Logika Temporal Linier (Linear-Time Temporal Logic, LTL)

Logika Temporal Linier (Linear-Time Temporal Logic, LTL) Kuliah (Pengantar) Metode Formal Semester Ganjil 2015-2016 M. Arzaki Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 1 / 74

Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: Buku: 1 Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems, Edisi 2, 2004, oleh M. Huth dan M. Ryan (acuan utama). 2 Mathematical Logic for Computer Science, Edisi 2, 2000, oleh M. Ben-Ari. 3 Practical Formal Methods Using Temporal Logics, 2011, oleh Michael Fischer. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 2 / 74

Slide kuliah: 1 Slide kuliah Metode Formal dan Topik dalam Logika Komputasional di Fasilkom UI oleh B. H. Widjaja. 2 Slide kuliah Metode Formal di University of Bozen-Bolzano oleh Enrico Franconi. 3 Slide kuliah Metode Formal dari Verified Software Systems. 4 Slide kuliah Introduction to Computational Logic di Academia Sinica oleh Bow-Yaw Wang. 5 Slide kuliah Linear Temporal Logic di California Institute of Technology oleh Richard M. Murray. 6 Slide kuliah Linear and Branching Temporal Logics di Radboud University Nijmegen oleh Frits Vaandrager. 7 Beberapa slide kuliah lain. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 3 / 74

Bahasan 1 Logika Temporal: Pendahuluan dan Motivasi 2 Pemodelan Waktu pada LTL 3 Operator Temporal dan Makna Intuitifnya 4 Sintaks Formal LTL 5 Semantik Formal LTL 6 LTL untuk Spesifikasi Sistem Reaktif 7 Formula LTL Berdasarkan Semantiknya 8 Contoh Pemodelan Sederhana dengan LTL 9 Keterkaitan LTL dengan Logika Predikat dan Keterputusan untuk LTL MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 4 / 74

Pendahuluan dan Motivasi Dalam logika klasik contohnya logika proposisi yang telah kita pelajari di awal perkuliahan nilai kebenaran formula dievaluasi dalam suatu dunia yang tetap (fixed world). Contohnya, proposisi: hari ini adalah hari Senin hanya dapat bernilai benar (true/ T) atau salah (false/ F), tetapi tidak keduanya. Nilai kebenaran proposisi tersebut juga tetap (konstan). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 6 / 74

Pendahuluan dan Motivasi Dalam logika klasik contohnya logika proposisi yang telah kita pelajari di awal perkuliahan nilai kebenaran formula dievaluasi dalam suatu dunia yang tetap (fixed world). Contohnya, proposisi: hari ini adalah hari Senin hanya dapat bernilai benar (true/ T) atau salah (false/ F), tetapi tidak keduanya. Nilai kebenaran proposisi tersebut juga tetap (konstan). Logika proposisi saja tidak cukup untuk memodelkan dan mengekspresikan proses pada suatu sistem yang dinamis (bukan hanya sistem komputasional). Mengapa kita tidak memakai logika predikat? MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 6 / 74

Pendahuluan dan Motivasi Dalam logika klasik contohnya logika proposisi yang telah kita pelajari di awal perkuliahan nilai kebenaran formula dievaluasi dalam suatu dunia yang tetap (fixed world). Contohnya, proposisi: hari ini adalah hari Senin hanya dapat bernilai benar (true/ T) atau salah (false/ F), tetapi tidak keduanya. Nilai kebenaran proposisi tersebut juga tetap (konstan). Logika proposisi saja tidak cukup untuk memodelkan dan mengekspresikan proses pada suatu sistem yang dinamis (bukan hanya sistem komputasional). Mengapa kita tidak memakai logika predikat? Ingat kembali bahwa secara umum masalah satisfiability (keterpenuhan) pada logika predikat adalah masalah yang bersifat undecidable (tak terputuskan). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 6 / 74

Pendahuluan dan Motivasi Dalam logika klasik contohnya logika proposisi yang telah kita pelajari di awal perkuliahan nilai kebenaran formula dievaluasi dalam suatu dunia yang tetap (fixed world). Contohnya, proposisi: hari ini adalah hari Senin hanya dapat bernilai benar (true/ T) atau salah (false/ F), tetapi tidak keduanya. Nilai kebenaran proposisi tersebut juga tetap (konstan). Logika proposisi saja tidak cukup untuk memodelkan dan mengekspresikan proses pada suatu sistem yang dinamis (bukan hanya sistem komputasional). Mengapa kita tidak memakai logika predikat? Ingat kembali bahwa secara umum masalah satisfiability (keterpenuhan) pada logika predikat adalah masalah yang bersifat undecidable (tak terputuskan). Dalam logika temporal, nilai kebenaran suatu formula dievaluasi dalam suatu himpunan dunia (set of worlds), akibatnya suatu formula yang menyatakan hari ini adalah hari Senin dapat dipenuhi di suatu dunia, tetapi tidak dipenuhi pada dunia yang lain. Dunia yang dimaksud di sini terkait dengan waktu (temporal). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 6 / 74

Bagaimana cara kita berpindah dari satu dunia ke dunia lain bergantung pada cara kita melihat keterkaitan antar waktu. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 7 / 74

Bagaimana cara kita berpindah dari satu dunia ke dunia lain bergantung pada cara kita melihat keterkaitan antar waktu. Waktu akan dimodelkan dengan accessibility relation antar dunia. Logika temporal memperluas gagasan pada logika proposisi dengan menambahkan operator temporal (temporal operators) yang diperlukan untuk berpindah dari satu dunia ke dunia lain. Pemodelan waktu pada logika temporal dapat berupa: MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 7 / 74

Bagaimana cara kita berpindah dari satu dunia ke dunia lain bergantung pada cara kita melihat keterkaitan antar waktu. Waktu akan dimodelkan dengan accessibility relation antar dunia. Logika temporal memperluas gagasan pada logika proposisi dengan menambahkan operator temporal (temporal operators) yang diperlukan untuk berpindah dari satu dunia ke dunia lain. Pemodelan waktu pada logika temporal dapat berupa: 1 pemodelan waktu-linier (linear-time) atau waktu-bercabang (branching-time): waktu-linier biasanya dipakai untuk memodelkan sistem deterministik, sedangkan waktu-bercabang biasanya dipakai untuk memodelkan sistem non-deterministik. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 7 / 74

Bagaimana cara kita berpindah dari satu dunia ke dunia lain bergantung pada cara kita melihat keterkaitan antar waktu. Waktu akan dimodelkan dengan accessibility relation antar dunia. Logika temporal memperluas gagasan pada logika proposisi dengan menambahkan operator temporal (temporal operators) yang diperlukan untuk berpindah dari satu dunia ke dunia lain. Pemodelan waktu pada logika temporal dapat berupa: 1 pemodelan waktu-linier (linear-time) atau waktu-bercabang (branching-time): waktu-linier biasanya dipakai untuk memodelkan sistem deterministik, sedangkan waktu-bercabang biasanya dipakai untuk memodelkan sistem non-deterministik. 2 pemodelan waktu-kontinu (continuous-time) atau waktu-diskret (discrete-time): waktu-kontinu biasanya dipakai pada komputer analog atau pada sistem yang terkait dengan sistem waktu-nyata (real-time system) yang memerlukan presisi tinggi terkait waktu, sedangkan waktu-diskret biasanya dipakai pada sistem yang tidak memerlukan pengawasan secara kontinu terus menerus atau presisi terkait waktunya agak longgar. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 7 / 74

Bagaimana cara kita berpindah dari satu dunia ke dunia lain bergantung pada cara kita melihat keterkaitan antar waktu. Waktu akan dimodelkan dengan accessibility relation antar dunia. Logika temporal memperluas gagasan pada logika proposisi dengan menambahkan operator temporal (temporal operators) yang diperlukan untuk berpindah dari satu dunia ke dunia lain. Pemodelan waktu pada logika temporal dapat berupa: 1 pemodelan waktu-linier (linear-time) atau waktu-bercabang (branching-time): waktu-linier biasanya dipakai untuk memodelkan sistem deterministik, sedangkan waktu-bercabang biasanya dipakai untuk memodelkan sistem non-deterministik. 2 pemodelan waktu-kontinu (continuous-time) atau waktu-diskret (discrete-time): waktu-kontinu biasanya dipakai pada komputer analog atau pada sistem yang terkait dengan sistem waktu-nyata (real-time system) yang memerlukan presisi tinggi terkait waktu, sedangkan waktu-diskret biasanya dipakai pada sistem yang tidak memerlukan pengawasan secara kontinu terus menerus atau presisi terkait waktunya agak longgar. Logika temporal linier (linear-time temporal logic/ linear temporal logic, LTL) adalah suatu kerangka logika yang dapat dipakai untuk memodelkan suatu sistem dengan model waktu-linier dan bersifat diskrit. Salah satu sistem sederhana yang dapat dimodelkan dengan LTL adalah lampu lalu lintas jalan (traffi c light). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 7 / 74

Pemodelan Waktu pada LTL Pada LTL, waktu dimodelkan secara diskrit dan linier. Pada gambar di atas, 0, 1, 2, 3,... merepresentasikan state pada LTL. Secara umum, model waktu untuk LTL akan serupa (isomorfik) dengan himpunan bilangan asli N. Catatan Untuk meringkas penulisan, kita akan menotasikan himpunan {0, 1, 2,...} dengan N 0 dan himpunan {1, 2, 3,...} dengan N. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 9 / 74

Pandang ilustrasi berikut: Misalkan terdapat himpunan proposisi P = {Monday, T uesday,..., Sunday} dan himpunan state S = {0, 1, 2,...}, kita memiliki: Monday bernilai T pada state 0, MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 10 / 74

Pandang ilustrasi berikut: Misalkan terdapat himpunan proposisi P = {Monday, T uesday,..., Sunday} dan himpunan state S = {0, 1, 2,...}, kita memiliki: Monday bernilai T pada state 0, 7, MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 10 / 74

Pandang ilustrasi berikut: Misalkan terdapat himpunan proposisi P = {Monday, T uesday,..., Sunday} dan himpunan state S = {0, 1, 2,...}, kita memiliki: Monday bernilai T pada state 0, 7, 14,..., atau secara umum pada state ke- MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 10 / 74

Pandang ilustrasi berikut: Misalkan terdapat himpunan proposisi P = {Monday, T uesday,..., Sunday} dan himpunan state S = {0, 1, 2,...}, kita memiliki: Monday bernilai T pada state 0, 7, 14,..., atau secara umum pada state ke-7k, k N 0 T uesday bernilai T pada state 1, MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 10 / 74

Pandang ilustrasi berikut: Misalkan terdapat himpunan proposisi P = {Monday, T uesday,..., Sunday} dan himpunan state S = {0, 1, 2,...}, kita memiliki: Monday bernilai T pada state 0, 7, 14,..., atau secara umum pada state ke-7k, k N 0 T uesday bernilai T pada state 1, 8, MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 10 / 74

