POSET ( Prtilly Ordered Set ) Himpunn Terurut Prsil Definisi Sutu relsi biner dinmkn sebgi sutu relsi pengurutn tk lengkp tu relsi pengurutn prsil ( prtil ordering reltion ) jik i bersift reflexive, ntisymmetric, dn trnsitive. Ilustrsi Mislkn A sebuh himpunn bilngn bult positif dn R sebuh relsi biner pd A sedemikin rup sehingg (,b ) d di dlm R jik membgi hbis b. Kren jik membgi hbis b berrti b tidk membgi hbis keculi = b, R dlh sebuh relsi ntisymmetric. ( tolk setngkup ) Kren setip bilngn bult membgi hbis diriny sendiri, R merupkn sutu relsi reflexive. ( memntul ) Kren jik membgi hbis b, dn b membgi hbis c, mk membgi hbis c, R dlh sebuh relsi trnsitive. ( menghntr ). Dengn demikin R dlh sebuh relsi pengurutn prsil. Secr intuitif, didlm sutu relsi pengurutn prsil, du bend sling berhubungn. Jik slh stuny lebih kecil ( lebih besr ) dripd tu lebih pendek ( lebih tinggi ) dripd linny menurut sift tu kriteri tertentu. Memng istilh pengurutn (ordering) berrti bhw bend-bend di dlm himpunn itu diurutkn menurut sift tu kriteri tersebut. Akn tetpi, jug d kemungkinn bhw du bend di dlm himpunn itu tidk berhubungn dlm relsi pengurutn prsil. Dlm hl demikin, kit tk dpt membndingkn keduny dn tidk mengidentifiksi mn yng lebih kecil tu lebih rendh. Itulh lsnny digunkn istilh pengurutn prsil ( prtil ordering ). Himpunn A bersm-sm dengn sutu relsi pengurutn prsil R pd A dinmkn himpunn terurut prsil ( Prtilly Ordered Set ) tu disingkt sebgi Poset, dilmbngkn dengn ( A, R ). Pengurutn prsil pling terkenl dlh relsi dn pd himpunn Z dn R. Untuk lsn ini, ketik berbicr secr umum tentng sebuh pengurutn prsil R pd himpunn A kit kn sering menggunkn symbol tu untuk R. CONTOH 1. Himpunn Z + dlh himpunn bilngn bult positif. Relsi (kurng tu sm dengn) dlh sebuh prsil order pd Z +. Hl ini berlku pul untuk relsi. Jwb : Bil (,b) d didlm R jik b. Kren setip bilngn bult = diriny sendiri refleksive (memntul) Kren b dn b keculi = b ntisymmetris Jik b dn b c mk c trnsitive ( menghntr ).
Digrm Hsse (telh dibhs diwl) sutu relsi biner dri himpunn A ke himpunn B dpt didjikn dlm bentuk grfik mupun tbel. e e b c d e d d c c b c d e b b ( i ) ( ii ) ( iii ) Bil relsi biner itu berup relsi pengurutn prsil, sjin grfik itu bis lebih disederhnkn lgi. Kren relsi bersift memntul (refleksive), kit dpt membung pnel-pnel ke titik (-titik) ny sendiri. liht gmbr (i) menjdi (ii). Kren relsi bersift menghntr (trnsitive), kit dpt membung pnh ntr titik-titik yng dihubungkn dengn serngkin pnh. liht gmbr (ii) menjdi gmbr (iii). # Representsi grfik sutu relsi pengurutn prsil yng semu tnd pnhny mengrh kets jug dikenl sebgi : Digrm Hsse bgi relsi tersebut. CONTOH 2. A = { 1,2,3,4,12 }. Anggp pengurutn prsil dri pembgin pd himpunn A jik dn b A, b jik dn hny jik / b. Gmbrkn digrm Hsse Poset ( A, ). Jwb: 12 12 4 3 4 3 2 1 2 1
3. S = {,b,c } dn A = P(S). Gmbrkn digrm Hsse poset A dengn prtil order (himpunn bgin) : ( A, ) Jwb : A = {, {}, {b}, {c}, {,b}, {,c}, {b,c}, {,b,c}} {,b,c} {b,c} {b} {c} {,b} {,c} {} Dengn mudh dpt diliht jik ( A, ) dlh sebuh poset dn ( A, ) dlh poset jug. Hsse digrm untuk ( A, ) persis sm dengn digrm ( A, ) yng diblik dits kebwh. Titik Extrem Dri Poset Mislkn ( A, ) sebuh himpunn terurut prsil. Sutu unsur di dlm A dinmkn Unsur Mksimum (mximl elements) jik tidk d unsur b didlm A yng bersift b dn b. Sutu unsur di dlm A dinmkn unsur minimum ( miniml element ) jik tidk d unsur b didlm A yng bersift b dn b. j (dlm contoh gmbr dismping), j dlh unsur mksimum, sedngkn, b, e dlh unsur minimum. h f i g Upper Bound Mislkn dn b du unsur sembrng di dlm sutu himpunn terurut prsil ( A, ). Sutu unsur c diktkn sebgi bts ts (upper bound) bgi dn b jik c dn b c. Dlm gmbr: h dlh upper bound bgi f dn g. Begitu pul i dn j = upper bound bgi g. b c d e Sutu unsur c dinmkn bts ts terkecil (lest upper bound = LUB ) bgi dn b jik c merupkn sutu bts ts bgi dn b, dn tidk d bts ts lin d bgi dn b yng bersift d c.
