BAB 3 LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING 3.1 DESKRIPSI UMUM LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Lexicographic goal programming adalah salah satu jenis dari goal programming. Model ini adalah model paling umum digunakan dalam goal programming. Pada umumnya, formula awal dari goal programming digunakan jenis lexicographic goal programming (Lee, 1972). Lexicographic goal programming kadang-kadang disebut pre-emptive (pengutamaan) goal programming dalam beberapa literatur. Apabila terdapat tujuan yang berlainan dan tujuan-tujuan tersebut saling bertentangan maka dapat dimungkinkan untuk menentukan tujuan yang diutamakan atau diprioritaskan. Misalnya tujuan yang paling penting ditentukan sebagai prioritas pertama, tujuan yang kurang begitu penting ditentukan sebagai prioritas kedua, demikian seterusnya. Pembagian prioritas inilah yang dikatakan sebagai pengutamaan (preemptive), yaitu mendahulukan tercapainya kepuasan pada sesuatu tujuan yang telah diberikan prioritas utama sebelum menuju kepada tujuan-tujuan atau prioritas-prioritas berikutnya. Jadi harus disusun dalam suatu urutan (ranking) menurut prioritasnya. Kelengkapan yang membedakan lexicographic goal programming dengan jenis goal programming lainnya adalah keberadaan dari suatu tingkat prioritas. Setiap tingkat prioritas mengandung sejumlah variabel deviasional yang tidak diinginkan 21
untuk diminimumkan. Model ini juga sering disebut Non-Archimedean Goal Programming. Untuk mengetahui model umum lexicographic goal programming, misalkan terdapat tujuan, masing-masing maka dapat dituliskan sebagai berikut : Tujuan dari goal programming adalah untuk mendekati target-target yang telah direncanakan sedekat mungkin dan jika terjadi penyimpangan, maka penyimpangan itu harus seminimal mungkin. Karena tidak mungkin dapat mencapai seluruh target, maka perlu didefinisikan sebuah fungsi objektif menyeluruh untuk goal programming yang berkaitan dengan tujuan mencapai beberapa target. Asumsikan bahwa penyimpangannya bisa bernilai positif dan negatif, maka fungsi objektif menyeluruhnya : 22
Meminimumkan : (3.1) Dengan demikian, fungsi objektif goal programming diekspresikan sebagai fungsi pencapaian terbatas kepada penyimpangan target. Definisikan : Maka persamaan (3.1) dapat ditulis sebagai : Meminimumkan : (3.2) Karena bisa bernilai positif ataupun negatif, maka variabel bisa diganti dengan 2 variabel non negatif dan, dengan, dimana. dan disebut variabel deviasional dimana merepresentasikan tingkat pencapaian di bawah target (underachievement of goal) dan merepresentasikan tingkat pencapaian di atas target (overachievement of goal). Adapun hubungan dan adalah : 23
Persamaan di atas mengartikan bahwa salah satu variabel deviasional pasti bernilai nol jika variabel deviasional lain mempunyai nilai lebih besar dari 0, atau kedua nilai dan adalah 0. Dengan demikian formulasi umum dari goal programming dapat ditulis secara lengkap sebagai : Meminimumkan : Berdasar : Jika dan direpresentasikan sebagai fungsi yang bergantung pada variabel deviasional dan atau bisa ditulis sebagai, maka formulasi goal programming menjadi : Meminimumkan : Berdasar : 24
