Jrnal Matematika Integratif ISSN 4-684 Volme No, Oktober 05, pp - 8 Kontrol Optimm pada Model Epidemik SIR dengan Pengarh Vaksinasi dan Faktor Imigrasi N. Anggriani, A. Spriatna, B. Sbartini, R. Wlantini Program Stdi Matematika FMIPA Unpad Jl. Raya Bandng Smedang km. Jatinangor Email: nrsanti.anggriani@npad.ac.id ABSTRAK Pada artikel ini dibahas model imigrasi SIR (Ssceptible-Infected-Recovered) dengan memberikan pengarh vaksinasi. Diasmsikan vaksinasi diberikan kepada poplasi pendatang dan bayi yang bar lahir, dengan tjan ntk mengrangi penyebaran penyakit tersebt. Masalah kontrol optimal diselesaikan dengan menggnakan prinsip Maksimm Pontryagin dengan tjan ntk meminimmkan jmlah individ terinfeksi. Simlasi nmerik mennjkkan keefektifan pengendalian dengan kontrol pengobatan dan vaksinasi dapat mengrangi poplasi yang terinfeksi sehingga penyebaran penyakit dapat dicegah. Kata Knci : Model SIR, Vaksinasi, Imigrasi, Kontrol Optimal.. ABSTRACT This paper discsses an imigran SIR model with vaccination factor. We assmed that the vaccination given to the imigran poplation and the newborn baby to control the disease transmission. The Maximm Pontryagin Principle is sed in the optimal control problem to minimize the nmber of infected people. Nmerical simlation shows the effectiveness of treatment and vaccination control that can redce the nmber of infected people, so the spread can be prevented. Keywords : SIR Models, Vaccination, Immigration, Stability Analysis, Optimal Control.. Pendahlan Penyakit menlar adalah masalah yang dihadapi hampir disema negara tanpa memandang stats. Penyakit menlar diantaranya adalah campak, gondok, rbella, polio dan pertsis merpakan penyakit infeksi yang sangat berbahaya. Penyakit tersebt disebabkan oleh virs yang dapat menyebar melali kontak langsng dengan penderita, dara, batk, ata bersin dan kotoran mansia. Ada beberapa faktor epidemiologi dan demografi yang berkontribsi terhadap penlaran penyakit. Faktor yang memainkan peran penting dalam penlaran penyakit adalah imigrasi. Imigrasi individ yang terinfeksi dapat memic penyebaran penyakit dalam poplasi. Braer [] memperlihatkan bahwa jika terdapat poplasi imigran yang terinfeksi mask ke dalam sat poplasi secara konstan, maka tidak terdapat titik eklibrim bebas penyakit pada sistem tersebt. Meskipn imigran tidak membawa penyakit sama sekali, tetap saja mereka berdampak pada penlaran penyakit []. Semakin banyaknya imigran dan poplasi penddk setempat dapat jga mengakibatkan penambahan poplasi mansia rentan (ssceptible) yang dapat terinfeksi kembali jika terdapat mansia yang terinfeksi mask kedalam poplasi tersebt sehingga dapat menyebabkan penyebaran penyakit. Salah sat paya ntk mencegah melasnya penyakit tersebt adalah dengan melakkan program vaksinasi. Dalam hal ini, diperlkan sat kebijakan dalam pemberian vaksinasi bagi imigran, dilanjtkan dengan melakkan screening, ntk memastikan bahwa mereka tidak akan berkontribsi pada pertambahan poplasi yang rentan. Penyakit seperti HIV, SARS dan fl brng merpakan beberapa penyakit yang dapat menyebar disebabkan oleh faktor imigrasi [, ] Selain kontribsi dari bidang kesehatan dalam mencegah menyebarnya penyakit menlar, perkembangan ilm pengetahan dibidang lain seperti di bidang matematika jga trt memberikan peranan yang penting. Salah satnya berpa pemodelan matematika.