Pandang ilustrasi berikut: Misalkan terdapat himpunan proposisi P = {Monday, T uesday,..., Sunday} dan himpunan state S = {0, 1, 2,...}, kita memiliki: Monday bernilai T pada state 0, 7, 14,..., atau secara umum pada state ke-7k, k N 0 T uesday bernilai T pada state 1, 8, 15,..., atau secara umum pada state ke- MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 10 / 74

Pandang ilustrasi berikut: Misalkan terdapat himpunan proposisi P = {Monday, T uesday,..., Sunday} dan himpunan state S = {0, 1, 2,...}, kita memiliki: Monday bernilai T pada state 0, 7, 14,..., atau secara umum pada state ke-7k, k N 0 T uesday bernilai T pada state 1, 8, 15,..., atau secara umum pada state ke-7k + 1, k N 0 dan seterusnya. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 10 / 74

Operator Temporal dan Makna Intuitifnya Operator temporal pada LTL terdiri dari: operator uner: X, F, G operator biner: U, W, R MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 12 / 74

Misalkan φ dan ψ adalah dua formula LTL, berikut adalah makna intutif dari formula-formula dengan operator utama yang berupa operator temporal Xφ : φ benar pada state berikutnya, MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 13 / 74

Misalkan φ dan ψ adalah dua formula LTL, berikut adalah makna intutif dari formula-formula dengan operator utama yang berupa operator temporal Xφ : φ benar pada state berikutnya, φ is true in the next moment of time. Operator X disebut dengan operator next atau operator X Fφ : φ benar pada suatu state (saat ini atau suatu state berikutnya), MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 13 / 74

Misalkan φ dan ψ adalah dua formula LTL, berikut adalah makna intutif dari formula-formula dengan operator utama yang berupa operator temporal Xφ : φ benar pada state berikutnya, φ is true in the next moment of time. Operator X disebut dengan operator next atau operator X Fφ : φ benar pada suatu state (saat ini atau suatu state berikutnya), φ is true in the Future (or present) moment of time atau φ is Finally true. Operator F disebut dengan operator future atau operator F. Gφ : φ benar pada semua state (saat ini dan semua state berikutnya), MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 13 / 74

Misalkan φ dan ψ adalah dua formula LTL, berikut adalah makna intutif dari formula-formula dengan operator utama yang berupa operator temporal Xφ : φ benar pada state berikutnya, φ is true in the next moment of time. Operator X disebut dengan operator next atau operator X Fφ : φ benar pada suatu state (saat ini atau suatu state berikutnya), φ is true in the Future (or present) moment of time atau φ is Finally true. Operator F disebut dengan operator future atau operator F. Gφ : φ benar pada semua state (saat ini dan semua state berikutnya), φ holds Globally in the moment of time. Operator G disebut dengan operator global atau operator G. φuψ : φ benar hingga suatu state ketika ψ benar, MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 13 / 74

Misalkan φ dan ψ adalah dua formula LTL, berikut adalah makna intutif dari formula-formula dengan operator utama yang berupa operator temporal Xφ : φ benar pada state berikutnya, φ is true in the next moment of time. Operator X disebut dengan operator next atau operator X Fφ : φ benar pada suatu state (saat ini atau suatu state berikutnya), φ is true in the Future (or present) moment of time atau φ is Finally true. Operator F disebut dengan operator future atau operator F. Gφ : φ benar pada semua state (saat ini dan semua state berikutnya), φ holds Globally in the moment of time. Operator G disebut dengan operator global atau operator G. φuψ : φ benar hingga suatu state ketika ψ benar, φ is true Until some future moment when ψ is true. Operator U disebut dengan operator until atau operator U. φwψ : φ akan selalu benar, kecuali bila ψ benar maka φ boleh tidak benar MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 13 / 74

Misalkan φ dan ψ adalah dua formula LTL, berikut adalah makna intutif dari formula-formula dengan operator utama yang berupa operator temporal Xφ : φ benar pada state berikutnya, φ is true in the next moment of time. Operator X disebut dengan operator next atau operator X Fφ : φ benar pada suatu state (saat ini atau suatu state berikutnya), φ is true in the Future (or present) moment of time atau φ is Finally true. Operator F disebut dengan operator future atau operator F. Gφ : φ benar pada semua state (saat ini dan semua state berikutnya), φ holds Globally in the moment of time. Operator G disebut dengan operator global atau operator G. φuψ : φ benar hingga suatu state ketika ψ benar, φ is true Until some future moment when ψ is true. Operator U disebut dengan operator until atau operator U. φwψ : φ akan selalu benar, kecuali bila ψ benar maka φ boleh tidak benar Operator W disebut dengan operator Weak-until atau operaror W. φrψ : ψ akan selau benar hingga dan pada state ketika φ benar untuk kali pertama; bila φ tidak pernah benar, maka ψ harus selamanya benar, MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 13 / 74

Misalkan φ dan ψ adalah dua formula LTL, berikut adalah makna intutif dari formula-formula dengan operator utama yang berupa operator temporal Xφ : φ benar pada state berikutnya, φ is true in the next moment of time. Operator X disebut dengan operator next atau operator X Fφ : φ benar pada suatu state (saat ini atau suatu state berikutnya), φ is true in the Future (or present) moment of time atau φ is Finally true. Operator F disebut dengan operator future atau operator F. Gφ : φ benar pada semua state (saat ini dan semua state berikutnya), φ holds Globally in the moment of time. Operator G disebut dengan operator global atau operator G. φuψ : φ benar hingga suatu state ketika ψ benar, φ is true Until some future moment when ψ is true. Operator U disebut dengan operator until atau operator U. φwψ : φ akan selalu benar, kecuali bila ψ benar maka φ boleh tidak benar Operator W disebut dengan operator Weak-until atau operaror W. φrψ : ψ akan selau benar hingga dan pada state ketika φ benar untuk kali pertama; bila φ tidak pernah benar, maka ψ harus selamanya benar, the truth of φ Releases the truth of ψ. Operator R disebut dengan operator release atau operator R. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 13 / 74

Ilustrasi untuk Operator X, F, dan G. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 14 / 74

Notasi Lain Beberapa literatur juga memakai notasi-notasi berikut: φ untuk menyatakan Xφ φ untuk menyatakan Fφ φ untuk menyatakan Gφ U (φ, ψ) untuk menyatakan φuψ W (φ, ψ) untuk menyatakan φwψ R (φ, ψ) untuk menyatakan φrψ MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 15 / 74

Contoh Translasi Sederhana Berikut adalah beberapa contoh translasi sederhana yang melibatkan operator temporal pada LTL. 1 If a message is sent to a receiver, then the message will eventually be received atau dalam bahasa Indonesia: jika pesan dikirimkan ke suatu penerima, maka suatu saat pesan akan diterima. Misalkan proposisi yang digunakan adalah send_msg : pesan dikrimkan ke suatu penerima dan receive_msg : pesan diterima, maka translasinya menjadi: MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 16 / 74

Contoh Translasi Sederhana Berikut adalah beberapa contoh translasi sederhana yang melibatkan operator temporal pada LTL. 1 If a message is sent to a receiver, then the message will eventually be received atau dalam bahasa Indonesia: jika pesan dikirimkan ke suatu penerima, maka suatu saat pesan akan diterima. Misalkan proposisi yang digunakan adalah send_msg : pesan dikrimkan ke suatu penerima dan receive_msg : pesan diterima, maka translasinya menjadi: (send_msg) F (receive_msg). 2 It is always the case that, if either have_passport or have_ticket is false, then in the next moment in time board_fligt will also be false ditranslasikan menjadi: MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 16 / 74

Contoh Translasi Sederhana Berikut adalah beberapa contoh translasi sederhana yang melibatkan operator temporal pada LTL. 1 If a message is sent to a receiver, then the message will eventually be received atau dalam bahasa Indonesia: jika pesan dikirimkan ke suatu penerima, maka suatu saat pesan akan diterima. Misalkan proposisi yang digunakan adalah send_msg : pesan dikrimkan ke suatu penerima dan receive_msg : pesan diterima, maka translasinya menjadi: (send_msg) F (receive_msg). 2 It is always the case that, if either have_passport or have_ticket is false, then in the next moment in time board_fligt will also be false ditranslasikan menjadi: G (( have_passport) ( have_ticket) X ( board_f light)). 3 If something is born, then it is living up until the point in time that it becomes dead ditranslasikan menjadi: MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 16 / 74

Contoh Translasi Sederhana Berikut adalah beberapa contoh translasi sederhana yang melibatkan operator temporal pada LTL. 1 If a message is sent to a receiver, then the message will eventually be received atau dalam bahasa Indonesia: jika pesan dikirimkan ke suatu penerima, maka suatu saat pesan akan diterima. Misalkan proposisi yang digunakan adalah send_msg : pesan dikrimkan ke suatu penerima dan receive_msg : pesan diterima, maka translasinya menjadi: (send_msg) F (receive_msg). 2 It is always the case that, if either have_passport or have_ticket is false, then in the next moment in time board_fligt will also be false ditranslasikan menjadi: G (( have_passport) ( have_ticket) X ( board_f light)). 3 If something is born, then it is living up until the point in time that it becomes dead ditranslasikan menjadi: (born) (living) U (dead). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 16 / 74

Sintaks Formal LTL BNF untuk LTL Misalkan P = {p p proposisi atom} menyatakan himpunan seluruh proposisi atom yang ditinjau dan p P. Formula φ didefinisikan dengan BNF berikut φ : := p φ φ φ φ φ φ φ Xφ Fφ Gφ φuφ φwφ φrφ Formula dengan operator logika proposisi lain seperti dan dapat dipandang sebagai ringkasan dari formula-formula dengan operator-operator yang terdapat pada BNF. Kita akan menulis sebagai ringkasan dari φ φ atau φ φ. Kemudian kita juga akan menulis sebagai ringkasan dari φ φ atau φ φ. Catatan Penulisan dan biasanya hanya digunakan ketika kita meninjau formula logika predikat secara sintaks saja. Jika kita meninjau formula logika predikat secara sematik, maka kita akan menggunakan notasi T dan F, B dan S, atau 0 dan 1. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 18 / 74

Formula yang Terbentuk dengan Baik (Well-Formed Formula, WFF) Definisi (Formula yang terbentuk dengan baik (well-formed formula, WFF)) Suatu formula LTL φ dikatakan sebagai formula yang terbentuk dengan baik (well-formed formula) bila φ dapat dikonstruksi dengan berhingga langkah (finite step) berdasarkan BNF untuk LTL yang telah dijelaskan sebelumnya. Catatan Untuk selanjutnya, istilah formula akan selalu berarti well-formed formula, kecuali bila disebutkan selain itu. Sebagai contoh, Up dan pgq bukan formula LTL karena MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 19 / 74

