SOLUSI OSN 009. A. Waktu bola untuk jatuh diberikan oleh : t A=! H B.! Jarak d yan dibutuhkan adalah d =v 0 t A =v H 0 i. Karena bola tidak slip sama sekali dan tumbukan lentin sempurna maka eneri mekanik sistem kekal. ii. Gaya esek arahnya ke sumbu x neatif (melawan arah erak relatif bola) iii. Impuls aya esek: I A =m v 0 "mv ' A, x. iv. Impuls sudut dari aya esek: I A R= 5 m R #' A C. Hukum kekekalan eneri: m $v 0 %v A, y &= m $v' A, x %v ' A, y &%. 5 m R #' A Karena tumbukan lentin sempurna, kecepatan bola dalam arah vertikal tidak berubah sehina v A,y = v' A,y. Sederhanakan, didapat : v 0 =v ' A, x % 5 R #' A Gunakan hubunan impuls: I x =m$ v 0 "v' A, x &= 5 m R #' A, didapat v 0 "v ' A, x = 5 $ 5 $ v 0 "v' A, x & & atau $ v 0 "v ' A, x & $v 0 %v ' A, x &= 5 $ v 0 "v' A, x & Ada solusi: v ' A, x =v 0 dan v ' A, x = 3 7 v 0 Solusi yan benar adalah solusi kedua: v ' A, x = 3 7 v 0 denan #' A = 5 R $ v 0 "v' A, x &= 0v 0 7 R D. Untuk menhitun posisi tumbukan kedua di B, kita perlu menhitun waktu aar bola bisa menyentuh kepin atas K. Persamaan yan diunakan hanyalah persamaan erak parabola: denan v A, y =! H h=v A, y t B " t B 40
Selesaikan persamaan kuadrat ini, didapat: t B =! H ±! H " h =! H $ ±! " h H & Ambil solusi neatif dan masukkan hara h = 0,75 H: t B =! H Jarak horizontal yan ditempuh bola adalah x B =v x t B = 3 7 v. 0! H = 3 d, sehina denan 4 koordinat B$'d, h&=b$d %x B, h&=b$ 7 4 & d, h diperoleh '= 7 4 E. Proses tumbukan kedua mirip denan proses tumbukan pertama. Yan perlu diperhatikan adalah ada perubahan persamaan impuls-nya. Karena rotasi bola terlalu cepat (!' A R > v' A,x ) maka aya esek berusaha menurani kecepatan rotasi sehina aya esek arahnya jua ke sumbu x neatif. F. Besarnya impuls aya esek diberikan oleh I B =m$ 3 7 v 0 "v ' B, x& denan v' B,x adalah kecepatan bola setelah R$ tumbukan. Impuls sudut diberikan oleh I B R= 5 m 0 v 0 7 R B& "#' denan!' B adalah kecepatan sudut bola setelah tumbukan. Hukum kekekalan eneri: E= m $v ' B, x %v' B, y &%. 5 m R #' B = m $v B, x %v B, y &%. 5 mr # B. Kecepatan dalam arah x: v B, x =v ' A, x = 3 7 v 0 dan kecepatan sudut: # B =#' A = 0v 0 7 R. Karena tumbukan lentin sempurna, berlaku: v B,y = v' B,y. Dari hubunan impuls, didapat #' B = 5 R $ 7 v 0 %v ' B, x& Masukkan semua informasi ini ke persamaan eneri, didapat: v ' B, x % 0 49 v ' v " 93 B, x 0 343 v 0=0. Faktorkan, denan memperhatikan bahwa salah satu solusi adalah solusi untuk kasus tidak terjadi tumbukan: $ v ' B, x " 3 7 v 0&$ v' B, x % 3 49 v 0& =0 4