N. Anggriani et al / JMI Vol. No, Oktober 05 pp. - 8 Banyak model matematika yang sdah dibat ntk mengkontrol penyebaran penyakit menlar khssnya model yang memaskkan faktor imigrasi [4,]. Piccolo dan Billings memperlihatkan bahwa faktor imigrasi pada sat negara yang memiliki poplasi yang sangat padat sangat mempengarhi laj penyebaran sat penyakit. Piccolo membahas dinamika dan analisis kestabilan baik secara local mapn global dan effect vaksinasi terhadap model imigran [5]. Asmsi bahwa kontrol pengobatan dan kontrol terhadap penggnaan vaksinasi dapat mempengarhi kemampan virs dalam menginfeksi penderita menjadi dasar dignakannya metode kontrol optimal. Prinsip Maksimm Pontryagin adalah sat metode yang dapat dignakan dalam menyelesaikan masalah kontrol optimal. Metoda ini belm dikerjakan oleh Piccolo dkk. Berdasarkan latar belakang tersebt maka pada paper ini didisksikan masalah kontrol optimal dengan efek vaksinasi dan pengarh faktor imigrasi, menggnakan model SIR klasik pada Piccolo[5].. Model Matematika Dengan mengac pada [5], beberapa asmsi yang dipergnakan dalam pembentkan model adalah poplasi mansia dibagi menjadi kompartemen yait mansia rentan (S) merpakan mansia sehat dan berpelang ntk terinfeksi penyakit, mansia terinfeksi (I) merpakan mansia rentan yang terinfeksi sat penyakit dan mansia sembh (R) merpakan mansia terinfeki penyakit yang mengalami kesembhan. Total poplasi diasmsikan tetap ata konstan. Poplasi imigran dan warga negara tidak dipisahkan, dimana poplasi imigran berinteraksi dengan warganegara sehingga tidak ada perbedaan. Tidak ada periode latent ntk penyakit, dimana penyakit ditlarkan secara seketika melali kontak. Tidak ada individ terinfeksi yang akan menjadi rentan kembali. Vaksinasi diberikan kepada bayi yang bar lahir dan imigran yang bar mask. Dari asmsi-asmsi tersebt dapat dibentk diagram skematik sebagai berikt : Gambar. Skema Penyebaran Penyakit dengan Pengarh Vaksinasi dan Faktor Imigrasi [5] Dengan memperhatikan asmsi dan diagram skematik pada Gambar diperoleh model persamaan diferensial sebagai berikt [5]: ds SI N N ( ) S N di SI I N dr N N I ( ) R I () Jmlah poplasi adalah N, ntk menyederhanakan sistem persamaan () dengan melakkan normalisasi dimana proporsi banyaknya individ pada masing-masing kelompok dapat dinyatakan sebagai = = = poplasi telah dinormalisasi artinya sˆ iˆ rˆ dan didapatkan sistem persamaan bar sebagai berikt.
Jrnal Matematika Integratif ISSN 4-684 Volme No, Oktober 05, pp - 8 dsˆ si ˆˆ ( ˆ ) s diˆ si ˆˆ iˆ iˆ drˆ ˆ ˆ i ( ) r () Penjelasan mengenai variabel dan parameter dapat dilihat pada Tabel berikt ini. Tabel. Parameter yang Mempengarhi Pembentkkan Model Epidemik SIR dengan Pengarh Vaksinasi dan Faktor Imigrasi [5] Notasi Keterangan N Jmlah poplasi Laj kelahiran warga negara (diasmsikan konstan) Laj imigran yang mask ke dalam poplasi Laj kematian alami (ntk warga negara dan imigran) Laj sebagian warga negara yang divaksinasi saat lahir / tahn (sisanya rentan) Laj imigran yang mask ke dalam poplasi diberi vaksin Laj perbahan poplasi dari rentan menjadi terinfeksi Laj perbahan poplasi dari terinfeksi menjadi sembh. Hasil dan Pembahasan Pada bagian ini dibahas mengenai permasalahan kontrol optimal. Model dinamik [5] dikaji dengan memperhatikan faktor imigrasi dan pengarh vaksinasi. Dari sistem persamaan () dilakkan kontrol optimal ntk pengobatan dan vaksinasi. Kontrol optimal tersebt bertjan ntk meminimmkan jmlah poplasi terinfeksi. Untk meminimmkan jmlah individ yang terinfeksi diberikan tindakan kontrol (t), (t) dan (t). Kontrol (t) yait paya ntk mengrangi jmlah individ terinfeksi dengan melakkan pengobatan, (t) merpakan kontrol vaksinasi ntk warganegara dan (t) adalah kontrol vaksinasi ntk imigran. Sehingga persamaan () menjadi : dsˆ ( ) ( ) ˆˆ ˆ si ( ) s diˆ si ˆˆ ˆ i iˆ drˆ ( ˆ ˆ ) ( ) i ( ) r () Berikt adalah penyelesaian kontrol optimal pengobatan dengan menggnakan Prinsip Maksimm Pontryagin. Permasalahan kontrol optimal sistem dinamik terdiri dari fngsi objektif (performance index), yang dibatasi oleh sistem dinamik, nilai awal state diketahi, wakt akhir T ditentkan, dan state akhir x(t) bebas. Fngsi objektif ntk model () adalah : t f J min Aiˆ C C C,, 0