Jika terdapat tujuan yang berlainan dan tujuan tersebut bertentangan, maka dapat dimungkinkan untuk menentukan terlebih dahulu tujuan yang diutamakan atau diprioritaskan. Andaikan sebagai suatu faktor prioritas dengan, masing-masing dengan hubungan tiap prioritas : Dimana simbol ini berarti jauh lebih penting daripada. Hubungan prioritas diatas dapat diartikan bahwa walaupun faktor prioritas di atas dikalikan sebanyak kali ( dimana ), namun faktor yang diprioritaskan teratas akan tetap menjadi teratas. Dengan kata lain bahwa prioritas di bawahnya tidak akan menjadi lebih tinggi daripada prioritas di atasnya, walaupun sudah dikalikan sebanyak kali. Jadi hubungan tidak akan mungkin terjadi. Dengan demikian fungsi objektif goal programming dengan adanya prioritas dapat dirumuskan dalam model berikut : Meminimumkan : Berdasar : 25
di mana : = variabel keputusan Q = banyaknya tujuan yang dipertimbangkan = fungsi tujuan ke-q dengan variabel keputusan = = variabel deviasional dengan jenis underachievement of goal ke-q = variabel deviasional dengan jenis overachievement of goal ke-q = nilai sisi kanan suatu persamaan kendala tujuan (goal constraint) ke- q Formulasi di atas disebut model umum dari salah satu jenis goal programming yaitu lexicographic goal programming. 3.2 METODE PENYELESAIAN MODEL LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Model lexicographic goal programming termasuk dalam model linear programming. Teknik teknik penyelesaian masalah linear programming dapat diterapkan untuk menyelesaikan model lexicographic goal programming. 26
Perbedaan antara model linear programming dan model lexicographic goal programming hanya terletak pada kehadiran sepasang variabel deviasional yang berguna untuk menampung deviasi dari tujuan-tujuan yang diinginkan dan adanya prioritas serta tujuannya yaitu meminimumkan variabel deviasionalnya. 3.3 CONTOH-CONTOH KASUS LEXICOGRAHPIC GOAL PROGRAMMING 1. PT ABX adalah sebuah perusahaan yang bergerak dibidang pembuatan mangkuk dan mug. Untuk pembuatan sebuah mangkuk dibutuhkan waktu 1 jam dan untuk membuat sebuah gelas mug dibutuhkan waktu 2 jam dengan waktu yang tersedia sebanyak 40 jam. Untuk pembuatan setiap mangkuk membutuhkan tanah liat sebanyak 4 pound tanah liat dan setiap mug membutuhkan 3 pound tanah liat dengan ketersediaan tanah liat sebanyak 120 pound. Perusahaan memperoleh keuntungan dari pembuatan mangkuk dan mug sebesar $40 untuk tiap mangkuk dan $50 untuk tiap mug. Bila permasalahan ekonomi di atas dimodelkan ke dalam model matematika, maka : Maksimumkan : Berdasar : 27
dimana : = jumlah produksi mangkuk = jumlah produsi gelas mug Persoalan di atas memiliki satu tujuan saja yaitu memaksimumkan keuntungan yang ada, maka dari itu model di atas termasuk ke dalam linear programming. Misalkan bahwa perusahaan mempunyai tujuan yang banyak, dengan urutan prioritas yaitu: 1. Perusahaan tidak menginginkan jumlah jam kerja pada kendala pertama tidak melebihi 40 jam 2. Perusahaan menginginkan keuntungan yang diperoleh dari hasil penjualan mangkuk dan mug adalah $1600 per harinya 3. Perusahaan menginginkan pemakaian tanah liat untuk pembuatan tiap mangkuk dan mug tidak melebihi 120 pound per harinya Dimana untuk setiap prioritas berlaku prioritas 1 prioritas 2 prioritas 3, jadi prioritas pertama harus dipenuhi terlebih dahulu setelah itu dilanjutkan untuk memenuhi prioritas berikutnya. Karena kasus yang ada sudah berubah, yaitu perusahaan memiliki banyak tujuan yang harus dipenuhi, maka permasalahan di atas jika dimodelkan ke dalam permasalahan matematika kembali menjadi : Meminimukan : Berdasar : 28