Sehina didapat v ' B, x =" 3 49 v 0 dan #' B =" 60 v 0 49 R G. Waktu untuk bola bererak dari B ke C sama denan waktu bola bererak dari A ke B. Jarak yan ditempuh bola adalah d BC =v' B, x t A =" 3 98 d. Artinya jarak titik C dari titik asal O(0,0) adalah d %x B %d BC =d % 3 3 d" 4 98 d = 44 49 d, sehina koordinat titik C adalah $ 44 49 d, 0 &. Oleh karena tiap partikel dalam tali memiliki kelajuan yan sama, maka eneri kinetik tali adalah E K = M v Pada saat ujun bebas tali sudah tereser sejauh x dari posisi awal, eneri potensial peas adalah E peas p = k x = $ M L & x = M x 4 L Sementara itu, eneri potensial ravitasi tali relatif terhadap posisi awal adalah sehina eneri potensial total sistem adalah E p tali ="$ M 4 L x & $ L% x & =" M x 8 L E p =E p peas %E p tali = M x 8 L A. Persamaan kekekalan eneri mekanik E tali adalah M v % M x$x" L&=E 8 L $ x" L& $ L%x& Diketahui pada saat awal (t = 0), x = 0, dan v = 0 sehina E = 0. Denan demikian v = x$ L"x& () 4 L B. Selanjutnya dari pers. () dapat dihitun derivatif terhadap waktu (t), yaitu v dv dt = 4 L $ L dx dx " x dt dt & sehina dv dt = 4 L $ L"x& atau d x dt = $ L" x& 4 L Artinya, persamaan erak ujun bebas tali untuk pereseran x adalah 4
3. d dt $ x"l&% 4 L $ x"l&=0 yan tidak lain adalah persamaan erak osilasi harmonik sederhana di sekitar titik x = L. Denan demikian, besar periode osilasi adalah T = (! 4 L =4(! L dan karena v = 0 untuk x = 0 maka amplitudo osilasi adalah L. A. Jika kecepatan sudut cincin adalah!, maka eneri kinetik translasi cincin adalah EK T = M v = M R # Eneri kinetik rotasi cincin adalah: EK R = I # = M R # Eneri kinetik total: EK =M R # Eneri potensial: EP="M R cos) Bandinkan hasil ini denan bandul sederhana (yan memiliki eneri kinetik: EK = M R # dan eneri potensial EP="M R cos), periode diberikan oleh T = (! M R M R = (! R ). Sehina periode osilasi sistem ini diberikan oleh T =(! M R M R =(! R Jika menunakan metode aya/torka: Momen inersia terhadap titik O: I cm + MR = MR. Torka terhadap titik O: "M R sin )= M R * ) Sederhanakan: * ) % sin )=0 R B. Untuk amplitudo sudut kecil (sin!!!), periode osilasi diberikan oleh T =(! R i. Perhatian ambar. Busur AB = busur A'B' = r". 43
+=)" A' B ' R $ =) " r R & ii. Jika laju perubahan sudut " adalah! ", maka eneri kinetik translasi cincin adalah Eneri kinetik rotasi cincin adalah: EK T = M v = M $ R"r& # ) EK R = I # + = M R # ) $ Eneri kinetik total: EK =M $ R"r& # ) Eneri potensial: EP="M $ R"r&cos) " r R &= M $ R"r& # ) Jadi periode osilasi diberikan oleh T =(! M $ R"r& M $R"r& =(! $ R"r& P' # A' " A O f B' B r R " P M Jika menunakan metode aya/torka: Tinjau aya dalam arah teak lurus P'B' "M sin )% f =M $ R"r& * ) Persamaan erak rotasi terhadap pusat cincin: " f R= M R * + Gunakan hubunan pada baian i: 44
