TUGAS PROGRAM LNEAR MODEL TRANSPORTAS 1. Untuk permasalahan model tansportasi ini diperoleh informasi bahwa mempunyai: 3 daerah penambangan minyak (sumber), yaitu: a. (S 1 ) dengan kapasitas produksi 600.000 galon b. (S 2 ) dengan kapasitas produksi 00.000 galon c. (S 3 ) dengan kapasitas produksi 800.000 galon Total supply dari 3 sumber tersebut adalah 1.900.000 galon 3 daerah pemasaran (kota tujuan), yaitu a. Semarang (T 1 ) dengan daya tampung sebanyak 400.000 galon b. Jakarta (T 2 ) dengan daya tampung sebanyak 800.000 galon c. Bandung (T 3 ) dengan daya tampung sebanyak 700.000 galon Total demand dari 3 tujuan tersebut adalah 1.900.000 galon Misalkan C ij menyatakan ongkos pengangkutan dari sumber i ke tujuan j (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), maka ongkos pengangkutan per 100.000 galon, adalah: a. C 11 = Rp 120.000,- e. C 23 = Rp 80.000,- b. C 12 = Rp 180.000,- f. C 31 = Rp 200.000,- c. C 21 = Rp 300.000,- g. C 32 = Rp 20.000,- d. C 22 = Rp 100.000,- h. C 33 = Rp 120.000,- Misalkan X ij menyatakan banyaknya minyak yang harus didistribusikan dari sumber i untuk kota tujuan j. (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3). Formulasi untuk masalah program linear ini adalah: Minimasi: z 120000 11 20000 180000 32 12 120000 300000 33 21 100000 22 80000 23 200000 31 Pembatas linear: Pembatas supply 11 21 31 12 22 32 13 23 33 600000 00000 800000 11 12 13 Pembatas demand 21 22 23 31 32 33 400000 800000 700000 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33 0 Fitriani A, Math UP 1
Tabel transportasi awalnya adalah: Karena total supply = total demand maka model transportasinya merupakan model transportasi seimbang. 6 8 Demand 4 8 7 Penentuan Solusi Layak dengan menggunakan metode: Metode North Corner 4 2 8 Demand 8 7 4 2 8 Demand 6 7 4 2 8 Demand 1 7 Fitriani A, Math UP 2
4 2 1 Demand 7 7 Demand 4 2 1 7 Dengan menggunakan metode North Corner, diperoleh Basic feasible solutionnya adalah X 11 = 4, X 12 = 2, X 22 =, X 32 = 1, dan X 33 = 7. Berdasarkan itu maka diperoleh ongkos dari solusi layaknya adalah: Z = C 11 X 11 + C 12 X 12 + C 22 X 22 + C 32 X 32 + C 33 X 33 Z = (12.4) + (18.2) + (10.) + (2.1) + (12.7) Z = 48 + 36 + 0 + 2 + 84 = 243 Karena ongkos pengangkutan dalam puluhan ribu maka total ongkos pengangkutannya adalah Rp 2.430.000,- Solusi ini sudah layak namun belum tentu optimal. Metode Least Cost 6 8 Demand 4 3 7 Fitriani A, Math UP 3
6 7 Demand 4 3 1 4 7 Demand 3 2 1 Demand 4 2 1 7 Dengan menggunakan metode Least Corner, diperoleh Basic feasible solutionnya adalah X 11 = 4, X 12 = 2, X 22 =, X 32 = 1, dan X 33 = 7. Berdasarkan itu maka diperoleh ongkos dari solusi layaknya adalah: Z = C 11 X 11 + C 12 X 12 + C 22 X 22 + C 32 X 32 + C 33 X 33 Z = (12.4) + (18.2) + (10.) + (2.1) + (12.7) Z = 48 + 36 + 0 + 2 + 84 = 243 Karena ongkos pengangkutan dalam puluhan ribu maka total ongkos pengangkutannya adalah Rp 2.430.000,- Solusi ini sudah layak namun belum tentu optimal. Fitriani A, Math UP 4
Metode Vogel Penalty 6 6 2 8 8 Penalty 8 8 8 Demand 4 8 7 Penalty 6 6 2 7 Penalty 8 8 Demand 4 8 1 4 Penalty M-18 2 2 Penalty 8 Demand 8 7 1 4 2 Penalty 2 Penalty Demand 6 7 1 Fitriani A, Math UP
