REGRESI ROBUST DENGAN M-ESTIMASI MAKALAH

REGRESI ROBUST DENGAN M-ESTIMASI MAKALAH Dajuka utuk Memeuh Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjaa Sas Program Stud Matematka Dsusu oleh : Ages Tr Suslawat NIM : 534 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

ROBUST REGRESSION WITH M-ESTIMASI MAKALAH Preseted As a Partal Fulfllmet of The Requremets To Obta The Sarjaa Sas Degree I Mathematcs By : Ages Tr Suslawat Studet Number : 534 MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTEMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

v

v

Berdrlah dega teguh, jaga goyah, da gatlah selalu dalam pekerjaa Tuha! Sebab dalam persekutua dega Tuha jerh payahmu tdak sa-sa Kortus 5 : 58 Kupersembahka makalah kepada: Tuha Yesus Krstus yag seatasa meyertaku, sumber harapa da kekuataku Kedua oragtuaku atas cta da doa yag tada het Kedua kakakku Mas Robert da Mbak Chrs Serta almamaterku tercta v

ABSTRAK Outler adalah pegamata dega la resdual yag besar. Dega adaya outler, parameter-parameter dalam model regres aka mejad bas, oleh karea tu dbutuhka regres yag dapat meghaslka model regres yag tdak terpegaruh oleh outler yatu regres robust. Regres robust adalah alat petg utuk megaalsa data yag dpegaruh oleh outler sehgga dhaslka model yag tdak terpegaruh oleh outler. Pada makalah aka dbahas pedugaa parameter dalam regres robust dega megguaka metode M-Estmas dega fugs bobot Huber. Pada regres kuadrat terkecl peduga parameter adalah ( ) Υ sedagka utuk regres robust peduga parameter adalah ( W ) W Υ. Ketka W model regres robust sama dega model regres kuadrat terkecl. Kesukara dalam medapatka peduga parameter regres robust bahwa tergatug pada W tergatug pada da W, sehgga utuk medapatka la dguaka suatu teras yag dsebut dega teratvely reweghted least squares (IRLS). Kata Kuc: outler, robust, regres, M-Estmas, IRLS v

ABSTRACT Outler s a observato data wth bg resdual value. Wth attedg outler, some parameters the regresso model ca be bas, so that t eeds a best regresso model wthout outler ad t s metoed as a robust regresso. The robust regresso s a mportat tool to aalyze outler ad the to obta a regresso model wthout outler. I ths research we descrbe some predcted parameters for the robust regresso usg M-Estmato method through a weght formula of Huber. The least squares regresso estmators of are ( ) Υ, whereas the robust regresso estmators of are ( W ) W Υ. Whe W the robust regresso model same as wth least square regresso model. The dffculty obtag of predcted parameter s recprocal depedg o W, whle W depeds o ad depeds o W, so that to obta a value of we eed a terato calculato usg IRLS (teratvely reweghted least squares). Keywords: outler, robust, regresso, M-Estmato, IRLS v

KATA PENGANTAR Puj da syukur peuls pajatka kepada Tuha Yesus Krstus, atas berkat da kash karuaya yag telah dberka sehgga peuls dapat meyelesaka makalah yag berjudul Regres Robust dega M-estmas. Dalam proses peulsa makalah bayak hambata yag dalam oleh peuls. Namu, berkat batua da dukuga dar bayak phak, akhrya makalah dapat terselesaka. Oleh karea tu peuls g megucapka termakash kepada:. Ibu Ey Murwagtyas, S.S, M.S, selaku dose pembmbg tugas akhr yag telah meluagka waktu, pkra, serta sabar dalam membmbg peuls selama peyusua tugas akhr.. Yosef Agug Cahyata, S.T., M.T. selaku Deka Fakultas Sas da Tekolog 3. Ibu Lusa Krsmyat Budash, S.S, M. S, selaku ketua program stud Matematka FST USD Yogyakarta yag telah bayak membatu da memberka sara. 4. Romo Prof. Dr. Fras Suslo, SJ, selaku dose pembmbg akademk yag selalu seta memberka asehat da sara utuk peusls da selaku kepala perpustakaa yag telah meyedaka fasltas da kemudaha selama peuls kulah 5. Bapak da Ibu Dose Prod Matematka FST USD Yogyakarta yag telah memberka bekal lmu yag sagat bergua bag peuls.

6. Bapak Zaerlus Tukja da Ibu Erma Lda Satyas Rahayu yag telah memberka pelayaa admstras da urusa-urusa akademk kepada peuls selama mash kulah. 7. Perpustakaa USD da Staf yag telah memberka fasltas da kemudaha kepada peuls. 8. Bapak da Ibu tercta: Bapak F. Ngatja da Ibu FM. Suryat yag selalu medoaka peuls, memberka dukuga yag tak perah berhet dalam segala hal. 9. Mas Robert Lujatoro, Mbak Chrspa Ldsa Dwursar terma kash kara kala telah membuat persaudaraa dah da peuh maka, semoga kta dapat selalu mejagaya walau jarak memsahka kta.. Smbah Hadoyo Hadsuasoo Kakug da Smbah Hadoyo Hadsuasoo Putr terma kash atas doaya sehgga peuls dapat berhasl sampa sekarag.. Yoha Pryambodo yag telah memberka seluruh perhata, pegerta, waktu, kesabara, asehat, da keceraa buat peuls. Terma kash pula atas support, doa yag tada het utuk peuls, sara, pegetahua, kebersamaa da har-har yag begtu dah yag telah dberka kepada peuls.. Tema-tema Kost Pk Mara Yul, Mara Pudyat, Yula Vety, Frasska Septaa terma kash buat kebersamaa kta. 3. Prsca Dev Yudstasar, Wur Johaa Frassca, Yosep Arta, terma kash atas persahabata, keaga, dukuga, semagat, da perjalaa hdup yag sagat berart yag kala berka utuk peuls.

4. Tema-tema Matematka agkata 5 yag sudah memberka segala keceraa dalam melewat kebersamaa selama d Matematka USD. Peuls juga tdak lupa megucapka terma kash kepada semua phak yag membatu peuls dalam peulsa makalah. Yogyakarta, Peuls

DAFTAR ISI Halama HALAMAN JUDUL... HALAMAN JUDUL (INGGRIS)... HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... HALAMAN PENGESAHAN... PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... HALAMAN PERSEMBAHAN... ABSTRAK... ABSTRACT... PERNYATAAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... v v v v v v v v BAB I PENDAHULUAN... A. Latar Belakag Masalah... B. Rumusa Masalah... C. Batasa Masalah... 3 D. Tujua Peulsa... 3 E. Metode Peulsa... 3 F. Mafaat Peulsa... 3

G. Sstematka Peulsa... 4 BAB II REGRESI LINEAR... 5 A. Metode Maksmum Lkelhood... 5 B. Model Regres Lear Sederhaa... 6 C. Metode Kuadrat Terkecl...... D. Metode Regres Lear k-varabel... 4 E. Peaksra Metode Kuadrat Terkecl k-varabel...... 6 F. Peaksra Metode Maksmum Lkelhood k-varabel.. 8 BAB III OUTLIER DAN REGRESI ROBUST.... A. Outler.... B. Regres Least Absolute Devato (Regres L ).. 3 C. M-Estmator.. 3 D. Prosedur M-Estmas 36 BAB IV APLIKASI REGRESI ROBUST.. 49 A. Keteagakerjaa Baja Suatu Negara d Eropa pada tahu 974 da 99.... 49 B. Keruga Pejuala Motor Bekas Suatu Dealer Motor.. 53 BAB V PENUTUP... 56 A. Kesmpula... 56 B. Sara.. 58 DAFTAR PUSTAKA 59 LAMPIRAN 6 v

DAFTAR TABEL Halama Tabel 3. Bayak barag terjual da harga barag... 4 Tabel 3. Kuartl da Jagkaua... 6 Tabel 3.3 Kuartl da Jagkaua... 8 Tabel 3.4 Bayak barag terjual da harga barag... 4 Tabel 3.5 Model regres kuadrat terkecl da model regres robust... 4 Tabel 3.6 Betuk kuadrat terkecl da betuk regres robust... 43 Tabel 3.7 Bayak barag terjual da harga barag... 45 Tabel 3.8 Kuartl da Jagkaua... 45 Tabel 3.9 Model regres kuadrat terkecl da model regres robust... 47 Tabel 3. Betuk kuadrat terkecl da betuk regres robust... 43 Tabel 4. Keteagakerjaa suatu egara d Eropa tahu 974 da 99 49 Tabel 4. Keruga setap pejuala motor bekas... 53 v

