TEORI DUALITAS MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-9 Riani Lubis JurusanTeknik Informatika Universitas Komputer Indonesia 1
PENGANTAR Diperlukan sebagai dasar interpretasi ekonomis suatu persoalan PL. Konsep dualitas menjelaskan secara matematis bahwa sebuah kasus PL berhubungan dengan kasus PL yang lainnya. Istilah dualitas menunjuk pada kenyataan bahwa setiap LP terdiri atas dua bentuk, yaitu : Primal : bentuk pertama persamaan PL Dual : bentuk kedua persamaan PL yang berhubungan dengan bentuk pertamanya. Penyelesaian kasus Primal secara otomatis akan menyelesaikan kasus dual, semikian pula sebaliknya. 2
Contoh Masalah Diet Tabel di bawah menunjukkan jumlah mineral & vitamin yang terdapat pada dua jenis makanan tiruan, yaitu daging dan sayur per unit, serta harganya. Kandungan Makanan Tiruan Kebutuhan Daging Sayur minimum per hari Mineral 2 4 40 Vitamin 3 2 50 Harga per Unit 3 2,5 Masalahnya adalah menentukan biaya pembelian sejumlah daging dan sayuran sedemikian hingga kebutuhan minimum per hari akan mineral dan vitamin terpenuhi. 3
Asumsi X 1 dan X 2 adalah jumlah daging dan sayuran yang dibeli. Maka persamaan matematika : Tujuan : Minimasi Z = 3X 1 + 2,5X 2 Pembatas : 2X 1 + 4 X 2 40 3X 1 + 2X 2 50 X 1, X 2 0 Jika terdapat suatu masalah berbeda, yang berhubungan dengan masalah yang pertama (bentuk primal). Misalkan ada sebuah dealer yang menjual mineral dan vitamin. i Pemilik restoran setempat membeli mineral dan vitamin seperti yang tampak pada tabel di atas. Dealer mengetahui benar bahwa daging dan sayur tiruan memiliki hanya karena kandungan mineral dan vitaminnya. Masalah bagi dealer adalah menetapkan harga jual mineral dan vitamin per unit yang maksimum sehingga menghasilkan harga daging dan sayur tiruan tidak melebihi pasar yang ada. 4
Asumsi dealer memutuskan untuk menetapkan harga daging g per unit sebesar Y 1 dan harga sayur per unit sebesar Y 2. Kemudian, masalah dealer dapat dinyatakan secara matematika : Tujuan : Maksimasi W = 40Y 1 + 50Y 2 Pembatas : 2Y 1 + 3 Y 2 3 4Y 1 + 2Y 2 2,5 Y 1, Y 2 0 (karena nilai negatip tidak benar) Bentup PL yang terakhir dinamakan bentuk dual. Y 1 dan Y 2 dinamakan variabel dual. 5
Bentuk Umum Primal : F. Tujuan : Maks Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n F.Pembatas : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. Dual : a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,, x n 0 F. Tujuan : Min W = b 1 y 1 + b 2 y 2 + + b m y m FP F.Pembatas : a 11 y 1 + a 21 y 2 + + a m1 y m c 1 a 12 y 1 + a 22 y 2 + + a m2 y m c 2. 6 a 1n y 1 + a 2n y 2 + + a mn y m b n y 1, y 2,, y m 0
7 Hubungan Primal-Dual 1. Koefisien fungsi tujuan masalah primal menjadi konstan sisi kanan masalah dual. Sebaliknya, y, konstan sisi kanan primal menjadi koeisien fungsi tujuan dal. 2. Tanda pertidaksamaan kendala dibalik 3. Tujuan diubah dari minimasi dalam primal menjadi maksimasi dalam dual, dan demikian pula berlaku sebaliknya. 4. Setiap kolom pada primal berhubungan dengan satu baris (kendala/pembatas) dalam dual. Sehingga banyaknya kendala dual sama dengan banyaknya y variabel primal. 5. Setiap baris (kendala/pembatas) pada primal berhubungan dengan suatu kolom dalam dual. Sehingga ada satu variabel dual untuk setiap kendala primal. 6. Bentuk dual dari dual adalah bentuk primal.
