BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu kumpuln bilngn sejumlh m x n yng disusun menjdi m bris dn n kolom. Persmn (.) menunjukkn contoh sebuh mtrix dengn m bris dn n kolom. [ ] Jik m m......... n n mn e-mil swidodo@uny.c.id (.) m n mk mtrix yng ditunjukkn pd Persmn (.) disebut sebgi mtrix persegi (rectngulr). Jik m dn n >, mk elemen pd Persmn (.) tersusun dlm stu bris ngk yng disebut mtrix bris. Jik m > dn n mk kn tersusun bilngn dlm stu kolom yng disebut sebgi mtrix kolom. Jik m n, mk susunn bilngn yng terbentuk disebut sebgi mtrix bujur sngkr (squre). Penulisn mtrix bris, persegi dn bujur sngkr dinotsikn menggunkn tnd kurung kolde [ ], sedngkn mtrix kolom dinotsikn dlm tnd kurung kurwl { }. Untuk memudhkn penulisn mtrix (bris, kolom, persegi mupun bujur sngkr) sering dinotsikn dlm bentuk sebuh vribel dengn gris di bwhny tu sebuh vribel yng dikelilingi tnd kurung kolde tupun kurung kurwl. Penggunn mtrix selnjutny disesuikn dengn kebutuhn pr pemkiny mislny; mtrix gy (forces) dn perpindhn

(displcements) dlm nlisis struktur disusun dlm bentuk mtrix kolom, sedngkn mtrix kekkun (stiffness mtrix) disusun dlm bentuk mtrix bujur sngkr. Identifiksi elemen dlm sebuh mtrix, direpresentsikn dengn notsi, di mn subscript i dn j menunjukkn jumlh bris dn kolom pd mtrix [] [ ]. Berikut disjikn beberp lterntif notsi mtrix (.) Contoh numeris dri berbgi jenis mtrix disjikn pd Persmn (.) smpi (.6). Contoh mtrix persegi 5 di mn mtrix e-mil swidodo@uny.c.id yng tergolong mtrix (.) tersusun dlm bris dn kolom. Jik mtrix dlm Persmn (.) hny terdiri dri stu bris (m ), mk kn dihsilkn mtrix bris seperti berikut [ -] (.) Jik n mk Persmn (.) kn menghsilkn mtrix kolom, mislny (.5) Jik m n mk Persmn (.) kn menghsilkn mtrix bujur sngkr sebgi berikut (.6)

Mtrix dn notsiny sering digunkn untuk mengekspresikn Persmn Aljbr dlm bentuk ringks yng sering ditemui dlm nlisis struktur dengn metode mtrix kekkun kren dlm penggunnny kn sngt membntu dlm menyelesikn sutu permslhn numeris... Opersi Mtrix Sub pokok bhsn ini menyjikn berbgi opersi mtrix yng sering digunkn dlm nlisis struktur. Perklin Mtrix dn Bilngn Sklr Jik kit mempunyi sebuh bilngn sklr k dn sutu mtrx mtrix k. c dpt dihsilkn dri Persmn c, mk k. c (.7) di mn setip elemen dlm mtrix k, sebgimn dlm contoh berikut c k menghsilkn mtrix. k. c 8 Perlu dictt bhw mtrix mtrix yng berordo m x n. Penjumlhn Mtrix c diklikn dengn bilngn sklr c yng berordo m x n kn menghsilkn Mtrix yng memiliki ukurn ordo yng sm dpt sling dumlhkn untuk msing-msing elemen yng memiliki lmt sm, turn ini jug berlku untuk opersi pengurngn mtrix. Mtrix-mtrix dengn e-mil swidodo@uny.c.id

ordo yng sm dpt dilkukn opersi penjumlhn dn pengurngn, di mn untuk opersi penjumlhn kn mengikuti ketentun hukum komuttif dn sositif. c + b b+ (komuttif) (.8) d + b+ c + b + c (sositif) tu dlm bentuk notsi ber-index dpt dinytkn [ c ] [ ] + [ b ] [ b ] + [ ] [ d ] [ ] + [ b ] + [ c ] ([ ] + [ b ]) + [ c ] (komuttif) (.9) (sositif) sebgi contoh numerik dpt diliht opersi mtrix berikut b mk hsil penjumlhn c + + b c diperoleh Perlu dictt bhw mtrix, b dn e-mil swidodo@uny.c.id c hrus memiliki ukurn ordo yng sm, mislny mtrix berordo x tidk dpt dumlhkn tu dikurngkn dengn mtrix yng berordo x. Perklin Mtrix Opersi perklin ntr du mtrix dn b sebgimn ditunjukkn pd Persmn (.), hny dpt dilkukn jik jumlh kolom pd mtrix sm dengn jumlh bris pd mtrix b, sebgi contoh c b (.)