DAFTAR GAMBAR Halama Gambar. Gambar 3.a Gambar 3.b Gambar 3.a Gambar 3.b 3 Gambar 3.3 4 Gambar 3.4 5 Gambar 3.5 6 Gambar 3.6a 7 Gambar 3.6b 7 Gambar 3.7a 8 Gambar 3.7b 9 Gambar 3.8a 39 Gambar 3.8b 39 Gambar 3.9 39 Gambar 3. 46 Gambar 4. 5 Gambar 4. 5 v

DAFTAR LAMPIRAN Halama Lampra A 6 Lampra B 6 Lampra C 64 Lampra D 64 Lampra E 66 Lampra F 67 Lampra G 69 Lampra H 69 Lampra I 7 Lampra J 7 Lampra K 74 v

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Dalam suatu pegamata, msalka Y smbol yag aka dguaka utuk varabel tak bebas da smbol yag aka dguaka utuk varabel bebas, maka rumusa model regres atara varabel Y da adalah: Υ L p p dega: Υ varabel tak bebas,,, K, j varabel bebas,,, K,, j,, K, p koefse regres terhadap Υ la error (galat) Dalam regres lear sederhaa pedugaa parameter dapat megguaka metode kuadrat terkecl, amu ketka dstrbus dar tdak ormal atau adaya beberapa outler yag berpegaruh pada model maka metode kuadrat terkecl tdak dapat dguaka karea peduga parameter aka mejad bas. Oleh karea tu harus dguaka model regres yag la. Regres robust adalah alat petg utuk megaalsa data yag dpegaruh outler sehgga dhaslka model yag tdak terpegaruh oleh outler. Meurut Staudte da Sether (99) outler adalah suatu observas yag jauh dar sebaga besar data. Pada regres lear, outler adalah pegamata dega la

resdual yag besar. Dalam Gambar. dperlhatka sekumpula data dega ttk yag keempat merupaka outler. Gambar.. Regres lear dega satu outler Dalam makalah metode yag aka dbahas utuk meduga parameter dar model regres robust adalah M-Estmas dega fugs bobot Huber. Fugs Huber merupaka fugs parabola d sektar ttk ol da megkat secara lear pada u > a, dega a adalah tug kosta. B. Perumusa Masalah Berdasarka uraa yag dkemukaka dalam latar belakag datas, pokok permasalaha dalam makalah dapat drumuska sebaga berkut:. Bagamaa medeteks data yag memuat outler?. Apa peduga parameter dar regres robust dega M-Estmas? 3. Bagamaakah peyelesaa peduga parameter dar regres robust dega M- Estmas megguaka fugs bobot Huber?

3 C. Batasa Masalah Pembahasa masalah dalam makalah dbatas pada pembahasa megea regres robust yag dguaka utuk medapatka model regres yag tdak terpegaruh outler. Utuk meyelesaka masalah aka dduga parameter regres robust dega M-Estmas megguaka fugs bobot Huber dega tug kosta a.345. Pemlha tug kosta tdak aka dbahas dalam makalah. Dalam makalah juga tdak aka dbahas tetag dstrbus dar resdual, da sfat BLUE peduga parameter. D. Tujua Peulsa Tujua peulsa makalah adalah:. Memaham outler da pedeteksa adaya outler.. Meetuka regres robust dega M-Estmas megguaka fus bobot Huber s E. Metode Peulsa Metode peulsa makalah megguaka metode stud pustaka, yatu megguaka buku-buku, jural, makalah yag telah dpublkaska da dar teret, sehgga tdak dtemuka hal-hal yag baru. Utuk peyelesaa masalah aka dguaka program MATLAB. F. Mafaat Peulsa. Medapatka suatu peduga parameter yag dapat megurag pegaruh adaya outler.. Megetahu lagkah kerja dar M-Estmas megguaka fugs bobot Huber.

4 G. Sstematka Peulsa Bab I pedahulua bers latar belakag masalah, perumusa masalah, batasa masalah, tujua peulsa, metode peulsa, da mafaat peulsa. Bab II bers tetag model regres lear sederhaa da regres bergada, metode kuadrat terkecl, mamum lkelhood. Bab III bers tetag pegerta outler da cara pedeteksa adaya outler, pegerta regres robust, M-Estmas, Huber s M-Estmas. Bab IV bers kasus tetag model regres robust yag aka dselesaka dega metode M-Estmas megguaka fugs bobot Huber. Bab V bers tetag kesmpula da sara.

BAB II REGRESI LINEAR A. Metode Maksmum Lkelhood Dar suatu pegamata, sejumlah pedekata dapat dambl utuk memperoleh suatu peduga. Salah satu metode utuk memperoleh sebuah peduga adalah metode mamum lkelhood (ML). Msalka (, ), L la yag dobservas dalam suatu sampel radom yag besarya. Maka fugs lkelhood sampel tersebut adalah L ( ) f (,, L, ; ) f ( ; ) f ( ; ) Lf ( ; ) f ( ; ) (.) dega adalah suatu parameter yag tdak dketahu. L ( ) adalah fugs lkelhood utuk, dega,,, L tetap (fed). Peduga Mamum Lkelhood utuk parameter adalah la yag memaksmumka fugs lkelhood L ( ). Cotoh.: Suatu eksperme Bomal terdr dar percobaa yag meghaslka observas (,,,,, ) K dega jka percobaa sukses da jka K percobaa gagal. Dega megguaka metode mamum lkelhood carlah p sebaga peduga dar parameter p. Jawab: L ( p) p ( p) 5

6 dega bayakya sukses. Nla p dcar dega meuruka L ( p) terhadap p kemuda meyamakaya dega ol. Utuk mecar turua L ( p) lebh bak dambl logya (l log dega blaga pokok e). l L d l L dp ( p) l( p) ( ) l( p) ( p) ( ) p p ( ) p p ( p) ( ) p p p p p ( ) p p Nla p yag membuat L ( p) maksmum alah p dega jka percobaa sukses da jka percobaa gagal. Jad peduga parameter p dega megguaka metode mamum lkelhood alah p B. Model Regres Lear Sederhaa Istlah regres dperkealka oleh Fracs Galto yag membadgka tgg bada aak lak-lak dega tgg bada ayahya. Galto meujukka bahwa tgg bada aak lak-lak dar ayah yag tgg, setelah beberapa geeras cederug mudur (regressed) medekat tgg rata-rata seluruh populas. Dega kata la, aak lak-lak dar ayah yag badaya sagat tgg cederug lebh pedek darpada

7 ayahya, sedagka aak lak-lak dar ayah yag badaya sagat pedek cederug lebh tgg darpada ayahya. Suatu fugs dkataka lear dalam parameter jka haya dega pagkat satu da tdak dkalka atau dbag dega parameter la da berderajat satu. Suatu fugs dkataka lear dalam varabel jka haya dega pagkat satu da tdak dkalka atau dbag dega varabel la da f() merupaka fugs polyomal berderajat satu. Dar peafsra leartas tersebut, leartas dalam parameter dapat megkut perkembaga teor regres. Jad stlah regres lear aka selalu berart suatu regres yag lear dalam parameter, mugk lear atau tdak dalam varabel yag mejelaska. Persamaa regres adalah persamaa matematk yag memugkka utuk meramalka la-la suatu varabel tak bebas dar la-la satu atau lebh varabel bebas. Beberapa cotoh model regres yag termasuk model regres lear adalah. Υ. Υ 3. Υ Suatu regres aka membcaraka masalah pedugaa atau peramala la varabel tak bebas Υ berdasarka varabel bebas. Varabel tak bebas dasumska bersfat statstk yatu bahwa varabel tak bebas dambl dar sampel buka dar populas da radom yatu suatu varabel yag laya dtetuka oleh hasl suatu eksperme acak. Varabel bebas dasumska r-stokastk (mempuya la yag tetap dalam pegambla sampel berulag) yatu varabel bebas megambl la yag sama dalam berbaga sampel.

