BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Topik utama kalkulus diferensial yaitu turunan. Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda. Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Kemudian kalkulus integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi sehingga matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Turunan dan integral menjadi peranan penting dalam kalkulus, dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik hingga bidang ekonomi. Orde turunan dan integral dari suatu fungsi secara tradisional senantiasa dihubungkan dengan bilangan asli. Artinya jika diberikan suatu fungsi, maka dapat ditentukan turunan ke (orde) satu, ke dua, ke tiga dan seterusnya. Begitu juga dengan integral, jika diberikan suatu fungsi maka dapat ditentukan integral lipat (orde) satu, lipat dua, lipat tiga dan seterusnya (Rusyaman, 2013). Diferintegral adalah cabang dari kalkulus yang menggabungkan konsep turunan dan integral suatu fungsi dengan orde bukan bilangan bulat (fraksional), yaitu bilangan rasional atau bahkan bilangan real. Diferintegral yang mempunyai nama lain kalkulus fraksional muncul pada tahun 1695 atas pemikiran G.F.A. de L Hopital dan G.W. Leibniz yang didorong rasa keingintahuan tentang turunan orde setengah. Ide generalisasi dari konsep ini adalah bagaimana menentukan turunan dan integral yang berorde bukan bilangan bulat (fraksional). Sebelumnya telah dikenal D n f(x) = f (n) (x) sebagai turunan berorde bilangan asli n dari fungsi f(x) terhadap variabel x, maka sebagai generalisasi dari bentuk tersebut diperkenalkan D p f(x) = f (p) (x) sebagai turunan berorde bilangan 1
2 fraksional p dari fungsi f(x) terhadap variabel x (Rusyaman, 2013). Generalisasi untuk operasi integral fraksional merupakan invers dari turunan fraksional. Permasalahan yang ada dalam lingkungan kehidupan dapat ditransformasikan dalam model matematika dengan menggunakan beberapa asumsi. Dari model matematika yang ada selanjutnya dapat dianalisis perilaku-perilaku di dalamnya. Terdapat beberapa masalah yang dimodelkan dan dibawa ke bentuk diferintegral. Diferintegral berfungsi sebagai alat pemecahan masalah, khususnya masalah di bidang sains, teknik dan ekonomi. Permasalahan tautochrone adalah salah satu contoh dasar penerapan diferintegral yang menunjukkan penggunaan diferintegral dalam menyelesaikan persamaan integral. Persamaan osilasi orde fraksional merupakan persamaan diferensial yang menggunakan diferintegral untuk menyelidiki perilaku sistem osilator dalam turunan waktu secara fraksional. Permasalahan atau aplikasi lain yang terkait dengan penggunaan diferintegral diantaranya: masalah viskoelastisitas dalam reologi, persamaan difusi, persamaan schrödinger, jaringan listrik, teori elektromagnetik bahkan hingga teori probabilitas. 1.2. Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah: 1. Mendeskripsikan bentuk umum diferintegral menurut Grünwald-Letnikov. 2. Membentuk diferintegral dengan orde fraksional. 3. Membentuk rumusan-rumusan dasar dan sifat-sifat dasar diferintegral. 4. Mengaplikasikan bentuk umum dan rumusan diferintegral sebagai alat penyelesaian fenomena yang terjadi sehari-hari. 1.3. Batasan Masalah Masalah yang dibahas pada tulisan ini dibatasi pada pendefinisian diferintegral menurut Grünwald-Letnikov. Diluar bahasan ini definisi diferintegral juga