Penalty Demand 4 2 1 7 Penalty Dengan menggunakan metode Vogel, diperoleh Basic feasible solutionnya adalah X 11 = 4, X 12 = 2, X 22 =, X 32 = 1, dan X 33 = 7. Berdasarkan itu maka diperoleh ongkos dari solusi layaknya adalah: Z = C 11 X 11 + C 12 X 12 + C 22 X 22 + C 32 X 32 + C 33 X 33 Z = (12.4) + (18.2) + (10.) + (2.1) + (12.7) Z = 48 + 36 + 0 + 2 + 84 = 243 Karena ongkos pengangkutan dalam puluhan ribu maka total ongkos pengangkutannya adalah Rp 2.430.000,- Solusi ini sudah layak namun belum tentu optimal. Pengecekan Optimalitas dengan menggunakan Stepping Stone Untuk kasus, karena penyelesaian awal (bfs) yang ditentukan dengan 3 metode di atas menghasilkan solusi layak yang sama maka bebas dipilih 1 solusi layak dari 3 solusi yang diperoleh tersebut di atas. Misalkan yang diambil adalah penyelesaian awal (bfs) dengan menggunakan metode Vogel. Peubah Basisnya adalah {X 11, X 12, X 22, X 32, X 33 } Peubah Nonbasisnya adalah {X 13, X 21, X 23, X 31 }. X 13 = (+) X 13 -- (-) X 33 -- (+) X 32 -- (-) X 12 = 2 3 0 X 21 = (+) X 21 -- (-) X 11 -- (+) X 12 -- (-) X 22 = 4 0 6 1 X 23 = (+) X 23 -- (-) X 33 -- (+) X 32 -- (-) X 22 = 2 6 0 X 31 = (+) X 31 -- (-) X 11 -- (+) X 12 -- (-) X 32 = 1 3 3 0 o Z = C 11 X 11 + C 13 X 13 + C 22 X 22 + C 32 X 32 + C 33 X 33 Z = (12.4) + (M.2) + (10.) + (2.3) + (12.) = 2M + 233 ΔZ 13 = 2M + 233 243 = 2M 10 o Z = C 21 X 21 + C 12 X 12 + C 22 X 22 + C 32 X 32 + C 33 X 33 Z = (30.4) + (18.6) + (10.1) + (2.1) + (12.7) = 347 Fitriani A, Math UP 6
ΔZ 21 = 347 243 = 104 o Z = C 11 X 11 + C 12 X 12 + C 23 X 23 + C 32 X 32 + C 33 X 33 Z = (12.4) + (18.2) + (8.) + (2.6) + (12.2) = 336 ΔZ 23 = 336 243 = 93 o Z = C 11 X 11 + C 12 X 12 + C 22 X 22 + C 31 X 31 + C 33 X 33 Z = (12.3) + (18.3) + (10.) + (20.1) + (12.7) = 244 ΔZ 31 = 244 243 = 1 Karena semua ΔZ dari peubah nonbasis bernilai nonnegatif, dimana hal ini berarti setiap perubahan peubah nonbasis menjadi peubah basis hanya akan mengakibatkan penambahan ongkos pengangkutan, sehingga solusi layak yang telah diperoleh merupakan solusi layak yang optimal. Kesimpulan untuk masalah, agar diperoleh ongkos yang paling minimum, maka hal yang perlu dilakukan oleh adalah: yang ada di itu mengirimkan 400.000 galon ke kota Semarang, dan 200.000 galon ke kota Jakarta. yang ada di itu hanya mengirimkan 00.000 galon ke kota Jakarta. yang ada di itu mengirimkan 100.000 galon ke kota Jakarta, dan 700.000 galon ke kota Bandung. Total ongkos pengangkutannya sebesar Rp 2.430.000,- 2. Untuk permasalahan model tansportasi ini diperoleh informasi bahwa PN GA mempunyai: 3 sumber bahan bakar, yaitu: a. (S 1 ) dengan kapasitas produksi.000 galon b. (S 2 ) dengan kapasitas produksi 0.000 galon c. (S 3 ) dengan kapasitas produksi 660.000 galon Total supply dari 3 sumber tersebut adalah 1.48.000 galon 4 bandar udara (tujuan), yaitu a. Jakarta (T 1 ) dengan daya tampung sebanyak 440.000 galon b. Bandung (T 2 ) dengan daya tampung sebanyak.000 galon c. (T 3 ) dengan daya tampung sebanyak 220.000 galon d. (T 4 ) dengan daya tampung sebanyak 110.000 galon Total demand dari 4 tujuan tersebut adalah 1.100.000 galon Misalkan C ij menyatakan ongkos pengangkutan dari sumber i ke tujuan j (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4), maka ongkos pengangkutan per galon, adalah: Fitriani A, Math UP 7
