Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny bukn trivil) mk hruslh λ I. Selnjutny λ disebut kr krkteristik. Sedngkn X yng memenuhi persmn di ts diktkn sebgi vektor krkteristik yng bersesuin dengn kr krkteristik pbil jug memenuhi X X X n + +... + kr krkteristik digunkn untuk menguji sign-definiteness. Mislkn sutu mtriks berdimensi, X λ X ( λi) X λ X λ λ ( λ) ( λ) Mk determinn dri mtriks di ts dlh : λ λ ( λ)( λ) λ λ+ λλ λ ( + ) λ+ ( )
Kesimpuln hsil kr krkteristik : Jik seluruh kr krkteristik ( λ ) positive, dlh positive definite Jik seluruh λ negtive, dlh negtive definite Jik seluruh λ nonnegtive dn miniml slh stu λ, positive semidefinite Jik seluruh λ nonpositive dn miniml slh stu λ, negtive semi definite. Jik λ d yng positif dn negtive, dlh indefinite. Contoh : 6 3 3 6 Tentukn kr dn vektor krkteristikny. Untuk menemukn kr krkteristik dri, determinn dri mtriks krkteristik λi hrus sm dengn nol. 6λ 3 λi 3 6λ ( 6 λ)( 6 λ) (3)(3) λ + λ+ 7 ( λ + 9)( λ + 3) λ 9 dn λ 3 Kren kedu kr krkteristik memiliki tnd negtive, mtriks merupkn negtive definite. Vektor krkteristik?. Mtriks Inverse nloginy sm dengn keblikn dri sutu bilngn. Misl keblikn (inverse) dri 4 dlh 4 dimn 4 4 Sedngkn untuk mtriks, hsil perklin mtriks inverse dengn mtriks slny dlh mtriks identits. Invers sutu mtriks dinotsikn dengn
I Mtriks yng mungkin memiliki invers dlh mtriks bujur sngkr (squre mtri) tpi tidk setip mtriks bujur sngkr memiliki invers. Mtriks bujur sngkr yng memiliki inverse dlh mtriks yng bersift non-singulr mtri. Sift Inverse :. Inverse dri sutu inverse mtriks dlh mtriks slny. ( ) b. Hsil perklin sutu mtriks dlh perklin dri sutu inverse mtriks dlm urutn yng terblik. ( ) B B c. Inverse dri sutu trnspose dlh trnspose dri inverse mtriks tersebut. ( ' ) ( ) ' Invers mtriks dpt dirumuskn sebgi berikut: dj Invers dri mtriks X dj c c c c ( ) Contoh : 3 )
3 Invers untuk mtriks 3X3 3 Untuk mencri invers mtriks 3X3 perlu dikethui mtriks djoint terlebih dhulu Mtriks djoint dlh trnspose dri sebuh mtriks yng terbentuk dri kofktor-kofktor mtriks slny (trnspose dri mtriks kofktor ). 3 Mislkn mtriks 3 3 3 33 Mtriks kofktor : C C C C C C C 3 3 C C C 3 3 33 dimn C 3 3 3 33 3 3 3 33 3 3 3 33 3 33 3 3 3 3 3 3 C C C3 T Mtriks djoint : dj() C C C C 3 C3 C3 C 33 Invers mtriks diperoleh dengn cr : C C C 3 dj() C C C3 C C C 3 3 33 Contoh : 8 3 Tentukn mtriks inversny.
Jwb : Mtriks kofktor dri dlh : 3 3 3 8 8 C 3 3 3 5 9 8 8 5 T dj() C 3 3 9 5 5 3 3 3 3 3 3 9 3 3 9 3 3 3 3 3 3 3. Sistem Persmn Liner d Non-homogen X d I X* d Unique solution X d III Tidk unique tu bnyk solusi Tidk termsuk (, ) d Homogen X II X* Unique, Trivil solution X IV Bnyk solusi, stu dintrny dlh (, )
Contoh SPL I : * + 5 3 * 5 (3,) 5 + 5 Contoh SPL II : * + * + Contoh SPL III : + 5 solusi tidk unique + 4 + 5 Contoh SPL IV : + solusi tidk unique + 4 +
4. Crmer s Rule Solusi persmn liner bis dihitung dengn Crmer s rule. j j ; dimn j dlh mtriks yng kolom ke-j ny dignti vektor B. Mislkn sutu SPL : + d + d Jik kedu persmn di ts diubh ke dlm bentuk mtriks X d d X B ( ) d ( d d ) d d ( d d ) d dn B mk : Contoh : Crilh solusi dri sistem persmn berikut : + 3 3. 4 b. 4+ 3y z 7 + y 5 3+ z 4
5. pliksi Dlm Model Ekonomi. Mrket Model Dikethui fungsi permintn dn penwrn dri komoditi : Qd P+ P Qd 5 + P P Q + 3P Qs + P s Tentukn solusi equilibrium. Jwb : Syrt equilibrium : Qd Qs Q Q P + P + 3P d s 5P P (i) Q Q 5 + P P + P d s P 3P 6 (ii) Persmn (i) dn (ii) diubh ke dlm bentuk mtriks X 5 P 3 P 6 X B Dengn turn Crmer s, diperoleh nili P * dn P * B : Kemudin substitusi nili P * dn P * ke fungsi permintn tu penwrn komoditi dn, sehingg diperoleh nili Q * dn Q * b. Model Pendptn Nsionl Y C+ I + G + ( > ; < b< ) C by Tentukn solusi Y * dn C * Jwb : Pishkn ntr vribel endogen dn eksogen : Y C I + G by + C Kemudin ubh ke dlm bentuk mtriks X B :
Y I + G b C X B Dengn turn Crmer s, diperoleh nili Y * dn C * c. Model IS-LM : Closed Economy IS : Y C+ I + G ( ) C + b t Y I d ei G G LM : M d M s M d ky li M s M Tentukn solusi Y * Jwb : Jik disederhnkn persmn LM menjdi : M ky li Pishkn ntr vribel endogen dn eksogen dri persmn IS dn LM : Y C I G ( ) b t Y C I + ei d ky li M Kemudin ubh ke dlm bentuk mtriks X Y G b( t) C e I d k l i M X B Dengn turn Crmer s, diperoleh nili Y * B :