8 persamaa dega: Model regres dar pegamata (, Υ ) dalam sampel aka memeuh Υ varabel tak bebas,,, K, varabel bebas,,, K, koefse regres terhadap Υ la error (galat) Asums-asums regres lear meurut Gauss: a. Model regres adalah lear dalam parameter b. berdstrbus ormal utuk setap c. mempuya rata-rata utuk setap d. Varas dar σ utuk semua (homokedaststas) e. Kovaras da j, j adalah Υ (.) f. Varabel-varabel bebas adalah varabel yag r-stokastk (mempuya la yag Var Var E tetap) E ( ), ( ) Akbat dar asums d da asums c yatu: σ, [ ] ( ) E( ) E( ) σ ) ( ) σ

9 Asums e dkeal sebaga asums tdak adaya korelas beruruta atau tdak ada autokorelas (o autokorelas). Asums megakbatka la ( ) ( ) j E E da salg bebas, hal dtujukka dalam pejabara berkut : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ), j j j j j j j j j j E E E E E E E E E E E E Cov Akbat dar asums f adalah: Υ berdstrbus ormal utuk setap dega la harapa da varas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E E E E Y E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) var var var var var var σ Y Baga ( ) var adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) var E E E E Substtuska ( ) var ke Persamaa datas mejad ( ) var σ σ Y PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

C. Metode Kuadrat Terkecl Metode kuadrat terkecl adalah suatu metode pedugaa parameter dega memmumka (jumlah resdual kuadrat) sehgga dperoleh peduga parameter da. Peduga (estmator) dalam pedugaa parameter tersebut adalah atura bagamaa meghtug la dugaa (estmate) berdasarka pegukurapegukura yag terdapat d dalam sampel. Persamaa peduga parameter dalam regres lear sederhaa adalah (.3) Υ Dega meggat kembal model regres lear Persamaa (.) da persamaa peduga parameter Persamaa (.3), dapat dcar suatu la resdual yatu selsh atara la Υ yag damat dega la Υ yag dduga, yag dapat dyataka sebaga berkut: Υ Υ Υ (.4) Gauss da Legedre (Plackett 97 da Stgler 98) megataka bahwa peduga parameter da dapat dcar dega metode kuadrat terkecl yatu: m (.5) Prsp kuadrat terkecl memlh da sedemka rupa sehgga utuk suatu sampel tertetu sekecl mugk. Peduga parameter dperoleh dega meuruka ( Υ )

secara parsal terhadap da meyamaka hasl yag dperoleh dega ol sehgga ddapat: ( ) ( ) ( ) ( ).6 Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ karea Υ Υ da maka Persamaa (.6) dapat dtuls dalam betuk: ( ).7 Υ Peduga parameter dperoleh dega meuruka ( ) Υ secara parsal terhadap da meyamaka hasl yag dperoleh dega ol sehgga ddapat: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

( ) ( ) ( ) ( ).8 Υ Υ Υ Υ Dega mesubsttuska Persamaa ( ).7 ke Persamaa ( ).8 ddapatka: ( ) ( ).9 Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Dega meyelesaka baga pemblag Persamaa (.9) ddapat: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

3 ( ) ( )( ) ( ). Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Υ Dega meyelesaka baga peyebut Persamaa (.9) ddapat: ( ) ( ) ( ). Dega mesubsttuska Persamaa (.), da (.) ke Persamaa (.9) ddapat peduga parameter sebaga berkut: ( )( ) ( ) ( ). Υ Υ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

4 D. Model Regres Lear k-varabel Secara umum model regres lear dua-tga varabel, dapat dtuls sebaga model regres lear k-varabel yag melput varabel tak bebas Y da k varabel yag mejelaska k,, 3, K dapat dtuls sebaga berkut: N Y k k,,,3, 3 3 K L (.3) dega k bayakya varabel bebas observas ke- N besarya populas Persamaa (.3) adalah betuk rgkas utuk sekumpula N persamaa berkut: ( ).4 3 3 3 3 3 3 N kn k N N N k k k k Y Y Y L KKKKKKKKKKKKKKKKK L L Persamaa datas dapat dtuls dega cara la yag lebh mejelaska sebaga berkut: ( ).5 3 3 3 N k k N N Y Y Y N k kn N N k k N Υ M M M M M M L L M dega Υ vektor kolom N observas atas varabel tak bebas Y matrks k N yag memberka N observas atas k varabel k L, kolom pertama yag terdr dar agka meyataka usur tersep. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

5 vektor kolom k dar parameter yag tak dketahu,, K, k vektor kolom N dar N gaggua (dsturbace) Asums-asums dalam k-varabel secara umum sama sepert asums dalam model regres lear sederhaa dalam otas matrks, yatu: a. berdstrbus ormal b. E ( ) dmaa da adalah vektor kolom N, merupaka vektor ol. c. Var( ) σ I dmaa I adalah matrks dettas (detty matr) N N d. Cov (, ) j e. Matrks ( N k) adalah r-stokastk, yatu terdr dar sekelompok agka yag tetap f. Rak (Derajat) dar adalah k (bayakya kolom dalam ) da k lebh kecl dar N (bayakya observas). g. Tdak ada multkoleartas sempura yatu tdak terdapat hubuga lear sempura datara varabel bebas. Asums c dapat djabarka sebaga berkut: ( ) ( ) E E E[,, K, ] E M N E M N N M L L N N N M N

6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N N N N N N E E E E E E E E E I σ σ σ σ σ M M M L L M M M L L M M M L L Asums d dtujukka oleh usur-usur d luar dagoal utama pada matrks datas. E. Peaksra Metode Kuadrat Terkecl dalam k-varabel Utuk medapatka peduga kuadrat terkecl dar, mula-mula dtuls model regres sampel k-varabel: k k Y 3 3 L yag dapat dtuls secara rgkas dalam otas matrks sebaga Υ (.6) da dalam betuk matrks adalah 3 3 3 N k k N N Y Y Y N k kn N N k k N Υ M M M M M M L L M Sepert dalam model dua-tga varabel, dalam kasus k-varabel peduga kuadrat terkecl dperoleh dega memmumka PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

7 ( Y 3 3 k k ) L (.7) dega adalah jumlah resdual kuadrat. Dalam otas matrks, sama dega memmumka karea dar (.6) dperoleh Oleh karea tu, [ ] N L N N Υ (.8) ( Υ ) ( Υ ) Υ Υ Υ (.9) Dega sfat-sfat traspose suatu matrks, yatu ( ), da karea Υ adalah suatu skalar (suatu agka real), betuk tu sama dega trasposeya Υ. Dar Persamaa (.9) dega atura peurua matrks, da meyamaka hasl yag dperoleh dega ol ddapatka: ( ) Υ Υ Υ Υ (.) Dalam Persamaa (.) besara yag dketahu adalah ( ) da Υ (perkala slag atara varabel da Υ ) da yag tdak dketahu adalah. Sekarag dega megguaka aljabar matrks, kalau vers dar ( ) ada, kataka ( ), maka

8 dega megalka d muka kedua ss dar Persamaa (.) dega vers, ddapatka: ( ) ( ) ( ) Υ (.) Tetap karea ( ) ( ) I ddapatka: suatu matrks dettas derajat (order) ( ) Υ I atau k k, maka ( ) Υ (.) F. Peaksra Metode Lkelhood dalam k-varabel Pedugaa parameter model regres lear sederhaa dega metode maksmum lkelhood adalah sebaga berkut: Dega meggat kembal model regres lear Persamaa (.6), Y berdstrbus ormal dega rata-rata da varas σ. Sebaga haslya fugs lkelhood L ( ) adalah L ( ) ( π ) ( Υ ) ( Υ ) σ N e N σ (.3) Pedugaa parameter dperoleh dega meuruka L ( ) terhadap da meyamaka haslya dega ol. Utuk memperoleh turua L ( ) lebh bak dambl logya (l log dega blaga pokok e), sehgga Persamaa (.3) mejad l L ( ) l σ l N ( π ) ( π ) N ( Υ ) ( Υ ) σ e N l l e N σ ( Υ ) ( Υ ) σ

9 N l π N lσ σ N l π N lσ σ N l π N lσ σ Hasl peurua l L ( ) terhadap adalah ( Υ )( Υ ) ( Υ )( Υ ) le ( Υ Υ Υ ) l L N l π N lσ ( Υ Υ Υ ) ( ) ( Υ ) σ σ Υ Υ ( Υ ) σ (.4) Dalam Persamaa (.4) besara yag dketahu adalah ( ) da Υ (perkala slag atara varabel da Υ ) da yag tdak dketahu adalah. Sekarag dega megguaka aljabar matrks, kalau vers dar ( ) ada, kataka ( ), maka dega megalka d muka kedua ss dar Persamaa (.4) dega vers, ddapatka: ( ) ( ) ( ) Υ (.5) Tetap karea ( ) ( ) I ddapatka: suatu matrks dettas derajat (order) ( ) Υ I atau k k, maka ( ) Υ (.6)

