DIMENSI PARTISI PADA GRAF C m K n, GRAF C m [P n ], DAN GRAF t-fold WHEEL Mizan Ahmad, Tri Atmojo Kusmayadi Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Abstrak. Misal G adalah graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) = {v 1, v 2,..., v n } dan himpunan edge E(G) = {e 1, e 2,..., e n }. Himpunan vertex V (G) dibagi menjadi beberapa partisi, yaitu S 1, S 2,..., S k. Untuk setiap vertex v V (G) dan k-partisi terurut Π = {S 1, S 2,..., S k }, representasi v terhadap Π adalah r(v Π) = (d(v, S 1 ), d(v, S 2 ),..., d(v, S k )), dengan d(v, S i ) merupakan jarak dari vertex v ke tiap partisi pada Π. Himpunan Π dikatakan sebagai partisi pembeda dari G jika setiap vertex di G mempunyai representasi yang berbeda terhadap Π. Kardinalitas minimum dari k-partisi pembeda terhadap V (G) disebut dimensi partisi dari G yang dinotasikan dengan pd(g). Dalam penelitian ini ditentukan dimensi partisi pada kelas graf C m K n, graf C m [P n ], dan graf t-fold wheel. Kata Kunci: Dimensi partisi, partisi pembeda, graf C m K n, graf C m [P n ], graf t-fold wheel. 1. Pendahuluan Teori graf merupakan kajian ilmu matematika yang banyak digunakan untuk menyatakan persoalan dalam kehidupan nyata agar lebih mudah dimengerti dan diselesaikan. Konsep graf dapat diterapkan pada masalah transportasi, jejaring sosial, penentuan rute terdekat, dan lain-lain. Suatu graf terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis. Titik-titik yang disebut vertex direpresentasikan sebagai objek diskrit, sedangkan garis yang disebut edge merupakan penghubung antar objek diskrit tersebut. Dimensi partisi adalah salah satu topik dalam teori graf yang banyak dipelajari. Misalkan di Indonesia terdapat beberapa pulau besar dan terdapat beberapa kota pada pulau tersebut. Kota-kota tersebut dikelompokkan menjadi beberapa kelompok dengan ketentuan setiap kota hanya boleh menempati tepat satu kelompok. Jika terdapat minimal dua kota yang memiliki jarak minimum yang sama terhadap semua kelompok, maka pembagian kelompok diatur kembali sehingga diperoleh jarak minimum tiap kota berbeda. Banyaknya kelompok yang dibuat seminimal mungkin dinamakan dimensi partisi. Menurut Chartrand et al. [2], misalkan G adalah graf yang memiliki himpunan vertex V (G), maka V (G) dapat dibagi menjadi beberapa himpunan partisi S. 1
Himpunan Π dengan S Π disebut himpunan pembeda dari graf G jika setiap vertex di G mempunyai representasi berbeda terhadap Π, dan Π merupakan himpunan dari k-partisi yang terurut. Kardinalitas minimum dari k-partisi pembeda terhadap V (G) adalah dimensi partisi pada graf G yang dinotasikan dengan pd(g). Banyak peneliti yang telah meneliti dimensi partisi untuk kelas-kelas graf tertentu. Pada tahun 2007, Tomescu et al. [6] meneliti rumus dimensi partisi pada graf wheel dan pada tahun 2015, Hidayat [5] meneliti rumus dimensi partisi pada graf double cones. Penelitian tersebut menjadi acuan bagi penulis untuk mencari dimensi partisi pada graf t-fold wheel karena graf double cones merupakan graf 2- fold wheel. Pada tahun 2012, Asmiati [1] meneliti dimensi partisi pada graf bintang dan pada tahun 2016, Dewi [4] meneliti rumus dimensi partisi pada graf C m 2 K n. Penelitian tersebut menjadi acuan bagi penulis untuk mencari dimensi partisi pada graf C m K n. Penulis tertarik untuk meneliti graf C m [P n ] karena graf dengan operasi komposisi masih belum banyak yang meneliti terutama untuk bidang dimensi partisi. 