Formula yang Terbentuk dengan Baik (Well-Formed Formula, WFF) Definisi (Formula yang terbentuk dengan baik (well-formed formula, WFF)) Suatu formula LTL φ dikatakan sebagai formula yang terbentuk dengan baik (well-formed formula) bila φ dapat dikonstruksi dengan berhingga langkah (finite step) berdasarkan BNF untuk LTL yang telah dijelaskan sebelumnya. Catatan Untuk selanjutnya, istilah formula akan selalu berarti well-formed formula, kecuali bila disebutkan selain itu. Sebagai contoh, Up dan pgq bukan formula LTL karena U adalah operator biner dan G adalah operator uner. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 19 / 74

Presedens (Hirarki) Operator Logika pada LTL Tabel urutan pengerjaan (presendens) operator logika pada LTL adalah Urutan Urutan operator berdasarkan prioritas dari kiri ke kanan 1, X, F, G 2 U, R, W 3,,,, Kita dapat menggunakan tanda kurung ( dan ) untuk memperjelas operasi yang harus didahulukan. Suatu formula φ dikatakan dalam fully parenthesized expression (FPE) bila urutan pengerjaan operator dan operand dalam formula tersebut sudah diperjelas dengan pemberian tanda kurung. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 20 / 74

Latihan Jika p, q, r, s adalah proposisi-proposisi atom, tentukan FPE dari formula-formula berikut: 1 Fp Gq pwr 2 F (p Gr) qup 3 FpW (qwr) 4 GFp F (Xq s) Kita memiliki: (1) MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 21 / 74

Latihan Jika p, q, r, s adalah proposisi-proposisi atom, tentukan FPE dari formula-formula berikut: 1 Fp Gq pwr 2 F (p Gr) qup 3 FpW (qwr) 4 GFp F (Xq s) Kita memiliki: (1) ((Fp) (Gq)) (pwr), MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 21 / 74

Latihan Jika p, q, r, s adalah proposisi-proposisi atom, tentukan FPE dari formula-formula berikut: 1 Fp Gq pwr 2 F (p Gr) qup 3 FpW (qwr) 4 GFp F (Xq s) Kita memiliki: (1) ((Fp) (Gq)) (pwr), (2) F (p Gr) (( q) Up), MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 21 / 74

Latihan Jika p, q, r, s adalah proposisi-proposisi atom, tentukan FPE dari formula-formula berikut: 1 Fp Gq pwr 2 F (p Gr) qup 3 FpW (qwr) 4 GFp F (Xq s) Kita memiliki: (1) ((Fp) (Gq)) (pwr), (2) F (p Gr) (( q) Up), (3) (Fp) W (qwr), MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 21 / 74

Latihan Jika p, q, r, s adalah proposisi-proposisi atom, tentukan FPE dari formula-formula berikut: 1 Fp Gq pwr 2 F (p Gr) qup 3 FpW (qwr) 4 GFp F (Xq s) Kita memiliki: (1) ((Fp) (Gq)) (pwr), (2) F (p Gr) (( q) Up), (3) (Fp) W (qwr), (4) G (Fp) F (X (q) s) MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 21 / 74

Subformula LTL Subformula LTL 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula pw (qur), maka subformula dari φ adalah (1) MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 22 / 74

Subformula LTL Subformula LTL 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula pw (qur), maka subformula dari φ adalah (1) pw (qur), (2) MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 22 / 74

Subformula LTL Subformula LTL 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula pw (qur), maka subformula dari φ adalah (1) pw (qur), (2) qur, (3) MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 22 / 74

Subformula LTL Subformula LTL 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula pw (qur), maka subformula dari φ adalah (1) pw (qur), (2) qur, (3) p, (4) MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 22 / 74

Subformula LTL Subformula LTL 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula pw (qur), maka subformula dari φ adalah (1) pw (qur), (2) qur, (3) p, (4) q, dan (5) MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 22 / 74

Subformula LTL Subformula LTL 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula pw (qur), maka subformula dari φ adalah (1) pw (qur), (2) qur, (3) p, (4) q, dan (5) r. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 22 / 74

Pohon Urai (Parse Tree) untuk Formula LTL Pohon urai (parse tree) dapat digunakan untuk menggambarkan struktur suatu formula LTL. Sebagai contoh, pohon urai untuk formula F (p Gr) qur adalah MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 23 / 74

Model (Sistem Transisi) untuk LTL Semantik formula LTL ditinjau pada sebuah model yang juga disebut sebagai sistem transisi/ transition system (beberapa literatur juga menyebutnya dengan struktur Kripke/ Kripke structure). Definisi (Model/ Sistem Transisi untuk LTL) Sebuah model atau sistem transisi untuk LTL dengan himpunan proposisi atom P adalah tripel M = (S,, L) dengan: 1 S adalah himpunan state 2 adalah relasi biner pada S, dengan perkataan lain S S yang memenuhi sifat: untuk setiap s S terdapat s S sehingga (s, s ), hal ini juga dapat ditulis: untuk setiap s S terdapat s S sehingga s s (dalam matematika diskret kita mengenal istilah bahwa adalah relasi total pada S) 3 L adalah fungsi pelabelan dari himpunan seluruh state (yaitu S) ke himpunan kuasa proposisi atom (yaitu 2 P ), L dapat ditulis sebagai L : S 2 P. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 25 / 74

Contoh Model Sederhana Misalkan M = (S,, L) adalah tripel yang ditinjau atas himpunan propososi atom P = {p, q, r} dengan S = {s 0, s 1, s 2 } = {(s 0, s 1 ), (s 0, s 2 ), (s 1, s 0 ), (s 1, s 2 ), (s 2, s 2 )}, hal ini juga dapat ditulis dengan s 0 s 1, s 0 s 2, s 1 s 0, s 1 s 2, s 2 s 2 L : S 2 P dengan L (s 0 ) = {p, q}, L (s 1 ) = {q, r}, L (s 2 ) = r, hal ini juga dapat dinyatakan dalam tabel berikut: s i s 0 s 1 s 2 L (s i ) {p, q} {q, r} r Label ini berarti proposisi p dan q benar di s 0, proposisi q dan r benar di s 1, dan proposisi r benar di s 2. Kemudian karena r L (s 0 ) maka r salah di s 0, karena p L (s 1 ) maka p salah di s 1, dan karena p, q L (s 2 ) maka p maupun q salah di s 2. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 26 / 74

Tripel M adalah model LTL yang dapat digambarkan dalam graf berarah dengan label-label berikut Relasi transisi pada M harus bersifat total, apabila self loop pada s 2 dihilangkan, maka M tidak lagi menjadi model LTL. Jika kita menemukan suatu tripel M yang relasi transisinya tidak bersifat total, maka kita dapat mengkonstruksi model M dengan cara: 1 untuk setiap s S dengan yang tidak memiliki s S sehingga s s, tambahkan state s d yang memenuhi s s d 2 pada state s d kita dapat menambahkan self loop sehingga berlaku s d s d Notasi s d merepresentasikan state deadlock. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 27 / 74

Contoh Penambahan State Deadlock MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 28 / 74

MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 29 / 74

Lintasan (Path) pada Model Definisi (Lintasan (path) pada model LTL) Sebuath lintasan (path) pada model M = (S,, L) adalah barisan tak berhingga state σ 1, σ 2, σ 3,... dengan sifat: 1 σ i S untuk setiap i 1 2 σ i σ i+1 untuk setiap i 1 Selanjutnya lintasan (path) pada model tersebut akan dinotasikan dengan σ 1 σ 2 σ 3. Suatu lintasan akan dinotasikan dengan π. Tinjau kembali model LTL berikut MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 30 / 74

Salah satu lintasan pada model tersebut adalah π = σ 1 σ 2 σ 3 = s 1 s 0 s 1 s 0 s 2 s 2 s 2 Definisi (Sufiks i untuk lintasan, π i ) Misalkan π = σ 1 σ 2 σ 3 adalah sebuah lintasan pada model LTL M dan i maka π i adalah lintasan yang dimulai dari state σ i, yaitu sehingga kita memiliki π i = σ i σ i+1 σ i+1, π 1 = σ 1 σ 2 σ 3 = π, π 2 = MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 31 / 74

Salah satu lintasan pada model tersebut adalah π = σ 1 σ 2 σ 3 = s 1 s 0 s 1 s 0 s 2 s 2 s 2 Definisi (Sufiks i untuk lintasan, π i ) Misalkan π = σ 1 σ 2 σ 3 adalah sebuah lintasan pada model LTL M dan i maka π i adalah lintasan yang dimulai dari state σ i, yaitu sehingga kita memiliki π i = σ i σ i+1 σ i+1, π 1 = σ 1 σ 2 σ 3 = π, π 2 = σ 2 σ 3 σ 4, π 3 = MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 31 / 74

Salah satu lintasan pada model tersebut adalah π = σ 1 σ 2 σ 3 = s 1 s 0 s 1 s 0 s 2 s 2 s 2 Definisi (Sufiks i untuk lintasan, π i ) Misalkan π = σ 1 σ 2 σ 3 adalah sebuah lintasan pada model LTL M dan i maka π i adalah lintasan yang dimulai dari state σ i, yaitu sehingga kita memiliki π i = σ i σ i+1 σ i+1, π 1 = σ 1 σ 2 σ 3 = π, π 2 = σ 2 σ 3 σ 4, π 3 = σ 3 σ 4 σ 5, dan seterusnya MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 31 / 74

Contoh Bila π = s 1 s 0 s 1 s 0 s 2 s 2 s 2, maka kita memiliki π 2 = MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 32 / 74

Contoh Bila π = s 1 s 0 s 1 s 0 s 2 s 2 s 2, maka kita memiliki π 2 = s 0 s 1 s 0 s 2 s 2 s 2 π 4 = MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 32 / 74

Contoh Bila π = s 1 s 0 s 1 s 0 s 2 s 2 s 2, maka kita memiliki π 2 = s 0 s 1 s 0 s 2 s 2 s 2 π 4 = s 0 s 2 s 2 s 2 π 5 = MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 32 / 74

Contoh Bila π = s 1 s 0 s 1 s 0 s 2 s 2 s 2, maka kita memiliki π 2 = s 0 s 1 s 0 s 2 s 2 s 2 π 4 = s 0 s 2 s 2 s 2 π 5 = s 2 s 2 s 2 = π 6 = = π n untuk n 5 MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 32 / 74

Pada model LTL sebelumnya, semua lintasan pada M dapat direpresentasikan dalam pohon (tree) berikut MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 33 / 74