BAB III OUTLIER DAN REGRESI ROBUST Dalam suatu pegamata, msalka Y smbol yag aka dguaka utuk varabel bebas da smbol yag aka dguaka utuk varabel tak bebas, maka rumusa model regres atara varabel Y da adalah: Υ L p p (3.) Meurut asums regres lear berdstrbus ormal, amu ketka dstrbus dar tdak ormal atau adaya beberapa outler yag berpegaruh pada model, maka peduga kuadrat terkecl mejad bas sehgga kurag tepat utuk meduga parameter-parameter dalam model regres tersebut. Oleh karea tu dbutuhka suatu model regres dega parameter-parameter yag tdak terpegaruh oleh outler. Metode pedekata alteratf yag bergua utuk mecar parameter-parameter dalam model regres tersebut adalah regres robust. Regres robust yag dperkealka oleh Adrews (97) adalah alat petg utuk megaalsa data yag dpegaruh oleh outler sehgga dhaslka model yag tdak terpegaruh oleh outler. A. Outler Meurut Staudte da Sether (99) outler adalah suatu observas yag jauh dar sebaga besar data. Pada regres lear, outler adalah pegamata dega la resdual yag besar. Muculya outler dapat membuat peduga kuadrat terkecl mejad bas. Muculya outler dkareaka adaya kesalaha dalam memasukka data, kesalaha pegukura, aalss, atau kesalaha-kesalaha laya. Keberadaa data yag

megadug outler aka meggaggu proses aalsa data da harus dhdar dalam bayak hal. Dalam kataya dega aalsa regres, outler dapat meyebabka hal-hal berkut :. Resdual yag besar dar model yag terbetuk atau E ( ). Varas pada data tersebut mejad lebh besar 3. Taksra terval memlk retag yag lebar Permasalaha dega data yag memuat outler adalah:. Permasalaha dega outler d sumbu y Adaka (, Υ ),,( Υ ) L suatu pegamata sampel dega suatu gars L 5, 5 yag dperlhatka dalam Gambar 3.a. Jka terdapat kesalaha dalam memasukka data, msalya la Υ 4 tgg yag aka meyebabka adaya outler. Maka Gambar 3.a aka berubah sepert yag dperlhatka dalam Gambar 3.b yatu ttk yag keempat mejauh dar poss aslya (dtada oleh lgkara gars putus-putus). Ttk dsebut suatu outler d sumbu y, yag mempuya suatu pegaruh besar dega gars L, yag sugguh berbeda dar gars L d dalam Gambar 3.a. Gambar 3.. (a) Regres lear dega lma data

Gambar 3.. (b) Regres lear dega satu outler d sumbu y.. Permasalaha dega outler d sumbu Adaka (, Υ ),, ( Υ ) L suatu pegamata sampel dega suatu gars L 5, 5 yag dperlhatka dalam Gambar 3.a. Jka terdapat kesalaha dalam memasukka data, msalya la tgg yag aka meyebabka adaya outler. Maka Gambar 3.a aka berubah sepert yag dperlhatka dalam Gambar 3.b yatu ttk yag pertama mejauh dar poss aslya (dtada oleh lgkara gars putus-putus). Ttk dsebut suatu outler d sumbu, yag mempuya suatu pegaruh besar dega gars L, yag sugguh berbeda dar gars L d dalam Gambar 3.a. Gambar 3.. (a) Regres lear dega lma data.

3 Gambar 3.. (b) Regres lear dega satu outler d sumbu. Utuk medeteks suatu data yag memuat outler da meetuka batasa outler dalam sebuah aalsa, aka dguaka 3 metode estmas yatu:. Metode Grafs (Scatter-plot) Utuk melhat apakah terdapat outler pada data, dapat dlakuka dega memplot data. Sela tu, jka sudah ddapatka model regres maka dapat dlakuka dega cara memplot atara resdual ( ) dega la predks Υ. Jka terdapat satu atau beberapa data yag terletak jauh dar pola kumpula data keseluruha maka hal megdkaska adaya outler. Metode mempuya kelemaha yatu keputusa bahwa suatu data merupaka outler sagat bergatug pada peelt, karea haya megadalka vsualsas grafs, utuk tu dbutuhka seseorag yag ahl da berpegalama dalam megterpretaska gambar tersebut. Cotoh 3. Sebuah toko memlk rca bayakya barag yag terjual beserta hargaya yag dsajka dalam Tabel 3.. Dega bayakya barag yag terjual da Y harga barag (dalam rbua)

4 Tabel 3.. Bayak barag yag terjual da harga barag Observas Y 8 77 6 785 3 5 79 4 8 5 8 6 7 85 7 6 83 Dega megguaka Metode Grafs (Scatter-plot), tetuka apakah data tersebut memuat outler? Jawab: Melalu metode grafs aka duj apakah data memuat outler. Dega megguaka SPSS, scatter-plot atara la dega la Y dtujukka dalam Gambar 3.3. Gambar 3.3. Scatter-plot 83. 8. 8. Y 8. 79. 78. 77. 6. 8... 4. 6. 8. Dar Gambar 3.3. terlhat bahwa tdak ada data yag jauh dar pola kumpula data keseluruha. Jad data tersebut tdak memuat outler.

5 Cotoh 3. Megguaka Cotoh 3. dega meggat jumlah barag yag terjual pada observas ke-6 dega la 3. Dega megguaka Metode Grafs (Scatter-plot), tetuka apakah data tersebut memuat outler? Jawab: Melalu metode grafs aka duj apakah data memuat outler. Dega megguaka SPSS, scatter-plot atara la dega la Y dtujukka dalam Gambar 3.4. Gambar 3.4. Scatter-plot 83. 8. 8. Y 8. 79. 78. 77. 5.. 5.. 5. 3. Dar Gambar 3.4. terlhat bahwa data pada observas ke-6 jauh dar pola kumpula data keseluruha. Jad data tersebut memuat outler.. Boplot Metode merupaka metode yag palg umum yatu dega megguaka la kuartl da jagkaua. Kuartl,, da 3 aka membag sebuah uruta data mejad empat baga. Jagkaua (IQR, Iterquartle Rage) ddefska sebaga selsh kuartl satu terhadap kuartl 3, atau IQR Q3 Q. Dalam Gambar 3.5 dberka skema detfkas outler megguaka IQR atau boplot. Outler terletak

6 pada la yag kurag dar.5*iqr terhadap kuartl da la yag lebh dar.5*iqr terhadap kuartl 3. Gambar 3.5. Skema detfkas outler megguaka IQR atau boplot Cotoh 3.3 outler? Jawab: Dega megguaka Boplot, tetuka apakah data pada Cotoh 3. memuat Utuk keperlua terlebh dahulu dhtug la kuartl (Q),, da 3 serta jagkaua (IQR, Iterquartle Rage) sepert yag tercatum dalam Tabel 3. Tabel 3.. Kuartl da jagkaua Y Q 7 785 Q 8 Q3 6 85 IQR 9 4.5*IQR 3.5 6

7 Dar Tabel 3.. outler terletak pada daerah < -6.5 da > 9.5 atau Y < 75 da Y > 885. Karea la pada data berada pada la -6.5 < < 9.5 da la Y pada data berada pada la 75 < Y < 885, maka dapat dsmpulka bahwa data tersebut tdak memuat outler. Dega megguaka SPSS yag dsajka dalam boplot aka tampak sepert Gambar 3.6a. da Gambar 3.6b. 8. 6. 4... 8. 6. Gambar 3.6a. Boplot utuk varabel 83. 8. 8. 8. 79. 78. 77. Y Gambar 3.6b. Boplot utuk varabel Y Dar Gambar 3.6a. maupu Gambar 3.6b. terlhat tdak ada data yag berada d daerah outler. Jad data tersebut tdak memuat outler.