Lower Bound Sutu unsur c dinmkn sutu bts bwh (lower bound) bgi dn b jik c dn c b. Dn sutu unsur c diktkn sebgi sutu bts bwh terbesr (gretest lower bound = GLB) bgi dn b jik c dlh sutu bts bwh bgi dn b dn jik tk d bts bwh lin d bgi dn b yng bersift c d. (dlm contoh dits) Misl: B1 = { b, c } merupkn himpunn.bgin dri A. Mk Upper Bound dri B1 dlh f, h, i, j. LUB ( B1 ) = f Misl: B2 = { h, i } merupkn himpunn bgin dri A. Mk Lower Bound dri B2 =, b, c, d, e, f dn g. GLB ( B2 ) = f, g. LATTICEs Pengertin dn Notsi Sebuh lttice dlh sebuh poset (L, ) yng setip himpunn bginny {,b} memiliki du elemen yitu lest upper bound dn gretest lower bound. Kit notsikn lest upper bound (LUB) ({,b}) dengn b dn kit sebut join ntr dn b, sedngkn gretest lower bound (GLB) ({,b}) dengn b dn disebut meet ntr dn b. struktur lttice sering terliht dlm perhitungn dn pliksi mtemtik. Teorem 1 Jik (L1, ) dn (L2, ) dlh lttice, kemudin (L, ) dlh lttice, dimn L= L1 L2 dn prtil order pd L dlh product prtil order. Bukti: Kit notsikn join dn meet dlm L1 dengn 1 dn 1, secr berurutn, join dn meet pd L2 dengn 2 dn 2 secr berurutn, sehingg : (1,b1) (2,b2) = (1 1 2, b1 b2) (1,b1) (2,b2) = (1 1 2, b1 b2) dengn demikin L dlh lttices. Contoh 1 Pd himpunn S yng bernggotkn dn b - b = b - b = b Pengertin dri b dn b 1. b; b b, mk ( b dlh sebuh bts ts ( n upper bnd ) untuk dn b). kit dpt mengtkn demikin kren dri pertidksmn di ts terliht bhw b sellu lebih besr tu sm dengn tu b. sehingg dpt dimbil kesimpuln b dlh yng pling besr (upper bound). 2. Jik c dn b c, kemudin b c mk b dlh sebuh bts ts terendh ( lest upper bound) untuk dn b. 3. b dn b b mk b dlh sebuh bts bwh untuk dn b ( lower bound) untuk dn b.
4. jik c dn c b, kemudin c b, mk b dlh bts bwh terbesr ( gretest lower bound) untuk dn b. Isomorphic Lttices Jik f: L1 L2 dlh isomorphisme dri poset (L1, 1) ke poset (L2, 2), kemudin pd teorem 4 (4.2) menerngkn bhw L1 dlh lttice jik dn hny jik L2 dlh lttice. Fktny, jik dn b dlh elemen-elemen pd L1, kemudin f( b) = f() f(b) dn f( b)= f() f(b). jik kedu lttice dlh isomorphic sebgi poset, kit dpt ktkn keduny dlh isomorphic lttices. teorem 2 misl L dlh Lttices, kemudin untuk setip dn b dlm L () b = b, jik dn hny jik b. bukti nggp bhw b = b kren b= b, kit dptkn b. seblikny jik b kemudin kren b b, b dlh n upper bound untuk dn b, oleh kren itu dengn definisi lest upper bound kit peroleh b b kren b dlh n upper bound, b b, sehingg b= b. (b) b=, jik dn hny jik b bukti : nggp bhw b = kren = b, kit dptkn. b dlh n upper bound untuk dn b, oleh kren itu dengn definisi gretest lower bound kit peroleh b kren b dlh lower bound, b, b=. (c) b=c jik dn hny jik b= b. Teorem 3 1. Idempotn properties. = = 2. Commuttive properties. b = b b = b 3. Associtive properties (b c) = ( b) c (b c) = ( b) c 4. Absorption Porperties ( b) = ( b) = Teorem 4 1. jik b mk c b c c b c 2. c dn b c jik dn hny jik b c 3. c dn c b jik dn hny jik c b. 4. jik b dn c d mk
c b d c b d teorem 6 = I dn = 0 berrti dlh komplemen, dimn I dlh elemen terbesr (gretest elemen) dn 0 dlh elemen terkecil(lest elemen). Dengn demikin : 0 = I dn I = 0 Teorem 7 = misl dn dlh komplemen untuk 0 L, mk = I = I = 0 = 0 dengn turn distribusi didpt = 0 = ( ) = ( ) ( ) = I ( ) = jug = 0 = ( ) = ( ) ( ) = I ( ) = sehingg dpt diktkn bhw =. Contoh 2 Jik n dlh sebuh bilngn bult positif, dn Dn dlh himpunn dri semu bilngn bult positif pembgi n, Dn dlh sebuh Lttice berdsr dengn hubungn keterbgin. Dn = {1, 2, 3, 4, 5, 10, 20} Digrm Hsse untuk Dn 20 4 10 2 5 1