Rangkaian RL dan RC Dengan Sumber

Rangkaian RL dan RC Dengan Sumber Slide-07 Ir. Agus Arif, MT Semester Gasal 2016/2017 1 / 32

Materi Kuliah 1 Pengantar Rangkaian Sebelumnya Fungsi Undak Satuan Sumber Ekivalen Fungsi Pulsa 2 Rangkaian RL dgn Sumber Rangkaian RL & Ekivalennya Penentuan Arus Penentuan Tanggapan Lengkap Ringkasan 3 Rangkaian RC dgn Sumber Penentuan Tanggapan Lengkap Ringkasan 2 / 32

Rangkaian RL & RC Bebas-Sumber Rangkaian RL & RC yg bebas-sumber tidak memiliki sumber tegangan/arus independen = forcing function menghasilkan tanggapan alamiah (natural) yg tergantung pd nature rangkaian sj memberikan tanggapan krn adanya simpanan tenaga awal di dalam induktor/kapasitor mempunyai elemen saklar yg pd t = 0 melenyapkan semua sumber independen dlm rangkaian merupakan persoalan rangkaian dgn sumber tenaga yg mendadak dilenyapkan Berikutnya akan dicari tanggapan dr rangkaian dgn sumber tenaga yg mendadak dipasangkan 3 / 32

Fungsi Undak Satuan [1] Fungsi waktu yg bernilai nol utk semua nilai argumennya yg kurang dr nol, dan satu utk semua nilai argumennya yg lebih dr nol Lambang fungsi undak satuan: u dan argumennya: t t 0 maka { 0 t < t0 u(t t 0 ) = 1 t > t 0 4 / 32

Fungsi Undak Satuan [2] Kerap kali aksi pengubahan status saklar (switching) terjadi pd saat t = 0 (waktu awal) Fungsi undak satuan yg menyatakan aksi ini memiliki t 0 = 0 sehingga u(t) = { 0 t < 0 1 t > 0 Fungsi undak satuan adl tanpa-dimensi Tegangan v(t) = 5 u(t 0.2) V adl sumber tegangan ideal yg bernilai nol sebelum t = 0.2 s dan tetap 5 V sesudah t = 0.2 s 5 / 32

Sumber Tegangan Ekivalen Manakah sumber tegangan fisik yg ekivalen dgn sumber tegangan undak? (a): sumber tegangan ideal yg berwatak spt fungsi pemaksa undak satuan (b): sumber tegangan fisik yg dpt dipakai ttp bukan ekivalen dr rangkaian (a) saklar SPST (single-pole-single-throw) (c): rangkaian yg tepat ekivalen dgn rangkaian (a) saklar SPDT (single-pole-double-throw) 6 / 32

Sumber Arus Ekivalen (a): sumber arus ideal yg berwatak spt fungsi pemaksa undak satuan (b): sumber arus fisik yg dpt dianggap sbg ekivalen dr rangkaian (a) namun tersirat tegangan awal = 0 padahal belum tentu keadaan yg sama terjadi pd rangkaian (a) 7 / 32

Fungsi Pulsa Kotak [1] Fungsi pulsa kotak didefinisikan sbg berikut: 0 t < t 0 v(t) = V 0 t 0 < t < t 1 0 t > t 1 8 / 32

Fungsi Pulsa Kotak [2] Fungsi pulsa kotak dpt dibentuk dr selisih dua fungsi undak: u(t t 0 ) u(t t 1 ) (a) dan dpt diwujudkan sbg selisih dua sumber tegangan: V 0 u(t t 0 ) V 0 u(t t 1 ) (b) 9 / 32

Rangkaian RL & Ekivalennya Semua elemen terhubung seri & arus yg sama i(t) mengaliri semua elemen pd rangkaian (a) & (b) Saklar menutup pd saat t = 0 pd rangkaian (a) Sebelum t = 0, saklar masih terbuka & arus i(t) = 0 sumber tegangan & saklar pd rangkaian (a) adl ekivalen dgn V 0 u(t) pd rangkaian (b) Sesudah t = 0, saklar kini tertutup & rangkaian (a) sepenuhnya identik dgn rangkaian (b) 10 / 32

