Perbandngan Masalah Optmas TSP dengan Menggunaan Algortma Ant Colony dan Jarngan Hopfeld 1 Yulan, Moh.Isa Irawan, dan 3 Mardljah 1,, 3 Jurusan Matemata, Insttut Tenolog Sepuluh Noember Kampus ITS, Surabaya 60111 Indonesa Emal: 1 yulan.math@yahoo.com, m@ts.ac.d. Abstra. Traellng Salesman Problem (TSP) adalah suatu problem yang dalam oleh seorang sales yang ngn memula perjalanannya dar satu ota menuju ota tertentu dengan hanya dapat melalu ota lannya seal dan a mengngnan dalam perjalanannya, ongos dan watu yang deluaran dapat seoptmum dan semnmal mungn. Algortma Ant colony dan jarngan Hopfeld merupaan metode optmas yang dapat menyelesaan berbaga macam masalah, sehngga dalam peneltan n dujcobaan edua metode optmas tersebut untu menyelesaan masalah TSP. Penyelesaan masalah TSP n menghaslan path terpende dar masng masng algortma yang dgunaan. Dalam pencaran path terpende tda dapat dataan secara langsung algortma mana yang palng optmum untu eseluruhan asus, arena selalu tergantung dar setap onds permasalahan yang ada, dan onds yang palng mempengaruh adalah banyanya tt. Dalam peneltan n juga dlauan perbandngan path terpende antara algortma Ant colony dan jarngan Hopfeld. Hasl yang dharapan penyelesaan masalah optmas TSP dengan menggunaan algortma Ant Colony tu lebh ba darpada jarngan Hopfeld. Kata unc: Algortma ant colony, Jarngan Hopfeld
Semnar Nasonal Matemata IV Insttut Tenolog Sepuluh Noember, Indonesa, 13 Desember 008 Perbandngan Masalah Optmas TSP dengan Menggunaan Algortma Ant Colony dan Jarngan Hopfeld 1 Yulan, Moh.Isa Irawan, dan 3 Mardljah 1,, 3 Jurusan Matemata, Insttut Tenolog Sepuluh Noember Kampus ITS, Surabaya 60111 Indonesa Emal: 1 yulan.math@yahoo.com, m@ts.ac.d, 3 mardljah@matemata.ts.ac.d Abstra. Traellng Salesman Problem (TSP) adalah suatu problem yang dalam oleh seorang sales yang ngn memula perjalanannya dar satu ota menuju ota tertentu dengan hanya dapat melalu ota lannya seal dan a mengngnan dalam perjalanannya, ongos dan watu yang deluaran dapat seoptmum dan semnmal mungn. Algortma Ant colony dan jarngan Hopfeld merupaan metode optmas yang dapat menyelesaan berbaga macam masalah, sehngga dalam peneltan n dujcobaan edua metode optmas tersebut untu menyelesaan masalah TSP. Penyelesaan masalah TSP n menghaslan path terpende dar masng masng algortma yang dgunaan. Dalam pencaran path terpende tda dapat dataan secara langsung algortma mana yang palng optmum untu eseluruhan asus, arena selalu tergantung dar setap onds permasalahan yang ada, dan onds yang palng mempengaruh adalah banyanya tt. Dalam peneltan n juga dlauan perbandngan path terpende antara algortma Ant colony dan jarngan Hopfeld. Hasl yang dharapan penyelesaan masalah optmas TSP dengan menggunaan algortma Ant colony tu lebh ba darpada jarngan Hopfeld. Kata unc: Algortma ant colony, Jarngan Hopfeld 1. Pendahuluan Setap har seseorang past melauan suatu perjalanan, ba tu perjalanan dar rumah e antor ataupun dar rumah e ampus. Dan mungn juga perjalanan e beberapa ota. Dalam melauan perjalanan e beberapa ota, serng seseorang mengngnan path terpende dan baya yang mnmal. Masalah n serng dsebut dengan Traellng Salesman Problem (TSP). Traellng Salesman Problem (TSP) adalah suatu problem yang dalam oleh seorang sales yang ngn memula perjalanannya dar satu ota menuju ota tertentu dengan