Semantik LTL pada Sebuah Lintasan Definisi (π = φ) Misalkan M = (S,, L) adalah sebuah model LTL dan π = σ 1 σ 2 σ 3 adalah sebuah lintasan pada M. Untuk setiap formula LTL φ, notasi π = φ berarti lintasan π memenuhi formula φ. Relasi = didefinisikan sebagai berikut Definisi terkait operator logika proposisi: π = (ini berarti selalu benar/ dipenuhi pada sembarang lintasan apapun). π = (ini berarti selalu salah/ tak dipenuhi pada sembarang lintasan apapun). π = p jikka p L (σ 1 ). π = φ jikka π = φ (ini berarti φ tidak dipenuhi pada lintasan π). π = φ 1 φ 2 jikka π = φ 1 dan π = φ 2. π = φ 1 φ 2 jikka π = φ 1 atau π = φ 2. π = φ 1 φ 2 jikka apabila π = φ 1 maka π = φ 2. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 34 / 74

Definisi tekait operator temporal: π = Xφ jikka π 2 = φ π = Fφ jikka terdapat i 1 yang memenuhi π i = φ π = Gφ jikka untuk semua i 1 berlaku π i = φ π = φuψ jikka terdapat i 1 sehingga π i = ψ dan setiap 1 j i 1 memenuhi π j = φ π = φwψ jikka: terdapat i 1 sehingga π i = ψ dan setiap 1 j i 1 memenuhi π j = φ, atau untuk setiap i 1 berlaku π i = φ π = φrψ jikka: terdapat i 1 sehingga π i = φ dan setiap 1 j i memenuhi π j = ψ, atau untuk setiap i 1 berlaku π i = ψ MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 35 / 74

Definisi Operator Temporal dengan Logika Predikat Misalkan domain untuk i dan j adalah N = {1, 2, 3,...}. π = Xφ jikka π 2 = φ. π = Fφ jikka i ( π i = φ ). π = Gφ jikka i ( π i = φ ). [ ( π π = φuψ jikka i i = ψ ) j ( (1 j i 1) π j = φ ) [ ( π π = φwψ jikka i i = ψ ) j ( (1 j i 1) π j = φ ) [ ( π π = φrψ jikka i i = φ ) j ( (1 j i) π j = ψ ) ]. ] i ( π i = φ ). ] i ( π i = ψ ). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 36 / 74

Ilustrasi Intuitif MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 37 / 74

Makna Operator U dan W Perhatikan bahwa baik operator U maupun operator W tidak menjelaskan apa yang harus terjadi setelah until tercapai. Hal ini dapat berbeda dengan until yang terdapat pada bahasa alami. Contoh Perhatikan kalimat berikut: John smoked until he was 22 years old berarti bahwa: John continually smoked up until he was 22 years old John gave up smoking after his 22nd birthday Jika s adalah proposisi John smoke dan t adalah proposisi John is 22 years old maka translasi yang tepat dari John smoked until he was 22 years old adalah: MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 38 / 74

Makna Operator U dan W Perhatikan bahwa baik operator U maupun operator W tidak menjelaskan apa yang harus terjadi setelah until tercapai. Hal ini dapat berbeda dengan until yang terdapat pada bahasa alami. Contoh Perhatikan kalimat berikut: John smoked until he was 22 years old berarti bahwa: John continually smoked up until he was 22 years old John gave up smoking after his 22nd birthday Jika s adalah proposisi John smoke dan t adalah proposisi John is 22 years old maka translasi yang tepat dari John smoked until he was 22 years old adalah: su (t G s), bukan sut karena formula sut juga dapat benar ketika John smoked until he was 22 years old, yet he stopped before he died in 80. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 38 / 74

Semantik LTL pada Sebuah Model Definisi Misalkan M = (S,, L) adalah model LTL, s S, dan φ adalah sebuah formula LTL. Kita katakan φ terpenuhi (satisfiable) pada state s, ditulis M, s = φ, apabila untuk setiap lintasan π pada M yang dimulai di s memenuhi π = φ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 39 / 74

Latihan Dari model LTL berikut: Periksa apakah: 1 M, s 0 = p q 2 M, s 0 = r 3 M, s 0 = 4 M, s 0 = Xr 5 M, s 0 = X (q r) MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 40 / 74

1 M, s 0 = p q karena untuk setiap lintasan π = s 0 kita memiliki p, q L (s 0 ), akibatnya π = p q, sehingga M, s 0 = p q. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 41 / 74

1 M, s 0 = p q karena untuk setiap lintasan π = s 0 kita memiliki p, q L (s 0 ), akibatnya π = p q, sehingga M, s 0 = p q. 2 M, s 0 = r karena untuk setiap lintasan π = s 0 kita memiliki r L (s 0 ), akibatnya π = r, sehingga π = r, sehingga M, s 0 = r. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 41 / 74

1 M, s 0 = p q karena untuk setiap lintasan π = s 0 kita memiliki p, q L (s 0 ), akibatnya π = p q, sehingga M, s 0 = p q. 2 M, s 0 = r karena untuk setiap lintasan π = s 0 kita memiliki r L (s 0 ), akibatnya π = r, sehingga π = r, sehingga M, s 0 = r. 3 M, s 0 =, karena berdasarkan definisi setiap lintasan π memenuhi π =, akibatnya M, s 0 =. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 41 / 74

1 M, s 0 = p q karena untuk setiap lintasan π = s 0 kita memiliki p, q L (s 0 ), akibatnya π = p q, sehingga M, s 0 = p q. 2 M, s 0 = r karena untuk setiap lintasan π = s 0 kita memiliki r L (s 0 ), akibatnya π = r, sehingga π = r, sehingga M, s 0 = r. 3 M, s 0 =, karena berdasarkan definisi setiap lintasan π memenuhi π =, akibatnya M, s 0 =. 4 M, s 0 = Xr, karena lintasan yang dimulai dari s 0, yaitu π = s 0 σ 1 σ 2, hanya memiliki dua kemungkinan untuk σ 1, yaitu: π = s0 s 1, karena r L (s 1), maka π 2 = r, akibatnya π = Xr, π = s0 s 2, karena r L (s 2), maka π 2 = r, akibatnya π = Xr. Karena setiap lintasan yang dimulai dari s 0 memenuhi π = Xr, maka berlaku M, s 0 = Xr. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 41 / 74

1 M, s 0 = p q karena untuk setiap lintasan π = s 0 kita memiliki p, q L (s 0 ), akibatnya π = p q, sehingga M, s 0 = p q. 2 M, s 0 = r karena untuk setiap lintasan π = s 0 kita memiliki r L (s 0 ), akibatnya π = r, sehingga π = r, sehingga M, s 0 = r. 3 M, s 0 =, karena berdasarkan definisi setiap lintasan π memenuhi π =, akibatnya M, s 0 =. 4 M, s 0 = Xr, karena lintasan yang dimulai dari s 0, yaitu π = s 0 σ 1 σ 2, hanya memiliki dua kemungkinan untuk σ 1, yaitu: π = s0 s 1, karena r L (s 1), maka π 2 = r, akibatnya π = Xr, π = s0 s 2, karena r L (s 2), maka π 2 = r, akibatnya π = Xr. Karena setiap lintasan yang dimulai dari s 0 memenuhi π = Xr, maka berlaku M, s 0 = Xr. 5 M, s 0 = X (q r), atau dapat ditulis M, s 0 = X (q r). Tinjau lintasan π = s 0 s 2 s 2, kita memiliki q L (s 2 ), akibatnya π 2 = q, sehingga π = X q. Akibatnya tidak mungkin M, s 0 = X (q r). Jadi haruslah M, s 0 = X (q r). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 41 / 74

Latihan Dari model LTL berikut: Periksa apakah: 1 M, s 0 = G (p r) 2 M, s 0 = GFr 3 M, s 0 = GFp GFr 4 M, s 0 = GFr GFp 5 M, s 0 = pur MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 42 / 74

1 M, s 0 = G (p r) karena setiap lintasan yang dimulai dari s 0, yaitu π = s 0 σ 1 σ 2, hanya memiliki kemungkinan bahwa σ i {s 0, s 1, s 2 } dan tidak ada state pada {s 0, s 1, s 2 } dengan sifat p dan r keduanya benar pada state tersebut. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 43 / 74

1 M, s 0 = G (p r) karena setiap lintasan yang dimulai dari s 0, yaitu π = s 0 σ 1 σ 2, hanya memiliki kemungkinan bahwa σ i {s 0, s 1, s 2 } dan tidak ada state pada {s 0, s 1, s 2 } dengan sifat p dan r keduanya benar pada state tersebut. 2 M, s 0 = GFr, karena untuk setiap lintasan yang dimulai dari s 0, yaitu π = s 0 σ 1 σ 2 kita memiliki π = GFr. Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Kita dapat mengklasifikasikan π menjadi dua kategori: π memuat s2, akibatnya akan berlaku π = GFr karena jika π memuat s 2 pastilah π berbentuk π = s 2 s 2 s 2 dan r L (s 2) π tidak memuat s2, akibatnya akan berlaku π = GFr karena π pasti berbetuk: π = s 0 s 1 s 0 s 1 dan r L (s 1). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 43 / 74

1 M, s 0 = G (p r) karena setiap lintasan yang dimulai dari s 0, yaitu π = s 0 σ 1 σ 2, hanya memiliki kemungkinan bahwa σ i {s 0, s 1, s 2 } dan tidak ada state pada {s 0, s 1, s 2 } dengan sifat p dan r keduanya benar pada state tersebut. 2 M, s 0 = GFr, karena untuk setiap lintasan yang dimulai dari s 0, yaitu π = s 0 σ 1 σ 2 kita memiliki π = GFr. Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Kita dapat mengklasifikasikan π menjadi dua kategori: π memuat s2, akibatnya akan berlaku π = GFr karena jika π memuat s 2 pastilah π berbentuk π = s 2 s 2 s 2 dan r L (s 2) π tidak memuat s2, akibatnya akan berlaku π = GFr karena π pasti berbetuk: π = s 0 s 1 s 0 s 1 dan r L (s 1). 3 M, s 0 = GFp GFr, karena untuk setiap lintasan yang dimulai dari s 0, yaitu π = s 0 σ 1 σ 2 kita memiliki π = GFp GFr. Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Kita dapat mengklasifikasikan π menjadi dua kategori: π memuat s2, akibatnya akan berlaku π = GFr, jadi π = GFp GFr π tidak memuat s2, akibatnya akan berlaku π = GFr, jadi π = GFp GFr. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 43 / 74

