dibwh ini : + b = c mk persmn dits disebut persmn linier dlm peubh dn. Dengn demikin persmn linier secr umum dpt ditulis seperti : + +...+ n n = b Contoh persmn linier + = + - 8 = = + + + +...+ n = Untung Usd (U)
b I Sistem Persmn Linier Persmn linier tidk memut hsil kli, kr, tu fungsi-fungsi trigonometri, logritm mupun eksponensil Contoh ng bukn persmn linier + = + = sin = + = Penelesin dri sebuh persmn linier dlh sederet n ngk s,s, s n sedemikin sehingg ngk tersebut memenuhi persmn linier tersebut. Contoh Cri himpunn penelesin dri. - = Penelesin: Tentukn nili sebrng tu sebrng. misl dimbil sebrng nili =t mk t - =. Dri persmn tersebut didpt =. Jdi himpunn penelesinn = t dn =. Dengn memberi nili t sebrng nili, misl t =, mk = dn = b. - + = 8 penelesin: tentukn nili sebrng dri du vrible/peubh, misl s untuk dn u untuk mk kn didptkn himpunnn penelesin : = s u +8, = s dn = u. Sistem Persmn Linier Sistem persmn linier dlh himpunn terhingg dri persmn linier dlm peubhpeubh,,.., n. Sedngkn deretn s, s, s n disebut sutu penelesin sistem jik = s, = s,.., n = s n merupkn penelesin dri setip persmn dlm sistem tersebut. Contoh + = - + + = - Sistem dits mempuni penelesin =, =, = -. Dimn pbil nili-ili tersebut disubstitusikn kedlm kedu persmn, mk kn terpenuhi. Setip sistem persmn linier mungkin tidk mempuni penelesin, mempuni stu penelesin, tu mempuni tk-hingg bnkn penelesin. Sebuh sistem Untung Usd (U)
b I Sistem Persmn Linier persmn ng tidk mempuni penelesin disebut sebgi tk-konsisten, jik pling tidk d stu penelesin, mk sistem tersebut disebut konsisten. Secr ilustrsi, kren persmn linier grfikn berbentuk gris, mk penelesin sutu sistem persmn linier dpt diliht dri perpdun gris gris n.. Sistem persmn linier ng tidk mempuni penelesin, mk gris-grisn kn sling sejjr. b. Sistem persmn linier ng mempuni stu penelesin, mk grisn kn sling memotong pd stu titik. c. Sistem persmn linier ng mempuni bnk penelesin, mk grisn kn sling berimpitn. Y. Tidk mempuni penelesin b. Stu penelesin c. nk penelesin Sebuh sistem persmn linier dengn m persmn linier dn n peubh dpt ditulis sebgi : + +...+ n n = b + +...+ n n = b : : : m + m +...+ mn n = b m sert disingkt dengn hn menuliskn susunn ngk dlm bentuk segiempt ng disebut mtriks ng diperbnk. m m n n mn b b b m Untung Usd (U)
b I Sistem Persmn Linier Mtriks diperbnk tersebut mempuni elemen-elemen ng terdiri dri koefisien peubh dn nili hsil persmn. Contoh : + + = - + = + - = Sistem persmn linier dits dpt ditulis sebgi.. PENYELESIN SISTEM PERSMN LINIER Metode dsr untuk menelesikn sutu sistem persmn linier dlh dengn menggnti sistem ng d dengn sutu sistem ng bru ng mempuni penelesin ng lebih mudh. Untuk mendptkn sistem ng bru dpt dilkukn dengn menerpkn opersi bris elementer. Opersi bris elementer meliputi tig lngkh, itu. Klikn sebuh bris dengn sebuh konstnt ( dinotsikn c i dimn c = konstnt ). b. Pertukrkn du bris ( dinotsikn i j tu ij ). c. Tmbhkn perklin dri sutu bris ke bris linn ( dinotsikn i +c j ). Dengn opersi bris elementer dits, mtriks ng sudh dibentuk bis direduksi menjdi sebuh mtriks ng berbentuk