hanya dapat melalu ota lannya seal dan a mengngnan dalam perjalanannya, ongos dan watu yang deluaran dapat seoptmum dan semnmal mungn. Dengan persoalan yang ddesrpsan sebaga berut: Dberan n buah ota serta detahu jara antara setap ota satu sama lan. Carlah perjalanan terpende yang dmula dar sebuah ota dan melalu setap ota lannya hanya seal dan embal lag e ota asal eberangatannya. Pada peneltan sebelumnya, Helg d (007) mengenalan mong-target traellng salesman problem dmana target dapat bergera dengan ecepatan onstan. Pada awal tahun 1990 dtemuan oleh Dorgo pendeatan heurst dalam menyelesaan Traellng Salesman Problem dengan menggunaan algortma Ant colony. Algortma Ant colony yang dtemuan dar perlau semut dalam pencaran maanan dan secara tda langsung omunas merea melalu pheromone. Algortma Ant colony telah daplasan pada beberapa masalah antara lan job schedulng, routng optmzaton dalam jarngan omunas data, dan jarngan telepon. Kemudan pada tahun 198 dembangan oleh John Hopfeld suatu metode optmas dar jarngan syaraf truan yang emudan denal dengan jarngan Hopfeld. Jarngan Hopfeld merupaan salah satu metode optmas untu pencaran nla mnmum dar fungs obyetf. Algortma Ant colony dan jarngan Hopfeld merupaan metode optmas yang dapat menyelesaan berbaga macam masalah, sehngga dalam peneltan n dujcobaan edua metode optmas tersebut untu menyelesaan masalah TSP. Penyelesaan masalah TSP n menghaslan path terpende dar masng masng algortma yang dgunaan. Dalam lngup pencaran path terpende n tda dapat dataan secara langsung algortma mana yang palng optmum untu eseluruhan asus, arena belum tentu suatu algortma yang meml optmas yang tngg untu suatu asus meml optmas yang
tngg pula untu asus yang lan. Optmas yang mencaup efsens watu proses erja algortma, watu tempuh yang dperluan untu mencapa tujuan ahr dan jara tempuh yang palng pende n selalu tergantung dar setap onds permasalahan yang ada. Dan onds yang palng mempengaruh adalah banyanya tt (tt yang dalam hal n mewal ota). Dalam peneltan n juga dlauan perbandngan antara algortma Ant colony dan jarngan Hopfeld.. Kajan pustaa Dalam bab n aan demuaan beberapa teor-teor yang dpandang menduung TSP (Traelng Salesman Problem) untu mengoptmas rute perjalanan sales dengan path terpende..1 Optmas Defns Optmas Optmas adalah suatu proses untu mencapa solus yang terba atau optmal dalam suatu masalah (nla efetf yang dapat dcapa). Dalam dspln matemata optmas meruju pada stud permasalahan yang mencoba untu mencar nla mnmal atau masmal dar suatu fungs tertentu. Untu dapat mencapa nla optmal ba mnmal atau masmal tersebut, secara sstemats dlauan pemlhan nla arabel yang aan memberan solus optmal (Clapham, 1996). Beberapa Persoalan Optmas Persoalan yang beratan dengan optmas sangat omples dalam ehdupan sehar har. Nla optmal yang ddapat dalam optmas dapat berupa besaran panjang, watu, jara, dan lan lan (Wardy, 008). Berut n adalah beberapa persoalan yang memerluan optmas: 1. Menentuan lntasan terpende dar suatu tempat e tempat yang lan.. Menentuan jumlah peerja semnmal mungn untu melauan suatu proses produs agar pengeluaran baya peerja dapat dmnmalan dan hasl produs tetap masmal. 3. Mengatur jalur endaraan umum agar semua loas dapat djangau. 