a. C 11 = Rp 11.000,- g. C 23 = Rp 11.000,- b. C 12 = Rp 9.000,- h. C 24 = Rp 7.000,- c. C 13 = Rp 10.000,- i. C 31 = Rp 9.000,- d. C 14 = Rp 10.000,- j. C 32 = Rp 4.000,- e. C 21 = Rp 13.000,- k. C 33 = Rp 14.000,- f. C 22 = Rp 12.000,- l. C 34 = Rp 8.000,- Misalkan X ij menyatakan banyaknya minyak yang harus didistribusikan dari sumber i untuk kota tujuan j. (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4). Formulasi untuk masalah program linear ini adalah: Minimasi: z 11000 7000 11 24 Pembatas linear: Pembatas supply 11 21 31 12 22 32 13 9000 23 33 12 9000 14 24 34 31 10000 4000 000 0000 660000 13 32 10000 14000 14 33 13000 8000 34 21 Pembatas demand 11 12 13 14 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34 0 Tabel transportasi awalnya adalah: 21 22 23 24 12000 31 32 33 34 22 440000 000 220000 110000 11000 Karena total supply total demand (total supply > total demand), maka model transportasinya merupakan model transportasi tak seimbang sehingga untuk menjadikannya model model transportasi seimbang, pada tabel transportasinya perlu ditambahkan kolom dummy. 000 0000 660000 Demand 440000 000 220000 110000 Untuk mempermudah perhitunga, pada tabel-tabel selanjutnya banyaknya suplly dan demand dinyatakan dalam ribuan galon. 23 Fitriani A, Math UP 8
Penentuan Solusi Layak dengan menggunakan metode: Metode North Corner 0 660 Demand 16 220 110 38 16 38 660 Demand 220 110 38 16 660 Demand 220 110 38 16 660 Demand 16 110 38 Fitriani A, Math UP 9
16 16 Demand 110 38 49 16 16 110 38 Demand 38 16 16 110 38 Demand Dengan menggunakan metode North Corner, diperoleh Basic feasible solutionnya adalah X 11 =, X 21 = 16, X 22 = 300, X 23 =, X 33 = 16, X 34 = 110, dan X 3 = 0. Berdasarkan itu maka diperoleh ongkos dari solusi layaknya adalah: Z = C 11 X 11 + C 21 X 21 + C 22 X 22 + C 23 X 23 + C 33 X 33 + C 34 X 34 + C 3 X 3 Z = (11.) + (13.16) + (12.) + (11.) + (14.16) + (8.110) + (0.38) Z = 302 + 214 + 3960 + 60 + 2310 + 880 + 0 = 1292 Karena ongkos pengangkutan dalam ribu dan banyaknya unit dalam ribuan galon, maka total ongkos pengangkutannya adalah Rp 12.92.000.000,- Solusi ini sudah layak namun belum tentu optimal. Fitriani A, Math UP 10
Metode Least Cost 0 660 Demand 440 220 110 110 110 440 660 Demand 440 220 110 110 Demand 440 220 110 440 110 110 Demand 440 220 Fitriani A, Math UP 11
110 110 Demand 110 220 220 110 110 Demand 110 110 220 110 110 Demand Dengan menggunakan metode Least Corner, diperoleh Basic feasible solutionnya adalah X 1 =, X 21 = 110, X 23 = 220, X 24 = 110, X 2 = 110, X 31 =, dan X 32 =. Berdasarkan itu maka diperoleh ongkos dari solusi layaknya adalah: Z = C 1 X 1 + C 21 X 21 + C 23 X 23 + C 24 X 24 + C 2 X 2 + C 31 X 31 + C 32 X 32 Z = (0.) + (13.110) + (11.220) + (7.110) + (0.110) + (9.) + (4.) Z = 0 + 1430 + 2420 + 770 + 0 + 2970 + 1320 = 8910 Karena ongkos pengangkutan dalam ribu dan banyaknya unit dalam ribuan galon, maka total ongkos pengangkutannya adalah Rp 8.910.000.000,- Solusi ini sudah layak namun belum tentu optimal. Fitriani A, Math UP 12
Metode Vogel Penalty 9 7 0 4 660 Penalty 2 1 1 0 Demand 440 220 110 38 Penalty 7 0 4 660 Penalty 2 1 1 0 Demand 440 220 110 110 110 Penalty 6 440 4 660 Penalty 2 1 1 Demand 440 220 110 110 110 Penalty 1 1 Penalty 2 1 Demand 440 220 Fitriani A, Math UP 13