Jik dlh sebuh mtrix berordo m x n, mk mtrix b hrus memiliki n buh bris. Dengn notsi subscript dpt dituliskn hsil perklin mtrix dn b sebgi n [ c ] iebej e Di mn n merupkn jumlh keseluruhn kolom pd mtrix bris pd mtrix b. Untuk mtrix opersi perklinny kn dihsilkn dn. b +. b. b +. b [ ] e-mil swidodo@uny.c.id (.) tu b yng berordo x, dlm c (.). b +. b. b +. b Perhtikn contoh berikut b hsil perklin. b diperoleh () + () b () + () ( ) + () (( ) + () 7 Pd umumny opersi perklin mtrix tidk mengikuti hukum komuttif, di mn b b (.) Vlidits/kebenrn hsil perklin ntr du buh mtrix dpt diilustrsikn sebgi berikut b c dn ( ixe )( exj) ( ixj) (.) b 5

di mn mtrix sm dengn bris pd mtrix pd mtrix b. ntr lin (). (b). (c). c yng dihsilkn kn berordo i x j; dengn jumlh bris dn jumlh kolom sm dengn kolom Dlm opersi perklin mtrix terdpt beberp sift penting, b+ c b + c (distributif) (.5) + b c c + bc (distributif) bc b c (sositif) Mtrix rnspose Pd semu jenis mtrix, bik yng berup bris, kolom, persegi mupun bujur sngkr dpt dilkukn opersi trnspose. Opersi ini sering digunkn dlm menyelesikn permslhn nlisis struktur dengn metode mtrix kekkun. rnspose dri sutu mtrix sebgi dilmbngkn. rnspose dri sutu mtrix diperoleh dengn cr menukrkn elemen bris dn kolom, sehingg elemen-elemen pd bris pertm kn menempti kolom pertm; bris kedu menjdi kolom kedu dn seterusny. Opersi trnspose dri mtrix contoh mk [ ] [ ] (.6) [ ] ji 5 6 e-mil swidodo@uny.c.id,

[ ] 5 di mn kit telh menukrkn elemen elemen bris dengn kolom untuk mendptkn mtrix trnspose. Perlu dikethui bhw terdpt hubungn yng penting dlm opersi trnspose mtrix b. b. (.7) Persmn (.6) menunjukkn trnspose dri sebuh mtrix yng merupkn hsil perklin ntr mtrix dn e-mil swidodo@uny.c.id b sm dengn hsil perklin ntr trnspose mtrix b diklikn dengn trnspose mtrix. Ketentun ini berlku secr umum berppun jumlh mtrix yng diopersikn, sehingg b c k..... k... c. b. (.8) rnspose dri sebuh mtrix kolom kn menghsilkn mtrix bris. Contoh ksus dri Persmn (.7) dpt diliht di bwh ini mk selnjutny 5 7.b. 6 9 [ 7 9] 5 b 6. b (.9) Cr lin dilkukn dengn opersi trnspose mtrix dn hsilny kn diklikn b. [ 5 6 ]. [ 7 9] (.) 7

Hsil dri Persmn (.8) dn (.9) menunjukkn kebenrn dri Persmn (.7). Mtrix Simetris Jik sebuh mtrix sm dengn trnspose-ny, mk mtrix tersebut dpt diktegorikn sebgi mtrix simetris; tu jik (.) mislny mtrix berikut ini Mtrix di ts tergolong mtrix yng simetris kren setip elemen sm dengn elemen ji untuk e-mil swidodo@uny.c.id i j. Pd contoh di ts terliht digonl utm dri rh sudut kiri ts ke rh sudut knn bwh merupkn gris simetri pd mtrix tersebut. Perlu dictt bhw hny mtrix bujur sngkr yng dpt digolongkn dlm mtrix simetris. Mtrix Stun Mtrix stun yng jug disebut mtrix identits lzim dilmbngkn sebgi mtrix I, di mn. I I. (.) Mtrix stun sellu berup mtrix bujur sngkr di mn semu elemenny bernili nol keculi pd digonl utm sellu bernili stu. Apbil mtrix stun diklikn dengn sutu mtrix tertentu kn menghsilkn mtrix itu sendiri. Contoh mtrix stun yng berordo x 8

I Determinn Determinn mtrix bujur sngkr dpt dihitung dengn persmn di bwh ini [ A] x ; mk Determinn [ A] A.. [ ] A x ; mk A ( b. b b. ).( b. b b. ) +.( b. b ). b. Untuk mtrix yng berordo lebih besr dpt digunkn persmn berikut n A c c + c + L+ ik k ik di mn i i i i in c in i+ k ( ik merupkn cofctor ik c ik ) M dengn M merupkn minor ik ik (.) Perlu dikethui minor merupkn determinn dri bgin mtrix [ ] lur bris ke-i dn kolom ke-k. Mtrix Inverse A di Mtrix inverse dlh sutu mtrix yng jik diklikn dengn mtrix sl -ny kn menghsilkn mtrix identits. Dlm bentuk persmn mtemtis dpt dituliskn sebgi berikut.. I (.) e-mil swidodo@uny.c.id 9