1 M, s 0 = G (p r) karena setiap lintasan yang dimulai dari s 0, yaitu π = s 0 σ 1 σ 2, hanya memiliki kemungkinan bahwa σ i {s 0, s 1, s 2 } dan tidak ada state pada {s 0, s 1, s 2 } dengan sifat p dan r keduanya benar pada state tersebut. 2 M, s 0 = GFr, karena untuk setiap lintasan yang dimulai dari s 0, yaitu π = s 0 σ 1 σ 2 kita memiliki π = GFr. Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Kita dapat mengklasifikasikan π menjadi dua kategori: π memuat s2, akibatnya akan berlaku π = GFr karena jika π memuat s 2 pastilah π berbentuk π = s 2 s 2 s 2 dan r L (s 2) π tidak memuat s2, akibatnya akan berlaku π = GFr karena π pasti berbetuk: π = s 0 s 1 s 0 s 1 dan r L (s 1). 3 M, s 0 = GFp GFr, karena untuk setiap lintasan yang dimulai dari s 0, yaitu π = s 0 σ 1 σ 2 kita memiliki π = GFp GFr. Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Kita dapat mengklasifikasikan π menjadi dua kategori: π memuat s2, akibatnya akan berlaku π = GFr, jadi π = GFp GFr π tidak memuat s2, akibatnya akan berlaku π = GFr, jadi π = GFp GFr. 4 M, s 0 = GFr GFp atau dapat ditulis M, s 0 = (GFr GFp). Tinjau lintasan π = s 0 s 2 s 2, kita memiliki π = GFr tetapi π = GFp karena p L (s 2 ). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 43 / 74

5 M, s 0 = pur, karena untuk setiap lintasan yang dimulai dari s 0, yaitu π = s 0 σ 1 σ 2 kita memiliki π = pur. Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Kita dapat mengklasifikasikan π menjadi dua kategori: 1 π = s 0 s 1, karena p L (s 0 ) dan r L (s 1 ), maka berlaku π = pur, π = s 0 s 2, karena p L (s 0 ) dan r L (s 1 ), maka berlaku π = pur. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 44 / 74

LTL untuk Spesifikasi Sistem Reaktif Dalam computer science dan software engineering, logika temporal digunakan untuk membuat formalisasi dari sistem reaktif-konkuren (concurrent reactive systems), salah satu contohnya adalah lampu lalu lintas (traffi c light). Untuk mendesain sistem-sistem tersebut secara formal, perlu ditinjau beberapa sifat yang harus dipenuhi oleh sistem tersebut, yaitu: 1 Sifat keamanan (safety properties). 2 Sifat ketercapaian (liveness properties). 3 Karakterisasi selalu terjadi secara berkala (infinitely often). 4 Sifat keadilan (fairness properties). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 46 / 74

Sifat Keamanan (Safety Properties) Sifat keamanan (safety properties) berarti: sesuatu hal yang buruk tidak boleh pernah terjadi (something bad will not happen). Misalkan φ merepresentasikan suatu hal buruk, maka safety properties biasanya dituliskan dalam formula LTL sebagai G φ. Contoh Pada lampu lalu lintas, lampu merah, kuning, dan hijau tidak boleh menyala bersamaan: G (red yellow green). Pada suatu reaktor nuklir, suhu reaktor tidak boleh lebih dari 1000 C : G (reactor_temp. > 1000). Pada suatu sistem tidak boleh ada pembagian dengan 0 : G ((x = 0) X (y = a/0)). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 47 / 74

Sifat Ketercapaian (Liveness Properties) Sifat keamanan (safety properties) berarti: sesuatu hal yang baik harus dapat terjadi (something good will happen). Misalkan φ merepresentasikan suatu hal baik, maka liveness properties biasanya dituliskan dalam formula LTL sebagai Fφ. Contoh Pada lampu lalu lintas, jika lampu merah menyala maka suatu saat lampu hijau akan menyala: G (red Fgreen). Pada suatu sistem, jika proses dijalankan maka suatu saat proses akan berhenti: G (start Fterminate). Pada suatu sistem, jika pesan dikirimkan, maka pesan sautu saat pesan akan diterima: G (send Freceived). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 48 / 74

Selalu Terjadi Secara Berkala (Infinitely Often) Misalkan φ adalah sebuah formula LTL, kombinasi dari operator G dan F sebagai GFφ dapat ditranslasikan sebagai: φ selalu terjadi secara berkala. Perhatikan bahwa 1 M, s = GFφ berarti setiap lintasan π yang dimulai dari π memenuhi π = GFφ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 49 / 74

Selalu Terjadi Secara Berkala (Infinitely Often) Misalkan φ adalah sebuah formula LTL, kombinasi dari operator G dan F sebagai GFφ dapat ditranslasikan sebagai: φ selalu terjadi secara berkala. Perhatikan bahwa 1 M, s = GFφ berarti setiap lintasan π yang dimulai dari π memenuhi π = GFφ. 2 π = GFφ berarti untuk setiap i 1 berlaku π i = Fφ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 49 / 74

Selalu Terjadi Secara Berkala (Infinitely Often) Misalkan φ adalah sebuah formula LTL, kombinasi dari operator G dan F sebagai GFφ dapat ditranslasikan sebagai: φ selalu terjadi secara berkala. Perhatikan bahwa 1 M, s = GFφ berarti setiap lintasan π yang dimulai dari π memenuhi π = GFφ. 2 π = GFφ berarti untuk setiap i 1 berlaku π i = Fφ. 3 π i = Fφ berarti terdapat j i sehingga π j = φ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 49 / 74

Selalu Terjadi Secara Berkala (Infinitely Often) Misalkan φ adalah sebuah formula LTL, kombinasi dari operator G dan F sebagai GFφ dapat ditranslasikan sebagai: φ selalu terjadi secara berkala. Perhatikan bahwa 1 M, s = GFφ berarti setiap lintasan π yang dimulai dari π memenuhi π = GFφ. 2 π = GFφ berarti untuk setiap i 1 berlaku π i = Fφ. 3 π i = Fφ berarti terdapat j i sehingga π j = φ. 4 Akibatnya π = GFφ berarti untuk setiap i 1 terdapat j i sehingga π j = φ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 49 / 74

Selalu Terjadi Secara Berkala (Infinitely Often) Misalkan φ adalah sebuah formula LTL, kombinasi dari operator G dan F sebagai GFφ dapat ditranslasikan sebagai: φ selalu terjadi secara berkala. Perhatikan bahwa 1 M, s = GFφ berarti setiap lintasan π yang dimulai dari π memenuhi π = GFφ. 2 π = GFφ berarti untuk setiap i 1 berlaku π i = Fφ. 3 π i = Fφ berarti terdapat j i sehingga π j = φ. 4 Akibatnya π = GFφ berarti untuk setiap i 1 terdapat j i sehingga π j = φ. 5 Ini berarti φ akan terjadi secara terus menerus ( secara berkala, namun tidak harus regular ) atau φ terjadi infinitely often. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 49 / 74

Contoh Pada lampu lalu lintas, lampu kuning menyala secara berkala: GFyellow. Pada perlintasan kereta api, portal ditutup secara berkala: GF (gate = closed). Catatan Formula GFφ tidak mengimplikasikan Gφ, tetapi Gφ mengimplikasikan GFφ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 50 / 74

Sifat Keadilan (Fairness) Ada beberapa jenis sifat keadilan (fairness properties) dalam pemodelan sistem reaktif. Misalkan attempt dan succeed adalah dua proposisi yang ditinjau. 1 GFattempt GFsucceed : if we attempt something infinitely often, then we will succeed infinitely often (disebut juga sebagai keadilan kuat/ strong fairness) 2 GFattempt Fsucceed : if we attempt something infinitely often, then we will succeed at least one 3 Gattempt GFsucceed : if we attempt something continuosly, then we will succeed infinitely often 4 Gattempt Fsucceed : if we attempt something continuosly, then we will succeed at least one Contoh Pada lampu lalu lintas, jika ada daya listrik, maka lampu kuning akan menyala secara berkala: Gpower GFyellow MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 51 / 74

Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya Definisi Misalkan φ adalah sebuah formula LTL: 1 formula φ dikatakan absah (valid) atau tautologi apabila M, s = φ untuk sembarang status s pada sembarang model M. 2 formula φ dikatakan terpenuhi (satisfiable) apabila M, s = φ untuk suatu status s pada suatu model M. 3 formula φ dikatakan kontradiksi (contradictory) apabila M, s = φ untuk sembarang status s pada sembarang model M. 4 formula φ dikatakan tersalahkan (falsifiable) apabila M, s = φ untuk suatu status s pada suatu model M. 5 formula φ dikatakan kontingensi (contingency) apabila φ bukan formula yang bersifat absah dan bukan pula formula yang bersifat kontradiksi. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 53 / 74

Beberapa Teorema Penting Teorema Misalkan φ adalah sebuah formula LTL, maka berlaku: 1 formula φ absah (valid) jika dan hanya jika φ kontradiksi, 2 formula φ terpenuhi (satisfiable) jika dan hanya jika φ tersalahkan (falsifiable), 3 formula φ terpenuhi (satisfiable) jika dan hanya jika φ tidak absah (tidak valid), 4 formula φ absah (valid) jika dan hanya jika φ tidak terpenuhi. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 54 / 74

Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika Definisi Misalkan φ dan ψ adalah dua formula LTL: Formula φ dan ψ dikatakan setara atau ekuivalen (logically equivalent) jika formula φ ψ merupakan tautologi. Hal ini dituliskan dengan φ ψ atau φ ψ. Formula ψ dikatakan sebagai konsekuensi logis (logical consequence) dari φ jika formula φ ψ merupakan tautologi. Hal ini dituliskan dengan φ ψ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 55 / 74

Beberapa Ekuivalensi Terkait Operator Temporal Teorema Misalkan φ adalah formula LTL, maka berlaku: 1 Gφ F φ 2 Fφ G φ 3 Xφ X φ Ini berarti operator F dan G saling dual dan X bersifat dual dengan dirinya sendiri. Teorema Misalkan φ dan ψ adalah dua formula LTL, maka berlaku: 1 (φuψ) φr ψ 2 (φrψ) φu ψ MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 56 / 74

Teorema Misalkan φ dan ψ adalah dua formula LTL, maka berlaku: 1 F (φ ψ) Fφ Fψ 2 G (φ ψ) Gφ Gψ Teorema Misalkan φ adalah formula LTL, maka berlaku: 1 Fφ Uφ 2 Gφ Rφ Teorema Misalkan φ dan ψ adalah dua formula LTL, maka berlaku: 1 φuψ φwψ Fψ 2 φwψ φuψ Gψ 3 φwψ ψr (φ ψ) 4 φrψ ψw (φ ψ) MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 57 / 74

Beberapa Bukti Formal Ekuivalensi Terkait Operator Temporal Bukti ( Gφ F φ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. 1 π = Gφ π = Gφ MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 58 / 74

Beberapa Bukti Formal Ekuivalensi Terkait Operator Temporal Bukti ( Gφ F φ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. 1 π = Gφ π = Gφ 2 Kita memiliki π = Gφ untuk setiap i 1 berlaku π i = φ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 58 / 74

