BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Zaman yang semakin berkembang membuat persoalan semakin kompleks, tidak terkecuali persoalan yang melibatkan persoalan matematika. Dalam pemecahannya, matematika memegang peranan cukup penting terutama dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi baik secara matematika murni maupun matematika terapan. Matematika terapan misalnya dijumpai dalam perkembangan bidang industri yang menghendaki tercapainya suatu kondisi yang optimal yang sebelumnya hanya persoalan sederhana yang berbentuk linear karena perkembangan zaman, kompleksitas semakin meningkat sehingga memunculkan persoalan yang berbentuk nonlinear. Hal tersebut disebabkan karena munculnya faktor-faktor yang membuat ketaklinearan suatu fungsi. Selain itu, banyak faktor-faktor yang menjadi penghambat dalam optimisasi sehingga memunculkan satu atau lebih kendala dalam mengoptimalkan suatu fungsi. Banyak metode yang telah dikembangkan untuk memecahkan persoalan nonlinear di antaranya seperti Metode Pengali Lagrange, Metode Karush-Kuhn Tucker. Akan tetapi, metode-metode tersebut sering tidak dapat digunakan untuk persoalan program nonlinear berskala besar. Oleh karena itu, penulis menggunakan metode Sequential Quadratic Programming (SQP) untuk memecahkan persoalan nonlinear berkendala dimana metode ini menggunakan pendekatan Lagrange dan metode Newton tanpa harus
mengkonversikan ke barisan persoalan minimimisasi yang tidak berkendala. Metode ini mengkonversi persoalan nonlinear menjadi bentuk persoalan pemrograman kuadratis. Berdasarkan uraian di atas maka penulis memberi judul tulisan ini dengan Metode Sequential Quadratic Programming (SQP) untuk Menyelesaikan Persoalan Nonlinear Berkendala. 1.2 PERUMUSAN MASALAH Permasalahan yang akan dibahas adalah menyelesaikan persoalan nonlinear berkendala dengan metode Sequential Quadratic Programming (SQP). 1.3 TINJAUAN PUSTAKA Menurut Bradley dkk (1976), persoalan umum optimisasi adalah memilih n variabel keputusan dari daerah fisibel yang diberikan untuk mengoptimasi (maksimum atau minimum) fungsi tujuan yang diberikan dari variabel keputusan. Persoalan ini disebut persoalan pemrograman nonlinear jika fungsi tujuannya nonlinear dan atau daerah fisibelnya ditentukan oleh kendala nonlinear. Bentuk umumnya: subject to: Untuk beberapa keadaan, maksimum dan minimum lokal disebut global. Fungsi yang minimum lokal merupakan global disebut konveks. Fungsi yang maksimum lokal merupakan maksimum global disebut konkaf. Karena alasan ini fungsi konveks selalu diminimumkan sedangkan fungsi konkaf selalu dimaksimumkan (Bradley dkk, 1976). Menurut Luenberger (1984), fungsi konveks
adalah dimana untuk setiap dua titik y dan z, dapat ditarik garis yang menghubungkan f(y) dan f(z) pada fungsi tersebut. Kekonvergenan untuk barisan bilangan riil (Dennis dan Schnabel, 1983): Diberikan sebuah metode iterasi sehingga menghasilkan barisan titik dari sebuah titik awal, ingin diketahui apakah iterasi konvergen ke solusi. Jika diasumsikan bahwa menyatakan barisan bilangan riil, maka definisi berikut menyatakan sifat yang dibutuhkan: Jika maka barisan dikatakan konvergen ke jika Jika dalam tambahan, ada sebuah konstanta sehingga untuk setiap dan sebuah bilangan bulat Richard Bronson (1996) dalam bukunya yang berjudul Teori dan Soal-soal Operation Research, menyatakan bahwa persamaan Lagrange dari persoalan nonlinear seperti yang telah dipaparkan yaitu sebagai berikut: dimana adalah tetapan-tetapan (yang tidak diketahui) yang disebut pengali Lagrange. Kemudian kita pecahkan sistem n+m persamaan Syarat Kuhn-Tucker: (Winston dan Venkataramanan, 2003) 1. Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan maksimisasi. Jika adalah solusi optimal dari persoalan tersebut, maka harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali yang memenuhi