3 dirumuskan oleh Riemann-Liouville dan Caputo. Pada tugas akhir ini hanya diberikan contoh aplikasi mengenai penerapan persamaan integral Abel dan persamaan osilasi. Masih banyak bidang yang juga menggunakan diferintegral sebagai alat penyelesaiannya. 1.4. Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini juga bertujuan untuk membahas teori turunan dan integral dengan orde bukan bilangan bulat yang merupakan cabang ilmu kalkulus yang tidak diajarkan dalam perkuliahan. Dikarenakan pentingnya pengaruh diferintegral dalam dunia pengetahuan dan banyaknya pengaplikasian diferintegral pada masalah sehari-hari maka penulis mengangkat topik ini sebagai bahan skripsi. 1.5. Tinjauan Pustaka Dalam penulisan skripsi ini digunakan beberapa buku dan karya ilmiah sebagai acuan. Literatur utama pembahasan pada skripsi ini mengacu pada buku yang ditulis Podlubny (1999) dengan judul "Fractional Differential Equations" yang membahas definisi diferintegral menurut beberapa ahli diantaranya: Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville dan Caputo. Materi pendukung diferintegral diantaranya: fungsi khusus dalam kalkulus diambil dari buku Darmawijaya (2006), sifat koefisien binomial dan koefisien binomial diperluas diambil dari jurnal Sunni (2009) dan Johnsonbaugh (1997), transformasi Laplace beserta inversnya mengacu pada buku Ch. Rini, dkk (2003). Pembentukan diferintegral orde fraksional mengacu pada jurnal Lavoie (2001). Rumusan-rumusan diferintegral yang berisikan diferintegral untuk fungsi pangkat, fungsi konstan dan fungsi eksponensial diambil dari karya tulis Crompton (2011). Artikel dari Xuru (2006) dan Rusyaman (2013) menambahkan sifat-sifat dasar dari turunan dan integral yang dapat diterapkan pada diferintegral. Aplikasi persamaan integral abel dan persamaan osilasi orde fraksional mengacu pada Tesis Kisela (2008).
4 1.6. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah melakukan studi literatur dari berbagai buku, jurnal, artikel maupun tugas akhir mengenai definisi kalkulus fraksional atau diferintegral. Dalam penurunan rumus untuk mendapatkan bentuk umum diferintegral diperlukan definisi fungsi-fungsi khusus dalam kalkulus seperti fungsi Gamma, fungsi Beta dan fungsi Mittag-Leffler, sifat dari binomial dan transformasi Laplace. Dalam penggunaan diferintegral berdasarkan definisi sangatlah rumit sehingga diperlukan sifat-sifat dasar dan rumusan diferintegral untuk beberapa fungsi dasar kalkulus. Sifat dan rumusan diferintegral digunakan sebagai alat untuk mengoptimalkan penyelesaian dalam memecahkan masalah matematika terapan dan aplikasi diferintegral lainnya. 1.7. Sistematika Penulisan Pada penulisan tugas akhir ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka dan metodologi penelitian yang digunakan serta sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini merupakan penjelasan tentang teori dasar yang berkaitan dengan pembentukan definisi diferintegral menurut Grünwald-Letnikov. Teori dasar yang berhubungan dengan diferintegral berupa fungsi-fungsi khusus dalam kalkulus, diantaranya: fungsi Gamma, fungsi Beta dan fungsi Mittag-Leffler serta fungsi Delta Dirac. Dilengkapi juga dengan teori binomial dan transformasi Laplace sebagai alat untuk pembentukan rumusan dasar yang mengenai diferintegral dan teori yang berkaitan dengan penyelesaian diferintegral. BAB III DIFERINTEGRAL GRÜNWALD-LETNIKOV Pada bab ini dikemukakan pembahasan dan hasil pembelajaran dan bimbingan ten-
5 tang definisi diferintegral menurut Grünwald-Letnikov. Diawali dengan penggabungan konsep turunan dan integral menjadi bentuk diferintegral yang selanjutnya dikembangkan menjadi bentuk diferintegral dengan orde fraksional. Rumusan diferintegral untuk beberapa fungsi dasar dalam kalkulus diantaranya, fungsi pangkat, fungsi konstan dan fungsi eksponensial serta sifat-sifat dasar dalam turunan dan integral yang dapat diterapkan untuk diferintegral yaitu sifat kelinearan diferintegral, komposisi diferintegral dengan turunan orde n, komposisi diferintegral dengan diferintegral serta transformasi Laplace untuk diferintegral. Dilengkapi dengan penjabaran aplikasi mengenai masalah tautochrone dan masalah osilasi yang menggunakan diferintegral sebagai alat penyelesaiannya. BAB IV PENUTUP Bab ini berisi tentang kesimpulan yang didapat dalam penulisan skripsi ini serta saran untuk penelitian mendatang dengan topik yang berkaitan dengan skripsi ini.