SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri sutu himpunn B(, b). Pd pembhsn sift penjumlhn dn perklin bilngn rel, kn digunkn notsi + b dn. b secr konvensionl.. Sift Aljbr Bilngn Rel Pd himpunn bilngn rel ℝ, terdpt du opersi biner yng dilmbngkn dengn + dn. dn berturut-turut disebut dengn penjumlhn dn perklin. Opersi biner tersebut memiliki sift sebgi berikut: (A) + b = b + untuk setip, b ℝ (komuttif terhdp penjumlhn) (A2) ( + b) + c = + (b + c) untuk setip, b, c ℝ (ssositif terhdp perklin) (A3) terdpt unsur 0 ℝ sedemikin sehingg 0 + = dn + 0 = untuk setip ℝ (eksistensi unsur nol) (A4) untuk setip ℝ terdpt unsur ℝ sedemikin sehingg + (-) = 0 dn (-) + = 0 (eksistensi unsur negtif) (M). b = b. untuk setip, b ℝ (komuttif terhdp perklin) (M2) (. b). c =. (b. c) untuk setip, b, c ℝ (ssositif terhdp perklin) (M3) terdpt unsur ℝ yng berbed dri 0 sedemikin sehingg. = dn. = untuk setip ℝ (eksistensi unsur stun di ℝ) (M4) untuk setip 0 di ℝ terdpt unsur ℝ sedemikin sehingg dn (eksistensi unsur keblikn). 0 Anlisis Rel @Aswd 204 Blog: http://swht.wordpress.com/ Emi: s_wd82@yhoo.co.id
(D). (b + c) = (. b) + (. c) dn (b + c). = (b. ) + (c. ), untuk setip, b, c R (distributif perklin terhdp penjumlhn). Sift-sift di ts telh umum dikethui. Empt sift pertm (A) (A4) menjelskn sift ljbr bilngn rel terhdp penjumlhn sedngkn empt sift berikutny (M) (M4) menjelskn sift ljbr bilngn rel terhdp perklin. Stu sift terkhir yitu (D) menjelskn tentng gbungn dri kedu opersi tersebut. Selnjutny, kn ditunjukkn beberp teorem tentng eksistensi unsur 0 dn sebgimn yng terdpt dlm (A3) dn (M3). Selin itu, kn ditunjukkn pul bhw perklin dengn unsu 0 kn sellu menghsilkn unsur 0. Teorem 2 (). Jik z dn elemen di R, dengn z + = mk z = 0 (b). jik u dn b 0 dlh elemen di R dengn u. b = b mk u = (c). jik R mk. 0 = 0 Bukti (). dikethui z, R dn z + = Akn ditunjukkn z = 0. Dri z + =, kedu rus ditmbhkn dengn, diperoleh (z + ) + (-) = + (-) z + ( + (-)) = + (-) (A2) z + 0 = 0 (A4) z = 0 (A3) (b). dikethui u. b = b dn b 0 Kren b 0, mk terdpt b R. Dri u. b = b, kedu rus diklikn dengn b diperoleh Anlisis Rel @Aswd 204 Blog: http://swht.wordpress.com/ Emi: s_wd82@yhoo.co.id
(u. b) b = b b u b. b. b b (M2) u. = (M4) u = (M3) (c). Kren +. 0 =. +. 0 =. ( + 0) =. =, mk. 0 = 0. Jdi Teorem 2 terbukti. Teorem 3. Jik R, mk (). (-). = - (b). (-) = (c). (-). (-) = Selnjutny, kn diberikn du sift penting dri opersi perklin yitu sift ketunggln elemen inversny dn bhw perklin du buh bilngn kn menghsilkn nol hny jik slh stu dri kedu bilngn tersebut dlh nol. Teorem 4. (). Jik + b = 0, mk b = - (b). Jik 0 dn b R sedemikin sehingg. b =, mk b (c). Jik. b = 0, mk = 0 dn b = 0. Bukti: (). dri + b = 0, kedu rus ditmbhkn dengn (-), diperoleh (-) + ( + b) = (-) + 0 ((-) + ) + b = (-) + 0 0 + b = - b = - 2 Anlisis Rel @Aswd 204 Blog: http://swht.wordpress.com/ Emi: s_wd82@yhoo.co.id