Beberapa Bukti Formal Ekuivalensi Terkait Operator Temporal Bukti ( Gφ F φ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. 1 π = Gφ π = Gφ 2 Kita memiliki π = Gφ untuk setiap i 1 berlaku π i = φ. 3 Ini berarti π = Gφ terdapat i 1 sehingga tidak berlaku π i = φ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 58 / 74

Beberapa Bukti Formal Ekuivalensi Terkait Operator Temporal Bukti ( Gφ F φ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. 1 π = Gφ π = Gφ 2 Kita memiliki π = Gφ untuk setiap i 1 berlaku π i = φ. 3 Ini berarti π = Gφ terdapat i 1 sehingga tidak berlaku π i = φ. 4 Ini berarti π = Gφ terdapat i 1 sehingga berlaku π i = φ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 58 / 74

Beberapa Bukti Formal Ekuivalensi Terkait Operator Temporal Bukti ( Gφ F φ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. 1 π = Gφ π = Gφ 2 Kita memiliki π = Gφ untuk setiap i 1 berlaku π i = φ. 3 Ini berarti π = Gφ terdapat i 1 sehingga tidak berlaku π i = φ. 4 Ini berarti π = Gφ terdapat i 1 sehingga berlaku π i = φ. 5 Ini berarti π = Gφ terdapat i 1 sehingga π i = φ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 58 / 74

Beberapa Bukti Formal Ekuivalensi Terkait Operator Temporal Bukti ( Gφ F φ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. 1 π = Gφ π = Gφ 2 Kita memiliki π = Gφ untuk setiap i 1 berlaku π i = φ. 3 Ini berarti π = Gφ terdapat i 1 sehingga tidak berlaku π i = φ. 4 Ini berarti π = Gφ terdapat i 1 sehingga berlaku π i = φ. 5 Ini berarti π = Gφ terdapat i 1 sehingga π i = φ. 6 Ini berarti π = Gφ berlaku π = F φ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 58 / 74

Beberapa Bukti Formal Ekuivalensi Terkait Operator Temporal Bukti ( Gφ F φ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. 1 π = Gφ π = Gφ 2 Kita memiliki π = Gφ untuk setiap i 1 berlaku π i = φ. 3 Ini berarti π = Gφ terdapat i 1 sehingga tidak berlaku π i = φ. 4 Ini berarti π = Gφ terdapat i 1 sehingga berlaku π i = φ. 5 Ini berarti π = Gφ terdapat i 1 sehingga π i = φ. 6 Ini berarti π = Gφ berlaku π = F φ. 7 Ini berarti π = Gφ berlaku π = F φ Bukti formal untuk Fφ G φ dapat diperoleh dengan cara serupa. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 58 / 74

Bukti ( Xφ X φ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 1 sembarang lintasan pada M. 1 π = Xφ π = Xφ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 59 / 74

Bukti ( Xφ X φ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 1 sembarang lintasan pada M. 1 π = Xφ π = Xφ. 2 Kita memiliki π = Xφ berlaku π 2 = φ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 59 / 74

Bukti ( Xφ X φ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 1 sembarang lintasan pada M. 1 π = Xφ π = Xφ. 2 Kita memiliki π = Xφ berlaku π 2 = φ. 3 Ini berarti π = Xφ berlaku π 2 = φ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 59 / 74

Bukti ( Xφ X φ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 1 sembarang lintasan pada M. 1 π = Xφ π = Xφ. 2 Kita memiliki π = Xφ berlaku π 2 = φ. 3 Ini berarti π = Xφ berlaku π 2 = φ. 4 Ini berarti π = Xφ berlaku π 2 = φ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 59 / 74

Bukti ( Xφ X φ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 1 sembarang lintasan pada M. 1 π = Xφ π = Xφ. 2 Kita memiliki π = Xφ berlaku π 2 = φ. 3 Ini berarti π = Xφ berlaku π 2 = φ. 4 Ini berarti π = Xφ berlaku π 2 = φ. 5 Ini berarti π = Xφ berlaku π 2 = X φ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 59 / 74

Bukti ( Xφ X φ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 1 sembarang lintasan pada M. 1 π = Xφ π = Xφ. 2 Kita memiliki π = Xφ berlaku π 2 = φ. 3 Ini berarti π = Xφ berlaku π 2 = φ. 4 Ini berarti π = Xφ berlaku π 2 = φ. 5 Ini berarti π = Xφ berlaku π 2 = X φ. 6 Ini berarti π = Xφ berlaku π = X φ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 59 / 74

Bukti ( (φuψ) φr ψ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. 1 π = (φuψ) π = φuψ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 60 / 74

Bukti ( (φuψ) φr ψ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. 1 π = (φuψ) π = φuψ. 2 Kita [ memiliki π = ( φuψ berlaku π i i = ψ ) j ( (1 j i 1) ( π j = φ )) ]. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 60 / 74

Bukti ( (φuψ) φr ψ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. 1 π = (φuψ) π = φuψ. 2 Kita [ memiliki π = ( φuψ berlaku π i i = ψ ) ] j ( (1 j i 1) ( π j = φ )). [ ( πi = ψ ) 3 Ini berarti π = φuψ berlaku i j ( (1 j i 1) ( π j = φ )) ]. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 60 / 74

Bukti ( (φuψ) φr ψ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. 1 π = (φuψ) π = φuψ. 2 Kita [ memiliki π = ( φuψ berlaku π i i = ψ ) ] j ( (1 j i 1) ( π j = φ )). [ ( πi = ψ ) 3 Ini berarti π = φuψ berlaku i j ( (1 j i 1) ( π j = φ )) [ ( 4 π Ini berarti π = φuψ berlaku i i = ψ ) j ( (1 j i 1) ( π j = φ )) ]. ]. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 60 / 74

Bukti ( (φuψ) φr ψ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. 1 π = (φuψ) π = φuψ. 2 Kita [ memiliki π = ( φuψ berlaku π i i = ψ ) ] j ( (1 j i 1) ( π j = φ )). [ ( πi = ψ ) 3 Ini berarti π = φuψ berlaku i j ( (1 j i 1) ( π j = φ )) [ ( 4 π Ini berarti π = φuψ berlaku i i = ψ ) j ( (1 j i 1) ( π j = φ )) [ ( πi = ψ ) 5 Ini berarti π = φuψ berlaku i j ( (1 j i 1) ( π j = φ )) ]. ]. ]. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 60 / 74

1 Ini[ berarti π = φuψ ( berlaku π i i = ψ ) j ( (1 j i 1) ( π j = φ )) ]. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 61 / 74

1 Ini[ berarti π = φuψ ( berlaku π i i = ψ ) ] j ( (1 j i 1) ( π j = φ )). [ ( 2 π Formula logika predikat i i = ψ ) j ( (1 j i 1) ( π j = φ )) benar bila: ] bernilai MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 61 / 74

1 Ini[ berarti π = φuψ ( berlaku π i i = ψ ) ] j ( (1 j i 1) ( π j = φ )). [ ( 2 π Formula logika predikat i i = ψ ) ] j ( (1 j i 1) ( π j = φ )) bernilai benar bila: π i = ψ selalu salah, ini artinya π i = ψ untuk setiap i, sehingga diperoleh kondisi i ( π i = ψ ) MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 61 / 74

1 Ini[ berarti π = φuψ ( berlaku π i i = ψ ) ] j ( (1 j i 1) ( π j = φ )). [ ( 2 π Formula logika predikat i i = ψ ) ] j ( (1 j i 1) ( π j = φ )) bernilai benar bila: π i = ψ selalu salah, ini artinya π i = ψ untuk setiap i, sehingga diperoleh kondisi i ( π i = ψ ) π i = ψ dapat benar untuk suatu i, jika kondisi ini terjadi maka haruslah terdapat j i 1 sehingga π j = φ. Pada kondisi ini kita juga harus memiliki π j = ψ dan secara umum π k = ψ bila 1 k i 1 (argumen detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan). Akibatnya diperoleh j (( π j = φ ) k ((1 k j) π = ψ) ). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 61 / 74

1 Ini[ berarti π = φuψ ( berlaku π i i = ψ ) ] j ( (1 j i 1) ( π j = φ )). [ ( 2 π Formula logika predikat i i = ψ ) ] j ( (1 j i 1) ( π j = φ )) bernilai benar bila: π i = ψ selalu salah, ini artinya π i = ψ untuk setiap i, sehingga diperoleh kondisi i ( π i = ψ ) π i = ψ dapat benar untuk suatu i, jika kondisi ini terjadi maka haruslah terdapat j i 1 sehingga π j = φ. Pada kondisi ini kita juga harus memiliki π j = ψ dan secara umum π k = ψ bila 1 k i 1 (argumen detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan). Akibatnya diperoleh j (( π j = φ ) k ((1 k j) π = ψ) ). 3 Kondisi ( di atas( dapat ditulis ulang sebagai: π i i = φ ) ) i ( π j ((1 j i) π = ψ) i = ψ ), yang setara dengan π = φr ψ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 61 / 74

1 Ini[ berarti π = φuψ ( berlaku π i i = ψ ) ] j ( (1 j i 1) ( π j = φ )). [ ( 2 π Formula logika predikat i i = ψ ) ] j ( (1 j i 1) ( π j = φ )) bernilai benar bila: π i = ψ selalu salah, ini artinya π i = ψ untuk setiap i, sehingga diperoleh kondisi i ( π i = ψ ) π i = ψ dapat benar untuk suatu i, jika kondisi ini terjadi maka haruslah terdapat j i 1 sehingga π j = φ. Pada kondisi ini kita juga harus memiliki π j = ψ dan secara umum π k = ψ bila 1 k i 1 (argumen detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan). Akibatnya diperoleh j (( π j = φ ) k ((1 k j) π = ψ) ). 3 Kondisi ( di atas( dapat ditulis ulang sebagai: π i i = φ ) ) i ( π j ((1 j i) π = ψ) i = ψ ), yang setara dengan π = φr ψ. 4 Jadi i π = φuψ π = φr ψ atau π = (φuψ) setara dengan dengan π = φr ψ. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 61 / 74

Bukti (F (φ ψ) Fφ Fψ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. π = F (φ ψ) MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 62 / 74

Bukti (F (φ ψ) Fφ Fψ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. π = F (φ ψ) i (( π i = φ ) ( π i = ψ )) (definisi operator F) MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 62 / 74

Bukti (F (φ ψ) Fφ Fψ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. π = F (φ ψ) i (( π i = φ ) ( π i = ψ )) (definisi operator F) i ( π i = φ ) i ( π i = ψ ) (ekuivalensi x (φ ψ) xφ xψ) MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 62 / 74

