Sekilas Tentang Pengukuran Gejala Pusat (Mean, Median, Modus, Kuartal) Refisia Caturasa Refisia@gmail.com http://penulis.com Lisensi Dokumen: Seluruh dokumen di StatistikaPendidikan.Com dapat digunakan, dimodifikasi dan disebarkan secara bebas untuk tujuan bukan komersial (nonprofit), dengan syarat tidak menghapus atau merubah atribut penulis dan pernyataan copyright yang disertakan dalam setiap dokumen. Tidak diperbolehkan melakukan penulisan ulang, kecuali mendapatkan ijin terlebih dahulu dari StatistikaPendidikan.Com. Abstrak/Ringkasan Artikel ini akan menjelaskan perihal pokok bahasan mengenai. Pengukuran Gejala pusat, yang di dalam nya akan di jelaskan tentang nilai rata-rata, median, modus, kuartil dari data tunggal maupun data kelompok. Serta saya selaku penulis akan memberikan contoh pengerjaan soal, sehingga akan lebih mudah untuk di pahami. Pendahuluan Pengukuran gejala pusat merupakan suatu nilai yang dipandang representatif dapat memberikan gambaran secara umum mengenai keadaan nilai tersebut. Nilai rata-rata tersebut memiliki kecenderungan (tendensi) terletak di tengah-tengah atau pada pusat diantara data-data yang ada. Pengukuran gejala pusat terbagi menjadi mean, median, modus, dan kuartal. 1
Isi Pengertian PENGUKURAN GEJALA PUSAT Ukuran Gejala Pusat disebut juga Ukuran Nilai Pusat disebut juga sebagai ukuran rata-rata (average), disebut juga ukuran tendensi pusat (measure of central tendency), disebut juga ukuran nilai pertengahan (measure of central value), disebut juga ukuran posisi pertengahan (measure of central position). Yaitu suatu nilai yang dipandang representatif dapat memberikan gambaran secara umum mengenai keadaan nilai tersebut. Nilai rata-rata tersebut memiliki kecenderungan (tendensi) terletak di tengah-tengah atau pada pusat diantara data-data yang ada. Macam-macam Ukuran Rata-rata dan Cara Penghitungannya 1. Rata-rata Hitung atau nilai Rata-rata atau Arithmetic Mean atau Mean Nilai nilai data kuantitatif atau dinyatakan dengan x1, x...xn, apabila dalam kumpulan data itu terdapat n buah nilai, simbol n juga akan dipakai untuk menyatakan ukuran sampel, yakni banyak data yang diteliti dalam sampel dengan simbol N dan dipakai untuk menyatakan populasi, yakni banyak anggota terdapat dalam populasi. Rata-rata atau lengkapnya rata-rata hitung, untuk data kuantitatif yang terdapat dalam sebuah sampel dihitung dengan jalan membagi jumlah nilai data oleh banyak data. - Cara Mencari Mean Data Tunggal a.) Data Tunggal, yang seluruh skornya berfrekuensi satu. Rumusnya: X Me N Keterangan: Me Σ X N = Mean (Rata-rata) = Jumlah dari skor-skor (nilai) yang ada = Number of Cases (Banyaknya skor atau nilai)
contoh soal: Nilai statistik mahasiswa: 49, 54, 64, 66, 69, 74, 76, 78, 84, 87, 9 Jawab: X Me N Me = 49:54:64:66:69:74:76:78:84:87:9 11 = 793 11 = 7, 1 b.) Data Tunggal, yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu. Rumusnya: fx Me N Keterangan: Me = Mean (Rata-rata) ΣfX = Jumlah dari hasil perkalian antara masing-masing skor (nilai) dengan frekuensinya N = Number of Cases (Banyaknya skor atau nilai) Contoh: Nilai Statistika dari 5 mahasiswa: 59, 79, 89, 84, 87, 99, 9, 78, 79, 69, 54, 59, 64, 89, 99, 79, 74, 89, 79, 76, 99, 49, 59, 79, 66 3