N. Anggriani et al / JMI Vol. No, Oktober 05 pp. - 8 Dimana dengan kendala, dsˆ ( ) ( ) ˆˆ ˆ si ( ) s diˆ si ˆˆ ˆ i iˆ drˆ ( ) ˆ ˆ ( ) i ( ) r 0 t t f 0 0 t f adalah wakt akhir, koefisien A merpakan jmlah individ terinfeksi, C merpakan biaya pengobatan ntk warga negara mapn imigran, C merpakan biaya vaksinasi ntk warga negara dan C merpakan biaya vaksinasi ntk imigran. Dengan menyelesaikan fngsi objektif tersebt akan didapatkan kontrol optimal,,. 4 * * * Dalam penyelesaian menggnakan prinsip maksimm dibthkan persamaan Hamiltonian yang dibentk dari fngsional objektif ditambahkan dengan sema kendalanya yang dikalikan dengan variabel adjoint, bentk mm dari persamaan Hamiltonian adalah sebagai berikt. H f x,, t pg( x,, t) dalam hal ini p adalah vektor co-state dimana komponen-komponennya disebt variabelvariabel adjoint ata lebih mm disebt dengan pengali Lagrange. Kondisi optimal pada Prinsip Maksimm Pontryagin dapat dicapai dengan H H 0 dan p x persamaan Hamiltonian dalam masalah ini dapat ditlis sebagai berikt. H Aiˆ C C C ( ) ( ) siˆ ( ) sˆ p ˆ p si ˆˆ i ˆ i ˆ (4) p ( ) ( ) iˆ ( ) rˆ Untk mendapat syarat perl dari persamaan (4) dilakkan penrnan terhadap masingmasing kompartemen S, I, R. yait: ˆ ˆ H p p i p i sˆ H p A p sˆ p sˆ p iˆ H p p rˆ persamaan (5) adalah sistem adjoint ata sistem bayangan dari sistem (), sistem tersebt menjelaskan sistem bar yang dihasilkan dari Prinsip Maksimm Pontryagin. Berikt teorema ntk memperoleh nilai pi, i,,. (5)
Jrnal Matematika Integratif ISSN 4-684 Volme No, Oktober 05, pp - 8 Teorema [Pontyagin,96] Misalkan * () t adalah sebah vektor kontrol yang diperkenankan (admissible vector control), mentransfer titik awal ( x0, t 0) ke sebah target ata titik akhir ( x( T), T ) dengan xt ( ) dan T tidak ditentkan secara mm. Misalkan sebah trayektori yang bersesaian dengan * () t. Agar terdapat sebah fngsi vektor kontin yang tidak nol yait sebah skalar konstan p 0 sedemikian sehingga a) p * () t dan * () t adalah solsi dari sistem kanonik : n * H * * * x ( t) ( x, p,, t) p * H * * * p ( t) ( x, p,, t) x x * () t adalah * () t optimal ada syarat perl bahwa * * * * n p ( t) ( p ( t), p ( t),..., p ( t)) Dengan H pi fi ( x, p,, t) f0( x, p,, t) pi fi ( x, p,, t) adalah persamaan Hamiltonian biasa dengan p0 0 b) H x *, *, p *, t H x *,, p, t c) Sema kondisi kendala dipenhi. n Untk mendapat syarat perl dari persamaan (4) dilakkan penrnan terhadap masingmasing kompartemen yait dan H H H p, p, p sˆ iˆ rˆ Kemdian, kondisi optimal akan dicapai dengan cara menrnkan persamaan (4) terhadap, dan H 0 sehingga didapatkan solsi sebagai berikt. H 0 * C ( p p ) 0 * C ( p p ) 0 * ( p p ) C * ( p p ) C Dapat ditlis, i p p C i p p i p p i p p C * C C 5