bris-eselon. entuk bris-eselon tersebut mempuni sift-sift ng hrus dipenuhi, itu :. Jik bris tidk seluruhn nol, mk ngk tk nol pertm dlm bris tersebut dlh sebuh ngk. ( tu utm ) b. Jik d sebrng bris ng seluruhn nol, mk bris dikelompokkn bersm dibgin bwh mtriks c. Jik sebrng du mtriks ng berurutn ng tidk seluruhn terdiri dri ngk nol, utm dlm bris ng lebih bwh terletk disebelh knn utm dlm bris ng ditsn d. Msing-msing kolom ng berisi sebuh utm mempuni nol ditempt linn. Untung Usd (U)
b I Sistem Persmn Linier Sutu mtriks ng memenuhi keempt sift dits dinmkn bentuk bris-eselon tereduksi, sedngkn pbilh hn memenuhi sift,b dn c dinmkn bentuk briseselon. Mtriks dlm bentuk bris-eselon tereduksi Mtriks dlm bentuk bris-eselon Prosedur untuk mereduksi sutu mtriks ng diperbnk menjdi bentuk bris-eselon dinmkn eliminsi gussin, sedngkn jik mtriksn menjdi bentuk bris-eselon tereduksi dinmkn eliminsi guss-jordn. Eliminsi Guss-jordn Prosedur eliminsi guss-jourdn dlh sebuh prosedur untuk mereduksi mtriks ng diperbnk menjdi bentuk bris-eselon tereduksi. Contoh Selesikn sistem persmn berikut ini dengn eliminsi guss-jordn - + = + - + + = 8 + - + - = - Penelesin Mtriks ng diperbnk dri sistem dits: 8 dengn menggunkn opersi bris elementer, mtriks ini direduksi menjdi mtriks bris eselon tereduksi. Untung Usd (U)
b I Sistem Persmn Linier 8 8 Mtriks terkhir berbentuk mtriks bris eselon tereduksi. Dengn demikin persmn ng sepdn dlh + + = = - - = = mislkn = s dn = t mk = - s t Jdi himpunn penelesin umumn = - s t, = s, =, = t, = Eliminsi Gussin Prosedur eliminsi gussin dlh sebuh prosedur untuk mereduksi mtriks ng diperbnk menjdi bentuk bris-eselon. Sistem persmn ng sudh dlm bentuk bris-eselon tersebut, bis diselesikn dengn teknik ng disebut subsitusi-blik. Selesikn sistem persmn berikut dengn menggunkn eliminsi gussin + + = + - = + - = Untung Usd (U)
b I Sistem Persmn Linier Penelesin Mtriks ng diperbnk dri sistem dits dlh Dengn opersi bris elementer, mtriks tersebut diubh menjdi bentuk bris-eselon. (bentuk bris eselon) Setelh mtriks sudh dlm bentuk bris eselon mk dilkukn substitusi terblik + + = = = = = = = Jdi himpunn penelesin : =, =, =.. SISTEM PERSMN LINIER HOMOGEN Sistem persmn linier ng mempuni semu konstntn nol disebut sistem homogen. Sistem persmn linier homogen mempuni sift konsisten, kren semu sistem seperti ini mempuni penelesin =, =,... n =. Jik sistem hn mempuni penelesin seperti dits, mk penelesinn disebut penelesin trivil. Seblikn jik d penelesin linn, mk penelesinn dinmkn penelesin tk-trivil. Contoh : Teorem + b = + b = Untung Usd (U)
b I Sistem Persmn Linier Sebuh sistem persmn linier homogen ng mempuni peubh lebih bnk dri jumlh persmn mempuni tk hingg bnkn penelesin Contoh Selesikn SPL homogen berikut ini: Penelesin + - + = - - + - + = + - - = + + = Mtriks ng diperbnk untuk sistem dits Dengn mereduksi mtriks menjdi mtriks bris eselon tereduksi, didptkn: Sistem ng sepdn dlh + + = + = = sehingg didptkn = - - ; = - ; = Jdi penelesin umumn: = -s t, = s, = -t, =, = t. SOL-SOL LTIHN. Cri himpunn penelesin dri msing-msing persmn linier berikut ini : Untung Usd (U) 8