4. Mengatur routng jarngan abel telepon agar baya pemasangan abel tda terlalu besar dan penggunaannya tda boros. Selan beberapa contoh datas, mash banya persoalan lannya yang terdapat dalam ehdupan sehar har.. Graph Graph (G) adalah hmpunan pasangan terurut (V, E), dmana V adalah hmpunan ertex/tt dan E adalah hmpunan edge/rusu. Sebuah graph dtuls sebaga pasangan order (, e) atau lengapnya G = (, e), dmana dasumsan V dan E merupaan hmpunan edge edge e = (, j ) dmana e E (Wbsono, 004). Graph terbag menjad beberapa macam dantaranya adalah sebaga berut (Sang, 004): a. Graph berarah (Drected Graph) adalah graph yang setap edgenya mempunya arah dengan memenuh persyaratan (, j ) ( j, ) dmana (, j ) E. b. Graph tda berarah (Undrected Graph) adalah graph yang setap edgenya tda mempunya arah dengan memenuh persyaratan (, j ) = ( j, ) dmana (, j ) E. c. Graph berbobot (Weghted Graph) adalah graph yang setap edgenya mempunya bobot sebesar w..3 Algortma Ant Colony Pada awal tahun 1990, sebuah algortma bernama Ant system dcetusan sebaga pendeatan heurst baru untu pencaran solus dar ombnas masalah optmas (Dorgo, 1999). Algortma n dembangan berdasaran hasl pengamatan tngah lau semut dalam mencar maanan. Semut semut secara berelompo mencar jalur terpende dar sarang e sumber maanan ataupun sebalnya. Pada saat semut semut berjalan, merea menympan suatu zat pheromone d sepanjang jalan yang dlalunya. Pheromone adalah zat ma yang berasal dar elenjar endorn dan dgunaan oleh mahlu hdup untu mengenal sesama jens, nddu lan, elompo, dan untu membantu proses reprodus. Berbeda dengan hormon, pheromone menyebar eluar tubuh dan hanya dapat mempengaruh dan denal oleh nddu lan yang sejens (satu speses). Semut semut dapat mencum pheromone yang dtnggalan untu menentuan langah selanjutnya, merea aan memlh pheromone dengan onsentras uat. Jalur dengan pheromone onsentras uat menandaan telah dlalu oleh banya semut, yang ahrnya merupaan rute terpende (Zha, 007).
(1) Semua semut berada d sarang, tda ada pheromone dtanah () Proses mencar maanan mula dengan probabltas 50% semut aan memlh jalur terpende (dtanda dengan bulatan) dan 50% semut aan memlh jalur yang panjang (dtanda dengan perseg) (3) Semut semut yang mengambl jalan terpende lebh dulu sampa, arena tu probabltas mengambl jalur yang sama saat embal lebh besar. (4) Jeja pheromone yang ada d jalur pende (dalam probabltas) memberan aroma lebh tajam, sehngga probabltas memlh jalur n lebh besar. Dan dengan adanya penguapan pada jalur panjang, seluruh olon (dalam probabltas) aan memlh jalur pende. Gambar 1. Dagram yang menunjuan emampuan semut dalam mencar jalur terpende. Antara sarang semut dan sumber maanan terdapat dua jalur dengan panjang yang berbeda. Pada graf eempat, jeja pheromone dtunjuan oleh gars putus putus yang etebalannya menunjuan euatan jeja. (Blum, 005). Dar gambar d atas, terlhat bahwa jalur yang lebh pende aan meml emungnan lebh besar untu dplh oleh semut berutnya. Hal n dsebaban oleh jara yang dtempuh sangat pende sehngga watu perpndahan menjad lebh sngat. Keta semut lan mash menyusur jalur yang lebh panjang, semut yang memlh jalur pende dapat memula rute pulang yang sama, dan memperuat ntenstas pheromone pada jalur tersebut. Karena ntenstas pheromone yang lebh uat, maa probabltas jalur pende untu dlewat oleh semut berutnya lebh besar dbandngan dengan probabltas jalur panjang. Algortma ant colony atau slus semut untu penyelesaan masalah Traelng Salesman Problem (Kusumadew, 005), dberan sebaga berut:
Langah 1: a. Insalsas nla parameter-parameter algortma. 1. Intenstas jeja semut antar ota dan perubahannya ( τ j). Banya ota (N) termasu x dan y (oordnat) atau d j (jara antar ota) 3. Q adalah tetapan slus semut. 4. Parameter pengendal ntenstas jeja semut ( α ) 5. Parameter pengendal sbltas ( β ) 6. Vsbltas antar ota ( η j ) = 1 d j 7. Banya semut (m) 8. Koefsen penguapan jeja semut ( ρ ) 9. Jumlah slus masmum (NCmax) bersfat tetap selama algortma djalanan, sedangan τ j aan selalu dperbaharu harganya pada setap slus algortma mula dar slus pertama (NC = 1) sampa tercapa jumlah slus masmum (NC = NCmax) atau sampa terjad onergens. b. Insalsas ota pertama setap semut. Insalsas τ dengan blangan yang cuup ecl, emudan m semut dtempatan pada ota j pertama tertentu secara aca. Langah : Pengsan ota pertama e dalam tabu lst. Langah 3: Penyusunan rute unjungan setap semut e setap ota. Untu menentuan ota tujuan dgunaan persamaan probabltas ota untu dunjung sebaga berut: p j () t = ' { N Tabu } dan p α [ τ ( t)] [ η ] j j α [ τ ( t)] [ η ] ' j β β ' = 0, untu j lannya untu j { N Tabu } (1) dengan sebaga ndes ota asal dan j sebaga ndes ota tujuan. Probabltas e ota yang aan dtuju berutnya (p j ), dsn dperoleh dar persamaan (1) emudan dbangtan blangan random (r) antara 0 sampa 1. Kota e- aan terplh ja r lebh ecl dar nla probabltasnya. Langah 4: a. Perhtungan panjang rute setap semut. Perhtungan panjang rute tertutup (length closed tour) atau L setap semut dlauan setelah satu slus dselesaan oleh semua semut. Perhtungan dlauan berdasaran tabu masng-masng dengan persamaan berut: N 1 L d d = + () tabu( N ), tabu(1) tabu( s), tabu ( s+ 1) s = 1 Dengan d j adalah jara antara ota e ota j yang dhtung berdasaran persamaan: d x x y y j = ( j) + ( j ) (3) b. Pencaran rute terpende. Setelah L setap semut dhtung, aan ddapat harga mnmal panjang rute tertutup setap slus atau L mnnc dan harga mnmal panjang rute tertutup secara eseluruhan atau L mn. c. Perhtungan perubahan harga ntenstas jeja a semut antar ota.
Persamaan perubahan n dhtung dengan rumus: τ = j Dengan m τ j (4) = 1 τ j adalah perubahan harga ntenstas jeja a semut antar ota setap semut yang dhtung berdasaran persamaan Q τ j= (5) L untu (, j) ota asal dan ota tujuan dalam tabu. τ j = 0, untu (, j) lannya (6) Langah 5: a. Perhtungan harga ntenstas jeja a semut antar ota untu slus selanjutnya. Harga ntenstas jeja a semut antar ota untu slus selanjutnya dhtung dengan persamaan: τ = ρτ + τ (7) j j j b. Atur ulang harga perubahan ntenstas jeja a semut antar ota. Untu slus selanjutnya perubahan harga ntenstas jeja semut antar ota perlu datur embal agar meml nla sama dengan nol. Langah 6: Pengosongan tabu lst, dan ulang langah ja dperluan atau belum terjad onergens. Algortma dulang lag dar langah dengan harga parameter ntenstas jeja a semut antar ota yang sudah dperbaharu..4 Algortma Neural Networ Hopfeld Algortma Neural Networ Hopfeld pertama al denalan oleh John Hopfeld dar Calforna Insttute of Technology pada tahun 198. John Hopfeld merancang sebuah jarngan syaraf truan yang emudan denal dengan nama jarngan Hopfeld. Dalam jarngan Hopfeld semua neuron berhubungan penuh. Neuron yang satu mengeluaran output dan emudan menjad nput untu semua neuron yang lan. Proses