N. Anggriani et al / JMI Vol. No, Oktober 05 pp. - 8 ( p p) 0 0 C ( p p ) ( p p) 0 C C ( p p) C * ( p p) 0 0 C ( p p ) ( p p ) 0 C C ( p p) C * Untk lebih jelasnya, hasil analisis dari sifat-sifat kontrol optimal yang telah diperoleh diatas dapat dilihat pada simlasi nmerik berikt. 4. Analisis Nmerik Pada bagian ini terdapat sebah kass, dengan data merjk pada [6] tentang penyebaran penyakit dengan laj kelahiran 0, 4, laj imigran 0,5, laj perbahan poplasi dari rentan menjadi terinfeksi 0, 8 dan laj perbahan poplasi dari terinfeksi menjadi sehat 0, 0. Kondisi awal rasio jmlah penddk pada kelas ssceptible, infected, dan recovered masing-masing adalah 0,8 ; 0, ; 0. Berikt adalah grafik-grafik yang memperlihatkan pengarh vaksinasi pada masingmasing kompartemen terhadap wakt. Gambar. Grafik Pengarh Vaksinasi pada Individ Ssceptible. Gambar. memperlihatkan pengarh vaksinasi pada individ ssceptible. Terlihat bahwa setelah dilakkan pemberian vaksin, individ ssceptible akan semakin berkrang. Jmlah individ ssceptible akan lebih berkrang lagi setelah dilakkan kontrol pada pengobatan dan vaksinasi. 6
Jrnal Matematika Integratif ISSN 4-684 Volme No, Oktober 05, pp - 8 Gambar. Grafik Pengarh Vaksinasi pada Individ Infected Gambar memperlihatkan pengarh vaksinasi pada individ infected. Terlihat bahwa setelah dilakkan pemberian vaksin, individ infected akan semakin berkrang. Jmlah individ infected akan lebih berkrang lagi setelah dilakkan kontrol pada pengobatan dan vaksinasi. Gambar 4. Grafik Pengarh Vaksinasi pada Individ Recovered Gambar 4 memperlihatkan pengarh vaksinasi pada individ recovered. Terlihat bahwa setelah dilakkan pemberian vaksin, individ recovered akan semakin bertambah. Jmlah individ recovered akan lebih bertambah lagi setelah dilakkan kontrol pada pengobatan dan vaksinasi. Pada wakt tertent, proporsi individ ssceptible, infected dan recovered tidak mengalami perbahan sehingga sistem berada pada kondisi setimbang. Dengan menggnakan Maple, kriteria kestabilan di titik kesetimbangan dapat digambarkan dengan trayektori pada bidang fase Ssceptible-Infected sebagai berikt. 7
N. Anggriani et al / JMI Vol. No, Oktober 05 pp. - 8 Gambar 5. Trayektori pada Bidang Fase Ssceptible-Infected Gambar 5 mennjkkan bahwa sema trayektori menj ke arah titik tetap nonendemik (0,47 ; 0). Oleh karena it, titik tetap non-endemik tersebt bersifat stabil asimtotik. Bkti secara analisis ntk kestabilan secara local dan global dapat dilihat pada [5]. 5. Kesimplan Dengan Prinsip Maksimm Pontryagin didapatkan solsi kontrol optimal pada model epidemik SIR, sehingga kontrol pada pemberian pengobatan dan vaksinasi berpengarh pada berkrangnya individ rentan dan terinfeksi sehingga akan meningkatkan jmlah individ yang sehat. Hasil simlasi memperlihatkan keefektifan pengendalian dengan kontrol pengobatan dan vaksinasi dapat mengrangi poplasi yang terinfeksi sehingga penyebaran penyakit dapat dicegah. Ucapan TerimaKasih Sebagian dari penelitian ini dibiayai oleh Hibah Penelitian Unglan Pergran Tinggi dengan Nomor : 9/UN6.R/PL/05. Daftar Pstaka [] F. Braer and P. van den Driessche., 00, Models for transmission of disease with immigrantion of infectives, Mathematical Biosciences, vol 7, no., pp. 4-54. [] D. Chemtob and Z. Grossman., 004, Epidemiology of adlt and adolescent HIV nfection in Israel: a contry of immigration, International Jornal of STD and AIDS, vol. 5, no. 0, pp. 69 696. [] L. R. Krilov, 004, Emerging infectios disease isses in international adoptions: severe acte respiratory syndrome (SARS), avian inflenza and measles, Crrent Opinion in Infectios Diseases, vol. 7, no. 5, pp. 9 95. [4] E. Shim., Z. Feng., M. Martcheva, and C. Castillo-Chavez., 006, An age-strctred epidemic model of rotavirs with vaccination, Tech. Rep., Statistical and Applied Mathematical Sciences Institte. [5] Piccolo, C. III and Billings, L., 005., The Effect of Vaccinations in an Immigrant Model, Mathematical and Compter Modeling, no. 4, 9-99. [6] Makinde, O. D. 006., Modelling Transmission Dynamics of Childhood Diseases in the Presence of a Preventive Vaccine: Application of the Adomian Decomposition Techniqe, Proceedings of an international Workshop held at Rockefeller Fondations Bellagio Conference Center, Milan. 8