Dari kasus di atas terlihat bahwa kasus yang ada memiliki banyak tujuan, sehingga kasus di atas termasuk ke dalam goal programming. Perusahaan memiliki prioritas-prioritas dalam pemenuhan setiap tujuan-tujuan yang ada di mana untuk tingkat prioritas yang ditempatkan lebih tinggi dianggap lebih penting daripada tingkat prioritas yang rendah. Sehingga pengerjaan prioritas 1 didahulukan nantinya dan dilanjutkan dengan prioritas lainnya. Model di atas termasuk ke dalam goal programming dengan jenis lexicographic goal programming. Ciri dari lexicographic goal programming adalah adanya prioritas dalam setiap kasusnya. 2. PT XYZ bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun batang. Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. jumlah zat kimia yang tersedia adalah A= 200 kg dan B = 360 kg. untuk membuat 1 kg sabun bubuk diperlukan 2 kg A dan 6 kg B. untuk membuat 1 kg sabun batang diperlukan 5 kg A dan 3 kg B. keuntungan yang akan diperoleh setiap membuat 1 kg sabun bubuk adalah $3 sedangkan setiap 1 kg sabun batang adalah $2. Berdasarkan pengalaman, perusahaan menginginkan laba yang diterima sebesar $100 dan pemakaian zat kimia yang tersedia digunakan seminimal mungkin. 29
3.4 CONTOH PENYELESAIAN KASUS LEXICOGRAPHIC GOAL PROGRAMMING Misalkan batas mingguan produksi dua buah barang sudah ditentukan. Misalkan kriteria pertama berhubungan dengan jumlah jam pekerja per minggu yang digunakan untuk memproduksi dua buah barang, yaitu barang A dan barang B. Asumsikan bahwa variabel keputusannya adalah : : Jumlah produk tipe A yang diproduksi setiap minggu : Jumlah produk tipe B yang diproduksi setiap minggu Dan untuk setiap produk tipe A membutuhkan waktu 4 jam dan untuk setiap produk tipe B membutuhkan waktu 3 jam. Fungsi untuk jumlah jam tenaga kerja yang digunakan adalah : Sekarang untuk melengkapi formulasi goal constraint ( kendala tujuan ) maka ditambahkan dua buah variabel deviasional dan nilai pencapainnya. Misalkan bahwa pembuat keputusan menginginkan memberi penalti variabel deviasional di atas 120 jam kerja (artinya bahwa pembuat keputusan menginginkan total jumlah kerja dibawah 120 jam), berarti variabel yang dikenai penalti adalah variabel deviasional. Sehingga formulasi goal constraint yang pertama menjadi : 30
Sekarang misalkan kriteria yang lain berhubungan dengan batas keuntungan yang diinginkan dan rencana strategi produksi. Keuntungan masing-masing barang A dan barang B adalah $100 dan $150. Perusahaan menginginkan keuntungan minimal $7000 per minggunya. Sehingga formulasi goal constraint yang kedua menjadi : Selain itu perusahaan menginginkan beberapa strategi untuk produksi mingguannya. Perusahaan ingin mempertahankan produksi paling sedikit 40 unit dalam tiap produknya. Sehingga formulasi goal constraint menjadi : Perusahaan juga mempunyai dua buah hard constraint. Hard constraint yang pertama adalah berhubungan dengan penggunaan bahan material yang digunakan untuk memproduksi suatu produk. Perusahaan harus membeli minimal 50 untuk menghasilkan produksi setiap minggunya. Setiap barang A membutuhkan 2 untuk menghasilkan produksi dan barang B membutuhkan 1 untuk menghasilkan produksi. Hard constraint yang kedua adalah berhubungan dengan waktu produksi, dimana kedua produk tersebut memiliki waktu maksimum sebesar 75 per minggu dalam produksinya. Sehingga jika digambarkan dalam sebuah formulasi hard constraint, maka : 31
Kumpulkan kembali goal constraint dan hard constraint dan tambahkan pembatas untuk menghindari produksi yang negatif. Sehingga kendala-kendala yang ada menjadi : 32