8 Cotoh 3.4 outler? Jawab: Dega megguaka Boplot, tetuka apakah data pada Cotoh 3. memuat Utuk keperlua terlebh dahulu dhtug la kuartl (Q),, da 3 serta jagkaua (IQR, Iterquartle Rage) sepert yag tercatum dalam Tabel 3.3 Tabel 3.3. Kuartl da jagkaua Y Q 785 Q 5 8 Q3 8 85 IQR 8 4.5*IQR 6 Dar Tabel 3.3. outler terletak pada daerah < - da > 3 atau Y < 75 da Y > 885. Karea la pada observas ke-6 yatu 3 berada pada daerah outler maka data tersebut memuat outler d sumbu. Dega megguaka SPSS yag dsajka dalam boplot aka tampak sepert Gambar 3.7a. da Gambar 3.7b. 3. 6 5.. 5.. 5. Gambar 3.7a. Boplot utuk varabel

9 83. 8. 8. 8. 79. 78. 77. Y Gambar 3.7b. Boplot utuk varabel Y Dar Gambar 3.7a. terlhat bahwa data pada observas ke-6 berada d daerah outler. Jad data tersebut memuat outler d sumbu. 3. Resdual yag dstudetka (Studetzed Resdual) Umumya outler dpegaruh oleh pegamata (, ) Υ pada peduga kuadrat terkecl yag tergatug pada Υ yag terlalu besar atau terlalu kecl dbadgka dega la. Suatu metode yag sederhaa da efektf utuk medeteks outler adalah aalss resdual. Resdual bayak memegag peraa petg dalam peguja model regres karea resdual tu sedr merupaka ssa pada suatu pegamata. Resdual ke- ddefska sebaga berkut: Υ Υ Umumya pegamata yag dcurga sebaga outler dkategorka ke dalam pelaggara asums. Maka lebh tepat jka dguaka aalss resdual. Utuk medeteks apakah terdapat outler atau tdak, dapat dlakuka dega meghtug la s sebaga berkut: s (3.) s h

3 dega: s p p adalah bayakya parameter h (la laverage) adalah ukura seberapa jauh meympag dar la rata-rata. Adaka H matrks orthogoal dar, dega eleme dagoalya h,, h K adalah la leverage dar,, K. Matrks H memeuh ( ) da H h ( ). Jka s > atau s < utuk data kecl ( < 3) utuk data besar ( 3) maka data megadug outler. da s > 3. 5 atau s < 3. 5 Cotoh 3.5 Dega megguaka studetzed resdual, tetuka apakah data pada Cotoh 3. memuat outler? Jawab: Dar M-fle pada program MATLAB yag dtujukka dalam Lampra A dperoleh la h [.486.698.43.49.746.343.486] T [-3.95.463.738 -.486 -.873 -.397.38] T s.8 dega memasukka la h,, da s ke Persamaa (3.) dperoleh la studetzed resdual sebaga berkut: s [-.7959.68.3548 -.6768 -.45 -.4.38] T

3 Karea la studetzed resdual dar data adalah < < maka dapat dyataka bahwa data tdak memuat outler. s Cotoh 3.6 Dega megguaka studetzed resdual, tetuka apakah data pada Cotoh 3. memuat outler? Jawab: Dar M-fle pada program MATLAB yag dtujukka dalam Lampra B dperoleh la h [.639.443.43.738.8.765.3896] T [-3.8-6.35 -.478 -.956 7.779 5.797 7.668] T s 3.78 dega memasukka la h,, da s ke Persamaa (3.) dperoleh la studetzed resdual sebaga berkut: s [-.465 -.749 -.5 -.89.377.58.46] T Karea studetzed resdual dar data observas ke-6 adalah.58 > maka dapat dyataka bahwa data memuat outler. B. Regres Least Absolute Devato (Regres L ) Ketka error dasumska tdak ormal, maka pedugaa parameter megguaka metode mamum lkelhood dega krtera sela kuadrat terkecl. Sebaga cotoh adaka error, epoesal,, L, salg bebas da berdstrbus double f σ ( ) e σ (3.3)

3 Fugs destas double epoesal mempuya pucak tertgg pada da σ dapat berla egatf atau postf. Maka prsp mamum lkelhood utuk peduga aka memmumka: yatu jumlah harga mutlak resdual, damaka regres L, sedagka metode mamum lkelhood dega krtera kuadrat terkecl dega dstrbus error memmumka σ ( ) ( πσ ) e f (3.4) yatu jumlah kuadrat error, kuadrat terkecl dber ama regres L. Ada juga metode regres L p yag memmumka p C. M-ESTIMATOR M-Estmator adalah tpe peduga mamum lkelhood. Adaka error berdstrbus sesua dega dstrbus fugs f ( ), maka peduga mamum lkelhood (MLE) dar yag dtuls dega memaksmumka besarya f ( Y ) (3.5)

33 dega adalah bars ke dar,,, L, pada model Υ. Jka arg ma adalah la yag memaksmumka suatu fugs, maka peryataa datas dapat dtuls sebaga arg ma f ( Y ) (3.6) Jka fugs destas f ( ) selalu berla postf yatu lm f () >, da fugs l adalah fugs yag megkat, maka utuk memaksmumka f () sama halya dega memaksmumka l f ( ) arg mal f Y arg ma arg ma Y arg ma l f Y, sehgga dperoleh ( ) [ l f ( Y ) f ( Y ) L f ( Y )] [ l f ( ) l f ( ) L l f ( )] Y ( ) ( 3.7) Jka error berdstrbus ormal maka Persamaa 3.7 dapat dtuls sebaga berkut: Y arg ma l arg ma l arg ma arg ma ( ) ( Y πσ e ) ( ) l ( Y πσ e ) l l ( πσ ) ( ( Y ) σ ) ( ) ( Y ) πσ arg ma l σ ( ) ( ) Y πσ σ σ σ l e ( 3.8) Jka σ adalah peduga utuk σ, maka la tersebut daggap kosta. Karea la l ( ) πσ da σ merupaka la kosta yag aka hlag dalam proses

34 pedferesala maka utuk memaksmumka peduga la tersebut dapat dabaka sehgga arg ma ( Y ) ( 3.9) Jka arg m adalah la yag memmumka suatu fugs, maka arg ma f ( ) argm[ f ( ) ], sehgga dperoleh arg m arg m ( Y ) Jad peduga utuk dstrbus ormal memmumka ( Y ) ( 3.) ( Y ) (3.) Jka error berdstrbus tdak ormal, maka pedugaa megkut sela dstrbus ormal, adaka error berdstrbus double epoesal maka Persamaa 3.7 dapat dtuls sebaga berkut: arg ma l arg ma l arg ma ( σ ) ( σ ) Y e le Y arg ma ( l( σ ) ( Y σ ) le) Y arg ma l( σ ) σ σ σ Y σ ( l( )) σ ( 3.)

35 Jka σ adalah peduga utuk σ maka la tersebut daggap kosta. Karea la [ l( σ )] da σ merupaka la kosta yag aka hlag dalam proses pedferesala maka utuk memaksmumka peduga la tersebut dapat dabaka sehgga arg ma arg m arg m Y Y Y ( 3.3) Jad peduga utuk dstrbus double ekspoesal memmumka Y (3.4) Gagasa dapat dperluas, adaka ρ ( u) adalah suatu fugs utuk u da σ adalah peduga parameter skala, dega Y σ u, da l f ( ) ρ maka Persamaa (3. 7) mejad arg ma ρ arg m arg m ρ ρ ( Y ) ( Y ) ( Y ) sehgga dapat ddefska suatu peduga yag memmumka Y ρ σ (3.5) dega

36 σ med med h h,6745 dega med( ) utuk gasal utuk geap Dapat dlhat jka ρ ( u ) u maka krtera memmumka sama dega Persamaa 3., jka ρ ( u ) u maka krtera memmumka sama dega Persamaa 3.4. Dalam kasus yag specfk, ρ ( u) da dstrbus dasar salg terkat. Utuk selajutya ρ ( u) aka megguaka fugs Huber s u utuk u a ρ ( u) (3.6) a u a utuk u > a dega a adalah tug kosta. Tug kosta a dalam regres robust meetuka kerobusta da efses. Tug kosta dplh utuk memberka varas asmtotk sehgga ddapat effses asmtotk pada dstrbus ormal. Dega megguaka efses asmtotk 95% pada dstrbus ormal stadar dperoleh tug kosta a.345. Pembahasa tug kosta tdak dbahas secara medalam. D. Prosedur M-Estmas Estmas-M memmumka peduga Persamaa (3.5). Jka fugs pada Persamaa 3.5 dturuka secara parsal terhadap parameter j,,, k da j, K, meyamaka haslya dega ol meghaslka p k persamaa berkut

