(MS.2) KEKONVERGENAN BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL Endang Rusyaman, Kankan Parmikanti, Iin Irianingsih Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jl. Raya Bandung Sumedang Km 21 Jatinangor Email : erusyaman@yahoo.co.id Abstrak Misalkan adalah orde turunan fraksional suatu fungsi. Jika diambil dari suku-suku barisan bilangan real, maka fungsi turunan berorde akan membentuk barisan fungsi yang akan disebut sebagai barisan fungsi turunan fraksional. Dalam makalah ini akan disampaikan hasil penelitian yang menunjukkan bahwa jika barisan bilangan dari orde fraksional itu konvergen ke suatu bilangan, maka barisan fungsinya juga akan konvergen ke suatu fungsi turunan fraksional yang berorde sesuai dengan titik kekonvergenan barisan bilangan tersebut. Pembahasan kekonvergenan akan meliputi kekonvergenan pointwise dan kekonvergenan uniform. Kata Kunci : Barisan fungsi, kekonvergenan, turunan fraksional, pointwise, uniform. 1. PENDAHULUAN Konsep derivative atau turunan dari suatu fungsi, secara tradisional senantiasa dihubungkan dengan bilangan asli. Artinya jika kita mempunyai sebuah fungsi, maka kita dapat menentukan turunan ke-1, ke-2, ke-3 dan seterusnya. Ide generalisasi dari konsep ini adalah, bagaimana menentukan turunan ke- dari suatu fungsi dengan adalah suatu bilangan real. Jadi jika sebelumnya kita kenal notasi D n f (x) f (n) (x) sebagai turunan ke-n dari fungsi f(x) dengan n adalah bilangan asli, maka sebagai generalisasi dari bentuk t tersebut diperkenalkan notasi D t f (x) sebagai turunan ke- dari fungsi f(x), dengan suatu bilangan real.[4] Dalam [1, 2, 5] telah didefinisikan dan dibahas tentang turunan fraksional berorde dari fungsi f(x), yaitu f D x (x) lim h0 n 1 n h i0 ( 1) ( i 1). ( i 1) i 1 f ( x ih) (1) 253
dimana n. Dengan demikian jika f(x) x p, maka dengan menggunakan definisi (1) di atas diperoleh D x p x ( p 1) ( p 1 ) p x. (2) Selain itu, dalam [3] diperoleh hasil bahwa jika f(x) sin x, maka turunan fraksional orde dari f(x) adalah D sin x sin x +. (3) Apabila dari turunan fraksional suatu fungsi ini dibentuk suatu barisan fungsi, berikut akan disampaikan hasil kajian tentang bagaimana hubungan kekonvergenannya dengan barisan orde fraksional itu sendiri. 2. PEMBAHASAN Misalkan diambil bilangan real α untuk n 1, 2, 3,... dan f suatu fungsi sembarang. Dengan mencari turunan fraksional dari f berorde α, maka akan diperoleh barisan fungsi turunan φ D f. Dalam pembahasan ini akan disampaikan hasil penelitian yang menunjukkan bahwa dengan menambahkan syarat-syarat tertentu, jika barisan bilangan dari orde fraksional itu konvergen ke suatu bilangan, maka barisan fungsinya juga akan konvergen ke suatu fungsi turunan fraksional yang berorde sesuai dengan titik kekonvergenan barisan bilangan tersebut. Pernyataan tersebut secara formal adalah sebagai berikut. Teorema: Misalkan (α ) barisan bilangan real dan f suatu fungsi dengan φ (x) D f(x) ada nilainya untuk setiap n. Jika (α ) konvergen ke dan D f(x) ada, maka barisan fungsi (φ (x)) D f(x) konvergen ke D f(x). Bukti: Diketahui (α ) konvergen ke sehingga untuk n > N berlaku α α < ε, atau berarti untuk setiap > 0 terdapat bilangan asli N lim α α. n Dengan menggunakan sifat-sifat limit diperoleh lim φ (x) lim D f(x) lim (p + 1) x. lim (p + 1) (p + 1 α ) x 1 (p + 1 α ). x (p + 1) x 1. lim (p + 1 α ). lim x 254
