MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH

MODEL DIFUSI OKSIGEN DI JARINGAN TUBUH Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. Pembimbing: Dr. Agus Yodi Gunawan 14 Juli 2009 artika Yulianti, S.Pd., M.Si. Pembimbing:Dr. MODEL Agus DIFUSI Yodi Gunawan OKSIGEN() DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 1 / 24

Pendahuluan Latar Belakang Pendahuluan Sistem Peredaran darah. Jantung Arteri Pembuluh kapiler Vena Jantung Arteri Pulmonari Paru-paru Vena Pulmonari. DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 2 / 24

Pendahuluan Latar Belakang Oksigen memegang peranan penting bagi kelangsungan metabolisme jaringan (tissue) dalam tubuh. Jika sel-sel di suatu jaringan tidak mendapat pasokan oksigen, maka sel-sel tersebut akan mati dan dapat menimbulkan kerusakan jaringan. Circulatory shock: kehilangan darah dalam jumlah besar, serangan jantung, serta penurunan tekanan darah dengan tajam. Tujuan: Membangun suatu model matematika yang menggambarkan proses penyebaran konsentrasi oksigen di suatu jaringan tubuh. artika Yulianti, S.Pd., M.Si. Pembimbing:Dr. MODEL Agus DIFUSI Yodi Gunawan OKSIGEN() DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 3 / 24

Pemodelan Pembuluh Kapiler Pemodelan Pembuluh Kapiler Pembuluh kapiler: tersusun dari sebuah lapisan sel (endothelium). Molekul-molekul seperti oksigen, karbon dioksida, dan air dapat melalui dinding ini dan memasuki jaringan dengan cara difusi. Pembuluh Darah (www.wikipedia.com). DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 4 / 24

Pemodelan Model Kapiler-Jaringan Model Krogh Cylinder Representasi dari daerah kapiler-jaringan: konsep pengulangan struktur satuan. Setiap kapiler bertanggungjawab untuk menyediakan nutrisi bagi jaringan yang melingkupi kapiler tersebut. DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 5 / 24

Pemodelan Model Kapiler-Jaringan Asumsi: Bukan daerah percabangan. Reaksi kimia yang terjadi di jaringan berdistribusi secara kontinu. Simetri terhadap sumbu. Laju perpindahan material pada dinding luar jaringan adalah nol. artika Yulianti, S.Pd., M.Si. Pembimbing:Dr. MODEL Agus DIFUSI Yodi Gunawan OKSIGEN() DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 6 / 24

Pemodelan Penurunan Persamaan Difusi Penurunan Persamaan Difusi Banyaknya molekul oksigen yang mengalir pada titik x di suatu permukaan A per satuan waktu adalah J(x)A. Volume satuan: dv rdθdzdr. DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 7 / 24

Pemodelan Penurunan Persamaan Difusi ( cdv ) t = J rdθd r z J rdθd r z+d z + J rdθd z r J( r + d r)dθd z r+d r g( c)dv. c t Hukum Fick: = J z J z+d z d z + rj r ( r + d r)j r+d r rd r g( c) (1) = J z ( rj) g( c). (2) r r c t J = D j d c d r ( 2 c = D j z 2 + 1 r c r + 2 c r 2 ) g( c). (3) DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 8 / 24

Pemodelan Persamaan Michaelis-Menten Laju Konsumsi Oksigen g( c) = A c B + c. Parameter A : kecepatan maksimum oksigen bereaksi dengan enzim. Parameter B : koefisien kesetimbangan reaksi. Grafik Michaelis-Menten dengan A=1, B=1. artika Yulianti, S.Pd., M.Si. Pembimbing:Dr. MODEL Agus DIFUSI Yodi Gunawan OKSIGEN() DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 9 / 24

Pemodelan Syarat Batas Syarat Batas c (b) r = 0. (4) c( r, 0) = c a. (5) c(a, t) = f ( t). (6) c(a, t) = { ci c a ε t + c a, 0 t < ε; c i, t ε. DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 10 / 24

Kajian Model Kajian Model Karena b l maka difusi dalam arah aksial diabaikan. DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 11 / 24

Metode Asimtotik Model steady state: ( c D j 1 r r + 2 c ) r 2 Keadaan Tunak = A c B + c, a r b. (7) c c(a) = c i, (b) = 0. (8) r c adalah konsentrasi oksigen, sehingga haruslah c 0. Oleh karena itu, kita asumsikan ruas kanan dari persamaan (7) adalah nol untuk c < 0. Penskalaan: c = c a c, r = ar, (9) ( 1 dc r dc ) r dr dr = λch(c) α + c, c(1) = ĉ 1, dc dr 1 r b (10) a ( ) b = 0, (11) a dimana λ = Aa2 D j c a, α = B c a, ĉ 1 = c i c a, dan H adalah fungsi Heaviside. DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 12 / 24

Metode Asimtotik Keadaan Tunak Kasus α 0 dan λ = O(1). Misalkan c mempunyai perluasan: 1 r Untuk O(1): ( rc 0 ) + α 1 r c(r; α) = c 0 (r) + αc 1 (r) + O(α 2 ). (12) ( rc 1 ) + O(α 2 ) = λc α + c = λ αλ c 0 + O(α 2 ). (13) dengan c 0 ( b a ) = 0,c 0(1) = ĉ i. Sehingga 1 r ( rc 0 ) = λ, (14) c 0 λr (r) = 2 + K 1 r. (15) Jika c 0 aproksimasi yang valid untuk seluruh r, berlaku c 0 ( b a ) = 0, sehingga diperoleh K 1 = λb2 2a 2. DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 13 / 24

