Bab I Pendahuluan I.1 Latar Belakang Masalah Proses deformasi benang fluida telah banyak dikaji oleh beberapa peneliti sebelumnya, seperti Savart (1833), Plateau (1849), Rayleigh (1878), dan Tomotika (1935). Mereka menemukan bahwa suatu benang fluida kental viscous yang berada dalam lingkungan fluida lain yang kental viscous dan diam akan terdeformasi menjadi untaian beberapa droplet (Breaking up process). Proses deformasi ini terjadi karena adanya tegangan permukaan (Surface Tension). Proses pembentukan droplet ini dapat diilustrasikan sebagai berikut: pada lingkungan benang fluida terjadi arus geser (Shear flow) sehingga jarijari benang fluida tersebut makin mengecil. Setelah arus geser ini dihentikan, pengaruh tegangan permukaan pada lapis batas (interface) antara fluida viscoelastis dan fluida Newton yang diam akan menjadi dominan. Pengaruh tegangan permukaan ini menyebabkan benang fluida akan mencapai bentuk yang memiliki energi permukaan paling minimum, yakni untaian droplet yang berbentuk butiran-butiran seperti bola. Selain tegangan permukaan, faktor
2 lain yang mempengaruhi proses deformasi ini adalah rasio viskositas benang dan viskositas fluida lingkungannya. Proses deformasi benang fluida ini juga dikaji oleh para peneliti secara numerik, diantaranya Bousfield et.al (1986) menyelidiki kasus pancaran fluida viscoelastis secara numerik dengan menggunakan metode elemen hingga. Hasil yang diperoleh menyatakan bahwa teori kestabilan linear hanya dapat menjelaskan tahap awal saja dari proses pancaran. Li dan Fontelos (2003) menyelidiki dinamika pancaran viscoelastis secara numerik. Model yang dipilih yakni model linear Oldroyd-B. Hasil menunjukkan bahwa sifat elastis pancaran sangat mempengaruhi pembentukan formasi beads-on-string, yakni formasi yang mana fluida viscoelastis membentuk filamen benang sebelum terdeformasi menjadi droplet. Selanjutnya, Rallison (1984) dan Stone (1994) menyelidiki struktur dan dinamika tetesan kental yang terendam dalam fluida Newton. Hasilnya menunjukkan bahwa jika suatu tetesan kecil (satelit), maka dinamika tetesan (droplet) ini dapat dianalisa melalui persamaan Stokes yang mana bilangan Reynoldsnya cukup kecil. Ladyzhenskaya (1969) mengamati bahwa interface tetesan (droplet) dengan lingkungan fluida dinyatakan tak berhingga dan dipengaruhi tegangan permukaan yang konstan. Medan kecepatan tetesan dinyatakan dalam bentuk persamaan integral batas permukaan luar tetesan. Pada kasus ini, kita akan menggunakan persamaan integral batas pada interface tetesan fluida tak Newton yang berada dalam lingkungan fluida Newton yang mana Kedua fluida diasumsikan axissimetris dan immiscible. Youngren (1975) orang yang pertama kali melakukan pendekatan numerik untuk mengkaji proses deformasi fluida Newton yang terapung di fluida kental menjadi tetesan. Ia menggunakan metode elemen batas. Hasilnya menyatakan bahwa metode elemen batas cukup efisien dalam menentukan solusi numerik dari masalah diatas. Oleh karena itu, pada penelitian ini, kita akan