(b). dri. b =, kedu rus diklikn dengn, diperoleh.b.. b.b b (c). dri. b = 0, kedu rus diklikn dengn, diperoleh.b.0. b 0.b=0 b=0 Jdi Teorem 4 terbukti. Opersi pengurngn (subdtrction) didefinisikn dengn b = + (-b) untuk, b ℝ. Begitu pul dengn opersi pembgin (division),, b ℝ dengn b 0 didefinisikn.. Tnp mengurngi keterumumn, b b untuk selnjutny perklin. b cukup ditulis dengn b. Sm hlny dengn penulisn bentuk eksponen 2 cukup ditulis, 3 dengn (2), dn secr umum n + = (n), untuk n ℕ. Lebih lnjut, =, dn jik 0, mk cukup ditulis 0 = dn - untuk n -n untuk. 3 Anlisis Rel @Aswd 204 Blog: http://swht.wordpress.com/ Emi: s_wd82@yhoo.co.id, dn jik n ℕ, mk dpt ditulis
2. Bilngn rsionl dn Bilngn Irrsionl Perhtikn bhw himpunn bilngn sli, ℕ, dn himpunn bilngn bult, ℤ, merupkn subset dri ℝ. Elemen ℝ yng dpt dituliskn ke dlm bentuk b dengn, b ℤ dn 0 disebut dengn bilngn rsionl. Himpunn semu bilngn rsionl di ℝ dinotsikn dengn ℚ. Perhtikn pul bhw sift-sift lpngn jug berlku untuk ℚ. Tidk semu elemen di ℝ merupkn elemen ℚ. Mislny sj dlm bentuk 2, yng tidk dpt dinytkn ke b. Elemen ℝ yng bukn termsuk ke dlm elemen ℚ disebut bilngn irrsionl. Selnjutny, kn ditunjukkn bhw tidk d bilngn rsionl yng pbil dikudrtkn hsilny dlh 2. Untuk membuktiknny digunkn istilh genp dn gnjil. Sutu bilngn sli disebut genp pbil bilngn tersebut mempunyi bentuk 2n untuk n ℕ, dn disebut gnjil pbil bilngn tersebut mempunyi bentuk 2n untuk n ℕ. Teorem 5. Tidk d bilngn rsionl r sedemikin sehingg r2 = 2. Bukti Dengn kontrdiksi, mislkn p dn q dlh bilngn bult sedemikin sehingg (p/q)2 = 2. Disumsikn bhw p dn q positif dn tidk memiliki fktor persekutun lin selin. Kren (p/q)2 = 2, mk p2 = 2q2. Jels bhw p2 dlh genp. Akibtny p jug genp sebb jik gnjil mk p = 2n untuk sutu n ℕ sehingg p2 = (2n )2 = 4n2 4n + = 2(2n2 2n) + yng berrti bhw p2 jug gnjil. Jdi p hruslh genp. Selnjutny, kren p dn q tidk memiliki fktor persekutun lin selin mk q hruslh merupkn bilngn sli gnjil. 4 Anlisis Rel @Aswd 204 Blog: http://swht.wordpress.com/ Emi: s_wd82@yhoo.co.id
Kren p genp, mk p = 2m untuk m ℕ, sehingg dri p2 = 2q2 diperoleh (2m)2 = 2q2 4m2 = 2q2 2m2 = q2. Dengn demikin, q2 dlh genp. Akibtny q jug hruslh genp. Hl ini kontrdiksi dengn permisln bhw q gnjil. Jdi pengndin slh. Yng benr dlh tidk d bilngn rsionl r sedemikin sehingg r2 = 2. 3. Sift Urutn Bilngn Rel Sift urutn bilngn rel menjelskn tentng kepositifn (positivity) dn ketksmn (inequlities) dintr bilngn rel. Sift urutn bilngn rel yng dimksud dlh sebgi berikut: Definisi 5. Sutu subset tk kosong P (P ℝ), disebut dengn himpunn bilngn rel positif tegs, jik memenuhi sift-sift berikut: (). Jik, b P, mk + b P (b). Jik, b P, mk b P (c). Jik P, mk memenuhi tept stu kondisi berikut: P, = 0, tu P. Du sift pertm yitu () dn (b) menjelskn tentng sift tertutup P terhdp opersi penjumlhn dn perklin. Sementr sift yng ketig yitu (c) sering disebut dengn Sift Trikotomi sebb kn membgi ℝ ke dlm tig jenis elemen yng berbed. Hl ini menjelskn bhw himpunn {- P+ dri bilngn rel negtif tidk memiliki elemen yng sm dengn himpunn bilngn rel positif. Lebih lnjut, himpunn bilngn ℝ merupkn gbungn dri tig himpunn sling sing tersebut yitu: ℝ = P {0} {- P+ 5 Anlisis Rel @Aswd 204 Blog: http://swht.wordpress.com/ Emi: s_wd82@yhoo.co.id