Metode Asimtotik Keadaan Tunak ( b 2 c 0 (r) = ĉ i λ 2a 2 ln r r 2 ) 1. (16) 4 c 0 maka c 0 0. c 0 akan bernilai positif jika dan hanya jika λ < ĉ i b 2 ln r r 2 1 2a 2 4. (17) Hubungan λ dan r untuk b a = 11 dan ĉ i = 1.25. DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 14 / 24

Metode Asimtotik Keadaan Tunak Untuk b a = 11, dan ĉ i = 1.25 c 0 0 jika λ < 0.0108627. Jika λ > 0.0108627, maka c 0 mempunyai akar: r 1. Sehingga tidak berlaku c 0 ( b a ) = 0. Untuk r < r 1, berlaku: c 0 (r) = λ 4 r 2 + K 1 ln r + ĉ i λ 4. (18) Untuk r r 1, c(r) = 0. Asumsikan 0 c O(α). Penskalaan c = α n c, n 1. Persamaan (10) menjadi: α 1 r d dr ( r d c dr ) = Karena α 0 maka dengan n 1, setiap ekspansi c(r; α) = c 0 (r) +..., r r 1 akan memberikan c = 0. λ c. (19) 1 + αn 1 c DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 15 / 24

Metode Asimtotik Keadaan Tunak Akan dicari akar r 1 dan K 1. Misalkan c = α n ψ, r = r 1 + α m ξ. (20) Substitusi dan Distinguished Limit, diperoleh: c = αψ, r = r 1 + αξ. Matching Condition. Jika ξ, maka ψ 0. Jika ξ, maka ψ c 0 (r). DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 16 / 24

Metode Asimtotik Keadaan Tunak c 0 (r) = c 0 (r 1 ) + (r r 1 )c 0 (r 1) + 1 2 (r r 1) 2 c 0 (r 1) +... (21) = αξc 0 (r 1) + 1 2 αξ2 c 0 (r 1) +... (22) Diperoleh c 0 (r 1) = 0. αψ(ξ). (23) K 1 = λr 1 2 2. ( r 2 c 0 (r) = ĉ i λ 1 2 ln r r 2 ) 1. (24) 4 DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 17 / 24

Metode Asimtotik Keadaan Tunak Grafik r 1 terhadap 1 λ untuk ĉ i = 1.25. c 0 (r) untuk λ 0.0108627 adalah: ( b 2 c 0 (r) = ĉ i λ 2a 2 ln r r 2 1 4 dan untuk λ 0.0108627 adalah: { ( ) r 2 ĉi λ 12 ln r r 2 1 c 0 (r) = 4, jika 1 r < r 1 ; 0, jika r 1 < r b a. ), (25) artika Yulianti, S.Pd., M.Si. Pembimbing:Dr. MODEL Agus DIFUSI Yodi Gunawan OKSIGEN() DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 18 / 24

Metode Asimtotik Keadaan Tunak artika Yulianti, S.Pd., M.Si. Pembimbing:Dr. MODEL Agus DIFUSI Yodi Gunawan OKSIGEN() DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 19 / 24

Metode Asimtotik Keadaan Tunak artika Yulianti, S.Pd., M.Si. Pembimbing:Dr. MODEL Agus DIFUSI Yodi Gunawan OKSIGEN() DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 20 / 24

Solusi Unsteady State Keadaan Tidak Tunak DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 21 / 24

Kesimpulan Kesimpulan Nilai λ yang merepresentasikan perbandingan laju konsumsi terhadap penyediaan oksigen, memegang peranan penting dalam ketersediaan oksigen di daerah jaringan. Jika λ 0, nilai konsentrasi oksigen tidak akan mencapai nilai nol dalam waktu tak hingga. Sedangkan jika λ = O(1), nilai konsentrasi oksigen di jaringan akan mencapai nilai nol dalam waktu yang berhingga. DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 22 / 24

Daftar Pustaka Daftar Pustaka (1) Carslaw, H.S. dan Jaeger, J.C. 1959. Conduction Of Heat In Solids. New York. Oxford Clarendon Press. (2) Holmes, Mark H. 1995. Introduction to Perturbation Method. New York. Springer-Verlag. (3) Mathews, John H. dan Fink, Kurtis D. 1999. Numerical Methods Using Matlab. London. Prentice-Hall International. (4) Middleman, Stanley. 1972. Transport Phenomena in the Cardiovascular System. New York. John-Wiley & Sons, Inc. (5) Poulikakos. 1994. Conduction Heat Transfer. New Jersey. Prentice-Hall. (6) Ross, J. 1996. Role of Blood Vessel. Tersedia di http : //classes.tmcc.edu/eburke/other notes/blood Vessel.htm. (7) http://www. wikipedia.com. DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 23 / 24

Terima Kasih Terima Kasih artika Yulianti, S.Pd., M.Si. Pembimbing:Dr. MODEL Agus DIFUSI Yodi Gunawan OKSIGEN() DI JARINGAN TUBUH 14 Juli 2009 24 / 24