BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Program Linier Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan (memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam model matematik persamaan linier. Program linier sering digunakan dalam penyelesaian problema-problema alokasi sumber daya, seperti dalam bidang manufacturing, pemasaran, keuangan, personalia, administrasi dan lain sebagainya (Sitorus, 1997). Siagian (2006) mengemukakan bahwa pokok pikiran yang paling utama dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Kemudian menerjemahkan masalah tersebut ke dalam model matematis yang cara pemecahan masalahnya lebih mudah dan terstruktur agar didapatkan solusinya. Suatu masalah dikatakan sebagai masalah program linier apabila : 1. Tujuan (objective) yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier yang disebut sebagai fungsi tujuan (objective function). 2. Harus ada alternatif pemecahan. Pemecahan yang membuat fungsi tujuan optimum (laba yang maksimum, biaya yang minimum, dan sebagainya) yang harus dipilih. 3. Sumber-sumber tersedia dalam jumlah yang terbatas (bahan mentah terbatas, modal terbatas, ruangan untuk menyimpan barang terbatas, dan sebagainya). Pembatasan-pembatasan harus dinyatakan di dalam ketidaksamaan yang linier (linear inequality). Menurut Mulyono (2004), setelah masalah diidentifikasikan dan tujuan ditetapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik yang meliputi: 1. Tentukan variabel yang tidak diketahui (variabel keputusan) dan nyatakan dalam simbol matematik.
6 2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variabel keputusan. 3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya masalah tersebut. Umumnya masalah program linier dapat diselesaikan dengan menggunakan dua metode, yaitu : 1. Metode grafik Metode ini digunakan apabila jumlah variabel keputusan hanya dua dan jumlah kendala dalam model relatif sedikit (umumnya tidak lebih dari 4 kendala). Apabila jumlah kendalanya relatif banyak (> 4 kendala), maka akan sukar untuk melukiskan garis kendalanya dalam grafik. 2. Metode simpleks Metode ini dapat digunakan untuk jumlah variabel keputusannya 2 atau lebih dan jumlah kendalanya 2 atau lebih. Metode simpleks adalah suatu prosedur ulang yang bergerak dari satu jawab layak basis ke jawab berikutnya sedemikian rupa hingga harga fungsi tujuan terus menaik (dalam persoalan maksimasi) dan akan berkelanjutan sampai dicapai jawab optimal (bila ada) yang memberi harga maksimum. Metode simpleks didasarkan pada langkah seperti berikut : a. Dimulai pada suatu titik pojok yang layak, biasanya titik asal ( yang disebut sebagai solusi awal). b. Bergerak dari satu titik pojok layak ke titik pojok layak lain yang berdekatan. Pergerakan ini akan menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih baik (meningkat untuk masalah maksimasi dan menurun untuk masalah minimasi). Jika solusi yang lebih baik telah diperoleh, prosedur simpleks dengan sendirinya akan menghilangkan semua solusi-solusi lain yang kurang baik. c. Proses ini diulang-ulang sampai suatu solusi yang lebih baik tak dapat ditemukan. Proses simpleks kemudian berhenti dan solusi optimum diperoleh.
7 2.1.1 Model Program Linier Model persamaan umum dalam program linier dapat dirumuskan sebagai berikut (Aminudin, 2005): Maksimalkan atau minimumkan: Dengan kendala : = 0 Untuk = 1,2,3,, = 1,2,3,, Atau dapat ditulis secara lengkap sebagai berikut: Maksimalkan atau minimumkan: = + + + + Dengan kendala : + + + + + + + +..................... + + + + 0 untuk = 1,2,3,, Keterangan : Z = Fungsi tujuan yang harus dicari nilai optimalnya (maksimal atau minimal) x j = tingkat kegiatan ke- j c j = Kenaikan nilai Z terjadi apabila ada pertambahan tingkat kegiatan dengan satu satuan unit atau sumbangan setiap a ij = Banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran kegiatan j
8 b i = Kapasitas sumber i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan n = macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia m = macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia 2.1.2 Terminologi Umum dan Asumsi-Asumsi Dasar Program Linier Terminologi umum untuk model program linier dapat dirangkum sebagai berikut: 1. Fungsi yang akan dicari nilai optimalnya (Z) disebut sebagai fungsi tujuan (objective function). 2. Fungsi-fungsi batasan dapat dikelompokkan menjadi dua macam, yaitu : a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi-fungsi batasn sebanyak m. b. Fungsi batasan non-negatif (non-negative constrains) yaitu variabel 0. 3. Variabel-variabel disebut sebagai variabel keputusan (decision variables). 4. Parameter model yaitu masukan konstan, dan. Agar penggunaan model program linier di atas memuaskan tanpa terbentur pada berbagai hal, makan diperlukan asumsi-asumsi dasar program linier sebagai berikut : 1. Proportionality, asumsi ini berarti naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan. 2. Additivity, berarti nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam program linier dianggap bahwa kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain. 3. Divisibility, berarti keluaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. 4. Deterministic (certainty), berarti bahwa semua parameter (,, dan ) yang terdapat pada program linier dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun dalam kenyataannya tidak sama persis.