Bukti (F (φ ψ) Fφ Fψ) Misalkan M adalah sembarang model dan π = σ 1 σ 2 sembarang lintasan pada M. π = F (φ ψ) i (( π i = φ ) ( π i = ψ )) (definisi operator F) i ( π i = φ ) i ( π i = ψ ) (ekuivalensi x (φ ψ) xφ xψ) π = Fφ Fψ. (definisi operator F) Bukti formal untuk G (φ ψ) dapat diperoleh dengan cara serupa. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 62 / 74

Adequate Set of Connectives pada LTL Pada logika proposisi, kita telah melihat bahwa himpunan {, }, {, }, {, }, { }, dan { } adalah adequate set of connectives. Ini berarti semua operator logika lain pada logika proposisi dapat dinyatakan hanya dengan operator-operator yang terdapat pada adequate set of connectives tersebut. Dengan meninjau ekuivalensi semantik pada LTL, kita memiliki sifat-sifat berikut: MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 63 / 74

Adequate Set of Connectives pada LTL Pada logika proposisi, kita telah melihat bahwa himpunan {, }, {, }, {, }, { }, dan { } adalah adequate set of connectives. Ini berarti semua operator logika lain pada logika proposisi dapat dinyatakan hanya dengan operator-operator yang terdapat pada adequate set of connectives tersebut. Dengan meninjau ekuivalensi semantik pada LTL, kita memiliki sifat-sifat berikut: 1 Operator temporal X tidak dapat dinyatakan dengan operator-operator temporal lain. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 63 / 74

Adequate Set of Connectives pada LTL Pada logika proposisi, kita telah melihat bahwa himpunan {, }, {, }, {, }, { }, dan { } adalah adequate set of connectives. Ini berarti semua operator logika lain pada logika proposisi dapat dinyatakan hanya dengan operator-operator yang terdapat pada adequate set of connectives tersebut. Dengan meninjau ekuivalensi semantik pada LTL, kita memiliki sifat-sifat berikut: 1 Operator temporal X tidak dapat dinyatakan dengan operator-operator temporal lain. 2 Operator F dapat dinyatakan dengan operator U, kita memiliki Fφ MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 63 / 74

Adequate Set of Connectives pada LTL Pada logika proposisi, kita telah melihat bahwa himpunan {, }, {, }, {, }, { }, dan { } adalah adequate set of connectives. Ini berarti semua operator logika lain pada logika proposisi dapat dinyatakan hanya dengan operator-operator yang terdapat pada adequate set of connectives tersebut. Dengan meninjau ekuivalensi semantik pada LTL, kita memiliki sifat-sifat berikut: 1 Operator temporal X tidak dapat dinyatakan dengan operator-operator temporal lain. 2 Operator F dapat dinyatakan dengan operator U, kita memiliki Fφ Uφ. Karena operator G adalah dual dari operator F, maka operator G juga dapat dinyatakan dengan operator U. Kita memiliki Gφ MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 63 / 74

Adequate Set of Connectives pada LTL Pada logika proposisi, kita telah melihat bahwa himpunan {, }, {, }, {, }, { }, dan { } adalah adequate set of connectives. Ini berarti semua operator logika lain pada logika proposisi dapat dinyatakan hanya dengan operator-operator yang terdapat pada adequate set of connectives tersebut. Dengan meninjau ekuivalensi semantik pada LTL, kita memiliki sifat-sifat berikut: 1 Operator temporal X tidak dapat dinyatakan dengan operator-operator temporal lain. 2 Operator F dapat dinyatakan dengan operator U, kita memiliki Fφ Uφ. Karena operator G adalah dual dari operator F, maka operator G juga dapat dinyatakan dengan operator U. Kita memiliki Gφ F φ ( U φ). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 63 / 74

Adequate Set of Connectives pada LTL Pada logika proposisi, kita telah melihat bahwa himpunan {, }, {, }, {, }, { }, dan { } adalah adequate set of connectives. Ini berarti semua operator logika lain pada logika proposisi dapat dinyatakan hanya dengan operator-operator yang terdapat pada adequate set of connectives tersebut. Dengan meninjau ekuivalensi semantik pada LTL, kita memiliki sifat-sifat berikut: 1 Operator temporal X tidak dapat dinyatakan dengan operator-operator temporal lain. 2 Operator F dapat dinyatakan dengan operator U, kita memiliki Fφ Uφ. Karena operator G adalah dual dari operator F, maka operator G juga dapat dinyatakan dengan operator U. Kita memiliki Gφ F φ ( U φ). 3 Berdasarkan definisi operator W dapat dinyatakan dengan operator U dan G, akibatnya operator W dapat dinyatakan hanya dengan operator U saja (penjelasan detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 63 / 74

Adequate Set of Connectives pada LTL Pada logika proposisi, kita telah melihat bahwa himpunan {, }, {, }, {, }, { }, dan { } adalah adequate set of connectives. Ini berarti semua operator logika lain pada logika proposisi dapat dinyatakan hanya dengan operator-operator yang terdapat pada adequate set of connectives tersebut. Dengan meninjau ekuivalensi semantik pada LTL, kita memiliki sifat-sifat berikut: 1 Operator temporal X tidak dapat dinyatakan dengan operator-operator temporal lain. 2 Operator F dapat dinyatakan dengan operator U, kita memiliki Fφ Uφ. Karena operator G adalah dual dari operator F, maka operator G juga dapat dinyatakan dengan operator U. Kita memiliki Gφ F φ ( U φ). 3 Berdasarkan definisi operator W dapat dinyatakan dengan operator U dan G, akibatnya operator W dapat dinyatakan hanya dengan operator U saja (penjelasan detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan). 4 Karena kita memiliki teorema yang menyatakan bahwa R adalah dual dari U, maka operator R dapat dinyatakan hanya dengan operator U saja. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 63 / 74

Dengan demikian himpunan {X, U} adalah himpunan operator yang dapat merepresentasikan seluruh operator-operator temporal pada LTL. Dengan fakta yang terdapat pada logika proposisi, maka himpunan-himpunan berikut adalah adequate set of connectives untuk LTL. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 64 / 74

Dengan demikian himpunan {X, U} adalah himpunan operator yang dapat merepresentasikan seluruh operator-operator temporal pada LTL. Dengan fakta yang terdapat pada logika proposisi, maka himpunan-himpunan berikut adalah adequate set of connectives untuk LTL. {X, U,, }, MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 64 / 74

Dengan demikian himpunan {X, U} adalah himpunan operator yang dapat merepresentasikan seluruh operator-operator temporal pada LTL. Dengan fakta yang terdapat pada logika proposisi, maka himpunan-himpunan berikut adalah adequate set of connectives untuk LTL. {X, U,, }, {X, U,, }, MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 64 / 74

Dengan demikian himpunan {X, U} adalah himpunan operator yang dapat merepresentasikan seluruh operator-operator temporal pada LTL. Dengan fakta yang terdapat pada logika proposisi, maka himpunan-himpunan berikut adalah adequate set of connectives untuk LTL. {X, U,, }, {X, U,, }, {X, U, }, MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 64 / 74

Dengan demikian himpunan {X, U} adalah himpunan operator yang dapat merepresentasikan seluruh operator-operator temporal pada LTL. Dengan fakta yang terdapat pada logika proposisi, maka himpunan-himpunan berikut adalah adequate set of connectives untuk LTL. {X, U,, }, {X, U,, }, {X, U, }, {X, U, }. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 64 / 74

Lampu Lalu Lintas Sederhana Asumsi yang digunakan: Model lampu lalu lintas hanya meninjau sebuah lampu lalu lintas saja (tidak berinteraksi dengan lampu lalu lintas lain). Warna yang mungkin terjadi adalah kombinasi dari merah, kuning, dan hijau. Kita akan merepresentasikan warna-warna lampu ini pada himpunan proposisi P = {red, yellow, green}. Permasalahan Konstruksi sebuah model LTL dengan empat state dan himpunan proposisi atom P = {red, yellow, green} yang memenuhi spesifkasi-spesifikasi berikut: Keamanan (safety): MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 66 / 74

Lampu Lalu Lintas Sederhana Asumsi yang digunakan: Model lampu lalu lintas hanya meninjau sebuah lampu lalu lintas saja (tidak berinteraksi dengan lampu lalu lintas lain). Warna yang mungkin terjadi adalah kombinasi dari merah, kuning, dan hijau. Kita akan merepresentasikan warna-warna lampu ini pada himpunan proposisi P = {red, yellow, green}. Permasalahan Konstruksi sebuah model LTL dengan empat state dan himpunan proposisi atom P = {red, yellow, green} yang memenuhi spesifkasi-spesifikasi berikut: Keamanan (safety): 1 lampu merah, kuning, dan hijau tidak pernah menyala secara bersama-sama, 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi hijau, 3 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna hijau, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi merah MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 66 / 74

Ketercapaian (liveness/ progress): MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 67 / 74

Ketercapaian (liveness/ progress): 1 suatu saat lampu hijau adalah satu-satunya lampu yang menyala, 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka suatu saat lampu akan berwarna hijau. Keadilan (fairness): MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 67 / 74

Ketercapaian (liveness/ progress): 1 suatu saat lampu hijau adalah satu-satunya lampu yang menyala, 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka suatu saat lampu akan berwarna hijau. Keadilan (fairness): 1 lampu hijau akan menyala secara berkala (infinitely often), 2 jika lampu merah menyala secara berkala (infinitely often), maka lampu hijau juga menyala secara berkala (infinitely often). Verifikasi dilakukan pada state s 0, di mana pada s 0 hanya lampu merah saja yang menyala. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 67 / 74

Translasi Spesifikasi ke Formula LTL Keamanan (safety): 1 lampu merah, kuning, dan hijau tidak pernah menyala secara bersama-sama: MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 68 / 74

Translasi Spesifikasi ke Formula LTL Keamanan (safety): 1 lampu merah, kuning, dan hijau tidak pernah menyala secara bersama-sama: φ 1 := G (red yellow green), 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi hijau: MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 68 / 74

Translasi Spesifikasi ke Formula LTL Keamanan (safety): 1 lampu merah, kuning, dan hijau tidak pernah menyala secara bersama-sama: φ 1 := G (red yellow green), 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi hijau: φ 2 := G (red Xgreen), 3 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna hijau, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi merah: MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 68 / 74

Translasi Spesifikasi ke Formula LTL Keamanan (safety): 1 lampu merah, kuning, dan hijau tidak pernah menyala secara bersama-sama: φ 1 := G (red yellow green), 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi hijau: φ 2 := G (red Xgreen), 3 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna hijau, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi merah: φ 3 := G (green Xred). Ketercapaian (liveness/ progress): 1 suatu saat lampu hijau adalah satu-satunya lampu yang menyala: MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 68 / 74