Penentuan Arus i(t) [1] Dgn menerapkan KVL pd rangkaian (b) diperoleh R i + L di dt = V 0 u(t) Pd t < 0, sumber tegangan = 0 sejak t = menghasilkan tanggapan = 0 atau i(t) = 0 t < 0 Pd t > 0, u(t) = 1 & harus diselesaikan pers diferensial (PD): R i + L di dt = V 0 t > 0 Variabel 2 dpt dipisahkan dan langsung diintegralkan: L di V 0 R i = dt L R ln (V 0 R i) = t + k 11 / 32

Penentuan Arus i(t) [2] Utk menentukan konstanta integrasi k harus dipakai syarat awal Sebelum t = 0, arus i(t) = 0 berarti i(0 ) = 0 Krn arus induktor tdk dpt berubah scr mendadak maka i(0 + ) = i(0 ) = 0 Dgn menyulihkan i = 0 pd t = 0 ke dlm solusi PD: L R ln (V 0 R 0) = 0 + k L R ln (V 0) = k Solusi PD kini menjadi L R [ln (V 0 R i) ln (V 0 )] = t 12 / 32

Penentuan Arus i(t) [3] Pengaturan kembali suku 2 pd solusi PD menghasilkan V 0 R i V 0 = e R t/l atau i = V 0 R V 0 R e R t/l t > 0 Alhasil, tanggapan rangkaian yg berlaku pd semua t: i = Tanggapan lengkap ini terdiri dari tanggapan alamiah: tanggapan paksaan: ( V0 R V ) 0 t/l e R u(t) R V 0 R e R t/l V 0 R 13 / 32

Contoh #1 - Rangkaian RL dgn Sumber [1] Utk rangkaian di bawah, tentukanlah i(t) pd t =, 3, 3 + dan 100 µs setelah sumber tegangan berubah nilainya Pd saat t, semua gejala transien tlh lenyap shg induktor dpt diperlakukan sbg hubungan-singkat: i( ) = 12 1000 = 12 ma 14 / 32

Contoh #1 - Rangkaian RL dgn Sumber [2] Pd saat t < 3 s, fungsi undak u(t 3) = 0 shg sumber tegangan: 12 u(t 3) = 0 V dan arus rangkaian: i(3 ) = 0 A Pd saat t = 3 + s, sumber tegangan telah berubah mjd 12 u(t 3) = 12 V, namun krn arus induktor tdk dpt berubah scr mendadak maka i(3 + ) = i(3 ) = 0 A Pd saat t > 3 s, tanggapan rangkaian RL dgn sumber dpt ditulis-ulang mjd ( i(t V0 ) = R V ) 0 R e R t /L u(t ) dgn t = t 3 Krn V 0 /R = 12 ma dan R/L = 20000 s 1 mk i(t 3) = (12 12 e 20000(t 3) ) u(t 3) ma atau i(t) = (12 12 e 20000(t 3) ) u(t 3) ma Alhasil, pd saat t = 3 + 100 10 6 s, i(3.0001) = 10.38 ma 15 / 32

Tanggapan yg Lengkap [1] Utk rangkaian berikut, tanggapan yg dicari = arus i(t) Tanggapan yg lengkap: i = i n + i f dgn i n : arus alamiah (natural) i f : arus paksaan (forced) Tanggapan alamiah = tanggapan rangk RL yg bebas-sumber R t/l i n = A e dgn A adl tetapan yg ditentukan berdasarkan keadaan awal dr tanggapan lengkap; jadi A i(0) 16 / 32

Tanggapan yg Lengkap [2] Tanggapan paksaan berupa tetapan krn sumber = V 0 yg tetap (dc) sepanjang t > 0 & ketika t tanggapan alamiah akan lenyap serta tegangan induktor = 0 (spt hubung-singkat) mk i f = V 0 R Penggabungan kedua tanggapan tadi menghasilkan i = A e R t/l + V 0 R yg dpt diterapkan keadaan awal utk menentukan A Pd t < 0, arus i(t) = 0 & krn arus induktor tidak dpt berubah scr mendadak mk i(0 + ) = i(0 ) = 0 dan pd t = 0 0 = A + V 0 R shg A = V 0 R 17 / 32