37 k,,,, j, K j Y σ ψ (3.7) dega ( ) u u ρ ψ da j adalah etr ke-j dar ( ),,,,, k K. Ddefska suatu fugs bobot yatu: ( ),,,, K σ σ ψ Y Y w (3.8) Maka baga kr dar Persamaa (3.7) dapat dtuls ( ) ( ) ( ) ( ) 3.9 j j j j j j w Y w Y - w Y - Y Y ψ Y Y Y - ψ Y - ψ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ Masukka Persamaa 3.9 ke Persamaa 3.7 dperoleh ( ) 3.,,,,, k j Y w w w Y w j j j j K Baga kr dar Persamaa 3. dalam betuk matrks adalah ( ) 3. k k k k k k w w w M L M M M L L L M M M L L L M M M L L Baga kaa dar Persamaa 3. dalam betuk matrks adalah ( ) 3. k k k k k k Y Y Y Y Y Y Y Y Y w w w L M M M L L L M M M L L L M M M L L PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

38 Dega memasukka Persamaa 3. da 3. ke Persamaa 3. dalam betuk matrks dapat dtuls sebaga berkut dega W W Υ (3.3) W adalah matrks dagoal dar bobot, dega eleme-eleme dagoal ( w w,, w ), K. Persamaa dkeal sebaga persamaa ormal kuadrat terkecl terbobot. Jka vers dar ( W ) ada, katakalah ( W ) megalka d muka kedua ss dar (3.3) dega vers ddapatka, maka dega ( W ) ( W ) ( W ) W Υ I ( W ) W Υ ( W ) W Υ ( 3.4) Dalam makalah W megguaka bobot krtera Huber s. Fugs bobot Huber s dapat dcar dega meuruka fugs ρ ( u) Persamaa 3.6 terhadap u, sehgga dperoleh: ρ u dega ψ ( u) da ( ) u utuk u a ψ ( u) (3.5) a sg( u) utuk u > a d u sg u dmaa du sg ( u ) jka u < jka u jka u > Fugs ρ ( u) da ( u) ψ Huber dsajka dalam gambar 3.8

39 Gambar 3.8.a. Fugs ρ ( u) Huber..5 PSI..5. 3 3 Gambar 3.8.b. Fugs ψ ( u) Huber U Berdasarka Persamaa (3.8) yatu fugs bobot huber s adalah W ψ u ( u), dega Y u maka σ utuk u a W a (3.6) utuk u > a u dega d u ( sg( u) ) du Fugs bobot Huber dsajka dalam gambar 3.9 Gambar 3.9. Fugs bobot Huber

4 Fugs bobot Huber s merupaka sebuah matrks dagoal ( w w,, w ), K yag tap elemeya berla m, a u. Pada umumya M-Estmas Huber aka memberka bobot yag kecl (bobot w < ) utuk u > a, amu ketka u a M- estmas aka memberka bobot w. Ketka W maka L sehgga model regres robust sama dega model regres kuadrat terkecl. Kesukara dalam memecahka masalah pedugaa adalah bahwa W tergatug pada da tergatug pada W, sehgga utuk medapatka la dguaka suatu teras. Utuk mecar peduga awal dapat dguaka peduga kuadrat terkecl, da utuk medapatka bobot awal W dapat megguaka rumus bobot Huber s dega la u, Y σ h h da, ( ) σ med med,6745. Selajutya masukka bobot awal W ke h h Persamaa (3.4) sehgga ddapatka solus. ( W ) W Υ (3.7) Pada lagkah selajutya, dhtug kembal bobot dar W dega megguaka rumus bobot Persamaa (3.6) tetap la megguaka sebaga peggat yatu Y. Pada umumya, utuk Wq bobot yag dberka dapat meyelesaka ( W ) W, q,, K q q qυ (3.8) Lagkah tersebut membutuhka beberapa teras sampa mecapa koverge, yatu selsh la dega q medekat ol. q

4 Prosedur utuk medapatka peduga parameter yatu teras yag dsebut dega teratvely reweghted least squares (IRLS), tahapaya adalah:. meetuka la resdual. Meetuka σ da fugs pembobot W 3. Mecar peduga pada teras ( q,,l) q dega weghted least square. ( W ) W Υ q q q dega W q merupaka matrks dagoal dega eleme dagoalya adalah w. Sehgga peduga parameter pada teras pertama ( q ) ( q) 4. Megulag tahap da 3 hgga ddapatka peduga parameter yag koverge Cotoh 3.6 Sebuah toko memlk rca bayakya barag yag terjual beserta hargaya yag dsajka dalam Tabel 3.4. Dega bayakya barag yag terjual da Y harga barag (dalam rbua) Tabel 3.4. Bayak barag yag terjual da harga barag Observas Y 8 77 6 785 3 5 79 4 8 5 8 6 3 85 7 6 83 Dega megguaka data yag dsajka dalam Tabel 3.4 da Cotoh 3., bahwa outler berada pada sumbu yatu pada observas ke-6. Ambl 5 la outler yag berbeda yatu 3, 4, 48, 5, da 5.. Dega megubah-ubah data observas ke-6 dega kelma la tersebut sedagka data yag la tetap, tetuka model

4 regres robust dar masg-masg la outler. Badgka model regres robust dega model regres kuadrat terkecl, apakah model regres robust sama dega model regres kuadrat terkecl? Jelaska! Jawab: Karea outler berada pada sumbu yatu pada observas ke-6, maka data pada observas ke-6 aka dubah-ubah dega la 3, 4, 48, 5, da 5., sedagka data yag laya tetap. Utuk medapatka model regres robust dar kelma la tersebut dguaka program MATLAB. Dar M-fle pada program MATLAB yag secara legkap dberka dalam Lampra B, dperoleh model regres kuadrat terkecl yag dberka dalam Tabel 3.5. Dega megguaka la peduga model regres kuadrat terkecl yag dapat dlhat pada Tabel 3.5 dperoleh la, h, da σ yag dapat dlhat pada Lampra C, selajutya utuk medapatka peduga aka dcar dega megguaka teras yatu Iteratvely Reweghted Least Squares (IRLS) yag tahapa peyelesaaya dberka dalam Lampra B. Utuk medapatka peduga aka dguaka krtera Huber s. Model regres robust dar kelma perubaha la outler dberka dalam Tabel 3.5 da betuk kuadrat terkecl da betuk robust dtujukka dalam Tabel 3.6. Tabel 3.5.Model Regres Kuadrat Terkecl da Model Regres Robust Data Outler Regres Kuadrat Terkecl Regres robust 3 Y 83.748 -.53 Y 85.8747-4.47 4 Y 797.385.57 Y 84.6575-3.46 48 Y 795.695.3 Y 795.695.3 5 Y 795.884.7 Y 795.884.7 5 Y 797.498. Y 797.498.

43 Tabel 3.6. Betuk kuadrat terkecl da betuk robust Data Outler Betuk kuadrat terkecl da betuk robust 84 8 data MKT Robust 8 3 78 76 74 7 5 5 5 3 84 8 data MKT Robust 8 4 78 76 74 7 7 5 5 5 3 35 4 83 8 data MKT Robust 8 48 8 79 78 77 5 5 5 3 35 4 45 5

44 Data Outler Betuk kuadrat terkecl da betuk robust 83 8 data MKT Robust 8 5 8 79 78 77 5 5 83 8 data MKT Robust 8 5 8 79 78 77 5 5 4 Utuk la outler 3 da 4 model regres robust tdak sama dega model regres kuadrat terkecl hal dsebabka karea la bobotya buka matrks yag setap elemeya berla satu. Sedagka utuk la outler 48, 5, 5 model regres robust sama dega model regres kuadrat terkecl hal dsebabka karea la bobotya merupaka matrks yag setap eleme-elemeya berla satu. Nla bobot utuk masg-masg smulas dberka dalam Lampra C. Cotoh 3.7 Sebuah toko memlk rca bayakya barag yag terjual beserta hargaya yag dsajka dalam Tabel 3.7. Dega bayakya barag yag terjual da Y harga barag (dalam rbua)

45 Tabel 3.7. Bayak barag yag terjual da harga barag Observas Y 8 77 6 785 3 5 79 4 8 5 8 6 7 885 7 6 85 Apakah data dalam Tabel 3.7 memuat outler? Jka ya, ambl 5 la outler yag berbeda yatu 885, 95, 5, 9999, da 9999999. Dega megubah-ubah la outler dega kelma la tersebut sedagka data yag la tetap, ttetuka model regres robust dar masg-masg la outler. Badgka model regres robust dega model regres kuadrat terkecl, apakah model regres robust sama dega model regres kuadrat terkecl? Jelaska! Jawab: Utuk megetahu apakah data dalam Tabel 3.7 memuat outler atau tdak maka terlebh dahulu dhtug la kuartl (Q),, da 3 serta jagkaua (IQR, Iterquartle Rage) sepert yag tercatum dalam Tabel 3.8 Tabel 3.8. Kuartl da jagkaua Y Q 785 Q 8 Q3 85 IQR 4.5*IQR 6 Dar Tabel 3.8. outler terletak pada daerah Y < 75 da Y > 885. Karea la Y pada observas ke-6 yatu Y 885 berada pada daerah outler maka data tersebut memuat outler d sumbu Y.

