5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan berikutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui, tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak. Definisi 2.1.2 (Ruang Contoh dan Kejadian) (Ghahramani 2005) Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan. Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari. Definisi 2.1.3 (Ukuran Peluang) (Ghahramani 2005) Suatu ukuran peluang pada ( ) adalah suatu fungsi, - yang memenuhi syarat-syarat berikut. 1. ( ) dan ( ) ; 2. Jika adalah himpunan yang saling lepas, yaitu, untuk setiap dengan, maka ( ) ( ). Pasangan ( ) disebut ruang peluang (probability space). Definisi 2.1.4 (Peubah Acak) (Grimmet & Stirzaker 2001) Misalnya ( ) adalah ruang peluang. Peubah acak (random variable) merupakan fungsi di mana * ( ) + untuk setiap. Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.
6 Definisi 2.1.5 (Fungsi Distribusi) (Ghahramani 2005) Jika adalah peubah acak, maka fungsi yang terdefinisi pada ( ) oleh ( ) ( ) disebut fungsi distribusi dari yang memenuhi syarat-syarat berikut. 1. tidak turun; 2. ( ) ; 3. ( ) ; 4. kontinu kanan. Definisi 2.1.6 (Fungsi Kepekatan Peluang) (Ghahramani 2005) Misalnya adalah peubah acak. Misalnya ada fungsi bernilai riil tak negatif, ) sehingga untuk setiap subset bilangan riil dapat dikonstruksi dari interval oleh bilangan terhitung dari operasi himpunan, ( ) ( ). Maka disebut kontinu mutlak. Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang atau fungsi kepekatan dari. Misalnya fungsi kepekatan dari peubah acak dengan fungsi distribusi maka berlaku syarat-syarat berikut 1. ( ) ( ) 2. ( ) 3. Jika kontinu mutlak, maka ( ) ( ) ; 4. Untuk bilangan riil ( ) ( ) 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Teorema 2.1.7 (Metode Transformasi) (Ghahramani 2005) Misalnya adalah peubah acak yang kontinu mutlak dengan fungsi kepekatan dan himpunan kemungkinan nilai-nilainya disimbolkan dengan. Untuk fungsi yang dapat diinverskan, misalnya ( ) adalah peubah acak dengan himpunan nilai-nilainya ( ) * ( ) +. Misalnya invers ( )
7 adalah fungsi ( ), yang terturunkan untuk setiap nilai-nilai. Maka, fungsi kepekatan dari, diberikan oleh ( ) ( ( )) ( ) ( ) Definisi 2.1.8 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu) (Ghahramani 2005) Jika adalah peubah acak yang kontinu mutlak dengan fungsi kepekatan peluang, maka nilai harapan dari didefinisikan oleh ( ) ( ) Definisi 2.1.9 (Ragam dan Simpangan Baku) (Ghahramani 2005) Jika adalah peubah acak yang kontinu mutlak dengan ( ), maka ( ) dan yang merupakan ragam dan simpangan baku dari, berturut-turut didefinisikan oleh ( ),( ) -,,( ) -. Definisi 2.1.10 (Peubah Acak Normal) (Ghahramani 2005) Peubah acak disebut normal, dengan parameter dan, jika fungsi kepekatan peluangnya adalah ( ) [ ( ) ] Lema 2.1.11 (Peubah Acak Normal Baku) (Ghahramani 2005) Jika ( ) maka adalah ( ) Yaitu, jika ( ) normal baku adalah ( ). Definisi 2.1.12 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama) (Ghahramani 2005) Dua peubah acak dan, yang terdefinisi pada ruang contoh yang sama, memiliki sebaran bersama yang kontinu jika terdapat fungsi dua variabel yang taknegatif, ( ) pada sehingga untuk sembarang wilayah pada bidang
8 yang dapat dibentuk dari persegi-persegi oleh operasi himpunan bilanganbilangan terhitung, (( ) ) ( ) Fungsi ( ) disebut fungsi kepekatan peluang bersama dari dan. Teorema 2.1.13 (Nilai Harapan dari Fungsi Dua Peubah Acak) (Ghahramani 2005) Misalnya ( ) adalah fungsi kepekatan peluang bersama dari peubah acak dan. Jika adalah fungsi dua variabel dari ke maka ( ) adalah peubah acak dengan nilai harapan, ( )- ( ) ( ) jika integralnya konvergen mutlak. Definisi 2.1.14 (Sebaran Poisson) (Ghahramani 2005) Peubah acak diskret dengan nilai-nilai disebut Poisson dengan parameter jika ( ) Teorema 2.1.15 (Nilai Harapan dari Penjumlahan Variabel Acak) (Ghahramani 2005) Untuk variabel acak yang terdefinisi pada ruang contoh yang sama, ( ) ( ) Definisi 2.1.16 (Kovarian) (Ghahramani 2005) Misalnya dan sebaran bersama peubah acak, maka kovarian dan didefinisikan oleh ( ) [( ( ))( ( ))] Jika dan independen (saling bebas) maka ( ) ( ) ( ) ( )
9 Teorema 2.1.17 (Peubah Acak ) (Walpole 1993) Bila dan masing-masing adalah nilai tengah dan ragam suatu contoh acak berukuran yang diambil dari suatu populasi normal dengan nilai tengah dan ragam, maka mempunyai sebaran dengan merupakan sebuah nilai peubah acak T yang derajat bebas. Teorema 2.1.18 (Limit Pusat Sebaran Peluang Normal) (Brase & Brase 2009) Misalkan adalah variabel acak yang menyebar normal dengan rataan dan standar deviasi contoh acak berukuran ini adalah benar.. Misalkan adalah rataan dari contoh yang terkait dengan 1. Sebaran adalah sebaran normal; 2. Rataan dari sebaran adalah ; 3. Simpangan baku dari sebaran adalah. yang diperoleh dari sebaran. Maka pernyataan berikut Teorema 2.1.19 (Limit Pusat Sembarang Sebaran Peluang) (Brase & Brase 2009) Jika merupakan sembarang sebaran dengan rataan dan simpangan baku, maka rataan contoh yang diperoleh dari contoh acak berukuran akan memiliki sebaran yang menghampiri sebaran normal variabel acak dengan rataan simpangan baku ketika menuju tak hingga. 2.2 Kekontinuan Definisi 2.2.1 (Kekontinuan) (Purcell & Varberg 1999) Suatu fungsi disebut kontinu pada bilangan jika berlaku ( ) ( ). Fungsi disebut kontinu kanan pada bilangan jika berlaku ( ) ( ), sedangkan fungsi disebut kontinu kiri pada bilangan jika berlaku ( ) ( ). Fungsi disebut kontinu pada interval jika kontinu pada bilangan untuk semua Himpunan fungsi-fungsi yang kontinu pada interval dinotasikan sebagai ( ). dan