Tanggapan yg Lengkap [3] Alhasil, tanggapan lengkap i = V 0 R (1 e R t/l ) Perhatikan A bukan nilai awal dr i(t) krn A = V 0 /R sedangkan i(0) = 0 Grafik tanggapan lengkap dr rangk RL dgn sumber: Arus terbangun dr nol hingga nilai akhirnya V 0 /R Perubahan arus scr efektif berlangung slm 3 τ 18 / 32

Contoh #2 - Rangkaian RL dgn Sumber [1] Utk rangkaian di bawah, tentukanlah i(t) pd sepanjang waktu t Rangkaian mengandung sumber tegangan dc & undak Resistans ekivalen Thévenin dipandang dr induktor: R eq = 2 6 = 2 6 2 + 6 = 12 8 = 1.5 Ω Tetapan waktu dr induktor τ = L = 3 R eq 1.5 = 2 s 19 / 32

Contoh #2 - Rangkaian RL dgn Sumber [2] Tanggapan lengkap: i = i f + i n Tanggapan alamiah = tanggapan rangk RL bebas-sumber: i n = K e t/2 A t > 0 Krn fungsi pemaksa = sumber tegagan dc mk tanggapan paksaan = arus yg tetap & induktor berwatak spt hubungansingkat i f = 100 2 = 50 A t > 0 Dgn demikian, tanggapan lengkap: i = 50 + K e t/2 A t > 0 Sebelum t = 0 arus rangkaian = 25 A & pd t = 0 arus ini tdk dpt berubah mendadak shg 25 = 50 + K e 0/2 K = 25 20 / 32

Contoh #2 - Rangkaian RL dgn Sumber [3] Alhasil, kini tanggapan lengkap: i = 50 25 e t/2 A t > 0 Dgn mengingat arus dlm keadaan awal, tanggapan lengkap dpt jg ditulis sbb: i(t) = 25 + 25 (1 e 0.5 t ) u(t) A Grafik tanggapan lengkap: 21 / 32

Ringkasan Rangkaian RL dgn Sumber Langkah 2 menentukan tanggapan rangkaian RL dgn sumber 1 Dgn semua sumber dilenyapkan, sederhanakan rangkaian utk menentukan R eq, L eq & tetapan waktu τ = L eq /R eq 2 Dgn menganggap L eq sbg hubungan-singkat, pakai analisis dc utk menentukan arus induktor sebelum discontinuity i L (0 ) 3 Dgn menganggap L eq sbg hubungan-singkat, pakai analisis dc utk menentukan tanggapan paksaan i( ) = lim t i(t) 4 Tulis tanggapan lengkap: i(t) = i( ) + A e t/τ 5 Tentukan i(0 + ) dgn menggunakan syarat arus induktor i L (0 + ) = i L (0 ) sedangkan arus pd elemen lainnya dpt berubah mendadak shg i(0 + ) = i( ) + A 6 Alhasil, tanggapan lengkap: i(t) = i( ) + [i(0 + ) i( )] e t/τ 22 / 32

Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [1] Tentukan tegangan kapasitor v C (t) dan arus i(t) yg mengaliri resistor 200 Ω sepanjang waktu t pd rangkaian berikut 23 / 32

Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [2] Pd t < 0, saklar berada pd kedudukan a shg rangkaian dpt digambar-ulang sbg berikut Pd t = 0, semua gejala transien sdh lenyap & kapasitor dpt dipandang sbg hubungan-terbuka (open circuit) shg 24 / 32

Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [3] Kalang-luar (sumber 120 V, resistor 2 10 Ω & 50 Ω) yg menentukan tegangan v C pd t = 0 Dgn memakai rumus pembagi-tegangan dpt dihitung v C (0 ) = 50 120 = 100 V 10 + 50 Krn tegangan kapasitor tidak dpt berubah scr mendadak mk v C (0 + ) = v C (0 ) = 100 V Pd t > 0, saklar berada pd kedudukan b shg rangkaian dpt digambar-ulang spt pd slide berikut & tanggapan lengkap mjd v C = v Cf + v Cn dgn v Cf : tegangan kapasitor paksaan (forced) v Cn : tegangan kapasitor alamiah (natural) 25 / 32

Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [4] Dgn sumber 50 V dilenyapkan, resistor ekivalen Thévenin dipandang dr posisi kapasitor dpt dihitung sbb: 1 R eq = 1 60 + 1 200 + 1 = 24 Ω 50 Dgn demikian, tetapan waktu: τ = R eq C = 24 50 10 3 = 1.2 s 26 / 32

Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [5] Dan tanggapan alamiah: v Cn = A e t/τ = A e t/1.2 Utk menentukan tanggapan paksaan, dianggap semua gejala transien sdh lenyap & kapasitor dpt dipandang sbg hubungan terbuka shg pemakaian rumus pembagi tegangan: ( ) 200 50 v Cf = 50 = 60 + 200 50 ( (200)(50)/250 60 + (200)(50)/250 Akibatnya, tanggapan lengkap mjd v C = 20 + A e t/1.2 ) 50 = 20 V Dr keadaan awal v C (0 + ) = 100 V dpt diperoleh 100 = 20 + A e 0/1.2 A = 80 27 / 32

Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [6] Alhasil, tanggapan lengkap dpt dituliskan sbb: v C = 100 V t < 0 v C = 20 + 80 e t/1.2 V t 0 Grafik tanggapan v C (t): 28 / 32

Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [7] Berikutnya, penentuan arus i(t) yg melalui resistor 200 Ω Arus ini dpt berubah mendadak ketika terjadi perubahan kedudukan saklar Ketika saklar berada pd kedudukan a, penerapan KVL pd kalang-dalam menghasilkan i(0 ) = 50 60 + 200 = 50 = 192.3 ma 260 Ketika saklar berada pd kedudukan b, penyederhanaan rangkaian & rumus pembagian arus menghasilkan ( ) 50 50 i f = i( ) = 200 + 50 60 + 200 50 = 0.1 A 200+50 Tanggapan lengkap: i = i f + i n 29 / 32

Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [8] Bentuk arus alamiah = bentuk tegangan alamiah dr kapasitor yg sudah ditentukan shg i n = A e t/1.2 Bentuk tanggapan yg lengkap mjd i = 0.1 + A e t/1.2 A Utk menentukan A, harus diketahui i(0 + ) yg dpt ditentukan dgn memperhatikan tegangan pd kapasitor, yakni v C (0 + ) = v C (0 ) = 100 V shg i(0 + ) = 100 200 = 0.5 A krn kapasitor terhubung paralel dgn resistor 200 Ω 30 / 32

Contoh #3 - Rangkaian RC dgn Sumber [9] Pd t = 0, tanggapan lengkap menghasilkan 0.5 = 0.1 + A e 0/1.2 A = 0.4 A Alhasil, arus i(t) utk sepanjang waktu t adl i(t) = 0.1923 A t < 0 i(t) = 0.1 + 0.4 e t/1.2 A t 0 atau i(t) = 0.1923 + ( 00923 + 0.4 e t/1.2 ) u(t) Grafik tanggapan i(t): 31 / 32

Ringkasan Rangkaian RC dgn Sumber Langkah 2 menentukan tanggapan rangkaian RC dgn sumber 1 Dgn semua sumber dilenyapkan, sederhanakan rangkaian utk menentukan R eq, C eq & tetapan waktu τ = R eq C eq 2 Dgn menganggap C eq sbg hubungan-terbuka, pakai analisis dc utk menentukan tegangan kapasitor pra discontinuity v C (0 ) 3 Dgn menganggap C eq sbg hubungan-terbuka, pakai analisis dc utk menentukan tanggapan paksaan v( ) = lim t v(t) 4 Tulis tanggapan lengkap: v(t) = v( ) + A e t/τ 5 Tentukan v(0 + ) dgn menggunakan syarat tegangan kapasitor v C (0 + ) = v C (0 ) sedangkan tegangan pd elemen lainnya dpt berubah mendadak shg v(0 + ) = v( ) + A 6 Alhasil, tanggapan lengkap: v(t) = v( ) + [v(0 + ) v( )] e t/τ 32 / 32