8 Contoh
Dual Persamaan PL yang Tidak Normal 1. Persoalan : Maksimasi : Jika pembatas primal ke-i bertanda, maka variabel dual yang berkorespondensi dengan pembatas tersebut akan memenuhi y i 0. Minimasi : Jika pembatas primal ke-i bertanda, maka variabel dual yang berkorespondensi dengan pembatas tersebut akan memenuhi x i 0. 2. Jika pembatas primal ke-i bertanda =, maka variabel dual yang berkorespondensi dengan pembatas tersebut akan tidak ternatas dalam tanda 3. Jika variabel primal ke-i tidak terbatas dalam tanda, maka pembatas dual ke-i akan betanda = 9
Primal : Contoh F. Tujuan : Maks Z = x 1 + 2x 2 3x 3 + 4x 4 F.Pembatas : x 1 + 2x 2 + 2x 3 3x 4 25 2x 1 + x 2 3x 3 + 2x 4 = 15 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Standar Primal : F. Tujuan : Maks Z = x 1 + 2x 2 3x 3 + 4x 4 + 0S 1 MR 2 F.Pembatas : x 1 + 2x 2 + 2x 3 3x 4 + S 1 = 25 2x 1 + x 2 3x 3 + 2x 4 + R 2 = 15 x 1, x 2, x 3, x 4, S 1, R 2 0 10
Dual : F. Tujuan : Min W = 25y 1 + 15y 2 F.Pembatas : y 1 + 2y 2 1 2y 1 + y 2 2 2y 1 3y 2 3 3y 1 + 2y 2 4 y 1 + 0y 2 0 y 1 0 y 2 tidak terbatas dalam tanda Catatan : Varibel artifisial tidak diperhatikan Karena y 2 tidak terbatas dalam tanda, maka y 2 memiliki dua harga yaitu y 2 = (y 2 y 2 ) 11
Standar Dual : F. Tujuan : Min W = 25y 1 +15(y 2 y 2 )+MR 1 +MR 2 +MR 3 +MR 4 F.Pembatas : y 1 + 2(y 2 y 2 ) S 1 +R 1 = 1 2y 1 + (y 2 y 2 ) S 2 +R 2 = 2 2y 1 3(y 2 y 2 ) S 3 +R 3 = 3 3y 1 + 2(y 2 y 2 ) S 4 +R 4 = 4 y 1, y 2, y 2, S 1, S 2, S 3, S 4, R 1, R 2, R 3, R 4 0 12
Sifat-Sifat Primal-Dual (1) Sifat 1 : Menentukan koefisien fungsi tujuan variabel-variabel basis awal Caranya : a. b. Kurangi nilai-nilai simpleks multiplier dengan fungsi tujuan yang original dari baris-baris awal. Sifat 2 : Menentukan koefisien fungsi tujuan varaibel-variabel variabel non basis awal Caranya : a. Subtitusikan simpleks multiplier pada variabel-variabel pembatas dual 13 b. Cari selisih antara ruas kiri & ruas kanan dari pembatas dua
Sifat-Sifat Primal-Dual (2) Sifat 3 : Menentukan nilai ruas kanan (solusi) dari variabeliblbasis Caranya variabel : Sifat 4 : Menentukan koefisien pembatas Caranya : 14
Primal : Contoh F. Tujuan : Maks Z = 4x 1 + 6x 2 + 2x 3 F.Pembatas : 4x 1 4x 2 5 x 1 + 6x 2 5 x 1 + x 2 + x 3 5 x 1, x 2, x 3 0 Standar Primal/Standar Simpleks : 15 F. Tujuan : Maks Z = 4x 1 + 6x 2 + 2x 3 + 0S 1 + 0S 2 + 0S 3 F.Pembatas : 4x 1 4x 2 + S 1 = 5 x 1 + 6x 2 + S 2 = 5 x 1 + x 2 + x 3 + S 3 = 5 x 1, x 2, x 3, S 1, S 2, S 3 0
16 Salah satu iterasinya adalah sbb :
Sifat 1 : mencari Simpleks Multifier (SM) maka diperoleh : a 3/2 S 1 = 3/2 0 = 3/2 b 2 S 2 = 2 0 = 2 c 0 S 3 = 0 0 = 0 17
Sifat 2 : F.Pembatas Dual : d x 1 : 4y 1 y 2 y 3 4 e x 2 : 4y 1 + 6y 2 + y 3 6 f x 3 : y 3 2 Dimana dari sifat 1 diperoleh : SM = (3/2 2 0) Jadi untuk : d 4(3/2) 2 0 4 = 0 e 4(3/2) + 6(2) + 0 6 = 0 f 0 2 = 2 =( y 1 y 2 y 3 ) 18
Sifat 3 : maka diperoleh : g 5/2 h 5/4 i 6 1/4 19
Sifat 4 : 20 Untuk mencari nilai i t, masukkan nilai-nilai i i X 1, X 2, dan X 3 yang sudah diketahui pada fungsi tujuan original : t = 4 (5/2) + 6 (5/4) + 2(0) = 17 1/2
21 METODE DUAL-SIMPLEK Dipakai bila pada suatu tabel simpleks yang optimum, terdapat nilai non-fisibel (pembatas non-negatif yang tidak terpenuhi) Syarat : Pembatas bertanda Fungsi tujuan : minimasi/maksimasi Ketentuan : Feasibility Condition : Leaving variabel adalah variabel basis yang memiliki nilai i negatifterbesar (nilai i kembar dipilihilih secara sembarang). Jika variabel basis sudah positif/nol, berarti sudah fisibel & proses berakhir (sudah optimum) Optimality Condition : Entering variabel dipilih dari variabel nonbasis berdasarkan rasio antara koefisien persamaan Z dengan koefisien persamaan yang berhubungan pada LV. Minimasi : EV adalah variabel dengan rasio terkecil Maksimasi : EV adalah variabel dengan absolut terkecil
Contoh F. Tujuan : Min Z = 4X 1 + 2X 2 F.Pembatas : 3X 1 + X 2 27 X 1 + X 2 21 X 1 + 2X 2 30 X 1, X 2 0 Ubah tanda pembatas menjadi, agar tidak membutuhkan variabel artifisial. Sehingga menjadi : 22 F. Tujuan : Min Z = 4X 1 + 2X 2 FP F.Pembatas : 3X 1 X 2 27 X 1 X 2 21 X 1 2X 2 30 X 1, X 2 0
Bentuk Standar : F. Tujuan : Min Z = 4X 1 + 2X 2 F.Pembatas : 3X 1 X 2 + S 1 = 27 X 1 X 2 + S 2 = 21 X 1 2X 2 + S 3 = 30 X 1, X 2, S 1, S 2, S 3 0 23
24
25
Solusi optimum & layak : X 1 = 3 X 2 = 18 Z = 48 26