3 mengkaji proses pembentukan tetesan benang Viscoelastis yang berada di lingkungan Newton dengan menggunakan metode elemen batas. Benang fluida tak Newton yang dipilih adalah benang fluida viscoelastis linear. Selain memiliki kekentalan, benang fluida ini juga memiliki sifat elastis. Sifat elastis ini diduga akan cukup berpengaruh pada proses pembentukan droplet. Suatu benang fluida viscoelastis yang berada pada lingkungan fluida diam akan membutuhkan waktu yang lebih lama terdeformasi menjadi droplet jika dibandingkan dengan benang fluida Newton. Pada penelitian ini, fenomena tersebut akan dimodelkan secara matematis dan diselesaikan melalui pendekatan numerik. I.2 Rumusan Masalah Isi dari tesis ini menekankan pada penggunaan metode elemen batas (MEB) dalam menyelesaikan persamaan Stokes Nonhomogen. Persamaan Stokes nonhomogen diperoleh dari penurunan model proses deformasi benang viscoelastis. Sehubungan dengan hal tersebut maka kita dapat merumuskan beberapa hal pokok pembahasan kita : 1. Mengkonstruksi model proses deformasi benang viscoelastis linear menjadi droplet. 2. Mengkonstruksi persamaan integral batas masalah langsung dari model proses deformasi benang viscoelastis linear. 3. Melakukan proses numerik dari persamaan integral batas yang telah diperoleh. 4. Menentukan pressure I.3 Tujuan Penulisan Penulisan ini dimaksudkan untuk mengkonstruksi suatu metode dalam penyelesaian masalah langsung dari proses deformasi benang viscoelastis linear di dalam lingkungan fluida Newton menjadi untaian beberapa droplet (Breaking up process). Dengan tulisan ini juga diharapkan dapat memberikan gam-
4 baran aplikasi dari metoda yang dibahas. Selain itu juga penulisan ini dimaksudkan untuk memberikan sumbangan ilmu pengetahuan pada dunia civitas akademika matematika. I.4 Sistematika Pembahasan Secara garis besar, pembahasan tesis ini dibagi dalam 6 bab. Bab 1 ini merupakan bagian awal dari keseluruhan tesis yang berisi gambaran umum tentang seluruh isi tesis ini. Bab ini dibagi dalam beberapa subbab yang terdiri atas latar belakang, rumusan masalah, tujuan penulisan dan sistematika pembahasan. Pada Bab kedua, kita akan membahas konsep dasar Metode Elemen Batas (MEB). Pada bab 2 ini dibagi beberapa subbab, yakni Teorema Gradient, Teorema Divergensi Gauss, Teorema Green, Sumbu Derivatif, Kronecker Delta, Fungsi Interpolasi, Kondisi batas, Dasar Persamaan Integral Batas, Integral domain. Pada Bab ketiga, kita akan membahas konsep dasar Metode Elemen Batas (MEB) untuk persamaan Poisson. Pada bab 3 ini dibagi beberapa subbab, yakni Konvensi simbol, Geometri Masalah, Solusi Fundamental, Persamaan Integral Batas, Integral Domain, dan Metode Elemen Batas untuk persamaan Poisson. Bab keempat ini merupakan salah satu bab utama pembahasan pada tesis. Dalam bab ini, kita akan membangun model dari proses deformasi benang Viscoelastis Linear di Lingkungan Fluida Newton. Pada bab 4 ini terbagi beberapa subbab, yakni Perbedaan stress dan Strain, Transformasi Tensor Tegangan, Pembentukan Model Maxwell Linear, Penskalaan Model, Persamaan Stokes Nonhomogen, Kondisi Awal, dan kondisi batas dari model yang diper-
5 oleh. Bab kelima ini merupakan salah satu bab utama pembahasan pada tesis. Dalam bab ini, kita akan membangun persamaan integral batas dari model yang telah diperoleh pada bab 4. Pada literatur metode integral batas ini, kita akan menentukan fungsi Green yang dinamakan sebagai solusi fundamental. Pada Bab keenam, kita akan melakukan proses numerik dari persamaan integral batas yang telah diperoleh dari bab 4. Pada bab ini dibagi beberapa subbab, yakni algoritma numerik, evaluasi integral, integralisasi waktu, dan validasi metode numerik Akhirnya, seluruh kesimpulan dan saran diberikan pada Bab 7.