110 110 Penalty 2 1 Demand 440 220 Penalty 2 1 110 110 Penalty 2 1 Demand 110 220 Penalty 2 Penalty 110 220 110 110 Penalty Demand Dengan menggunakan metode Vogel, diperoleh Basic feasible solutionnya adalah X 1 =, X 21 = 110, X 23 = 220, X 24 = 110, X 2 = 110, X 31 =, dan X 32 =. Berdasarkan itu maka diperoleh ongkos dari solusi layaknya adalah: Z = C 1 X 1 + C 21 X 21 + C 23 X 23 + C 24 X 24 + C 2 X 2 + C 31 X 31 + C 32 X 32 Z = (0.) + (13.110) + (11.220) + (7.110) + (0.110) + (9.) + (4.) Z = 0 + 1430 + 2420 + 770 + 0 + 2970 + 1320 = 8910 Karena ongkos pengangkutan dalam ribu dan banyaknya unit dalam ribuan galon, maka total ongkos pengangkutannya adalah Rp 8.910.000.000,- Solusi ini sudah layak namun belum tentu optimal. Fitriani A, Math UP 14
Pengecekan Optimalitas dengan menggunakan Stepping Stone Untuk kasus PN GA, karena penyelesaian awal (bfs) yang diambil adalah penyelesaian awal (bfs) dengan menggunakan metode Vogel/metode Least Cost, hal ini dikarenakan dengan metode Vogel/metode Least Cost ini diperoleh ongkos pengiriman yang minimum. Peubah Basisnya adalah { X 1, X 21, X 23, X 24, X 2, X 31, X 32 } Peubah Nonbasisnya adalah {X 11, X 12, X 13, X 14, X 22, X 33, X 34, X 3 }. Peubah NonBasis Z baru ΔZ X 11 8690-220 X 12 9020 110 X 13 8690-220 X 14 9240 X 22 930 440 X 33 1040 140 X 34 9460 0 X 3 930 440 Karena ada nilai ΔZ < 0, maka solusi layak yang diperoleh belum optimal, karena nilai ΔZ sama, maka dipilih salah satu. Misalkan dipilih X 13 sebagai entering variable dan X 23 sebagai leaving variable dan diperoleh nilai fungsi tujuan baru sebesar 8690, dengan kata lain diperoleh total ongkos pengangkutan yang baru, yaitu Rp 8.690.000.000,-. Untuk tabel pengecakan yang baru diperoleh: Peubah Basisnya adalah { X 1, X 21, X 13, X 24, X 2, X 31, X 32 } Peubah Nonbasisnya adalah {X 11, X 12, X 23, X 14, X 22, X 33, X 34, X 3 }. 220 110 110 Peubah NonBasis Z baru ΔZ X 11 880-110 X 12 874 X 23 9130 440 X 14 962 93 X 22 8910 220 X 33 1040 1760 X 34 9240 0 X 3 10010 1320 Karena ada nilai ΔZ < 0, maka solusi layak yang diperoleh belum optimal, karena nilai ΔZ sama, maka dipilih salah satu. Misalkan dipilih X 11 sebagai entering variable dan X 1 Fitriani A, Math UP 1
sebagai leaving variable dan diperoleh nilai fungsi tujuan baru sebesar 880, dengan kata lain diperoleh total ongkos pengangkutan yang baru, yaitu Rp 8.80.000.000,-. Untuk tabel pengecekan yang baru diperoleh: Peubah Basisnya adalah { X 11, X 21, X 13, X 24, X 2, X 31, X 32 } Peubah Nonbasisnya adalah {X 1, X 12, X 23, X 14, X 22, X 33, X 34, X 3 }. 220 110 38 Peubah NonBasis Z baru ΔZ X 1 8690 110 X 12 874 16 X 23 962 104 X 14 88 X 22 8800 220 X 33 9900 1320 X 34 962 104 X 3 9900 1320 Karena semua ΔZ dari peubah nonbasis bernilai nonnegatif, dimana hal ini berarti setiap perubahan peubah nonbasis menjadi peubah basis hanya akan mengakibatkan penambahan ongkos pengangkutan, sehingga solusi layak yang telah diperoleh merupakan solusi layak yang optimal, dengan total ongkos pengangkutan optimum, yaitu Rp 8.80.000.000,-. Kesimpulan untuk masalah PN GA, agar diperoleh ongkos yang paling minimum, maka hal yang perlu dilakukan oleh PN GA adalah: a. mengirimkan.000 galon ke bandar udara di Jakarta, dan 220.000 galon ke kota bandar udara di. b. mengirimkan.000 galon ke bandar udara di Jakarta, 110.000 galon ke bandar udara di, sedangkan sebanyak 38.000 galon merupakan kelebihan produksi dari pertamina. c. mengirimkan.000 galon ke bandar udara di Jakarta, dan.000 galon ke bandar udara di Bandung. d. Total ongkos pengangkutannya sebesar Rp 8.80.000,- Fitriani A, Math UP 16