46 Gambar 3.. Dega megguaka SPSS yag dsajka dalam boplot aka tampak sepert 9. 88. 6 86. 84. 8. 8. 78. 76. Y Gambar 3.. Boplot utuk varabel Y Dar Gambar 3.. terlhat bahwa data pada observas ke-6 berada d daerah outler. Jad data tersebut memuat outler d sumbu Y. Karea outler berada pada sumbu Y yatu pada observas ke-6 maka data pada observas ke-6 aka dubah-ubah dega la 885, 95, 5, 9999, da 9999999 sedagka data yag laya tetap. Utuk medapatka model regres robust dar kelma la tersebut aka dbatu dega program MATLAB. Dar M-fle pada program MATLAB yag secara legkap dberka dalam Lampra D, dperoleh model regres kuadrat terkecl yag dberka dalam Tabel 3.8. Dega megguaka la peduga model regres kuadrat terkecl yag dapat dlhat pada Tabel 3.9 dperoleh la, h, da σ yag dberka dalam Lampra E, selajutya utuk medapatka peduga aka dcar dega megguaka teras yatu Iteratvely Reweghted Least Squares (IRLS) yag tahapa peyelesaaya dberka dalam Lampra D. Utuk medapatka peduga aka

47 dguaka krtera Huber s. Model regres robust dar kelma smulas dberka dalam Tabel 3.9 da betuk kuadrat terkecl da betuk robust dtujukka Dalam Tabel 3.. Tabel 3.9. Model regres Kuadrat terkecl da Model regres Robust Data Outler Regres Kuadrat Terkecl Regres robust 885 95 5 9999 9999999 Y 89.6667-6.865 Y 859.55-4.84 Y 93.948-9.4444 Y 859.55-4.84 Y 3439. 7. Y 859.55-4.84 Y 6533.7 368.5 Y 859.55-4.84 Y 698 3968 Y 859.55-4.84 Tabel 3. betuk kuadrat terkecl da betuk robust Data Outler Betuk kuadrat terkecl da betuk robust 9 88 data MKT Robust 86 885 84 8 8 78 76 6 8 4 6 8 96 94 9 data MKT Robust 9 95 88 86 84 8 8 78 76 6 8 4 6 8

48 Data Outler Betuk kuadrat terkecl da betuk robust 5 45 4 data MKT Robust 35 5 3 5 5 5 6 8 4 6 8 8 data MKT Robust 6 9999 4-6 8 4 6 8 6 data MKT 8 Robust 6 9999999 4-6 8 4 6 8 Utuk beberapa la outler yag dguaka sebaga smulas model regres robust tdak sama dega model regres kuadrat terkecl. Oleh karea tu model regres robust tdak terpegaruh adaya data outler.

BAB IV APLIKASI REGRESI ROBUST A. Keteagakerjaa Suatu Negara d Eropa pada tahu 974 da 99 Suatu Negara d Eropa g megetahu apakah keteagakerjaa pada tahu 974 da 99 salg terkat da salg mempegaruh. Utuk tu pemertaha d egara tu mesurve jumlah keteagakerjaa tahu 974 da 99 yag dcatumka dalam Tabel 4.. Dega Υ keteagakerjaa tahu 99 da keteagakerjaa tahu 974. Tetuka model regres robust data pada Tabel 4.! Jawab: Tabel 4.. Keteagakerjaa suatu egara d Eropa tahu 974 da 99 (dalam rbua) Neger Y Germay 3 3ª Italy 96 5 Frace 58 43 Uted Kgdom 94 4 Spa 89 33 Belgum 64 5 Netherlads 5 6 Luembourg 3 8 Portugal 4 3 Demark Total 887 353 ª Terdr dar Jerma tmur Dega megguaka model Υ Dar M-Fle MATLAB yag secara legkap dberka dalam Lampra F, dperoleh persamaa kuadrat terkecl sebaga berkut: Υ.339. 44 (4.) 49

5 dega R. 7357 da dar output SPSS yag dberka dalam Lampra G korelas atara Y da tgg yatu r.858. Dega melhat studetzed resdual yag dcatumka dalam Lampra F, pegamata da 4 merupaka outler dega studetzed resdual.5347 da -.653 yag meujukka bahwa laya besar. Sekarag perhatka catata dbawah Tabel 4.. Sejak tahu 99 utuk Jerma megguaka Jerma Tmur (dmaa tahu 974 buka), mugk saja terlalu besar. Hal dapat dsesuaka dega faktor perbadga Jerma Barat da populas 63 63 Jerma d tahu 99 sebesar. Hal meggatka 3 dega 3 4. 8 8 Dar M-Fle MATLAB yag secara legkap dberka dalam Lampra H, dperoleh persamaa kuadrat terkecl sebaga berkut: Υ.86. 3337 (4.) dega R.798 da dar output SPSS yag dberka dalam Lampra I korelas atara Y da tgg yatu r.893. Dega melhat studetzed resdual yag dcatumka dalam Lampra H, pegamata da 4 merupaka outler dega studetzed resdual.863 da -.55 yag meujukka bahwa laya besar. Utuk medapatka la peduga parameter model regres robust yag tdak terpegaruh outler dguaka metode M-Estmas dega bobot krtera Huber s. Peyelesaa model regres robust megguaka bobot krtera Huber s dega keteagakerjaa tahu 99 utuk Negara Jerma megguaka Jerma Barat da Jerma Tmur adalah sebaga berkut: Dega megguaka la peduga yag dperoleh dar model kuadrat terkecl da rumus bobot Persamaa 3.9, serta melakuka aalsa dega batua program M-fle MATLAB yag dcatumka dalam Lampra F dperoleh bobot awal W sebaga berkut: [.564,,.64,.347,,,,,, ] T (4.3)

5 Dega memasukka W ke Persamaa (3.5), dperoleh [.78,.3686] T. Dega megguaka la peduga da rumus bobot Persamaa 3.9, serta melakuka aalsa dega batua program M-fle MATLAB yag dcatumka dalam Lampra F dperoleh bobot W sebaga berkut: [.86,.984,.677,.3364,,,,,, ] T (4.4) Dega memasukka W ke Persamaa (3.6) da megulag teras sampa mecapa koverge (dalam M-fle yag dcatumka dalam Lampra F dperlhatka bahwa teras dlakuka sampa 9 teras) dperoleh model regres robust sebaga berkut: Υ 3.947. 37 (4.5) Model regres kuadrat terkecl da model regres robust dtujukka dalam Gambar 4.. 4 data MKT Robust 8 6 4 5 5 5 Gambar 4.. Model regres kuadrat terkecl da model regres robust krtera Huber s Sekarag dega memperthatka catata d bawah Tabel 4., peyelesaa model regres robust megguaka bobot krtera Huber s dega keteagakerjaa tahu 99 utuk Negara Jerma megguaka Jerma Tmur (dmaa tahu 974 buka) adalah sebaga berkut. Dega megguaka la peduga dar Persamaa 4. da rumus bobot krtera Huber s dega a. 345, serta melakuka aalsa

5 dega batua program M-fle MATLAB yag dcatumka dalam Lampra H dperoleh bobot awal W sebaga berkut: [.3573,.79,.8,.364,,,,,, ] T (4.6) Dega memasukka bobot tersebut ke Persamaa (3.5), dperoleh [ 3.386,.353] T. Dega megguaka la peduga da rumus bobot krtera Huber s dega a. 345, serta melakuka aalsa dega batua program M-fle MATLAB yag dcatumka dalam Lampra H dperoleh bobot W sebaga berkut: [.359,.6744,.855,.366,,,,,, ] T (4.7) Dega memasukka bobot tersebut ke Persamaa (3.6) da megulag teras datas sampa mecapa koverge (dalam M-fle yag dcatuka dalam Lampra H dperlhatka bahwa teras dlakuka sampa 8 teras) dperoleh model regres sebaga berkut Υ 3.947. 37 (4.8) Model regres kuadrat terkecl da model regres robust krtera Huber s dtujukka dalam Gambar 4.. data MKT Robust 8 6 4 5 5 5 Gambar 4.. Model regres kuadrat terkecl da model regres robust krtera Huber s

