STATISTIKA 2 UKURAN PEMUSATAN TUJUAN Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta dapat mengembangkan aktifitas, kreatifitas dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide dan gagasannya. TUJUAN PEMELAJARAN Kecakapan dan keterampilan dapat dimiliki siswa dengan cara : 1. Mendifinisikan dengan bahasa sendiri pengertian ukuran pemusatan 2. Mengidentifikasikan dan membedakan arti antara mean, median dan modus. 3. Menentukan besarnya nilai rata-rata hitung ( mean ) suatu data tersaji. 4. Terhadap data yangsama dapat menghitung besarnya nilai median. 5. Mencari besarnya nilai modus pada data tersaji baik tunggal maupun kelompok 6. Memberikan penafsiran terhadap perbedaan nilai mean, median dan modus dari suatu kumpulan data yang sama. 7. Menentukan besarnya rata-rata hitung dan rata-rata ukur data.. Menunjukkan besarnya nilai rata-rata harmonis baik data tunggal maupun data kelompok. I. PENDAHULUAN Data yang diperoleh dari suatu proses pengumpulan, setelah dicatat, dianalisa dan diamati secara seksama ternyata bahwa terhadap data-data tersebut terdapat kecenderungan bahwa data-data tersebut menunjuk ke nilai tertentu atau berada disekitar nilai tertentu. Bila kepada siswa ditanyakan berapa besarnya nilai rata-rata dari sekumpulan data yang ada, maka siswa akan cenderung menjawab sebuah nilai yang merupakan perbandingan antara jumlah nilai data dan jumlah ( banyaknya ) data yang dikenal sebagai mean. Ada kalanya yang disebut adalah sebuah nilai data yang berada tepat di tengah dari kumpulan data ( median ), dan Modul 11.1.2 Statistika 11 Bahasa 1
sering pula disebut suatu nilai data yang sering terlihat ( muncul ) yang dikenal sebagai modus. Ukuran pemusatan atau tendensi sentral akan menunjuk ke : mean, median, modus, rata-rata harmonis, rata-rata ukur dan lain-lain. Semua ukuran pemusatan itu sah adanya dan dianggap sudah mewakili atau sudah menjawab pertanyaan yang ada pada sekumpulan data. II. NILAI SENTRAL A. Rata-rata Hitung / Mean, : 1. Pengertian Rata-rata hitung atau mean diberi notasi ( baca : X bar ), adalah suatu nilai pemusatan yang besarnya merupakan perbandingan antara jumlah nilai data dan jumlah atau banyaknya data. Secara matematis ditulis : =, dengan i = 1, 2, 3,, n n = banyaknya data dan = jumlah nilai data 2. Nilai Mean a. Data Tunggal Untuk data tunggal atau tidak berkelompok rata-rata hitung dihitung dengan rumus Contoh : = Tentukan rata-rata dari data-data berikut ini : 4 9 7 6 6 5 9 7 4 Banyaknya data, n = 10 = = = 6,5 Jadi mean = 6,5 Modul 11.1.2 Statistika 11 Bahasa 2
b. Data Berkelompok Untuk data berkelompok baik dalam bentuk tabel distribusi frekuensi maupun bentuk grafik, besarnya rata-rata hitung adalah perbandingan antara jumlah hasil kali antara titik tengah interval kelas dan frekuensinya dengan banyaknya data. Secara matematis ditulis : =, i = 1, 2, 3, = frekuensi kelas ke i = titik tengah kelas ke i = n = jumlah frekuensi = banyaknya data Contoh : Tentukan nilai rata-rata hitung dari data-data di bawah ini : i. ii. N i l a i Frekuensi 15-21 9 21-2 12 29-35 16 36-42 43-49 5 jumlah 50 14 16 10 4 0 10 20 30 40 50 60 N i l a i Frekuensi Titik Tengah. 15 21 22 2 29 35 36 42 43 49 9 12 16 5 1 25 32 39 46 162 300 512 312 230 J u m l a h 60 1516 = Jadi rata-rata hitung atau mean = 30,52 Modul 11.1.2 Statistika 11 Bahasa 3