2. Andaikan persoalan nonlinear di atas adalah persoalan minimisasi. Jika adalah solusi optimal dari persoalan tersebut, maka harus memenuhi m kendala dan harus ada pengali yang memenuhi S.S Rao (1977) dalam bukunya yang berjudul Optimization Theory and Application menjelaskan bahwa pemrograman kuadratis merupakan persoalan optimasi nonlinear dimana fungsi tujuannya adalah fungsi minimisasi yang konveks dan semua kendalanya berbentuk persamaan atau pertidaksamaan linear. Bentuk umum persoalan pemrograman kuadaratis adalah sebagai berikut: Min. s.t dimana d d d d d d d d d 11 12 1n 21 22 2n n1 n2 nn Pada fungsi tujuan di atas yaitu suku A = a a a a a a a a a 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn menyatakan bagian kuadratis dari fungsi tujuan dengan D adalah matriks definit positif simetri. Jika D=0 maka menjadi
persoalan linear. Karena D adalah matriks definit positif maka f(x) adalah fungsi strictly convex. Menurut Winston dan Venkataramanan (2003), metode untuk menyelesaikan persoalan pemrograman kuadratis yaitu metode Wolfe. Pertama, semua fungsi tujuan dan kendala harus ditambahkan variabel buatan pada masing-masing kendala dengan kondisi Kuhn-Tucker dan variabel basis belum jelas kemudian minimumkan jumlah variabel buatan. Metode wolfe merupakan versi modifikasi dari fase I pada metode simplex dua fase. Untuk menjamin bahwa solusi akhir (dengan variabel buatan sama dengan nol) memenuhi kondisi complementary slackness, metode Wolfe memodifikasi pilihan variabel simplex yang masuk: 1. Tidak diperbolehkan dari kendala ke-i dan kedua-duanya sebagai variabel basis. 2. Tidak diperbolehkan variabel slack atau excess dari kendala ke-i dan kedua-duanya sebagai variabel basis. Dimitri P Bertsekas (2007) dalam jurnalnya yang berjudul SQP and PDIP Algorithms for Nonlinear Programming dikatakan bahwa metode Sequential Quadratic Programming digunakan untuk menyelesaikan persoalan nonlinear yang memiliki kendala dalam bentuk persamaan dengan bentuk umum : Min. f(x) s.t. h(x)=0 Metode Sequential Quadratic Programming menyerupai metode Newton yang digunakan untuk mencari penyelesaian pada optimisasi tidak berkendala. Ide utama dari SQP adalah memodelkan persoalan kendala yang berbentuk persamaan pada titik awal kemudian mencari pendekatan dengan subpersoalan pemrograman kuadratis berbentuk: dimana
Metode Sequential Quadratic Programming atau yang juga dikenal sebagai metode Lagrange-Newton karena metode SQP merupakan penggabungan dari kedua metode tersebut. Algoritmanya adalah sebagai berikut: 1. Tentukan 2. Atur k=0 3. Ulang 4. Pecahkan sistem Langrange-Newton untuk menemukan 5. 6. 7. Sampai konvergen Metode SQP merupakan aplikasi dari metode Newton dengan memenuhi kondisi optimal KKT. Menurut Mark S. Gockenbach dalam jurnalnya yang berjudul Introduction to Sequential Quadratic Programming, metode SQP mencoba untuk memecahkan persoalan nonlinear secara langsung daripada mengubahnya ke barisan persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Ide dasar analog dengan metode Newton untuk persoalan minimisasi yang tidak berkendala. Metode SQP dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan aplikasi yang kompleksitasnya tinggi (Schittkowski dan Yuan, 2010) 1.4 TUJUAN PENELITIAN Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan penyelesaian dari persoalan nonlinear berkendala. 1.5 KONTRIBUSI PENELITIAN Manfaat dari penelitian ini adalah 1. Setiap mahasiswa dapat menemukan jawab optimal dari persoalan nonlinear berkendala persamaan maupun pertidaksamaan dengan menggunakan metode Sequential Quadratic Programming
2. Digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak melakukan penelitian serupa. 1.6 METODE PENELITIAN Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Membaca dan memahami persoalan pemrograman nonlinear dari buku dan jurnal. 2. Mengambil contoh soal untuk dikerjakan sesuai dengan langkah-langkah yang telah didapat dari jurnal-jurnal. 3. Menjelaskan tentang penyelesaian persoalan nonlinear berkendala persamaan dan pertidaksamaan dengan menggunakan metode Sequential Quadratic Programming (SQP).