Statistika & Probabilitas

Peubah Acak Peubah = variabel Dalam suatu eksperimen, seringkali kita lebih tertarik bukan pada titik sampelnya, tetapi gambaran numerik dari hasil. Misalkan pada pelemparan sebuah koin dua kali, berapa banyak sisi angka (A) yang muncul? S = {AG, AA, GA, GG} 1 2 1 0 Seringkali amat penting mengaitkan suatu bilangan sebagai pemberian hasil tersebut. x f(x) =?

Peubah Acak Misalkan untuk setiap titik di dalam ruang sampel kita memasangkan sebuah bilangan. Dengan demikian terdefinisikan sebuah fungsi pada ruang sampel tsb. Fungsi tersebut dinamakan peubah (atau fungsi) acak. Nama lain: peubah stokastik atau fungsi stokastik. Definisi: Suatu fungsi bernilai riil yang harganya ditentukan oleh tiap titik di dalam ruang sampel dinamakan peubah acak. Peubah acak huruf besar, misal X Nilai peubah acak huruf kecil, misal x

Contoh 1. Pada pelemparan sebuah koin dua kali: S = {AG, AA, GA, GG} X menyatakan banyaknya sisi angka (A) yang muncul. Untuk setiap titik sampel kita mengasosiasikan suatu bilangan untuk X. Contoh peubah acak lain: Kuadrat banyaknya sisi angka (A), banyaknya sisi angka dikurangi sisi gambar (G).

Lanjutan Contoh 1. Peubah acak yang nilai-nilainya berhingga banyaknya atau berisi sederetan anggota yang banyaknya sebanyak integer disebut peubah acak diskrit. Sebaliknya, peubah acak yang nilai-nilainya tak berhingga banyaknya atau berisi sederetan anggota yang banyaknya sebanyak titik dalam sebuah garis disebut peubah acak kontinu.

Lanjutan Contoh 1. Sering lebih mudah menyatakan peluang suatu peubah acak X dinyatakan dalam suatu formula atau rumus. Rumus itu merupakan fungsi dari nilai numerik x, misalnya f(x), g(x), s(x), dan sebagainya. Ditulis: f(x) = P(X = x) Fungsi f(x) dinamakan fungsi peluang atau distribusi peluang.

Lanjutan Contoh 1. Definisi. Fungsi f(x) adalah fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskrit X, bila untuk setiap hasil x yang mungkin berlaku:

Lanjutan Contoh 1. P(AA) = P(AG) = P(GA) = P(GG) = ¼ Maka f(0) = P(X = 0) = P(GG) = ¼ f(1) = P(X = 1) = P(AG GA) = P(AG) + P(GA) = ¼ + ¼ = ½ f(2) = P(X = 2) = P(AA) = ¼ Jadi, fungsi peluang diskritnya adalah

Contoh 2. Hitunglah distribusi peluang jumlah bilangan yang muncul bila 2 buah dadu dilemparkan. Jawaban: Misalkan X adalah peubah diskrit yang menyatakan semua jumlah yang mungkin. Nilai x yang mungkin adalah 2 sampai 12. Jumlah titik sampel: (6)(6) = 36 Peluang setiap titik sampel = (1/6)(1/6) = 1/36 f(2) = P(X = 2) = 1/36 titik sampel (1, 1) f(3) = P(X = 3) = 2/36 titik sampel (1, 2), (2, 1) f(4) = P(X = 4) = 3/36 titik sampel (1, 3), (2, 2),(3, 1)

Contoh 3. Carilah rumus distribusi peluang banyaknya sisi angka (A) yang muncul bila satu buah koin dilempar sebanyak 4 kali! Jawaban: Misalkan X adalah peubah diskrit yang menyatakan banyaknya sisi angka yang mucul dari pelemparan dadu 4 kali. Nilai x yang mungkin adalah 0, 1, 2, 3, 4 Jumlah titik sampel = (2)(2)(2)(2) = 16 Banyaknya sisi angka yang muncul = C(4, x), x = 0, 1, 2, 3, 4 Jadi, fungsi peluangnya adalah f(x) = C(4, x)/16 = 4!/{16(4-x)!} = 24/{16(4-x)!} x = 0, 1, 2, 3, 4

Kerjakan... Dari pengiriman 8 pesawat TV ke sebuah dealer, diketahui 3 diantaranya cacat. Jika sebuah hotel membeli 2 pesawat TV dari dealer, cari distribusi peluang banyaknya TV cacat yang diterima hotel! Jawaban: Misalkan X adalah peubah diskrit yang menyatakan banyaknya TV yang rusak yang terbeli oleh hotel tersebut. Nilai x yang mungkin adalah 0, 1, dan 2 Jumlah titik sampel = C(8, 2) = 28 f(0) = P(X = 0) = C(3,0)C(5,2) / C(8, 2) = 10/28 f(1) = P(X = 1) = C(3,1)C(5,1) / C(8, 2) = 15/28 f(2) = P(X = 2) = C(3,2)C(5,0) / C(8, 2) = 3/28 Jadi, distribusi peluang X adalah: x 0 1 2 f(x) 10/28 15/28 3/28

Distribusi Frekuensi

Distribusi Frekuensi Secara sederhana, dapat dipahami bahwa Distribusi Frekuensi adalah pengelompokkan data kedalam beberapa kelompok (kelas) dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk kedalam setiap kelas. Bentuk-bentuk Distribusi Frekuensi, antara lain: Ditinjau dari jenisnya: Numerik dan Kategorikal Ditinjau dari nyata tidaknya frekuensi: Absolut dan Relatif Ditinjau dari kesatuannya: Satuan dan Kumulatif.