* + =* )$ " r R & Gabunkan ketia persamaan ini, didapat sederhanakan: * ) % "M sin )= M $ R"r& * ) sin )=0 $ R"r& Untuk amplitudo sudut kecil (sin!!!), periode osilasi diberikan oleh T = (! $ R"r& C. iii. Jika r menuju nol didapat T =(! R i. +=)$ " r R & %, r R ii. Untuk mencari hubunan sudut-sudut ini, tinjau erak rotasi kedua cincin. Ada aya esek antara kedua cincin. Persamaan erak rotasi cincin besar: " f R= M R * + Persamaan erak rotasi cincin kecil: f r=m r *, Eliminasi aya esek f, didapat M R* + %mr *, =0 sehina hubunan kecepatan sudut diberikan oleh: M R# + %m r #, =0 Dari hubunan sudut dari baian i, didapat # + =# )$ " r R & %#, Gabunkan kedua hubunan kecepatan sudut ini: # + = m m% M # )$ " r R & dan #, =" M m% M # R ) r $ " r R &. Eneri kinetik rotasi cincin besar: Eneri kinetik rotasi cincin kecil: Eneri kinetik translasi cincin besar: r R M R # + = m M $m%m & # ) $ R"r& m r #, = m M $ m%m & # ) $ R"r& M v = M $ R"r& # ) 45
Eneri kinetik total: Eneri potensial: m M $ m%m & # ) $ R"r& % M # ) $ R"r& = M # ) $ R"r& m%m m%m EP="M $ R"r&cos) Jadi periode osilasi diberikan oleh M $ R"r& T =(! m% M m% M M $ R"r& =(!$ R"r & m%m m%m Jika menunakan metode aya/torka: Tinjau aya dalam arah teak lurus P'B' "M sin )% f =M $ R"r& * ) Persamaan erak rotasi sudah diberikan pada baian pembahasan eneri: " f R= M R * + f r=m r *, Gabunkan hasil ini denan persamaan pada baian i: didapat: f =" mm m%m * ) $ R"r& Masukkan ini ke persamaan aya: Sederhanakan: "M sin )= mm m%m * ) $ R"r&%M $ R"r&* ) * ) % R"r m%m sin )=0 m%m 4. Untuk amplitudo sudut kecil (sin!!!), didapat T =(!$ R"r iii. Untuk limit m besar, didapat T =(! $ R"r&. & m% M m% M A. Tanpa ada medan manet, muatan akan bererak ke kiri (sumbu y neatif). Aar muatan berbelok ke atas, dibutuhkan medan manet B ke luar bidan kertas (sumbu x positif). Demikian jua denan muatan, tanpa medan manet, muatan akan bererak ke kanan (sumbu y positif). Aar muatan berbelok ke atas, dibutuhkan medan manet B masuk ke bidan kertas (sumbu x neatif). 46
B. Gaya yan bekerja pada muatan : F =" k q $ y& -y"b qv, y -z%b qv, z -y Gaya yan bekerja pada muatan : F = k q $ y& -y%b q v, y -z"b qv, z -y denan -y dan -z berturut-turut adalah vektor satuan yan menyatakan arah y positif dan arah z positif. Persamaan erak muatan : sumbu y: m a, y = k q 4 y "B qv, z sumbu z: m a, z =B qv, y C. Eneri mekanik kekal, karena medan manet tidak bisa menerjakan usaha. D. Persamaan eneri: k q d = k q y $ %. m v y% m v z &. Faktor dimasukkan karena eneri kinetik kedua muatan sama besar. Untuk mencari ukuran kotak, kita butuh kecepatan dalam arah y sama denan nol saat jarak kedua muatan adalah L. Untuk mencari kecepatan dalam arah z, kita hanya butuh melakukan interal sederhana yaitu dari persamaan m a, z =B qv, y atau m dv, z =B q dy dt dt sehina m dv, z =B q dy. Karena kecepatan mula-mula dalam arah z adalah nol, saat y = d, maka didapat m v z = B q$ L"d& Gunakan hasil ini pada persamaan eneri, didapat Sederhanakan: atau k m =$ L"d& L d B k q d = k q L $ %m B q $L"d & m k $ d " L & = B $ L"d& m Selesaikan persamaan kuadrat ini, didapat Ambil solusi positif: L= d [ %! % k m B d 3 ] & L= d [ ±! % k m B d 3 ] 47