Interval Frekuensi Titik Tengah. 0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 14 16 10 4 5 15 25 35 45 55 40 210 400 20 450 220 J u m l a h 60 1600 =. Jadi rata-rata hitung atau mean = 25 3. Median, Me : a. Pengertian : Median diberi notasi Me, merupakan nilai data yang telah tersusun terurut yang berada paling tengah. Median sering disebut juga sebagai nilai tengah suatu data atau nilai tepat dimana data ini terbagi dua sama banyak dengan masing-masing bagian adalah 50 %. Jadi median, Me = nilai tengah. b. Nilai Median, Me : 1) Data Tunggal Untuk data tunggal atau data tidak berkelompok nilai mediannya tinggal menunjuk sebuah data telah terurut yang letaknya tepat di tengah-tengah. Jadi letak Median berada pada Data ke Contoh : Tentukan nilai median dari data-data berikut ini : i. 5 3 7 4 6 9 4 7 ii. 17 15 19 20 21 25 16 19 21 1 Modul 11.1.2 Statistika 11 Bahasa 4
i. Data terurut : 3 4 4 5 6 7 7 9 banyak data, n = 9 Letak median pada data ke = data ke = data nomor urut 5 Jadi nilai median dari data di atas adalah, Me = 6. ii. Data terurut : 15 16 17 1 19 19 20 21 21 25 banyak data, n =10 Letak median pada data ke = data ke = data nomor 5,5 Nilai median, Me = data ke 5 + 0,5 ( data ke 6 - data ke 5 ) = 19 + 0,5 ( 19 19 ) = 19 Jadi nilai median = 19 2) Data Berkelompok Untuk data yang berkelompok nilai median agar lebih mudah ditentukan dengan langkah-langkah : Tentukan dahulu letak median. Letak median berada pada data ke, tepat berada di tengah. Tentukan nilai median. Nilai median ditentukan dengan rumus,. Keterangan : b = tepi bawah kelas median f = frekuensi kelas median n = banyak data = jumlah frekuensi = jumlah frekuensi sebelum kelas median i = panjang kelas interval Modul 11.1.2 Statistika 11 Bahasa 5
Contoh : Tentukan nilai median dari data-data di bawah ini : i. ii. N i l a i Frekuensi 15 21 9 16 22 2 23 35 36 42 12 16 14 10 43 49 5 Jumlah 50 4 0 10 20 30 40 50 60 i. Letak median pada data ke = data ke 25, *berada di kelas ke 3; f = 16 *tepi bawah kelas median, b = 2,5 *jumlah frekuensi sebelum kelas median, = 12 + 9 = 21 *anjang interval kelas, i = 7 Nilai median, Me = b +. i = 2,5 +. 7 = 2,5 + 1,75 = 30,25 Jadi nilai median, M e = 30,25 ii. Banyaknya data, n = + 14 + 16 + + 10 + 4 = 60 Letak median pada data ke = data ke 30, *berada di kelas ke 3; f = 16 *tepi bawah kelas median, b = 20 *jumlah frekuensi sebelum kelas median, = 14 + = 22 *panjang interval kelas, i = 10 Nilai median, Me = b +. i = 20 +. 10 Modul 11.1.2 Statistika 11 Bahasa 6