Jawab: - Data terlebih dulu di urutkan dan di buat tabel frekuensi: No Nilai Statistika Frekuensi F*X 1. 49 1 49*1= 49. 54 1 54*1= 54 3. 59 3 59*3= 177 4. 64 1 64*1= 64 5. 66 1 66*1= 66 6. 69 1 69*1= 69 7. 74 1 74*1= 74 8. 76 1 76*1= 76 9. 78 1 78*1= 78 10. 79 5 79*5= 395 11. 84 1 84*1= 84 1. 87 1 87*1= 87 13. 89 3 89*3= 67 14. 9 1 9*1= 9 15. 99 3 99*3= 97 JUMLAH 5 199 fx Me N Me = 199/ 5 = 77, 16 Jadi, Mean dari nilai statistika 5 mahasiswa adalah 77, 16 4
c.) Cara Mencari Mean Untuk Data Kelompokan, Rumusnya: Keterangan Me = Mean (Rata-rata) ΣfX = Jumlah dari hasil perkalian antara Midpoint (Nilai Tengah) dari masing-masing interval dengan dengan frekuensinya N fx Me N = Number of Cases (Banyaknya skor atau nilai) Contoh soal: Data sama seperti soal 1 Nilai Statistika dari 5 mahasiswa: 59, 79, 89, 84, 87, 99, 9, 78, 79, 69, 54, 59, 64, 89, 99, 79, 74, 89, 79, 76, 99, 49, 59, 79, 66 Jawab: - Mengurutkan data yang telah di peroleh; No Nilai Statistika Frekuensi 1. 49 1. 54 1 3. 59 3 4. 64 1 5. 66 1 6. 69 1 7. 74 1 8. 76 1 9. 78 1 10. 79 5 11. 84 1 1. 87 1 5
13. 89 3 14. 9 1 15. 99 3 JUMLAH 5 - Menghitung Range ( Nilai tertinggi- Nilai terendah) 99 49= 50 - Menghitung banyak kelas(k) (K= 1+ 3,3 log n) K= 1 + 3,3 (log 5) = 1 + 3,3 (1,397) = 1 + 4,61 = 5,61 di bulatkan menjadi 6 - Menghitung panjang kelas (P) ( R K ) = 50 5,61 = 8,9 Menjadi 9 Tabel frekuensi distribusi data kelompok; No Nilai Statistika Frekuensi (F) Nilai tengah (Midpoint) 1. 49 57 49:57 = 53 106. 58 66 5 58:66 = 6 310 3. 67 75 67:75 = 71 14 4. 76 84 8 76:84 = 80 640 5. 85 93 5 85:93 = 89 445 6. 94-10 3 94: 10 = 98 94 Jumlah 5 1937 F*Midpoint fx Me N 6
= 1937 5 = 77,48 Jadi, Mean atau nilai rata-rata dari 5 mahasiswa adalah 77,48. Modus atau Mode Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi. Di gunakan modus di singkat Mo. Modus dapat di batasi dengan: - Nilai variabel yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam distribusi (distribusi tunggal) - Titik tengah interval kelas yang mempunyai freluensi tertinggi dalam distribusi (distribusi frekuensi) Modus untuk data kualitatif ditentukan dengan cara menentukan penyebab dari suatu akibat, sedangkan untuk data kuantitatif adalah dengan jalan menentukan frekuensi terbanyak diantara data itu. Jadi modus adalah nilai, bukan frekuensi yang tertinggi. Contoh : jika dalam distribusi tunggal terdapat sampel dengan nilainilai : 1 34 14 34 8 34 34 8 14 Modus dari data tersebut adalah : Mo = 34 Cara Mencari Modus 1) Mencari Modus Untuk Data Tunggal Dilihat dari Skor atau Nilai yang memiliki frekuensi paling banyak. Contoh soal: No Nilai Statistika Frekuensi 1. 49 1. 54 1 3. 59 3 4. 64 1 5. 66 1 6. 69 1 7. 74 1 7