53 B. Keruga Pejuala Motor Bekas Suatu Dealer Motor Suatu Dealer motor yag megalam gulug tkar g megetahu apakah harga jual, harga bel, da baya perawata berpegaruh pada laba / rug usahaya. Utuk tu pemlk dealer melhat kembal data perusahaa yag dcatumka dalam Tabel 4. dega Υ Keruga yag dalam pejual (dalam %) Harga jual, Harga bel, da 3 Baya Perawata. Tetuka model regres robust yag sesua dega data pada Tabel 4.! Guaka metode Huber s, Bsquare, da Adrew s! Tabel 4.. Keruga setap pejuala motor bekas Y 3 9 4 7 3 8 3 3 5 4 35 7 3 33 38 67 38 6 44 5 47 37 4 46 46 34 4 4 4 3 46 5 5 4 45 57 57 44 5 77 69 6 5 7 63 55 48 65 59 5 55 8 73 63 58 83 75 66 59 9 8 7 63 6 87 84 67 98 85 79 6 95 84 74 7 9 98 9 9 4 7 3 8 3 3 5 4 9 7 3 38 67 38 6 Jawab: Dega megguaka model

54 Y 3 3 L k k,,3, K, N Dar M-Fle MATLAB yag secara rc dberka dalam Lampra J, dperoleh persamaa kuadrat terkecl sebaga berkut: Υ.675.65 (4.9).699.33 3 dega R.76 da dar output SPSS yag dberka dalam Lampra K korelas atara Y da yatu r.638, korelas atara Y da yatu r.697, korelas atara Y da 3 yatu r.65. Dega melhat studetzed resdual yag dcatumka dalam Lampra J, pegamata 4 pada, 6 pada, da 5 pada 3 merupaka outler dega studetzed resdual -3.9734, -3.935, da -3.9567, yag meujukka bahwa laya besar. Utuk medapatka la peduga parameter model regres robust yag tdak terpegaruh outler dguaka metode M-Estmas dega bobot krtera Huber s. Peyelesaa model regres robust keruga pejuala motor bekas suatu dealer motor dega metode M-estmas krtera Huber s adalah sebaga berkut. Dega megguaka la peduga dar Persamaa 4.3 da rumus bobot krtera Huber s dega a. 345, serta melakuka aalsa dega batua program M-fle MATLAB yag secara rc dberka dalam Lampra J dperoleh bobot awal W sebaga berkut: [,,,.544,.564,.55,,,,,,,,,.9345,,,.488,.953,.68 ] T Dega memasukka bobot tersebut ke Persamaa (3.5), dperoleh [.67,.9,.88,.45] T. Dega megguaka la peduga da rumus bobot krtera Huber s dega a. 345, serta melakuka aalsa dega

55 batua program M-fle MATLAB yag secara rc dberka dalam Lampra J dperoleh bobot W sebaga berkut: [,,,.5,.33,.59,,,,,,,,,,,,.669,, ] T Dega memasukka bobot tersebut ke Persamaa (3.6) da megulag teras sampa mecapa koverge (dalam M-fle yag dcatumka dalam Lampra J dperlhatka bahwa teras dlakuka sampa 64 teras) dperoleh model regres sebaga berkut Υ 3.65.49 (4.).644.976 Dega bobot akhr [,,,.54,,.4,,,,,.938,,,,,,,.674,, ] T 3

BAB V PENUTUP A. Kesmpula Outler adalah pegamata dega la resdual yag besar. Utuk medeteks suatu data yag memuat outler da meetuka batasaya dguaka:. Metode Grafs (Scatter-Plot). Boplot 3. Resdu yag dstudetka (Studetzed Resdual) Dalam regres, ketka memuat outler yag berpegaruh pada model, utuk medapatka parameter-parameter dalam model regres yag tdak terpegaruh oleh outler dapat megguaka regres robust. Regres robust adalah alat petg utuk megaalsa data yag dpegaruh oleh outler sehgga dhaslka model yag tdak terpegaruh oleh outler. Peyelesaa parameter-parameter dalam regres robust megguaka metode M-Estmas. Peduga parameter pada regres robust adalah dega W adalah matrks dagoal ( w w,, w ) ( W ) W Υ dar bobot, dega eleme-eleme dagoal, K. Fugs bobot yag dguaka utuk medapatka peduga parameter adalah fugs bobot krtera Huber s dega rumus fugs bobot sebaga berkut: 56

57 W a u utuk u a utuk u > a dega a adalah tug kosta, tug kosta yag dguaka a,345 da u, dega med med, 6745 σ h h h h σ, ( ) Pada umumya M-Estmas Huber aka memberka bobot yag kecl (bobot w < ) utuk u > a, amu ketka u a M-estmas aka memberka bobot w. Ketka W maka L sehgga model regres robust sama dega model regres kuadrat terkecl. Kesukara dalam medapatka peduga parameter adalah bahwa W tergatug pada da tergatug pada W, sehgga utuk medapatka la dguaka suatu teras yag dsebut dega teratvely reweghted least squares (IRLS). Dar Cotoh 3.6 dega megubah-ubah la outler sedagka data la tetap, model regres robust dar kelma la yag dguaka berbeda, hal dsebabka karea data pada sumbu sagat berpegaruh pada perubaha la, h, da σ. Dar Cotoh 3.7 dega megubah-ubah la outler sedagka data la tetap, model regres robust dar kelma la yag dguaka selalu sama, hal dsebabka karea perubaha la Y tdak mempegaruh perubaha la, h, da σ. Adaya la outler yag tgg pada sumbu dapat mempegaruh model regres robust, hal dtujukka dega model regres robust sama dega model regres kuadrat terkecl, sedagka adaya outler pada sumbu Y tdak mempegaruh model regres yatu dtujukka dega model regres robust tdak sama dega model regres kuadrat terkecl.

58 B. Sara Dalam peulsa makalah tetuya peuls mash melakuka bayak kesalaha, oleh karea tu krtk da sara yag membagu sagat dharapka. Peuls juga meyaraka utuk pembahasa regres robust megguaka metode estmas yag belum dbahas oleh peuls dalam makalah.

59 DAFTAR PUSTAKA Adrews, dkk. 97. Robust Estmates of Locato. Prceto, NJ: Prceto Uversty Press Berger, R.L. ad Casella, G.. Statstcal Iferece Secod Edto. Che, C.. Robust Regresso ad Outler Detecto wth the ROBUSTREG Procedure, www.sas.com, Sug paper 65-7, SAS Isttute, Cary, NC Damodar, Gujarat. 978. Ekoometrka Dasar. Jakarta: Peerbt Erlagga Dodge, Y. ad Brkes, D. 993. Alteratve Methods of Regresso. New York: Joh Wley & Sos, INC Draper, N.R. ad Smth. 998. Appled Regresso Aalyss Thrd Edto. New York: Wley seres probablty ad statstcs ISBN -47-78-8 Galto, F. 886. Famly Lkeess Stature, Proceedgs of Royal Socety, vol. 4, 4-7. Lodo Maroa, R.A., Mart, R.D. ad Yoha, V.J. 6. Robust Statstcs: Theory ad Methods. New Delh: Joh Wley & Sos, Ltd ISBN: -47-9-4 Plackett, R. L. 97. Studes the hstory of probablty ad statstcs I: The dscovery of the method of least squares, Bometrka, 59, 39-5.[Epgraph,., 3.4 Rpley, B.D. ad Veables, W.N.. Moder Appled Statstcs Wth S: Statstcs ad Computg. New York: Sprger Rousseeuw, P.J. 984. Least Meda of Squares Regresso, Joural of the Amerca Statstcal Assocato, vol. 79, Number 388: Theory ad Methods Secto, 87-88 Rousseeuw, P.J. ad Leroy, A.M. 987. Robust Regresso ad Outler Detecto. New York: Wley seres Appled Probablty ad Statstcs ISBN -47-8533-3 Rya, T.P. 984. Moder Regresso Methods. New York: Wley seres Probablty ad Statstcs Sawyer, S. 3. Robust Estmato of Regresso Parameters Staudte, R. G, ad Sheather, S.J. 99. Robust Estmato ad Testg. New York: Wley Stgler, S. M. 98. Gauss ad the veto of least squares, A. Stat. 9. 465-474. [.]