= 20 + 5 = 25 Jadi median, Me = 25 3. Modus, Mo : a. Pengertian Modus atau mode adalah nilai suatu data yang paling sering dipakai atau paling sering muncul atau data dengan frekuensi terbesar. Modus diberi notasi Mo. Dengan pengertian ini maka ada kalanya sekumpulan data akan punya modus tepat satu, lebih dari satu atau tidak punya modus sama sekali. b. Nilai Modus 1) Data Tunggal Untuk data tunggal atau data tidak berkelompok, modus adalah nilai data yang paling sering muncul ( dipakai ). Contoh : Tentukan modus dari data-data berikut ini : i. 5 3 4 4 7 4 9 ii. 15 13 12 14 17 20 16 21 25 24 iii. 53 59 53 57 53 54 56 54 56 i. 3 4 4 4 5 7 7 9, jadi modus, Mo = 4 ii. 12 13 14 15 16 17 20 21 24 25, modus tidak ada. iii. 53 53 53 54 54 54 56 56 57 59, jadi modus, ada 2, yaitu : Mo = 53 dan 54 2) Data Berkelompok Untuk data berkelompok nilai modus berada pada kelas dengan frekuensi terbesar, letak modus dapat diperlihatkan dengan histogram, sebagai berikut : Nilai modus : Modul 11.1.2 Statistika 11 Bahasa 7
f d 1 Keterangan : d 1 d 2 b = tepi bawah kelas median d 1 = selisih antara frekuensi kelas modus dan frekuensi sebelum kelas modus d 2 = selisih antara frekuensi kelas modus b M o dan frekuensi sesudah kelas modus i = panjang interval kelas f = frekuensi kelas modus Contoh : Tentukan modus dari data-data berkelompok di bawah ini : i. ii. N i l a i Frek. 15 21 9 22 2 12 29 35 16 36 42 43 49 5 14 10 14 Jumlah 50 0 10 20 30 40 50 60 16 10 4 i. Letak modus pada kelas ke 3 dengan frekuensi, f = 16 tepi bawah kelas modus, b = 2,5 d 1 = 16 12 = 4 d 2 = 16 = interval kelas, i = 7 Nilai modus, Mo = b +. i = 2,5 +. 7 = 2,5 + 2,3 = 30, Jadi modus, Mo = 30, Modul 11.1.2 Statistika 11 Bahasa
ii. Letak modus pada kelas ke 3 dengan frekuensi, f = 16 tepi bawah kelas modus, b = 20 d 1 = 16 12 = 4 d 2 = 16 - = 6 interval kelas, i = 10 Nilai modus, Mo = b + = 20 +. 10 = 20 + 2 = 22 Jadi nilai modus, Mo = 22 Modul 11.1.2 Statistika 11 Bahasa 9
Uji Kompetensi 2 1. Hitunglah nilai mean dari data-data berikut ini : a. 25, 37, 29, 33, 36, 26, 31, 27 b. N i l a i 35 47 49 55 61 70 Frekuensi 9 11 17 3 2 Jawab 2. Nilai median dan odus dari soal nomor 1 di atas adalah.. Jawab 3. Hitunglah nilai tengah dari data-data di bawah ini : a. 50, 46, 73, 64, 55, 63, 73, 60, 59 b. N i l a i Frekuensi 15 25 12 25 35 23 35 45 11 45 55 7 55 65 7 J u m l a h 60 Jawab Modul 11.1.2 Statistika 11 Bahasa 10
4. Tentukan nilai modus dari soal nomor 3 di atas! Jawab 5. Hitunglah nilai mean, median dan modus dari data dalam diagram di bawah ini! 16 15 14 12 10 13 12 35 45 55 65 75 5 95. 6. Tentukan nilai mean, median dan modus dari diagram lingkaran di bawah ini : 15-21 = 12 22-2 = 15 29-35 = 25 36-42 = 15 43-49 = 10 50-56 = 14 57-63 = 9 Modul 11.1.2 Statistika 11 Bahasa 11
7. Nilai matematika dari 50 orang siswa adalah sebagai berikut : 35 40 75 55 60 45 60 5 45 50 0 35 40 45 75 43 59 3 64 73 3 40 43 72 67 59 37 75 45 60 45 54 63 42 71 69 65 42 39 62 3 54 67 72 75 67 3 69 46 4 Hitunglah nilai mean, median dan modusnya!...... Hitung modus dari tabel berikut ini! Interval Frekuensi 15-24 25-34 17 35-44 10 45-54 55-64 17 J u m l a h 60 Jawab:.. Modul 11.1.2 Statistika 11 Bahasa 12