penermaan snyal antara neuron n secara feedbac tertutup terus menerus sampa dcapa onds stabl (Dayhoff, 1990). Kones antara unt adalah bdrectonal, sedeman sehngga matrs bobot adalah symmetrc; yatu, ones dar unt u e unt u j (dengan bobot w j ) adalah sama halnya dengan ones dar u j e u (dengan bobot w j ). Gambar. Layout dar JST Hopfeld Hopfeld-Tan menyataan energ fungs untu masalah TSP adalah: E = A D + x j d x y x j y B + ( + ) y, + 1 x y x y, 1 y. C + N dmana: A, B, C, D = onstanta yang harus dtentuan tergantung jumlah ota x x. (8)
Snyal outputnya dberan dengan menerapan fungs sgmod (dengan range antara 0 dan 1), yang mana Hopfeld dan Tan menyataan sebaga: = g u = 0.51+ tanh u (9) ( ) [ ( α )] dmana: α = learnng rate yang telah dtentuan Algortma Prosedur dasar untu memecahan masalah traelng salesman menggunaan jarngan Hopfeld duraan sebaga berut. Step 0 Intalsas atas pada semua unt t Intalsas untu nla ecl Step 1 ja onds belum terpenuh, lanjutan Step -6 Step Lauan langah 3-5 sebanya n al (n adalah banyanya ota) Step 3 memlh suatu unt secara random Step 4 Mengubah attas pada unt terplh: baru = u lama + t[ u ( lama A ( ) ( ) u ) j j y + C N Step 5 Aplasan fungs output x, = 0,5 1+ tanh( α ux, ) Step 6 Ce pemberhentan onds, { j} D d y ( y, + 1 + y, _ 1) y x x j y x Dar formula datas dlauan perhtungan terhadap nla fungs energ E hngga ddapatan nla E yang mnmum. Apabla telah ddapatan nla fungs energ yang mnmum, dharapan hasl dar proses algortma n memberan hasl berupa path terpende. 3. Hasl dan pembahasan 3.1 Algortma Ant Colony Secara matemats path terpende dengan menggunaan algortma Ant colony adalah sebaga berut: Dberan sebuah graph G (V, E), msalan sejumlah semut pada node pada watu t, dan m merupaan jumlah total semut dmana tap tap semut merupaan agen sederhana dengan araterst sebaga berut: a. Memlh node tujuan dengan suatu probabltas. b. Tda melewat node yang telah dlewat (yang dontrol oleh tabu lst) c. Mennggalan substans yang dsebut pheromone pada setap jalur yang dunjung. Dengan tujuan memenuh batasan dmana semut mengunjung semua node yang berbeda, masng masng semut dhubungan dengan sebuah strutur data bernama tabu lst. Tabu lst berfungs menympan semua node yang sudah dunjung sampa watu tertentu, dan melarang semut untu mengunjungnya lag sebelum n teras (satu tour) dselesaan. Keta tour telah dselesaan, tabu lst dgunaan untu menghtung hasl semut saat tu, yatu jara dar jalur yang telah dlalu semut. Tabu lst lalu dosongan dan semut bebas untu memlh jalur yang lan. Untu penyelesaan permasalahan TSP n dambl 5, 10 dan 15 ota sebaga penyelesaan optmas TSP dengan menggunaan algortma Ant colony. Hasl perhtungan tersebut dapat dlhat sebaga berut: Tabel 1. TSP untu 5 ota Koordnat ota X Y 50 46 36 33 54 43 53 46 39 40 m α β ρ Q Banyanya teras Watu teras (det) 10 0,1 0,9 0,5 1 100 0,6870
Gambar 1. Path terpende untu 5 ota. Panjang jalur terpende: 6.308 Jalur Terpende: C1 - D1 - A1 - E1 - B1 Tabel. TSP untu 10 ota Koordnat ota X Y 14 4 70 65 88 33 6 18 64 76 3 35 45 67 44 30 3 5 67 56 m α β ρ Q Banyanya teras Watu teras (det) 10 0,1 0,9 0,5 1 100 0,8590 Gambar.. Path terpende untu 10 ota Panjang jalur terpende: 180.864 Jalur Terpende: A1 - F1 - I1 - G1 - E1 - B1 - J1 - C1 - D1 - H1 Gambar 3. Path terpende untu 15 ota Panjang jalur terpende: 345.737 Jalur Terpende: H1 - E1 - I1 - F1 - O1 - D1 - L1 - G1 - N1 - J1 - K1 - M1 - B1 - C1 - A1 Watu teras :,5310