2. Dimensi Partisi Berikut ini diberikan definisi dan lema menurut Chartrand et al. [3]. Definisi 2.1. Misalkan G adalah graf terhubung. Untuk suatu subhimpunan S pada V (G) dan suatu vertex v pada G, jarak antara v dan S didefinisikan sebagai d(v, S) = min{d(v, x) x S}. Selanjutnya, untuk suatu k-partisi terurut Π = {S 1, S 2,..., S k } pada V (G) dan suatu vertex v pada G, representasi v terhadap Π didefinisikan sebagai r(v Π) = (d(v, S 1 ), d(v, S 2 ),..., d(v, S k )). Himpunan Π disebut partisi pembeda jika r(v Π) berbeda, untuk setiap v V (G). Kardinalitas minimum dari k-partisi pembeda terhadap V (G) disebut dimensi partisi dari G yang dinotasikan dengan pd(g). Lema 2.1. Misalkan Π partisi pembeda dari graf G dengan u, v V (G). Jika d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w V (G) {u, v}, maka u dan v termuat pada kelas partisi yang berbeda. Bukti. Misalkan Π = {S 1, S 2,..., S k }, dengan u dan v termuat pada kelas partisi yang sama pada Π, misal S i, maka d(u, S i ) = d(v, S i ) = 0. Diketahui bahwa d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w V (G) {u, v}, maka d(u, S j ) = d(v, S j ) untuk 1 j i k sehingga r(u Π) = r(v Π) dan Π bukan merupakan partisi pembeda. 2 2017
Lema 2.2. Misal G adalah graf terhubung, maka (1) pd(g) = 2 jika dan hanya jika G = P n untuk n 2, dan (2) pd(g) = n jika dan hanya jika G = K n. 3. Hasil dan Pembahasan 3.1. Dimensi Partisi pada Graf C m K n. Graf C m K n adalah graf hasil operasi amalgamasi vertex atau menggabungkan satu vertex dari graf C m dan satu vertex graf K n menjadi satu vertex yaitu vertex x. Vertex x juga merupakan vertex yang dimiliki oleh C m dan K n. Teorema 3.1. Misalkan C m K n dengan m, n 3 adalah graf hasil operasi amalgamasi vertex dari graf C m dan graf K n, maka pd(c m K n ) = n. Bukti. Misalkan graf C m K n dengan m, n 3 adalah graf hasil operasi amalgamasi vertex dari graf C m dan graf K n dan V (C m K n ) = V (C m ) V (K n ) dengan V (C m ) = {u 1, u 2,..., u m 1, x} dan V (K n ) = {v 1, v 2,..., v n 1, x}. Selanjutnya, ditunjukkan graf C m K n memiliki dimensi partisi pd(c m K n ) = n. Untuk setiap u, v, x V (C m K n ), dipilih partisi pembeda Π = {S 1, S 2,..., S n }, dengan S 1 = {u 1, u 2,..., u m 2 } S 2 = {u m 1, x, v n 1 } S i = {v i 2 }, dengan 3 i n Diperoleh jarak untuk setiap vertex di V (C m ) terhadap Π r(u k Π) = (0, k, k + 1, k + 1,..., k + 1), 1 k m 2 r(u k Π) = (0, m k 1, m k + 1, m k + 1,..., m k + 1), m 2 < k m 2 r(u m 1 Π) = (1, 0, 2, 2,..., 2). Jarak setiap vertex di V (K n ) terhadap Π 0, untuk S i Π, 3 i n d(v i 2, S j ) = 1, untuk S 2 Π 2, untuk S 1 Π, untuk 1 j n dengan r(v i Π) = (d(v i, S 1 ), d(v i, S 2 ),..., d(v i, S n )), r(v n 1 Π) = (2, 0, 1, 1,..., 1) dan r(x Π) = (1, 0, 1, 1,..., 1). Setiap vertex mempunyai representasi yang berbeda terhadap Π. pembeda pada graf C m K n dengan n elemen. Oleh karena itu, Π = {S 1, S 2,..., S n } adalah partisi Akan ditunjukkan graf C m K n memiliki pd(c m K n ) n. Andaikan Π adalah partisi pembeda pada graf C m K n dengan pd(c m K n ) < n. Hal ini mengakibatkan untuk setiap vertex v V (C m K n ) memiliki representasi yang 3 2017
