GEOMETRI EUCLID EG(, p ) UNTUK MEMBENTUK RANCANGAN BLOK TIDAK LENGKAP SEIMBANG Bmg Irwto d Yu Hdyt Jurus Mtemtk FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedrto, S.H, Semrg 5075 Astrt. A Bled Iomplete Blok (BIB) desg wth prmeters (,, k, r,λ) v s rrgemet of v dstt ojets to loks suh tht eh lok ots extly k dstt ojets, eh ojet ours extly r dfferet loks, d every pr of dstt ojet m, ours together extly λ loks. Eulde geometry EG (, p ) s the fte m j geometry of two dmesos over the Glos Feld GF(p ). By osderg tht the ojet of BIB desg s sme wth the pots of EG(, p ) d the loks whh ot those ojets re sme wth the les whh ot the pots from EG(, p ), EG (, p ) e used to ostrut BIB desg. Keywords: Glos Feld GF(p ), Eulde geometry EG (, p ) I. PENDAHULUAN Lpg dlh derh tegrl yg setp eleme yg tdk ol mempuy vers terhdp pergd. Jk lpg mempuy jumlh eleme erhgg dseut lpg erhgg tu Glos Feld []. Eleme-eleme dlm Glos Feld dpt dguk utuk megkostruks sutu geometr erhgg, ytu geometr yg memlk jumlh ttk yg erhgg []. Eleme-eleme dlm geometr erhgg dpt dguk utuk megkostruks geometr Euld erhgg dr dmes du yg dotsk EG (, p ). EG (, p ) dguk utuk merg sutu Rg Blok Tdk Legkp Semg (RBTLS). Rg Blok Tdk Legkp Semg (RBTLS) mempuy defs seg peyusu v ojek yg ered ke dlm lok sedemk sehgg setp lok memut tept k ojek yg ered, setp ojek terdpt d dlm tept r lok yg ered, d semu psg ojek m, m j yg ered terdpt d dlm tept λ lok [3]. EG (, p ) dpt dguk utuk rg pero erup peyusu oyek-oyek dtry rg ujur sgkr lt. Rg lok dlm tuls dhs peyusu rg lok tdk legkp semg (RBTLS), deg megkorespodesk ttk-ttk d dlm EG (, p ) seg oyek-oyek d grsgrs EG (, p ) seg lok-lok [3]. II. GEOMETRI EUCLID EG(, p ) Lpg dlh derh tegrl yg setp eleme yg tdk ol mempuy vers terhdp pergd. F dlh sutu lpg perlus dr lpg K jk K merupk lpg g dr F [4]. Seljuty jk K lpg deg f(x) poloml yg tdk kost mk terdptl lpg perlus F dr K, d eleme α F sedemk sehgg f ( α) = 0 [4]. Jk lpg F mempuy jumlh α F erhgg dseut lpg erhgg []. Lpg deg jumlh eleme yg erhgg ytu p, dm p lg prm d serg lg ult postf dseut Glos Feld GF (p ). Eleme α F yg jumlhy erhgg dpt dguk utuk megkostruks seuh sstm geometr yg dseut Geometr Euld. 05
Jurl Mtemtk Vol. 0, No.3, Desemer 007:05-09 Geometr Euld (Eulde Geometry) EG(m,q) deg m dmes teretuk dr lpg erhgg GF(q), dm q = p d p dlh lg prm. Geometr Euld dr du dmes ts lpg GF(p ) dotsk deg EG (,p ). Teorem. []. Geometr erhgg EG(,p ) mempuy s ttk d s + s grs, dm s = p. Bukt. Aml serg psg (x, y) deg x, y GFp. Deg megggp ttk x d y seg eleme dr GFp mk jumlh psg (x, y) seyk s, sehgg geometr erhgg EG (, p ) memlk s ttk. Seljuty ml serg persm grs x+y+ = 0, dm,, GFp d (,) (0,0). Dlm hl dseldk du kejd ser terpsh. Kejd : 0 Persm grs x+y+=0, deg memg persm grs deg d meyjk dlm etuk persm dlm x dperoleh y = x, (.) msl m = d β =, mk persm (.) mejd y = mx + β (.) Kre setp m d β dggp seg l-l dr s = p, sehgg jumlh grs utuk kejd dlh s. x = γ (.5) deg megggp γ seg eleme dr GFp, mk jumlh grs dlm kejd dlh seyk s grs. Deg pegml kedu kejd ser ersm dperoleh jumlh grs dlm EG (, p ) dlh s + s. Cotoh. Pdg geometr erhgg EG(,) erdsrk lpg GF. Lpg terseut hy terdr dr du eleme ytu 0 d. Geometr erhgg EG(, p ) mempuy s ttk d s + s grs, dm s = p. Ds s =, sehgg EG(,) mempuy 4 ttk, ytu : (0,0), (0,), (,0), (,) Sedgk jumlh grsy dlh s + s = 6 d dtujukk dlm Tel. Tel. Tel grs-grs pd EG (,) Persm Grs Ttk-ttk yg dhuugk y = 0 (0,0), (,0) y = (0,), (,) y = x (0,0), (,) y = x + (,0), (0,) x = 0 (0,0), (0,) x = (,0), (,) Geometr erhgg dr EG(,) dpt dsjk deg du r erkut: y = Kejd : = 0 Jk 0, mk persm grs x + y + = 0 mejd x + = 0 (.3) Deg memg deg kostt mk persm (.3) mejd: x =, (.4) msl γ =, mk persm (.4) mejd y =x (0,) x=0 y =x+ (,) (0,0) y =0 (,0) x= 06
Bmg Irwto d Yu Hdyt (Geometr Euld Eg(, P ) utuk Memetuk Rg Blok ) (0,) x=0 (0,0) y =x+ y = y =x y =0 Gmr. Gmr EG (,) (,) x= (,0). RANCANGAN BLOK TIDAK LENGKAP SEIMBANG (RBTLS) Sutu rg pero yg dguk utuk meyusu eerp oyek ke dlm eerp lok Defs. Sutu RBTLS deg prmeterprmeter (v,, r, k, λ ) dm v dlh yky ojek yg k dg ke dlm lok-lok B,..., B. Deg dlh yky lok yg hrus dhslk, r dlh yky lok yg memut ojek m, k dlh yky ojek dlm stu lok d λ dlh yky lok yg memut psg tk terurut m, m j dr ojek-ojek yg ered ddefsk seg sutu peyusu terhdp v ojek yg ered m,..., m v ke dlm lok B,..., B. Sedemk sehgg setp lok B j memut tept k ojek yg ered,setp ojek m muul d dlm tept r lok yg ered,setp psg tk terurut m, m j dr ojek-ojek yg ered, muul ersm dlm tept λ lok. Atr lok-lok d oyek-oyek dlm rg Blok tdk Legkp semg (RBTLS) terdpt huug yg merupk sft dr RBTLS Teorem. [3]. Terdpt du rels dsr dr lm prmeter-prmeter (v,, r, k, λ) yg d pd RBTLS ytu k = vr d r( k ) = λ ( v ). Bukt. Setp lok dr RBTLS memut k ojek d msg-msg dr v muul dlm r lok, mk jumlh keseluruh dr ojek yg muul dlm lok dlh k d vr sehgg k = vr. Sutu ojek m muul dlm r lok yg m pd setp kemuuly erpsg deg k ojek dr v ojek yg terss. Oleh kre tu jumlh ojek-ojek sel dr m dlm lok-lok terseut dlh r ( k ). Jumlh sm deg λ ( v ) kre m j sel tu m jug hrus dpsgk deg setp ojek dr v ojek yg terss tept λ kl. Sehgg r( k ) = λ ( v ). RBTLS dpt dsjk dlm e- M =,yg dseut tuk mtrks ytu ( ) mtrk dee deg pegert sepert dlm Defs. Defs. M =, deg =,..., v d m j Mtrks ( ) j =,..., dlh mtrks dee dr sutu RBTLS deg prmeter (v,, r, k, λ) deg lok-lok B,..., B d ojekojek m,...mv yg ddefsk seg erkut., m B j mj =. 0, m B j Teorem 3 []. Jk M = ( m j ), deg =,...,v d j =,..., dlh mtrks dee dr sutu RBTLS deg prmeter (v,, r, k, λ), mk m j = r v = m j = k ]. j= d Bukt. Pdg ojek, yg m erd dtr j lok. kre hy termut d r lok d jumlh j = lok, mk sesu deg Defs, jumlh m = dlh r d m = 0 dlh -r. I j j 07