8. 76 1 9. 78 1 10. 79 5 11. 84 1 1. 87 1 13. 89 3 14. 9 1 15. 99 3 JUMLAH 5 Jadi, Nilai modus pada data di atas adalah 79. ) Mencari Modus Untuk Data Kelompokan b1 Mo b p b1 b Keterangan: Mo = Modus b = Batas kelas interval dengan frekuensi terbanyak p = Panjang kelas interval b 1 = Frekuensi pada kelas modus (frekuensi pada kelas interval yang terbanyak) dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya b = Frekuensi pada kelas modus (frekuensi pada kelas interval yang terbanyak) dikurangi frekuensi kelas interval berikutnya Contoh soal: Tentukan Modusnya? Jawab: No Nilai Frekuensi Statistika (F) 1. 49 57. 58 66 5 8
3. 67 75 4. 76 84 8 5. 85 93 5 6. 94-10 3 Jumlah 5 b1 Mo b p b1 b b = (batas atas 0,5) frekuensi terbanyak = 84 0,5= 83,5 P = 9 (di ambil dari contoh soal pada tabel kelompok di atas) b 1 = 8 = 6 b = 8 5 = 3 Mo = b + p ( b1 ) b1: b = 84,5 + 9 ( 6 6: 3 ) = 84,5 + 9 6 9 = 84,5 + 6 = 89,5 Jadi, nilai modus pada data di atas adalah 89,5 3. Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median Median biasanya disimbolkan dengan lambang: Md, Mdn, Me, atau Mn. Median disebut juga dengan istilah nilai rata-rata pertengahan, nilai ratarata letak, nilai posisi tengah. Yaitu suatu nilai atau angka yang membagi suatu distribusi data kedalam dua bagian yang sama besar. Atau nilai yang menunjukkan pertengahan dari suatu distribusi data. Median menentukan letak data setelah data itu disusun menurut urutan nilainya. Kalau nilai median sama dengan maka 50 % dari data harga-harganya paling tinggi sama dengan Me sedangkan 50 % lagi paling rendah sama dengan Me. 9
Jadi median dapat dibatasi sebagai suatu nilai yang membatasi 50% frekuensi distribusi bagian bawah dengan 50% frekuensi distribusi atas. Cara mencari median; a.) Data tunggal - Median untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi satu dan berupa bilangan ganjil Jadi banyaknya data ganjil, maka median Me, setelah data disusun menurut nilainya, merupakan data paling tengah. Contoh : 4; 1 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10 ; 10 ; setelah disusun menurut nilainya menjadi : 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; 10 ; 10 ; 1 Data paling tengah bernilai 8 jadi Me = 8 Jika datanya banyak menggunakan rumus : N = n + 1 - Median untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi satu dan berupa bilangan genap Untuk sampel berukuran genap. Setelah data disusun menurut urutan nilainya, mediannya diambil rata-rata Hitung dari dua data tengah. Rumusnya : N = n, maka median terletak pada bilangan yang ke (n + (n+1))/. Contoh soal: Nilai statistika dari 6 mahasiswa adalah; 49, 59, 69, 79, 89, 99, Jawab: data tengahnya adalah 69, dan 79, sehingga Me = 1 (69+79) = 74 jadi median nya adalah 74. b.) Data Kelompok 1 n F Md b p f 10
Md = Median b = Batas bawah, dimana median akan terletak n = banyak data/jumlah sampel p = Panjang kelas interval F = Jumlah semua frekuensi sebelum kelas median f = Frekuensi Kelas Median Contoh soal: No Nilai Statistika Frekuensi (F) Frekuensi komulatif atas 1. 49 57. 58 66 5 7 3. 67 75 9 4. 76 84 8 17 5. 85 93 5 6. 94-10 3 5 Jumlah 5 Jawab: 1 n F Md b p f 1 n = 1 5 = 1,5 jadi median akan terletak pada interval yang berada pada 1,5. b = 76 0,5 = 75,5 p = 9 f = 8 F = +5+ = 9 11