berbeda. Jika dipilih Π = {S 1, S 2,..., S n 1 } partisi pembeda maka terdapat suatu kelas partisi yang memuat dua vertex v i dan v j dengan 1 i j n 1. Jelas bahwa d(v i, w) = d(v j, w) dengan w V (C m K n ) {v i, v j } sehingga vertex v i dan v j termuat dalam kelas partisi yang berbeda. Akibatnya terdapat vertex x V (C m K n ) dan vertex v i termuat dalam kelas partisi yang sama dengan r(x Π) = r(v i Π) dan Π = {S 1, S 2,..., S n 1 } bukan partisi pembeda sehingga pd(c m K n ) n. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian, sehingga pd(c m K n ) n. Selanjutnya, jika terdapat partisi pembeda dengan n elemen dan lebih dari sama dengan n elemen, maka dipilih nilai minimumnya, sehingga Π = n. Jadi, pd(c m K n ) = n untuk m, n 3. 3.2. Dimensi Partisi pada Graf C m [P n ]. Graf C m [P n ] diperoleh dari hasil operasi komposisi graf C m dengan graf P n. Graf C m [P n ] dengan m 3, n 2 dengan himpunan vertex V (C m [P n ]) = V (C m ) V (P n ) dengan V (C m ) = {u 1, u 2,..., u m } dan V (P n ) = {v 1, v 2,..., v n } serta dimisalkan himpunan vertex V (C m [P n ]) = {u 11, u 12,..., u 1n, u 21, u 22,..., u 2n,..., u m1, u m2,..., u mn }. Lema 3.1. Misalkan graf C m [P n ], dengan m 3 dan n 2. Jika S n = {u nn }, maka {u mn m n} termuat dalam kelas partisi yang berbeda untuk setiap n. Bukti. Misalkan Π = {S 1, S 2,..., S k } partisi pembeda dari graf C m [P n ]. Misalkan S n = {u nn }, diperoleh d(u mb, u nn ) = d(u mc, u nn ), dengan m n dan 1 b, c n. Berdasarkan Lema 2.1, {u mn m n} termuat dalam kelas partisi yang berbeda untuk setiap n. Teorema 3.2. Misalkan C m [P n ], m 3, n 3 adalah graf hasil operasi komposisi dari graf C m dan P n, maka 4 pd(c m [P n ]) 2n 2 dengan = dicapai hanya jika n = 2, m 4 dan n > 4, m = 4. Bukti. Misalkan pd(c m [P n ]) = k dan Π = {S 1, S 2,..., S k } partisi pembeda dari graf C m [P n ]. Ditentukan batas bawah dan batas atas dimensi partisi pada graf C m [P n ]. (1) Batas bawah Dipilih n terkecil (n = 2) sehingga pd(c m [P n ]) memiliki nilai terkecil. Untuk m = 3 dan n = 2 Diberikan graf C m [P n ] dengan m = 3 dan n = 2. Setiap vertex dalam C 3 [P 2 ] adjacent dengan vertex lainnya sehingga C 3 [P 2 ] = K 6. Berdasarkan Lema 2.2 diperoleh pd(c 3 [P 2 ]) = 6. 4 2017
Untuk m 4 dan n = 2 Misal Π = {S 1, S 2,..., S k } partisi pembeda dari graf C m [P n ]. Misalkan S 1 = {u 11 } dan S 2 = {u 22 }, berdasarkan Lema 3.1 diperoleh {u m1 m 1} dan {u m2 m 2} termuat dalam kelas partisi yang berbeda misal S 3 = {u m1 m 1} dan S 4 = {u m2 m 2} sehingga pd(c m [P 2 ]) = 4, m 4. Jadi, diperoleh batas bawah pd(c m [P n ]) 4. (2) Batas atas Dipilih m = 4 karena memiliki sifat-sifat berikut d(u ab, u de ) = d(u (a+2)b, u de ), a d a + 2 d(u ab, u ac ) = d(u (a+2)e, u ac ), b e 2 d(u ab, u de ) = d(u ac, u de ), 1 a, d m, 1 b, c, e n 0, untuk b = c d(u ab, u ac ) = 1, untuk b c = 1 2, untuk b c 2. Misal Π = {S 1, S 2,..., S k } partisi pembeda dari graf C m [P n ]. Misal S 1 = {u 12 }, S 2 = {u 22 }, S 3 = {u 32 }, dan S 4 = {u 42 }, berdasarkan sifat-sifat tersebut dapat dibentuk kelas-kelas partisi sebagai berikut S 5 = {u 13, u 14, u 23, u 24, u 31, u 41 } S 6 = {u 33, u 34, u 43, u 44, u 11, u 21 } S i = {u 1( i+1 +1), u 2( i+1 2 2 +1)}, i ganjil dan 6 < i k S i = {u 3( i +1), u 4( i +1)}, i genap dan 6 < i k. 2 2 Jelas untuk 6 < i maka n > 4. Oleh karena itu, Π = k (dengan k dicapai ketika i maksimum) = 2n 2 sehingga pd(c 4 [P n ]) = 2n 2, n > 4. Jadi, diperoleh batas atas pd(c m [P n ]) 2n 2. 