Distribusi Frekuensi Numerik Datanya merupakan suatu deret hitung yang berdiri sendiri. Contoh Penelitian terhadap Nilai mata kuliah Statistika dan Probabilitas di progdi TI FTI UKSW dari hasil pengambilan sampel secara random, terdapat sampel sebanyak 30 nilai seperti berikut: 75 80 30 70 20 35 65 65 70 57 55 25 58 70 40 35 36 45 40 25 15 55 35 65 40 15 30 30 45 40

Distribusi Frekuensi Kategorikal Merupakan data yang sudah dikelompokkan. Contoh Nilai Frekuensi 15 25 5 26 36 7 37 47 6 48 58 4 59 69 3 70 80 5 30 Tiga hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan kelas bagi distribusi frekuensi katerogikal: Batas Kelas Jumlah Kelas Lebar Kelas (interval)

Batas Kelas Langkah 1. Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar. 15 15 20 25 25 30 30 30 35 35 35 36 40 40 40 40 45 45 55 55 57 58 65 65 65 70 70 70 75 80 Langkah 2. Tentukan Nilai Max dan Nilai Min. Min = 15 Max = 80

Jumlah Kelas K = 1 + 3,3 log n K = Banyaknya kelas n = Banyaknya nilai observasi Contoh Banyaknya data (n) = 30 maka K = 1 + 3,3 log 30 = 1 + 3,3 (1,478) = 1 + 4,877 = 5,877 6

Lebar Kelas (Interval) Rumus C = lebar kelas K = banyaknya kelas X n = nilai observasi terbesar X 1 = nilai observasi terkecil Contoh

Distribusi Frekuensi Absolut dan Relatif Distribusi frekuensi absolut adalah suatu jumlah bilangan yang menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Distribusi frekuensi relatif adalah suatu jumlah persentase yang menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu

Distribusi Frekuensi Absolut dan Relatif Contoh Nilai Frekuensi Frek. Relatif 15 25 5 (5/30)x100 = 16,67 26 36 7 (7/30)x100 = 23,33 37 47 6 (6/30)x100 = 20 48 58 4 (4/30)x100 = 13,33 59 69 3 (3/30)x100 = 10 70 80 5 (5/30)x100 = 16,67 30 100

Distribusi Frekuensi Satuan dan Kumulatif Distribusi frekuensi satuan adalah frekuensi yang menunjukkan berapa banyak data pada kelompok tertentu. Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang menunjukkan jumlah frekuensi pada sekelompok nilai tertentu, mulai dari kelompok sebelumnya s/d kelompok tersebut.

Distribusi Frekuensi Satuan dan Kumulatif Contoh Nilai Batas Kelas Frekuensi Frek. Relatif Frek. Kumulatif (Kurang Dari) < 14,5 = 0 15 25 14,5 25,5 5 16,67 < 25,5 = 5 26 36 25,5 36,5 7 23,33 < 36,5 = 12 37 47 36,5 47,5 6 20 < 47,5 = 18 48 58 47,5 58,5 4 13,33 < 58,5 = 22 59 69 58,5 69,5 3 10 < 69,5 = 25 70 80 69,5 80,5 5 16,67 < 80,5 = 30 30 100

Distribusi Frekuensi Satuan dan Kumulatif Contoh Nilai Batas Kelas Frekuensi Frek. Relatif Frek. Kumulatif (Lebih Dari) 15 25 14,5 25,5 5 16,67 > 14,5 = 30 26 36 25,5 36,5 7 23,33 > 25,5 = 25 37 47 36,5 47,5 6 20 > 36,5 = 18 48 58 47,5 58,5 4 13,33 > 47,5 = 12 59 69 58,5 69,5 3 10 > 58,5 = 8 70 80 69,5 80,5 5 16,67 > 69,5 = 5 30 100 > 80,5 = 0

Histogram 8 7 6 5 4 3 2 1 0 14,5 25,5 36,5 47,5 58,5 69,5 70,5

Poligon

Ogive 35 OGIVE 30 30 30 25 25 25 20 15 10 18 12 18 12 22 8 Kurang Dari Lebih Dari 5 5 5 0 0 0 14.5 25.5 36.5 47.5 58.5 69.5 80.5

Aturan - aturan... Silahkan bentuk menjadi 3 (tiga) kelompok! Maksimal 7 mahasiswa dalam sebuah kelompok! Kerjakan soal sesuai dengan nomor undi kelompok. Waktu kalian maksimal 60 menit! Dikumpulkan dalam bentuk word! Selamat mengerjakan

Soal - 1... Data sebagai berikut: 30 40 42 35 38 39 47 55 59 56 32 30 40 45 52 55 48 46 50 47 Carilah Batas Kelas, Jumlah Kelas, Panjang Kelas (Interval) Buatlah Distribusi Frekuensi Buatlah Distribusi Frekuensi Relatif Buatlah Distribusi Frekuensi Kumulatif Buatlah Grafik Histogram Buatlah Grafik Poligon Buatlah Grafik Ogive

Mau bertanya..?