1 Md = 75,5 + 9 ( 5;9 8 ) = 75,5 + 9 ( 1,5;9 ) 8 = 75,5 + 9 ( 3,5 8 ) = 75,5 + 3,9375 = 79,43 Jadi, median dari data di atas adalah 79,43 4. Quartile Quartile atau disebut juga kuartil, lebih dikenal dengan istilah Kuartal. Yaitu titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi kedalam empat bagian yang sama besar, yaitu masing-masing 1 N. Sehingga akan 4 ditemukan Quartile Pertama (Q 1 ), Quartile Kedua (Q ), dan Quartile Ketiga (Q 3 ). Untuk menentukan nilai kwartil : - Susun data menurut urutan nilainya - Tentukan letak Quartile - Tentukan nilai Quartile Cara menentukan Quartile a.) Data tunggal Rumusnya: n N Q n b 4 fi fkb Keterangan: Qn = Quartile yang ke-n (1,, atau 3) b = Batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung Qn N = Number of Cases (banyak data atau sampel) Fkb = Frekuensi kumulatif yg terletak di bawah skor atau interval yang 1
mengandung Qn fi = Frekuensi dari skor atau interval yang mengandung Qn i = interval class atau kelas interval Contoh soal: No Nilai Statistika Frekuensi Fk. Bawah (x) (F) 1. 49 1 5. 54 1 4 3. 59 3 3 4. 64 1 0 5. 66 1 19 6. 69 1 18 Q 3 7. 74 1 17 8. 76 1 16 9. 78 1 15 Q 10. 79 5 10 11. 84 1 9 1. 87 1 8 Q 1 13. 89 3 5 14. 9 1 4 15. 99 3 1 JUMLAH 5 Jawab: Q 1 = ¼ N = ¼ 5 = 6,5, terletak pada nilai 87 Q = ¼ N = /4 5 = 1,5 b = 87 0,5 = 86,5 b= 78 0,5 = 77,5 f i = 1 f i = 1 Fkb = 8 Fkb = 15 13
Q n n N b 4 f i fk b 1 Q 1 = 86,5 + ( = 86,5 + ( 4 5;8 1 6,5 ;8 1 ) Q = 77,5 + ( ) = 86, 5 + ( - 1,75) = 77,5 + ( = 86,5 1,75 = 77,5,5 = 84, 75 = 75 5; 15 4 1 1,5 ; 15 1 ) ) = 77,5+(-,5) b.) Data Kelompok Rumusnya: Contoh soal: No Keterangan; Q n = Quartile yang ke-n (1,, atau 3) b = Batas bawah nyata dari skor atau interval yang mengandung Q n p = Panjang kelas N = Number of Cases (banyak data atau sampel) fk b = Frekuensi kumulatif yg terletak di bawah skor atau interval yang mengandung Q n f i = Frekuensi dari skor atau interval yang mengandung Q n i = interval class atau kelas interval Nilai Statistika n N fk Q n b p 4 fi Frekuensi (F) Frekuensi komulatif bawah 1. 49 57 5. 58 66 5 3 3. 67 75 18 b 14
4. 76 84 8 16 5. 85 93 5 8 6. 94-10 3 3 Jumlah 5 Q = /4 N = /4 x 5 = 1,5 (terletak pada skor 76-84). Sehingga b= 76-0,5 = 75,50; fi = 8; fkb= 16, dan p= 9. Jadi Q adalah sbb: n N fk Q n b p 4 fi Q = 75,5 + 9 ( = 75, 5 + 9 ( 5; 16 4 8 1,5; 16 8 = 74, 5 + 9 (-3,5) = 74,5 31,5 = 43 b ) ) 15
Penutup Demikian artikel singkat dari penulis megenai pokok bahasan pengukuran gejala pusat, kurang dan lebihnya mohon maaf. Penulis berharap semoga artikel ini bermanfaat bagi pembaca. Penulis mengambil referensi dari berbagai sumber, baik internet maupun bahan ajar yang di berikan oleh BPk. Rahardjo yaitu dosen mata kuliah statistika penulis. Referensi - Modul berupa pdf - Bahan ajar dari Bpk. Raharjo 16
Biografi Penulis Refisia Caturasa. Lahir di Indramayu, pada tanggal 31 Oktober 1994. Anak ke 3 dari 3 bersaudara. Telah Menyelesaikan pendidikan di; - SD Sukamelang II pada tahun 006, - SMPN 1Kroya pada tahun 009, - SMAN 1 Kandanghaur pada tahun 01, - dan sekarang sedang menempuh gelar S1 di Universitas Negeri Jakarta Jurusan P.IPS. 17