3.3. Dimensi Partisi pada Graf t-fold wheel. Menurut Wallis [7], graf t-fold wheel diperoleh dari join C n dengan komplemen K t, dituliskan sebagai W t n = C n + K t. Misal graf W t n dan V (W t n) = V (C n ) V (K t ) dengan V (C n ) = {v j 1 j n} dan V Kt = {u i 1 i t}. Graf W t n memiliki order V (W t n) = n + t. Lema 3.2. Misalkan W t n adalah graf t-fold wheel dengan n 3 dan t 1, Π partisi pembeda dari W t n dan {u i 1 i t} V (K t ) pada W t n. Jika d(u 1, v) = d(u 2, v) =... = d(u t, v) untuk setiap v V (W t n) {u i 1 i t}, maka vertex {u i 1 i t} termuat pada kelas partisi yang berbeda untuk setiap i. 5 2017
Bukti. Misalkan Π = {S 1, S 2,..., S k } partisi pembeda dari graf W t n. Andaikan {u i 1 i t} V (W t n) termuat pada kelas partisi yang sama pada Π yaitu {u i 1 i t} S a, untuk suatu 1 a k maka d(u 1, S a ) = d(u 2, S a ) =... = d(u t, S a ) = 0. Diketahui bahwa d(u 1, v) = d(u 2, v) =... = d(u t, v) untuk setiap v V (W t n) {u i 1 i t} sehingga r(u 1 Π) = r(u 2 Π) =... = r(u t Π) dan Π bukan partisi pembeda. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian dan berdasarkan Lema 2.1, {u i 1 i t} termuat pada kelas partisi yang berbeda untuk setiap i. Lema 3.3. Misalkan Π = {S 1, S 2,..., S k } partisi pembeda dari graf W t n. Jika vertex u i S i dengan 1 i t, maka t i=1 S i t2 k t untuk k > t. Bukti. Misalkan Π = {S 1, S 2,..., S k } partisi pembeda dari graf Wn. t Misalkan u i S i dengan 1 i t dan sembarang vertex v S 1 {u 1 }. Diperoleh representasi r(u 1 Π) = (0, 1, 1,..., 1) atau r(u 1 Π) = (0, 2, 1,..., 1), r(u 2 Π) = (1, 0, 1,..., 1), r(u 3 Π) = (1, 1, 0, 1,..., 1),..., dan r(v Π) = (0,..., ). Diameter graf W t n adalah 2 sehingga elemen pada r(v Π) dari v S 1 {u 1 } selain posisi pertama dapat diisi dengan angka 1 dan 2. Terdapat paling tidak t 1 angka 1 pada representasi selain posisi pertama karena d(v, S j ) = 1, dengan 1 < j t. Oleh karena itu, k t posisi pada representasi vertex v S 1 dapat diisi paling banyak k t angka 2 dan sisanya diisi dengan angka 1. Terdapat paling banyak ( k t 0 )+( k t 1 )+( k t 2 )+...+( k t k t ) representasi yang berbeda dari semua vertex v S 1 {u 1 }. Selanjutnya, vertex u 1 memiliki representasi tunggal sehingga diperoleh S 1 1+ k t j=0 (k t j ). Jika setiap S i memuat vertex v maka S 1 k t j=0 (k t j ). Jadi, diperoleh t i=1 S i t k t j=0 (k t j ) = t2k t untuk k > t. Lema 3.4. Misalkan Π = {S 1, S 2, S 3,..., S k } partisi pembeda pada graf W t n. Jika vertex u i S i dengan 1 i t, maka k j=t+1 S j (k t)2 k t 1 untuk k > t. Bukti. Misalkan Π = {S 1, S 2, S 3,..., S k } partisi pembeda pada graf W t n. Pandang kelas partisi selain S i dengan 1 i t. Misalkan vertex u i S i dengan 1 i t, dan vertex w V (W t n) {u i 1 i t} termuat pada kelas partisi S t+1, maka representasi dari w adalah r(w Π) = (1, 1,..., 1, 0,...). Oleh karena itu, k t 1 posisi pada representasi dari vertex w S t+1 dapat diisi dengan paling banyak k t 1 angka 2 dan sisanya diisi dengan angka 1. Terdapat paling banyak ( k t 1 0 )+( k t 1 1 )+... + ( k t 1 k t 1 ) representasi yang berbeda dari semua vertex w S t+1 yang memuat angka 1. Jadi diperoleh k j=t+1 S j (k t)(( k t 1 0 ) + ( k t 1 1 ) +... + ( k t 1 k t 1 )) = (k t)2 k t 1 untuk k > t. 6 2017