b I Sistem Persmn Linier Untung Usd (U). = b. - + = c. -8 + - + =. Selesikn Sistem Persmn Liner (SPL) berikut dengn menggunkn metode eliminsi guss- Jordn : ). ; b). c).. Selesikn SPL berikut dengn menggunkn metode eliminsi Gussin dn substitusi terblik : ). b). c). 8 8. Selesikn msing-msing sistem berikut dengn metode eliminsi guss-jordn dn eliminsi gussin + + = 8 + + =. - - + = b. - + + = - + = 8 + + = -. Selesikn msing-msing sistem dengn menggunkn eliminsi guss-jordn. - + = b. + + - = - + + = + + + = - - - =. Selesikn sistem persmn linier homogen menggunkn eliminsi guss-jordn. + + - = b. + + = - + - = + + = - - - = - + + = - - + =.. MTRIKS, JENIS-JENIS MTRIKS DN OPERSI MTRIKS Definisi Mtriks
b I Sistem Persmn Linier Mtriks dlh susunn berbentuk persegipnjng dri elemen-elemen bilngn ng ditur berdsr bris dn kolom. ilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. mn... m... m............ n n dlh mtriks berukurn / berdimensi mn.... mn Ukurn sebuh mtriks diberikn oleh jumlh bris dn kolom ng dikndungn. m dlh bnk bris dri mtriks, n dlh kolom dri mtriks. Sehingg mtriks dits dpt ditulis sebgi : mn ij mn. nggot pd bris ke-i dn kolom ke-j dri sebuh mtriks pd umumn jug dpt dintkn sebgi ( ) tu ij. ij (mtriks bris, vektor bris). n. Jenis-jenis Mtriks n (mtriks kolom, vektor kolom).. Mtriks Digonl. Mtriks digonl dlh mtriks bujur sngkr dengn untuk i j. ij. Mtriks Sklr Mtriks sklr dlh mtriks digonl dengn... nn k.. Untung Usd (U)
b I Sistem Persmn Linier. Mtriks Stun (Mtriks identits) Mtriks identits dlh mtriks digonl dengn elemen digonl utm sm dengn stu. I. Mtriks Segitig Mtriks segitig ts dlh mtriks bujur sngkr dengn untuk i j. Mtriks segitig bwh dlh mtriks bujur sngkr dengn untuk i < j. ij ij Mtriks segitig ts Mtriks segitig bwh Opersi-opersi Mtriks. Du Mtriks Sm Du mtriks diktkn sm jik kedun mempuni ukurn sm dn elemenelemen nggotn ng seletk sm. Dlm notsi mtriks, jik =[ ] dn ij =[ b ij ] mempun ukurn sm mk = jik dn hn jik = ij b ij.,.. Jumlh / Selisih Du Mtriks Jik dn dlh mtriks-mtriks ng mempuni ukurn sm, mk jumlh + dlh mtriks ng diperoleh dengn menmbhkn nggot-nggot dengn nggot-nggot ng sepdn, dn selisih - dlh mtriks ng diperoleh dengn mengurngkn nggot-nggot dengn nggot-nggot ng sepdn. Mtriks-mtriks ng berukurn berbed tidk bis ditmbhkn tu dikurngkn.. m n m n Cm n. Untung Usd (U)
b I Sistem Persmn Linier Untung Usd (U) b. n m m n n m D.. Hsil kli Mtriks dengn Sklr Jik dlh sebrng mtriks dn k dlh sebrng sklr, mk hsil kli k dlh mtriks ng diperoleh dengn menglikn setip nggot dengn k.. Hsil kli Du Mtriks Jik dlh sebuh mtriks m p dn dlh mtriks p n, mk hsil kli dlh mtriks berukurn m n ng nggot-nggotn didefinisikn sebgi berikiut: Untuk mencri nggot dlm bris ke-i dn kolom ke-j dri, pilih bris ke-i dri mtrik dn kolom ke-j dri mtriks. Klikn nggot-nggot ng sepdn dri bris dn kolom secr bersm-sm dn jumlhkn hsiln. Srt untuk bis menggndkn du mtriks dlh jumlh kolom mtriks pertm hrus sm dengn jumlh bris mtriks kedu. m n p n p m C. ()() ) ()( )() ( ()() ()() )() ( ()() ) )( ( ()() ()() )() ( ()() Pd umumn:.. Trnspose Mtriks