Jurl Mtemtk Vol. 0, No.3, Desemer 007:05-09 j= memuktk persm m j = r. Kemud pdg lok j, yg m lok j memut eerp ojek dr l. kre lok j hy memut k ojek d jumlh = v ojek, mk sesu deg Defs, jumlh m = dlh k d m = 0 dlh v-k. j j 3. EG (, p ) UNTUK MEMBENTUK RBTLS Pemetuk RBTLS deg megguk Geometr Euld EG (, p ),deg megkorespodesk ttkttk d dlm EG (, p ), seg oyekoyek d grs-grs EG (, p ) seg lok-lok.seg lustrs pdg otoh dwh Cotoh. Mslk sutu perush susu g memdgk 4 jes susu yg dproduksy deg memerk keempt jes susu terseut kepd 6 toko. Pd msg-msg toko k derk jes susu yg ered. Ak dut sutu rg sedemk sehgg setp psg yg ered dr keempt jes susu terseut hy ddgk oleh tept stu toko. Deg memslk 4 jes susu yg g ddgk terseut dggp sm deg 4 ttk pd EG(, ) d 6 toko yg k memdgk dggp sm deg 6 grs yg memut ttkttk dr EG(, ) sert jes susu yg k ddgk oleh setp toko dggp sm deg ttk yg termut dlm seuh grs dr EG(, ), mk persol d ts dpt dselesk deg erdsrk Geometr Euld EG (, ). Slh stu r utuk memperoleh lok dlh deg megdetfks 4 ojek (mslk dotsk deg,, 3 d 4) deg 4 ttk dr geometr erhgg EG (, ). Kemud ojek yg dplh k termut ke dlm stu lok jk ttk-ttk yg erkorespodes erd dlm stu grs. Kre setp du ttk dhuugk tept oleh stu grs, mk setp psg ojek k terjd d dlm tept stu lok. Dr ttk-ttk pd EG (,) dpt ddetfks ojek-ojeky sepert pd Tel. Tel. Tel ojek-ojek erdsrk EG (,) Ttk-ttk dr EG (,) Ojek (0,) (,0) (,) 3 (0,0) 4 Deg megguk Tel ytu grs-grs dr EG (,), dpt dut rg lok-loky yg dtujukk oleh Tel 3. Pd Tel 3, setp du lok merupk stu prllel pel, dm lok terseut memut dtr 4 ojek yg d. Tel. Tel ojek-ojek erdsrk EG (,) Ttk-ttk dr EG (,) Ojek (0,) (,0) (,) 3 (0,0) 4 Tel 3. Tel lok-lok yg dhslk dr EG (,) B : (4,) B 3 : (4,) B 5 : (,) B : (4,3) B 4 : (,3) B 6 : (,3) Dr Tel 3, mtrks deey dlh seg erkut : 0 0 0 0 0 0 M = 0 0 0 0 0 0 Ds kolom ketg meujukk hw lok B 3 memut ojek-ojek d 4 d rs keempt meujukk hw ojek 4 muul d dlm lok-lok B, B, B 3. Hsl dr Tel 3 d seut deg Rg Blok Tdk Legkp Semg 08
Bmg Irwto d Yu Hdyt (Geometr Euld Eg(, P ) utuk Memetuk Rg Blok ) (RBTLS) deg prmeter v = 4, = 6, r = 3, k =, λ =. Dr otoh d ts dpt dlht hw dlm setp lok tdk semu ojek yg d muul ( k < v), mk rg dktk tdk legkp d dktk semg kre jumlh kemuul setp psg ojek yg ered dlm keseluruh rg dlh sm, ytu seyk λ kl. 4. KESIMPULAN. Geometr erhgg EG(,p ) mempuy s ttk d s + s grs, d- m s = p.. RBTLS dpt detuk dr geometr erhgg khususy geometr Euld dr du dmes EG (, p ) ts lpg GF (p ). 3. Geometr Euld EG (, p ) dpt dsjk dlm etuk mtrk M = yg dseut deg mtrk ( ) m j dee. 5. DAFTAR PUSTAKA []. Bhttry, P.B, J,.S.R, Ngpul. (994), Bs Astrt Alger, Cmrdge Uversty press,usa. []. Bose R. C. & Mvel, B. (984). Itroduto to Comtorl Theory. Joh Wley & Sos. New York. [3]. V Lt, J. H. & Wlso, R. M. (99). A Course Comtors. Cmrdge Uversty Press. Austrl. [4]. Rsgh MD, Aggrwl RS. (980), Moder Alger, S Chd & Compy, New Delh. 09