Teorema 3.3. Jika W t n adalah graf t-fold wheel untuk n 3, maka t pd(wn) t t + 1 + 2 log( n + t ). t Bukti. Misalkan pd(w t n) = k dan Π = {S 1, S 2,..., S k } partisi pembeda dari graf W t n. Ditentukan batas atas dan batas bawah dimensi partisi pada graf W t n. Batas bawah Misalkan Π = {S 1, S 2,..., S k } partisi pembeda dari graf t-fold wheel W t n, dengan n < t. Berdasarkan Lema 3.2 diperoleh u i S i dengan 1 i t. Jika terdapat v V (W t n) {u i 1 i t}, dengan n < t, d(v j, u i ) = 1, dan d(u a, u b ) = 2, dengan 1 j n 1 a, b i, maka setiap S i memuat paling banyak satu vertex v n. Terdapat t kelas partisi pembeda, sehingga pd(w t n) = t, dengan n < t. Akan ditunjukkan bahwa pd(w t n) > t, dengan n t. Andaikan Π = {S 1, S 2,..., S k } partisi pembeda dari graf t-fold wheel W t n, dengan n t dan pd(w t n) t. Berdasarkan Lema 3.2 diperoleh u i S i dengan 1 i t. Jika terdapat v V (W t n) {u i 1 i t}, dengan n t, d(v, u i ) = 1, dan d(u a, u b ) = 2, dengan 1 j n dan 1 a, b i maka terdapat S i memuat paling sedikit satu vertex v. Jika setiap S i memuat paling sedikit satu vertex v, misal v i S i, maka r(v i Π) = r(u i Π) dan Π bukan partisi pembeda. Jika terdapat S i yang memuat lebih dari satu vertex v, misal v c, v d S a, dengan 1 c, d n dan 1 a i, maka r(v c Π) = r(v d Π) dan Π bukan partisi pembeda. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian sehingga paling tidak terdapat vertex v termuat dalam kelas partisi S t+p, dengan p 1 dan berakibat pd(w t n) > t, untuk n t. Jadi pd(w t n) t. Batas atas Berdasarkan Lema 3.3 didapatkan t i=1 S i t2 k t dan berdasarkan Lema 3.4 didapatkan k j=t+1 S j (k t)2 k t 1 untuk k > t. Jelas a < n dengan 3 a < n dan 3 < t n jika dan hanya jika pd(w t a) pd(w t n). Jika pd(w t n) = k, dengan n t maka pd(w t a) k. Karena k > t, k > 3 dan pd(w t a) t, maka terdapat pd(w t a) = k 1. Ambil a sedemikian sehingga pd(w t a) = k 1 berakibat a + t < n + t t i=1 S i + k 1 j=t+1 S j n + t t2 k t 1 + (k t 1)2 k t 2 n + t, karena pd(w t a) = k 1 7 2017
(k + t 1)2 k t 2 n + t (2t)2 k t 2 n + t, karena k > t t2 k t 1 n + t k t + 1 + 2 log( n+t t ). Sehingga diperoleh pd(w t n) t + 1 + 2 log( n+t t ). 4. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan, yaitu dimensi partisi dari graf C m K n tertera dalam Teorema 3.1, dimensi partisi dari graf C m [P n ] tertera dalam Teorema 3.2, dan dimensi partisi dari graf W t n tertera dalam Teorema 3.3. Pustaka [1] Asmiati, Partition Dimension of Amalgamation of Stars, Bulletin of Mathematics Vol 04 no. 2 (2012), 161-167. [2] Chartrand, G., E. Salehi, and P. Zhang, On the Partition Dimension of a Graph, Congress Numer. 131 (1998), 55-66. [3] Chartrand, G., E. Salehi, and P. Zhang, The Partition Dimension of a Graph, Aequation Math. 55 (2000), 45-54. [4] Dewi, M. P. K., Dimensi Partisi dari Graf Lollipop, Graf Generalized Jahangir, dan Graf C m 2 K n, Tugas Akhir, FMIPA Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2016. [5] Hidayat, D. W., Dimensi Partisi pada Beberapa Kelas Graf, Tugas Akhir, FMIPA Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2015. [6] Tomescu, I., I. Javaid, and Slamin, On the Partition Dimension and Connected Partition Dimension of Wheels, Ars Combin. 84 (2007), 311-317. [7] Wallis, W. D., Magic Graph, Birkhäuser, Basel, Berlin, 2001. 8 2017