Grafik 3.1 menyatakan daerah fisibel (feasible region) awal, maka : Grafik 3.1 Daerah fisibel (feasible region) awal Sekarang misalkan bahwa perusahaan memiliki sebuah clear order ( dimana pesanan yang ada tidak ada yang bertambah atau pun berkurang ) dan perusahaan menginginkan beberapa prioritas tujuan untuk dipenuhi : 1. Prioritas pertama = terpenuhinya keuntungan 2. Prioritas kedua = terpenuhinya strategi produksi 3. Prioritas ketiga = terpenuhinya jam kerja Dalam lexicographic goal programming permasalahan di atas dapat dinyatakan dalam sebuah formulasi sebagai berikut : 33
Meminimumkan : Berdasar : Perhatikan bahwa pada formulasi lexicographic goal programming dapat dilihat bahwa prioritas pertama untuk kasus perusahaan ini adalah meminimasi, prioritas kedua adalah meminimasi, dan prioritas yang terakhir adalah meminimasi. Sesuai dengan ketentuan dari lexicographic goal programming bahwa prioritas tertinggi harus dikerjakan terlebih dahulu maka dari itu terlebih dahulu meminimasi, selanjutnya meminimasi, dan yang terakhir adalah meminimasi. Berikut adalah tahap-tahap untuk menyelesaikan model di atas, yaitu : 34
1. Langkah 1 : meminimumkan Perhatikan bahwa, Meminimumkan : Berdasar : Nilai optimum untuk permasalahan ini adalah. karena nilai dari maka dari itu nilai minimal dari. Selanjutnya dimasukkan menjadi kendala pada perhitungan selanjutnya, yaitu pada minimasi prioritas kedua. Daerah layak (feasible region) untuk prioritas selanjutnya dapat dilihat pada grafik 3.2. 35
Grafik 3.2 Daerah fisibel (feasible region) untuk prioritas ke-2 Pada grafik 3.2 daerah fisibel mengecil dikarenakan penyesuaian dengan kendala tujuan pada prioritas pertama, yaitu memberikan penalti terhadap sehingga daerah dibawah fungsi harus dieliminasi. Grafik ini akan digunakan pada perhitungan selanjutnya. 2. Langkah 2 : meminimumkan Perhatikan bahwa, Meminimumkan : Berdasar : 36
Perhatikan grafik 3.3, jika dilihat pada grafik 3.3 bahwa seharusnya daerah di bawah garis dan harus dieliminasi, akan tetapi tidak bisa karena harus mempertimbangkan prioritas yang lebih tinggi sebelumnya, sementara daerah fisibel (feasible region) seperti yang terlihat pada grafik 3.2. Daerah fisibel (feasible region) untuk selanjutnya yaitu : 37
Grafik 3.3 Daerah fisibel untuk prioritas ke-3 dan titik optimumnya 3. Langkah 3 : meminimumkan Perhatikan bahwa, Meminimumkan : Berdasar : 38
Dalam prioritas terakhir ini, jika dilihat dalam grafik 3.3 bahwa seharusnya daerah di atas garis akan tetapi daerah layak berada di garis seharusnya dieliminasi, seperti yang terlihat pada grafik 3.3, maka dari itu diambil solusi yang sedekat mungkin dengan prioritas 3 sehingga prioritas 1 dan prioritas 2 pun terpenuhi. Solusi optimumnya yaitu berada di titik A seperti terlihat pada grafik 3.3 dengan dan. Jika dibuat tabel, maka solusisolusinya sebagai berikut : Tabel 3.1 Solusi optimum permasalahan lexicographic goal programming Goal Deskripsi Sasaran Terpenuhi Nilai optimum 1 Jam kerja 120 Tidak 260 2 Keuntungan 7000 Iya 9500 3 Produksi 40 Tidak 35 barang A 4 Produksi 40 Iya 40 barang B 39
Hasil di atas menggambarkna bahwa dengan memproduksi barang A sebanyak 35 buah dan memproduksi barang B sebanyak 40 buah maka pengusaha akan mendapatkan keuntungan sebesar $9500 per minggunya dengan total jam kerja sebanyak 260 jam. Sesuai sasaran di awal bahwa goal untuk jumlah jam kerja dan jumlah produksi barang A tidak memenuhi sasaran. 40