Sebuh mtrix kn mempunyi mtrix inverse jik mtrix tersebut berbentuk bujur sngkr. Mtrix inverse dpt diperoleh dengn beberp cr di ntrny; metode cofctor tu djoint dn metode Guss-Jordn. Metode djoint tu cofctor dpt digunkn untuk menghitung inverse dri sebuh mtrix bujur sngkr, berdsrkn persmn berikut ini C di mn C C merupkn mtrix cofctor (.5) merupkn trnspose dri mtrix cofctor yng disebut sebgi mtrix djoint. Berikut ini diberikn contoh penghitungn mtrix inverse dri mtrix jik dikethui cofctor dri mtrix + c ( ) + c ( ) + c ( ) 8 + c ( ) dpt dihitung dengn + c ( ) e-mil swidodo@uny.c.id,

+ c ( ) Anlog cr di ts diperoleh, c ; c ; c mk didptkn cofctor mtrix c 8 sehingg dpt ditentukn djoint mtrix c 8 selnjutny determinn mtrix A + c + c c A ( )( ) + ()( ) + ( )(8) mk mtrix inverse c A diperoleh 8 selnjutny dpt diperiks bhw dpt dihitung sebgi berikut Cr lin yng jug sering digunkn untuk menghitung inverse dri sutu mtrix dlh Metode Guss-Jordn. Lngkh-lngkh yng hrus dilkukn untuk mencri inverse dri mtrix dengn metode Guss-Jordn dlh sebgi berikut dengn ordo n x n e-mil swidodo@uny.c.id

(). entukn mtrix stun I dengn ordo n x n. (b). Dengn cr opersi bris, ubhlh mtrix I dengn thpn sebgi berikut menjdi mtrix stun (i). Bgilh bris ke-i dengn, sehingg nili bernili sm dengn stu. (ii). Jumlhkn bris ke- dengn bris ke- yng telh diperklikn dengn (- ), sehingg nili sekrng berubh menjdi nol. (iii). Ulngi lngkh (ii) untuk bris ke-,,5,...,n, sehingg semu elemen pd kolom ke- bernili dm dengn nol, keculi elemen yng bernili sm dengn stu. (iv). Ulngi lngkh (i), (ii), (iii) untuk bris kedu, dimuli dengn membut nili, dn elemen linny pd kolom ke- bernili sm dengn nol (,,,..., ). e-mil swidodo@uny.c.id (v). Ulngi lngkh (iv) untuk bris ke-,, 5,..., n. (vi). Proses selesi. n (c). Proses (b) sekligus jug dilkukn terhdp mrix I sekligus, sehingg setelh proses selesi mtrix mtrix yng merupkn inverse dri mtrix I telh berubh menjdi (d). Proses keseluruhn dpt dinytkn dlm persmn berikut opersi bris [ I ] [ I ] (.6) Contoh.

e-mil swidodo@uny.c.id Untuk mencri inverse dri mtrix dengn metode Guss-Jordn, dilkukn opersi bris dengn notsi H p ik ) ( yng menunjukkn penjumlhn pd bris ke-i dengn bris ke-k yng telh diperklikn dengn p, mislny H ) ( menunjukkn bris ke- dumlhkn dengn kli bris ke-. H ) ( H ) ( H ) ( H ) ( 7 Mk diperoleh 7 Sutu mtrix yng memiliki mtrix inverse disebut sebgi mtrix nonsingulr sedngkn mtrix yng tidk memiliki inverse disebut mtrix singulr, yng ditndi dengn nili determinn sm dengn nol... Penyelesin Persmn Liner dengn Metode Inversi Mtrix Dlm nlisis struktur dengn metode mtrix kn bnyk dumpi bentuk-bentuk susunn persmn liner, yng secr mtemtis dpt ditulis sebgi berikut

[ A ]{ X } { B}. (.7) di mn [ A ] [ X ] [ B ] Mtrix bujur sngkr yng menunjukkn koefisien persmn liner yng dimksud. Mtrix kolom dri bilngn unknown. Mtrix kolom dri konstnt. Jik Persmn (.7) diklikn dengn mtrix [ ] [ A] [ A]{ X } [ A] { B} [ I ]{ X } [ A] { B} { X } [ A] { B} A, mk (.8) Contoh dikethui sutu susunn persmn liner sebgi berikut; x + y + z - x + y + z x + y + z Persmn di ts dpt disusun dlm bentuk mtrix mk [ A ]{ X } { B} x y z { X } [ A] { B} x y z 7 sehingg diperoleh x y z 7 e-mil swidodo@uny.c.id