Translasi Spesifikasi ke Formula LTL Keamanan (safety): 1 lampu merah, kuning, dan hijau tidak pernah menyala secara bersama-sama: φ 1 := G (red yellow green), 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi hijau: φ 2 := G (red Xgreen), 3 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna hijau, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi merah: φ 3 := G (green Xred). Ketercapaian (liveness/ progress): 1 suatu saat lampu hijau adalah satu-satunya lampu yang menyala: φ 4 := F (green yellow red), 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka suatu saat lampu akan berwarna hijau: MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 68 / 74

Translasi Spesifikasi ke Formula LTL Keamanan (safety): 1 lampu merah, kuning, dan hijau tidak pernah menyala secara bersama-sama: φ 1 := G (red yellow green), 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi hijau: φ 2 := G (red Xgreen), 3 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna hijau, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi merah: φ 3 := G (green Xred). Ketercapaian (liveness/ progress): 1 suatu saat lampu hijau adalah satu-satunya lampu yang menyala: φ 4 := F (green yellow red), 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka suatu saat lampu akan berwarna hijau: φ 5 := G (red Fgreen). Keadilan (fairness): 1 lampu hijau akan menyala secara berkala (infinitely often): MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 68 / 74

Translasi Spesifikasi ke Formula LTL Keamanan (safety): 1 lampu merah, kuning, dan hijau tidak pernah menyala secara bersama-sama: φ 1 := G (red yellow green), 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi hijau: φ 2 := G (red Xgreen), 3 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna hijau, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi merah: φ 3 := G (green Xred). Ketercapaian (liveness/ progress): 1 suatu saat lampu hijau adalah satu-satunya lampu yang menyala: φ 4 := F (green yellow red), 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka suatu saat lampu akan berwarna hijau: φ 5 := G (red Fgreen). Keadilan (fairness): 1 lampu hijau akan menyala secara berkala (infinitely often): φ 6 := GFgreen, 2 jika lampu merah menyala secara berkala (infinitely often), maka lampu hijau juga menyala secara berkala (infinitely often): MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 68 / 74

Translasi Spesifikasi ke Formula LTL Keamanan (safety): 1 lampu merah, kuning, dan hijau tidak pernah menyala secara bersama-sama: φ 1 := G (red yellow green), 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi hijau: φ 2 := G (red Xgreen), 3 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna hijau, maka lampu tidak boleh tiba-tiba menjadi merah: φ 3 := G (green Xred). Ketercapaian (liveness/ progress): 1 suatu saat lampu hijau adalah satu-satunya lampu yang menyala: φ 4 := F (green yellow red), 2 pada saat lampu lalu lintas bekerja, ketika lampu berwarna merah, maka suatu saat lampu akan berwarna hijau: φ 5 := G (red Fgreen). Keadilan (fairness): 1 lampu hijau akan menyala secara berkala (infinitely often): φ 6 := GFgreen, 2 jika lampu merah menyala secara berkala (infinitely often), maka lampu hijau juga menyala secara berkala (infinitely often): φ 7 := GFred GFgreen. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 68 / 74

Konstruksi Model LTL Kita dapat mengkonstruksi model M = (S,, L) yang ditinjau atas proposisi atom P = {red, yellow, green} dengan 1 S = {s 0, s 1, s 2, s 3 } 2 L adalah fungsi pelabelan L : S 2 P dengan s i s 0 s 1 s 2 s 3 L (s i ) {red} {red, yellow} {green} {yello}. 3 adalah relasi transisi dengan definisi s 0 s 1, s 1 s 2, s 2 s 3. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 69 / 74

MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 70 / 74

Teorema Model LTL untuk sebuah lampu lalu-lintas sederhana memenuhi spesifikasi yang diberikan bila ditinjau pada s 0, dengan perkataan lain: M, s 0 = φ i untuk i = 1,... 7. Bukti Argumen detail diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 71 / 74

Keterkaitan LTL dengan Logika Predikat Pada penjelasan semantik untuk LTL, kita telah melihat bahwa semantik LTL yang ditinjau pada suatu lintasan (path) dapat diekspresikan dalam logika predikat. Misalnya π = Fφ i ( π i = φ ) dengan domain untuk i adalah N. Kita juga dapat mengekspresikan setiap formula LTL dalam formula logika LTL yang lain. Untuk setiap proposisi atom p P pada LTL, kita dapat mendefinisikan predikat P p (t) sebagai: P p (t) : proposisi p benar di t dengan domain untuk t adalah waktu (t N atau t N 0 ). Sebagai contoh, misalkan π = t 1 t 2 t 3 dan untuk mempermudah kita definisikan t 2 = t 1 + 1, t 3 = t 2 + 1 = t 1 + 2, dan secara umum t n = t 1 + (n 1). Kita memiliki π = p berarti MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 73 / 74

Keterkaitan LTL dengan Logika Predikat Pada penjelasan semantik untuk LTL, kita telah melihat bahwa semantik LTL yang ditinjau pada suatu lintasan (path) dapat diekspresikan dalam logika predikat. Misalnya π = Fφ i ( π i = φ ) dengan domain untuk i adalah N. Kita juga dapat mengekspresikan setiap formula LTL dalam formula logika LTL yang lain. Untuk setiap proposisi atom p P pada LTL, kita dapat mendefinisikan predikat P p (t) sebagai: P p (t) : proposisi p benar di t dengan domain untuk t adalah waktu (t N atau t N 0 ). Sebagai contoh, misalkan π = t 1 t 2 t 3 dan untuk mempermudah kita definisikan t 2 = t 1 + 1, t 3 = t 2 + 1 = t 1 + 2, dan secara umum t n = t 1 + (n 1). Kita memiliki π = p berarti P p (t 1 ) T π = X p berarti MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 73 / 74

Keterkaitan LTL dengan Logika Predikat Pada penjelasan semantik untuk LTL, kita telah melihat bahwa semantik LTL yang ditinjau pada suatu lintasan (path) dapat diekspresikan dalam logika predikat. Misalnya π = Fφ i ( π i = φ ) dengan domain untuk i adalah N. Kita juga dapat mengekspresikan setiap formula LTL dalam formula logika LTL yang lain. Untuk setiap proposisi atom p P pada LTL, kita dapat mendefinisikan predikat P p (t) sebagai: P p (t) : proposisi p benar di t dengan domain untuk t adalah waktu (t N atau t N 0 ). Sebagai contoh, misalkan π = t 1 t 2 t 3 dan untuk mempermudah kita definisikan t 2 = t 1 + 1, t 3 = t 2 + 1 = t 1 + 2, dan secara umum t n = t 1 + (n 1). Kita memiliki π = p berarti P p (t 1 ) T π = X p berarti P p (t 2 ) T atau P p (t 1 + 1) T π = Fp berarti MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 73 / 74

Keterkaitan LTL dengan Logika Predikat Pada penjelasan semantik untuk LTL, kita telah melihat bahwa semantik LTL yang ditinjau pada suatu lintasan (path) dapat diekspresikan dalam logika predikat. Misalnya π = Fφ i ( π i = φ ) dengan domain untuk i adalah N. Kita juga dapat mengekspresikan setiap formula LTL dalam formula logika LTL yang lain. Untuk setiap proposisi atom p P pada LTL, kita dapat mendefinisikan predikat P p (t) sebagai: P p (t) : proposisi p benar di t dengan domain untuk t adalah waktu (t N atau t N 0 ). Sebagai contoh, misalkan π = t 1 t 2 t 3 dan untuk mempermudah kita definisikan t 2 = t 1 + 1, t 3 = t 2 + 1 = t 1 + 2, dan secara umum t n = t 1 + (n 1). Kita memiliki π = p berarti P p (t 1 ) T π = X p berarti P p (t 2 ) T atau P p (t 1 + 1) T π = Fp berarti t ((t t 1 ) P p (t)) T π = Gp berarti MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 73 / 74

Keterkaitan LTL dengan Logika Predikat Pada penjelasan semantik untuk LTL, kita telah melihat bahwa semantik LTL yang ditinjau pada suatu lintasan (path) dapat diekspresikan dalam logika predikat. Misalnya π = Fφ i ( π i = φ ) dengan domain untuk i adalah N. Kita juga dapat mengekspresikan setiap formula LTL dalam formula logika LTL yang lain. Untuk setiap proposisi atom p P pada LTL, kita dapat mendefinisikan predikat P p (t) sebagai: P p (t) : proposisi p benar di t dengan domain untuk t adalah waktu (t N atau t N 0 ). Sebagai contoh, misalkan π = t 1 t 2 t 3 dan untuk mempermudah kita definisikan t 2 = t 1 + 1, t 3 = t 2 + 1 = t 1 + 2, dan secara umum t n = t 1 + (n 1). Kita memiliki π = p berarti P p (t 1 ) T π = X p berarti P p (t 2 ) T atau P p (t 1 + 1) T π = Fp berarti t ((t t 1 ) P p (t)) T π = Gp berarti t ((t t 1 ) P p (t)) T π = puq berarti MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 73 / 74

Keterkaitan LTL dengan Logika Predikat Pada penjelasan semantik untuk LTL, kita telah melihat bahwa semantik LTL yang ditinjau pada suatu lintasan (path) dapat diekspresikan dalam logika predikat. Misalnya π = Fφ i ( π i = φ ) dengan domain untuk i adalah N. Kita juga dapat mengekspresikan setiap formula LTL dalam formula logika LTL yang lain. Untuk setiap proposisi atom p P pada LTL, kita dapat mendefinisikan predikat P p (t) sebagai: P p (t) : proposisi p benar di t dengan domain untuk t adalah waktu (t N atau t N 0 ). Sebagai contoh, misalkan π = t 1 t 2 t 3 dan untuk mempermudah kita definisikan t 2 = t 1 + 1, t 3 = t 2 + 1 = t 1 + 2, dan secara umum t n = t 1 + (n 1). Kita memiliki π = p berarti P p (t 1 ) T π = X p berarti P p (t 2 ) T atau P p (t 1 + 1) T π = Fp berarti t ((t t 1 ) P p (t)) T π = Gp berarti t ((t t 1 ) P p (t)) T ( ) (t t1 ) π = puq berarti t t (t P q (t) 1 t t 1) P q (t ). MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 73 / 74

LTL Sebagai Fragmen LP yang Terputuskan (Decidable) LTL dapat dipandang sebagai sebuah fragmen dari logika predikat orde pertama yang spesifik dan bersifat terputuskan (decidable). Masalah Keterpenuhan LTL (LTL Satisfiability Problem) Diberikan suatu formula LTL φ yang ditinjau pada model M atas proposisi P. Apakah φ bersifat terpenuhi (satisfiable)? Masalah keterpenuhan pada LTL adalah masalah komputasi yang terputuskan (decidable). Telah dibuktikan (lihat buku teks) bahwa masalah keterpenuhan dari LTL adalah masalah dalam kelas PSPACE-complete. MZI (FIF Tel-U) LTL November 2015 74 / 74