9 2.2 Program Integer Menurut Sitorus (1997), program linier bilangan bulat atau disebut juga sebagai program integer merupakan suatu model program linier yang khusus digunakan untuk menyesuaikan suatu masalah program linier di mana nilai variabel-variabel keputusan dalam menyelesaikan optimal harus merupakan bilangan integer (bulat). Karakteristik model matematika program linier integer adalah sama dengan model linier biasa, kecuali dalam program linier integer harus ada memuat suatu persyaratan bahwa variabel keputusan tertentu harus bilangan integer. Program linier integer mensyaratkan bahwa: 1. Semua keputusan harus merupakan bilangan integer disebut All integer linear programming (AILP). 2. Hanya sebagian keputusan yang merupakan bilangan integer disebut Mixed integer linear programing (MILP). 3. Jika variabel keputusan harus bernilai 0 dan 1 disebut Zero one integer linear programming (ZOILP). Ada banyak kasus dalam masalah program integer yang membatasi variabel model bernilai nol atau satu. Dalam kasus demikian, pengambil keputusan hanya memiliki dua pilihan yaitu menerima atau menolak suatu usulan kegiatan. Penerimaan atau penolakan yang sifatnya parsial (sebagian) tidak diperbolehkan. Jika variabel keputusan bernilai satu, kegiatan diterima. Jika variabel berilai nol, kegiatan ditolak. (Mulyono, 2004) Bentuk umum program integer dapat dirumuskan sebagai berikut : Maksimumkan atau minimumkan : Dengan kendala : =,=,! 0 semua bilangan cacah
10 Untuk = 1,2,3,, = 1,2,3,, Keterangan: Z = Fungsi tujuan yang harus dicari nilai optimalnya (maksimal atau minimal) x j = tingkat kegiatan ke- j c j = Kenaikan nilai Z terjadi apabila ada pertambahan tingkat kegiatan dengan satu satuan unit atau sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan Z terhadap j a ij = Banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran kegiatan j b i = Kapasitas sumber i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan n = macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia m = macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia 2.3 Metode Branch and Bound (Pencabangan dan Pembatasan) Metode Branch and Bound pertama kali diperkenalkan oleh Land dan Doig (1960). Ide dasarnya adalah untuk membagi daerah solusi fisibel menjadi daerah solusi fisibel yang lebih kecil. Ini merupakan prosedur sederhana yang menetapkan batasan yang lebih tinggi dan rendah menjadi solusi saat menyelesaikan sub masalah secara sistematis. Kemudian metode ini dimodifikasi oleh Dakin (1965) dan dengan sukses menerapkannya di dalam kitab undangundang hukum dagang banyak orang dalam memecahkan persoalan program integer. Metode Branch and Bound adalah metode umum untuk mencari solusi optimal dari berbagai permasalahan optimasi. Pendekatan Branch and Bound didasarkan pada prinsip bahwa himpunan total solusi layak dapat dipartisi menjadi subset yang lebih kecil dari solusi. Subset yang lebih kecil ini kemudian dapat dievaluasi secara sistematis sampai solusi terbaik ditemukan. Metode ini sering digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah program integer karena hasil yang diperoleh dalam penyelesaian optimal lebih teliti dan lebih baik dari kedua metode lainnya. Kelemahan pokok metode ini adalah prosedur untuk mencapai hasil optimal sangat panjang. Prosedur penyelesaian
11 masalah maksimasi program integer dengan metode Branch and Bound adalah sebagai berikut : 1. Langkah 1 : penyelesaian optimal dengan metode program linier biasa. Masalah yang dihadapi diselesaikan terlebih dahulu menggunakan metode program linier biasa (menggunakan metode grafik atau metode simpleks) sampai diperoleh hasil yang optimal. 2. Langkah 2 : pemeriksaan penyelesaian optimal. Hasil optimal pada langkah 1 diperiksa apakah variabel keputusan yang diperoleh bernilai integer (bilangan bulat) atau pecahan. Apabila ternyata nilai semua variabel keputusan tersebut merupakan bilangan bulat positif (nonnegative integer), maka penyelesaian optimal telah dicapai. Apabila tidak, maka proses iterasi dilanjutkan. 3. Langkah 3 : penyusunan sub masalah (branching). Apabila penyelesaian optimal belum tercapai, maka masalah tersebut dimodifikasikan ke dalam dua sub masalah (branching) dengan memasukkan kendala baru ke masing-masing sub masalah tersebut. Variabel kendala baru tersebut harus bersifat saling pengecualian (mutually exclusive constraints) sehingga memenuhi persyaratan penyelesaian integer. 4. Langkah 4 : penentuan nilai batas (bounding). Hasil optimal yang diperoleh dengan metode program linier biasa (non integer) merupakan nilai batas atas (upper bound) bagi setiap sub masalah. Sedangkan hasil optimal dengan penyelesaian integer merupakan nilai batas bawah (lower bound) bagi masing-masing sub masalah. Selanjutnya, apabila sub masalah yang memiliki batas atas yang lebih rendah dari batas bawah yang berlaku, maka sub masalah tersebut tidak perlu dianalisi lagi. Apabila dalam penyelesaian integer menghasilkan hasil yang sama atau lebih baik daripada nilai batas atas dari setiap masalah, maka penyelesaian optimal integer telah tercapai. Apabila tidak, maka sub masalah yang memiliki nilai batas atas yang terbaik dipilih selanjutnya menjadi sub masalah baru. Proses iterasi ini kembali kepada langkah 2, sehingga demikian seterusnya (Sitorus, 1997).