BAB II Graf dan Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super

BAB II Graf dan Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super 2.1 Graf dan Beberapa Definisi Dasar Graf G=(V,E) didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan berhingga dan tak hampa V dan himpunan E. Himpunan V dinamakan himpunan titik dan himpunan E dinamakan himpunan sisi. E bisa pula berarti sebagai himpunan pasangan tak terurut dari titik-titik anggota V. Banyak titik pada suatu graf dinotasikan dengan V yang dikenal pula sebagai orde graf. Banyak sisi dinotasikan dengan E. Graf sering direpresentasikan dalam bentuk gambar. Sebagai ilustrasi, graf G 1 dengan V={,,,,,, v 7 } dan E={,,,, v 7, v 7,, } dapat direpresentasikan seperti pada Gambar 2.1 di bawah ini. v 7 e 6 e 7 e 5 e 1 e 8 e Gambar 2.1: G 1 =(V 1,E 1 ) Dari Gambar 2.1 terlihat bahwa e 1 =, =, =, e =, e 5 = v 7, e 6 = v 7, e 7 = dan e 8 =. Banyak titik pada G 1 adalah V 1 =7, sedangkan banyak sisi adalah E 1 =8. Dengan demikian orde G 1 adalah G 1 =7. Titik v V dikatakan ujung sisi e E jika e=uv untuk suatu u V. Dalam hal ini, e dikatakan terkait di v. Setiap sisi senantiasa memiliki dua buah ujung yang berbeda yang dinamakan link atau memiliki dua buah ujung yang identik yang

dinamakan loop. Banyak sisi terkait di v dinamakan derajat v, dinotasikan dengan d(v). Dua titik u dan v di V dikatakan bertetangga jika uv adalah sebuah sisi di E. Perhatikan Gambar 2.2 di bawah ini. e 5 v 7 e 6 e 1 e 8 e 7 e Gambar 2.2: G 2 =(V 2,E 2 ) Pada Gambar 2.2 e adalah loop, sedangkan sisi-sisi lainnya di E 2 adalah link. Kemudian d( ) =d( ) =d( ) =1, d( )=2, d( )=3, d( )= d(v 7 )=. Pada gambar dapat pula dilihat bahwa bertetangga dengan v 7, bertetangga dengan, dan bertetangga dengan v 7. Misalkan G 1 =(V 1,E 1 ) dan G 2 =(V 2,E 2 ). G 1 dikatakan subgraf dari G 2, dinotasikan dengan G 1 G 2, jika V 1 V 2 dan E 1 E 2. Gabungan graf G 1 dan G 2, dinotasikan dengan G 1 G 2, didefinisikan sebagai graf dengan himpunan titik V 1 V 2 dan himpunan sisi E 1 E 2. n kali G 1, dinotasikan dengan ng 1, didefinisikan sebagai gabungan n buah G 1. Perhatikan Gambar 2.3, 2., 2.5, dan 2.6 di bawah ini. e 1 e 5 e Gambar 2.3: G 3 =(V 3,E 3 ) Gambar 2.: G =(V,E ) G 3 5

e 1 e 5 e 6 e e 6 Gambar 2.5: G 5 =(V 5,E 5 ) Gambar 2.6: G 3 G 5 Graf lintasan P n =(V,E) adalah graf berorde n dan titik-titiknya dapat diurutkan menjadi barisan,,,...,v n-1,v n sedemikian sehingga E={,,...,v n-1 v n }. Dalam hal ini,,..., dan v n-1 dinamakan titik internal, dan dan v n dinamakan titik ujung lintasan. Panjang lintasan didefinisikan sebagai banyaknya sisi di lintasan. Sebagai ilustrasi, perhatikan P 5 pada Gambar 2.7. e 1 e Gambar 2.7: Graf lintasan P 5 Graf lingkaran C n =(V,E) adalah graf berorde n dan titik-titiknya dapat diurutkan menjadi barisan,,,...,v n-1,v n, sedemikian sehingga E={,,...,v n-1 v n, v n }. Sebagai ilustrasi, perhatikan C 5 pada Gambar 2.8. e1 e 5 e Gambar 2.8: Graf lingkaran C 5 Graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap dua titik u,v yang berbeda di G, terdapat subgraf lintasan dari G dengan u,v sebagai ujung-ujungnya. 6