3. Jarngan Hopfeld Pada asus traelng salesman problem dengan menggunaan jarngan syaraf truan Hopfeld dlauan dengan merepresentasan n neuron jarngan menjad n emungnan urutan poss yang dlalu pada sebuah ota. Untu n ota maa dbutuhan n node. Sebaga contoh terdapat 4 ota, maa empat node yang bers: 0 0 1 0 menunjuan sebuah ota yang mempunya urutan etga untu dunjung. Untu menentuan apaah sebuah rute merupaan path terpende pada jarngan Hopfeld n dgunaan sebuah fungs energ pada persamaan (8), dmana ja nla energ yang dhaslan ecl, menunjuan bahwa rute tersebut merupaan path yang terpende. Setelah ddapatan path terpende, emudan hasl yang dperoleh dbandngan dengan algortma Ant colony. Tetap untu asus penyelesaan TSP dengan menggunaan jarngan Hopfeld pada saat maalah n dumpulan, penelt mash melauan percobaan sehngga belum dapat menamplan hasl yang dperoleh. 4. Kesmpulan Algortma Ant colony merupaan pendeatan heurst baru untu pencaran solus dar ombnas masalah optmas. Algortma n dembangan berdasaran hasl pengamatan tngah lau semut dalam mencar maanan. Semut semut secara berelompo mencar jalur terpende dar sarang e sumber maanan ataupun sebalnya. Pada saat semut semut berjalan, merea menympan suatu zat pheromone d sepanjang jalan yang dlalunya. Jalur dengan pheromone onsentras uat menandaan telah dlalu oleh banya semut, yang ahrnya merupaan rute terpende. Penyelesaan masalah TSP menggunaan algortma Ant colony untu 5 ota dperoleh dengan watu 0.6870, 10 ota dengan watu 0.8590 dan untu 15 ota dengan watu,5310. Jarngan syaraf truan Hopfeld terdr dar n neuron, dmana jumlah bars sebanya n dan jumlah olom sebanya n. Semua neuron berhubungan penuh. Neuron yang satu mengeluaran output dan emudan menjad nput untu semua neuron yang lan. Untu menentuan apaah sebuah rute merupaan path terpende pada jarngan Hopfeld n dgunaan sebuah fungs energ, dmana ja nla energ yang dhaslan ecl, menunjuan bahwa rute tersebut merupaan path yang terpende. Daftar Pustaa Blum C, (005), Ant Colony Optmzaton: Introducton and Recent Trends, Journal Physcs of Lfe Reews, olume, 353 373. Clapham C, (1996), Concse Dctonary of Mathematcs, Second Edton, Oxford Unersty Press, New Yor. Dorgo, M and D Caro G, (1999), Ant Colony Optmzaton: A New Meta-Heurstc, IIEC Transactons on Eolutonary Computaton, 1470 1477. Dayhoff J, (1990), Neural Networ Archtectures (An Introducton), Van Nostrand Renhold, New Yor. Fausett, Laurene, (1994), Fundamental Of Neural Networs Archtectures, Algorthms, and Applcatons, ed. Don Fowley, Prentce Hall, London. Helg, C.S, Robns Gabrel, dan Zelosy Ale (003), The Mong-target Traelng Salesman Problem, Journal of Algorthms, 153 174. Kusumadew, S., & Purnomo, H. (005), Penyelesaan Masalah Optmas dengan Ten Ten Heurst, Eds Pertama, Graha Ilmu, Yogyaarta. Sang JJ, (004), Matemata Dsrt dan Aplasnya pada Ilmu Komputer, Eds Pertama, And Yogyaarta, Yogyaarta. Wbsono S, (004), Matemata Dsrt, Eds Pertama, Graha Ilmu, Yogyaarta. Wardy. S.I, Penggunaan Graf dalam Algortma Semut untu Melauan Optmsas, http://www.google.org /enrepaper/ download pada tanggal 15 Agustus 008. Zha, Xuan.F, (007), Artfcal Intellgence and Integrated Intellgent Informaton Systems Emergng Technologes and Applcatons, Idea Group Publshng, Lon