Jik P, ditulis > 0, rtiny dlh sutu bilngn rel positif. Jik P *0+, ditulis 0, rtiny dlh bilngn rel nonnegtif. Sm hlny jik P, ditulis, 0, rtiny dlh bilngn rel negtif. Dn jik P {0}, ditulis 0, rtiny dlh bilngn rel nonpositif. Definisi 6. Mislkn, b R. (). jik b P, mk ditulis > b tu b < (b). Jik b P *0+, mk ditulis b tu b. Akibtny, sift trikotomi dpt dituliskn kembli menjdi: sutu, b R memenuhi tept stu kondisi berikut: > b, = b, < b. sementr itu, jik b dn b mk = b. Dn jik < b < c mk rtiny < b dn b < c. Teorem 6. (). Jik R dn 0, mk 2 > 0 (b). > 0 (c). Jik n N, mk n > 0 Bukti (). berdsrkn sift trikotomi, jik 0 mk berlku slh stu dri P tu P. Jik P mk 2 =. P. Sm hlny jik P mk 2 = (-). (-) P. Sehingg dpt disimpulkn bhw jik 0, mk 2 > 0. (b). kren = 2, mk berdsrkn Teorem 6(), > 0. (c). kn digunkn induksi mtemtik untuk menunjukkn bhw jik n N, mk n > 0. (i). untuk n =, mk > 0 benr (Teorem 6 (b)) (ii). Mislkn n = k benr ykni k > 0. Mk kn bernili benr jug untuk n = k + ykni k + > 0 Kren k > 0 dn > 0 mk k + > 0. 6 Anlisis Rel @Aswd 204 Blog: http://swht.wordpress.com/ Emi: s_wd82@yhoo.co.id
Jdi, pernytn untuk n = k + jug bernili benr. Dri (i) dn (ii) mk terbukti jik n N, mk n > 0. Teorem 7. Mislkn, b, c R. (). Jik > b dn b > c, mk > c (b). Jik > b dn + c > b + c (c). Jik > b dn c > 0, mk c > cb Jik > b dn c < 0, mk c < cb (d). Jik > 0 mk 0 Bukti Jik < 0 mk 0 (). Jik b P dn b c P, mk ( b) + (b c) = c P. Akibtny > c. (b). Jik b P mk ( + c) (b + c) = b P. Artiny + c > b + c (c). Jik b P dn c P, mk c cb = c( b) P. Akibtny c > cb untuk c > 0. Sementr itu, jik c < 0 dn c P sehingg cb c = -c( b) P, mk cb > c untuk c < 0. (d). Jik > 0, mk 0. Akibtny 0. Mislkn 0, mk. 0. Hl ini jels slh (Teorem 6 (b)). Sehingg hruslh 0 Dengn cr yng sm dpt ditunjukkn jik < 0 mk 0 7 Anlisis Rel @Aswd 204 Blog: http://swht.wordpress.com/ Emi: s_wd82@yhoo.co.id
Teorem 8. b b. 2 Jik, b R, dn < b, mk Bukti Dri < b, mk berlku 2 = + < + b dn + b < b + b = 2b. Dri kedu pernytn tersebut diperoleh 2 < + b < 2b. Kren 2 > 0, mk berdsrkn Teorem 7 (d) diperoleh 0 2. Sehingg 2 b 2b b 2 2 2 b b, untuk setip, b R. 2 Jdi Perhtikn bhw tidk kn pernh terdpt bilngn rel positif terkecil. Sebgi gmbrn, mislkn > 0, dn mbil ½ > 0, diperoleh 0 < ½ < untuk sebrng bilngn rel. Artiny, untuk setip bilngn rel positif psti kn terdpt bilngn rel poitif lin yng lebih kecil dlm hl ini ½. Selnjutny, untuk membuktikn bhw sutu himpunn 0 dlh sm dengn 0, mk hrus ditunjukkn bhw sellu lebih kecil dri sebrng bilngn positif yng diberikn. Teorem 9. Jik R dn 0 < ε untuk ε > 0, mk = 0. Bukti: Akn dibuktikn dengn kontrdiksi. Mislkn > 0. Mk berdsrkn Teorem 8 berlku 0 < ½ <. Pilih ε = ½ > 0. Jdi, terdpt ε > 0 sedemikin sehingg ε <. Hl ini kontrdiksi dengn < ε untuk ε > 0. Jdi hruslh = 0. 8 Anlisis Rel @Aswd 204 Blog: http://swht.wordpress.com/ Emi: s_wd82@yhoo.co.id
Hsil kli du bilngn positif dlh positif, tetpi bilngn positif tidk sellu dihsilkn dri perklin du buh bilngn positif. Perklin du bilngn negtif jug dlh positif. Selnjutny perhtikn Teorem 0 berikut. Teorem 0. Jik b > 0 mk berlku:. > 0 dn b > 0, tu b. < 0 dn b < 0 Bukti: Perhtikn b > 0 sehingg 0 dn b 0. Berdsrkn sift trikotomi jik 0 mk < 0 tu > 0. Demikin pul jik b 0 mk b < 0 tu b > 0.. Ambil > 0. Mk jels 0 b. Ambil < 0. Mk jels 0 sehingg diperoleh b b 0 0 sehingg diperoleh b b 0 0 Akibt. Jik b < 0 mk berlku. < 0 dn b > 0, tu b. > 0 dn b < 0 Pembuktinny ditingglkn sebgi ltihn. 9 Anlisis Rel @Aswd 204 Blog: http://swht.wordpress.com/ Emi: s_wd82@yhoo.co.id