2.2 Beberapa kelas graf Graf pohon T n adalah graf terhubung berorde n yang tidak memuat lingkaran sebagai subgrafnya. Titik-titik berderajat satu pada pohon dinamakan daun. Setiap pohon yang nontrivial, memiliki setidaknya dua daun. Perhatikan gambar 2.9 di bawah ini, e 1 e Gambar 2.9: Graf pohon T 5 Beberapa subkelas dari graf pohon adalah graf katerpilar Ĉ n, graf bintang S n, graf pohon pisang BT(n 1,n 2,n 3,...,n k ), dan graf bintang yang diperumum S m n. Graf katerpilar Ĉ n ialah graf pohon berorde n yang bersifat jika semua daunnya dibuang, maka akan dihasilkan graf lintasan. Perhatikan graf katerpilar Ĉ 9 pada Gambar 2.10. Jika semua daun pada Ĉ 9 dibuang maka akan dihasilkan graf lintasan P 3 ={,, }. v 7 v 8 v 9 Gambar 2.10: Graf katerpilar Ĉ 9 Graf bintang S n adalah graf pohon berorde n+1 dan memiliki 1 titik berderajat n. Untuk mempermudah pembahasan, titik v S n berderajat n dinamakan pusat bintang, dan setiap P 2 S n dinamakan sinar bintang. Pada Gambar 2.11 dapat dilihat S 8 dengan pusat bintang dan 8 buah sinar bintang, yakni,,,,, v 7, v 8 dan v 9. 7

v 9 v 7 v 8 Gambar 2.11: Graf bintang S 8 Misalkan S n1, S n2,...,s nk masing-masing merupakan graf bintang yang saling lepas. Misalkan pula v suatu titik baru. Jika v dibuat bertetangga dengan satu titik ujung di S n1, S n2,..., dan S nk, maka graf baru yang diperoleh dinamakan graf pohon pisang, dinotasikan dengan BT(n 1,n 2,,n k ). Untuk memudahkan ilustrasi perhatikan BT(5,,3) pada Gambar 2.12. 2 3 v1 1 2 v23 1 5 v 0 1 2 3 Gambar 2.12: Graf pohon pisang BT(5,,3) Graf bintang yang diperumum S m n untuk n 3 dan m 0, adalah graf yang dibentuk dari graf bintang dengan cara men-subdivisi sisi-sisi pada setiap sinar bintang sedemikian hingga setiap sinar bintang yang terbentuk masing-masing memiliki m titik internal. Subdivisi suatu sisi e=uv G didefinisikan sebagai operasi menghapuskan e, kemudian menggantinya dengan sebuah lintasan 8

w 0 w 1 w 2 w m w m+1 dengan w 0= u, w m+1= v. Akibatnya, S m n memiliki nm+n+1 titik dan nm+n sisi. Pada S m, titik v S m n n berderajat n dinamakan pusat bintang yang diperumum dan lintasan berorde m+2 dengan salah satu titik ujung v dinamakan sinar bintang yang diperumum. Sebagai contoh, tinjau kembali graf bintang S 8 pada Gambar 2.11. Jika setiap sisi pada sinar bintang S 8 disubdivisi sedemikian hingga setiap sinar bintangnya memiliki 2 titik internal, maka akan diperoleh graf baru yakni graf bintang yang diperumum S 2 8 seperti tampak pada Gambar 2.13. 0 9 1 2 1 3 8 0 2 7 6 5 5 3 v 9 v 7 v 8 Gambar 2.13: Graf bintang yang diperumum S 2 8 Pada Gambar 2.13, S 2 8 memiliki nm+n+1=8.2+8+1=25 titik dan nm+n= 8.2+8= 2 sisi. Pada S 2 8, merupakan pusat bintang yang diperumum dan beberapa sinar bintang yang diperumumnya adalah 0 8, 2, dan 6 v 8. 2.3 Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super Pelabelan graf ialah fungsi yang mengaitkan titik atau sisi pada graf ke bilangan asli yang disebut label. Telah disinggung pada Bab I, beberapa jenis pelabelan yakni pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Pelabelan titik adalah pelabelan dengan domain himpunan titik, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain gabungan himpunan titik dan himpunan sisi. 9

Misalkan G=(V,E) suatu graf dengan V =p dan E =q. Pelabelan total sisi-ajaib adalah fungsi injektif f dari V E ke {1,2,,p+q} pada G sedemikian hingga terdapat bilangan bulat positif k yang memenuhi f(u) + f(uv) + f(v), untuk setiap uv E. k disebut konstanta ajaib, dan graf yang memenuhi pelabelan total sisi-ajaib dinamakan graf total sisi-ajaib. Pelabelan total sisi-ajaib dengan f(v) = {1,2,...,p} dinamakan pelabelan total sisiajaib super. Graf yang mempunyai pelabelan total sisi-ajaib super dinamakan graf total sisi-ajaib super. Perhatikan dua buah pelabelan total sisi-ajaib S pada Gambar 2.1. 2 2 8 8 9 1 5 7 3 1 9 5 7 3 6 Gambar 2.1.a: S total sisi-ajaib 6 Gambar 2.1.b: S total sisi-ajaib Pada Gambar 2.1.a dan Gambar 2.1.b, S dengan banyak titik p=5 dan banyak sisi q=, memiliki konstanta ajaib k yang sama yakni 15. Pada Gambar 2.1.a, terdapat label titik 6>p, maka S pada Gambar 2.1.a bukan graf total sisi-ajaib super. Namun pada Gambar 2.1.b, tidak terdapat label titik yang lebih besar daripada p, dengan kata lain f(v)={1,2,3,,5}. Karenanya, S pada Gambar 2.1.b adalah graf total sisi-ajaib super 2. Hasil-hasil peneliti terdahulu Banyak sekali teori-teori pelabelan graf hasil peneliti terdahulu yang berkaitan dengan pelabelan total sisi-ajaib super. Berikut beberapa diantaranya. 10