(p + 1) x (p + 1 α). x (p + 1) (p + 1 α) x D f(x) φ(x) Hal ini menunjukkan bahwa barisan fungsi (titik demi titik) ke D f(x). (φ (x)) D f(x) konvergen pointwise Sebagai ilustrasi, berikut diberikan dua contoh yang menunjukkan kekonvergenan yang ditunjukkan pada teorema di atas. Contoh 1: Diberikan sebuah barisan bilangan real (α ) yang konvergen ke 1 dan fungsi f(x) x 2. Dengan demikian diperoleh barisan fungsi (φ (x)) D x yang berdasarkan rumus (3) adalah: - Turunan fraksional orde α dari f(x) x 2 adalah φ (x) () x - Turunan fraksional orde α dari f(x) x 2 adalah φ (x) - Turunan fraksional orde α dari f(x) x 2 adalah φ (x) () x () x Jadi ketika (α ) konvergen ke 1, maka secara bersamaan barisan (φ (x)) akan konvergen ke φ(x) () ( ) x 2x yang tiada lain adalah ( D x ) f (x). Pola kekonvergenan dari barisan fungsi tersebut terlihat dalam Gambar-1, mulai dari grafik di bawah menuju yang di atas. Gambar-1 Gambar-2 255
Contoh 2: Diberikan sepuluh buah bilangan real (α ),,,, 1 dan fungsi f(x) sin x. Dengan demikian diperoleh barisan fungsi (φ (x)) D sin x yang berdasarkan rumus (4) adalah: - φ (x) D, sin x sin x +, - φ (x) D, sin x sin x +, dan seterusnya sehingga diperoleh φ(x) sin x + cos x D sin x f (x). Pola kekonvergenan dari barisan fungsi tersebut terlihat dalam Gambar-2, mulai dari grafik sinus di bawah sebelah kiri menuju grafik cosinus di bawah sebelah kanan. Dari kedua contoh di atas dapat dibuktikan bahwa D f(x) konvergen uniform (seragam) ke D f(x). Keberadaan syarat perlu dari teorema di atas, yaitu φ (x) D f(x) dan D f(x) ada nilainya, benar-benar sangat penting, karena dapat ditunjukkan melalui contoh penyangkal bahwa bila syarat perlu tersebut dihilangkan, maka teorema tidak dijamin keberlakuannya. Contoh 3: Diberikan sepuluh buah bilangan real (α ),,,, 1 dan fungsi f(x) x. Tabel 1 menunjukkan nilai turunan fraksional berorde α dari f di bilangan real x. Dari Tabel 1 terlihat bahwa dalam hal f (x) D f(x) tidak ada nilainya, jika diambil barisan (α ) yang genapnya saja maka D f(x) tetap tidak konvergen. Hal ini menunjukkan bahwa teorema tidak berlaku apabila syarat perlu tidak dipenuhi. 3. PENUTUP Mengingat keterbatasan fungsi yang menjadi kajian penelitian ini, maka perlu penelitian lebih lanjut dengan menggunakan fungsi yang lebih umum, sehingga keberlakuan teorema di atas akan lebih sahih. 256
Tabel 1. Nilai Turunan Fraksional berorde α Nilai di x < 0 di x 0 di x > 0 D, f(x) Tidak ada nilai Tidak ada nilai (2) (1,9 ) x, D, f(x) (2) (1,8 ) x, 0 (2) (1,8 ) x, D, f(x) Tidak ada nilai Tidak ada nilai (2) (1,7 ) x, D, f(x) (2) (1,6) x, 0 (2) (1,6 ) x, D, f(x) Tidak ada nilai Tidak ada nilai (2) (1,5 ) x, D, f(x) (2) (1,4 ) x, 0 (2) (1,4 ) x, D, f(x) Tidak ada nilai Tidak ada nilai (2) (1,3 ) x, D, f(x) (2) (1,2 ) x, 0 (2) (1,2) x, D, f(x) Tidak ada nilai Tidak ada nilai (2) (1,1 ) x, f (x) -1 Tidak ada nilai 1 4. DAFTAR PUSTAKA [1] Eric Weisstein, 2007, Fractional Derivative, http://mathworld. wolfram. Com /fractionalderivative.html, Download 10/05/2007. [2] Grunwald-Letnikov, Fractional Differentiation, http://planetmath.org./ Fractional Differentiation.htm, Download 04/06/2007 [3] H. Gunawan, F. Pranolo, E. Rusyaman, 2007, An Interpolation Method That Minimizes an Energy Integral of Fractional Order. Singapore: Proceeding of Asian Symposium of Computer Mathematics. [4] Kankan Parmikanti dan Endang Rusyaman, 2008, Turunan Fraksional dan Aplikasinya, Seminar Nasional Matematika di Universitas Padjadjaran Bandung. [5] Mauro Bologna, Short Introduction to Fractional Calculus, http://www.uta.cl/charlas/ vol19 / Download 17/07/2007 [6] Oldham, K.B. and Spanier, J., 1974, The Fractional Calculus: Integration and Differentiation, York: Academik Press. 257