b I Sistem Persmn Linier T (mtriks trnspose dri mtriks ) : bris-bris dri mtriks dijdikn kolom-kolom dn kolom-kolom dijdikn bris-bris. m n T ij n m ji m n n m. Sift-sift trnspose :. (() T ) T = b. ( ) T = T T c. (k) T = k T, dengn k dlh sebrng sklr d. () T = T T Sift-sift opersi mtriks T. Dengn sumsi bhw ukurn-ukurn mtriks dibwh ini dlh sedemikin sehingg opersi-opersi mtrik dpt dilkukn, mk turn-turn ng berlku pd opersi mtriks dlh sebgi berikut:. + = + b. + ( + C) = ( + ) + C c. (C) = ()C d. ( + C) = + C e. ( + C) = + C f. ( - C) = - C g. ( - C) = C h. ( C) = C i. ( b)c = C bc j. (bc) = (b)c k. (C) = ()C = (C) Invers Mtriks Jik dlh sebuh mtriks bujur sngkr, dn jik mtriks ng berukurn sm bis didptknr ( n n, n n ) sedemikin hingg mk. I n n n n n n n ;. I. n n Mk disebut bis diblik dn disebut invers dri Untung Usd (U)
b I Sistem Persmn Linier Untung Usd (U) Srt sutu mtriks n n mempuni invers n n jik. Sift-sift invers :. JIk dn C kedun dlh invers mtriks, mk = C. b. Jik dn dlh mtriks-mtriks ng dpt diblik dn berukurn sm, mk i. dpt diblik ii. () - = - - d beberp cr untuk mendptkn invers dri sutu mtriks:. I.. Dptkn dri. ()() ()() mempuni invers. Misl: I d c b.. d c b d b c d b c, c c c, d b d b d b Jdi:. b. Opersi ris Elementer (OE)
b I Sistem Persmn Linier Untung Usd (U) Sutu mtriks n n disebut mtriks dsr(elementer) jik mtriks ini bis diperoleh dri mtriks identits n n, m I dengn melkukn sutu opersi bris elementer. Jik opersi bris elementer diterpkn pd sutu mtriks identits I untuk menghsilkn sutu mtriks dsr E, mk d opersi bris elemnter kedu ng jik diterpkn pd E, menghsilkn I lgi. Misln, jik E diperoleh dengn menglikn bris ke-i dengn konstnt tk-nol c, mk I bis didptkn kembli jik bris ke-i dri E diklikn dengn /c. Untuk mendptkn invers mtriks ng dpt diblik, kit hrus menemukn serngkin opersi bris elementer ng mereduksi menjdi mtriks identits dn kemudin melkukn rngkin opersi ng sm pd I untuk memperoleh. Untuk itu, kit bis memposisikn mtriks seperti berikut : ~ ~ I I OE OE (OE : Opersi ris Elementer) Dptkn invers dri. Penelesin: ~ ~ ~ 8 ~ ; Jdi: 8. c. ) ( dj.
b I Sistem Persmn Linier Untung Usd (U) Dptkn dri. Penelesin: ()() ()(). Kofktor () ) ( dj. ) ( dj. Penelesin Sistem Persmn Linier dengn Invers Mtriks Jik dlh sutu mtriks n n ng mempuni invers, mk untuk setip mtriks b, n, sistem persmn = b tept mempuni stu penelesin itu = - b. Contoh Selesikn sistem persmn linier berikut dengn invers mtriks + + = + + = + 8 = Dlm bentuk Mtriks, sistem ini bis ditulis sebgi = b, dengn 8 b Dengn metode sebrng, didptkn invers -, itu, mk penelesin sstem tersebut dlh
b I Sistem Persmn Linier Untung Usd (U) b tu =, = -, =. SOL-SOL LTIHN. Dikethui:, Q P ; =, b = - ditnkn: ). PQ b). P + Q c). QP d). P Q e). P f). b(q+p). Dikethui:, ; ditnkn: ). b).. Ditnkn -, jik: ). b). c).. Dptkn - dri: ). 8 b).. Dptkn invers dri mtriks berikut:. b. c. k k k k. Selesikn sistem berikut dengn menggunkn invers mtriks:. + = b. = - + = = c. + + = d. + + = + + = - + + =
b I Sistem Persmn Linier + + = + = e. - w = f. + + = b + + + w = + + = b + + + w = + + 8 = b - - w = Untung Usd (U) 8