a. Lemma 2.1 (Enomoto et al., 1998) [1] Jika graf non-trivial G total sisi ajaib super, maka E 2 V -3. Bukti. Tinjau nilai ekstrim label titik dan sisi. Konstanta ajaib k haruslah memenuhi 1+2+( V + E ) k V +( V -1)+( V +1). Diperoleh E 2 V -3. Secara kontrapositif, jika suatu graf G memenuhi E > 2 V -3, maka G bukan total sisi-ajaib super. b. Lemma 2.2 (Figuero-Centeno et al., 2002) [6] Graf G=(V,E) dengan V =p dan E =q adalah total sisi-ajaib super jika dan hanya jika terdapat fungsi satu-satu f: V {1,2,,p} sedemikian sehingga himpunan S = {f(x) + f(y) xy E} terdiri dari q bilangan bulat berurutan. Dalam hal ini f dapat diperluas menjadi suatu pelabelan total sisi-ajaib super dari G dengan konstanta ajaib k=p+q+s, dengan s = min (S), dan S ={k-(p+1), k-(p+2),, k-(p+q)}. Bukti. ( ) Asumsikan bahwa fungsi f ada dan ambil uv E sedemikian sehingga f(u)+f(v)=min(s)= s. Kemudian perluas f hingga domainnya V E dengan cara berikut. Misalkan f(xy) = p + q + s f(x) f(y), dengan s = min (S) untuk sebarang xy di E, maka f(e) = {p+1, p+2,,p+q}. ( ) Jika G adalah graf total sisi-ajaib super dan f adalah suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada G dengan konstanta ajaib k, maka S = {k - f(xy) xy E} = {k (p+1), k-(p+2),, k (p+q)}. Lemma ini akan digunakan sebagai landasan penyusunan algoritma dalam mengkonstruksi suatu pelabelan total sisi-ajaib super. 11

c. Lemma 2.3 (Baskoro et al., 2005) [2] Jika g adalah suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada graf G dengan konstanta ajaib k, maka fungsi g : V E {1,2, p+q} didefinisikan: g (x) = { p + 1 g( x), jika x V 2 p + q + 1 g( x), jika x E juga merupakan suatu pelabelan total sisi-ajaib super pada graf G dengan konstanta ajaib k =p+q+3 k. Dalam hal ini, g merupakan pelabelan dual super dari g. Sebagai ilustrasi penggunaan Lemma 2.3, perhatikan kembali Gambar 2.1.b. Graf S total sisi-ajaib super pada gambar 2.1.b memiliki pelabelan dual super seperti tampak pada Gambar 2.15. 7 5 6 1 8 3 9 Gambar 2.15: Pelabelan dual super dari S pada Gambar 2.1.b 2 d. Hasil-hasil peneliti lainnya Selain lemma-lemma di atas, hasil-hasil peneliti tentang pelabelan total sisi-ajaib super, antara lain: Enomoto et al [1]. membuktikan bahwa C n adalah total sisi-ajaib super jika dan hanya jika n ganjil. Pada [6] Figueroa-Centeno et al. membuktikan bahwa: C 3 C n total sisi-ajaib super jika dan hanya jika n 6 dan n genap; C C n total sisi-ajaib super jika dan hanya jika n 5 dan n ganjil; C 5 C n total sisi-ajaib super jika dan hanya jika n 5 dan n genap; Sudarsana et al. [2] membuktikan bahwa graf P n P n+1, np 2 P n dan np 2 P n+2 adalah total sisi-ajaib 12

super. Izzati [] membuktikan bahwa S m n adalah total sisi-ajaib super untuk n 3 dan m=1, dan n ganjil 3 dan m=2. Izzati juga menunjukkan bahwa S 2,S 2 6,dan S 2 8 merupakan total sisi-ajaib super dengan konstanta ajaib berturut-turut 33, 7, dan 61 seperti tampak pada Gambar 2.16. 6 3 5 9 13 16 9 13 11 3 2 10 2 8 18 17 12 7 1 8 1 1 19 6 5 11 15 7 12 S 2 S 2 6 10 10 18 3 12 2 23 11 25 22 1 16 8 5 13 21 17 9 19 7 15 2 6 1 20 S 2 8 Gambar 2.16: Pelabelan total sisi-ajaib super pada S 2, S 2 6,dan S 2 8 13