BB II PEMULIHN SOLUSI MEODE REP DN ERROR ESIMOR Z.1. UMUM.1.1 Ksalaa Solus Mtod Elm Hgga Error yag trjad mrupaka sls atara solus ksak dga solus pdkata da dapat dksprska dalam btuk prala, tgaga maupu gaya dalam. Dga mgkutsrtaka stmator rror pada aalsa struktur, brart kta brupaya trus utuk mgkatka ktlta solus lm gga da stmator rror aka mmbr dkator prlu atau tdakya aalss brulag. Dga dmka suatu pcapaa batas stadar ktlta dapat dtrma dalam aplkas tkk. Btuk ksalaa solus lm gga bsa dalam btuk ksalaa prala, ksalaa gaya dalam, k = u -u (.1a) U k = M - M M k = (.1b) atau ksalaa tgaga, σ = σ k σ (.1c) dmaa, U, M,, σ = rror ksak utuk prala, mom, gaya gsr, da tgaga u, M,, σ = solus MEH utuk prala, mom, gaya gsr, da tgaga u k, M k, k, σ k = solus ksak utuk prala, mom, gaya gsr, tgaga Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008.
Bab II. Pmula Solus Mtod REP Prstas rror yag trjad aka mrduks apabla ukura lm dprkcl (mmprbayak jumla lm) atau dga mamba drajat fugs aproksmas polomal tap lm. Hal mgakbatka tgkat kovrgs da aksptbltas tap lm gga brbda-bda kara tap lm mdfska sdr ukura da ord fugs aproksmas polomalya. Namu tya adala bagamaa kta mtuka bsarya rror yag trjad dalam batasa rror da pross dskrtsas yag dbrka. Hal mutut kta utuk mtuka : Error yag mucul dar solus mtod lm gga (stmas rror a postror) Cara mmprbak solus utuk mmprol asl dga tgkat akuras yag dgka scara kooms..1. Estmas Error Postror Mtod stmas rror trbag dalam dua tp yatu : a. Estmas rror a pror Estmas rror a pror brdasarka kcpata kovrgs asmtotk slama ukura jarga cdrug ol da slama drajat dar fugs aproksmas polomal cdrug tak brgga. Mtod dapat mmprdkska kcpata kovrgs, ttap sdkt myataka ttag rror. b. Estmas rror a postror Estmas rror a postror mgguaka spuya formas solus dar asl aalsa mtod lm gga dalam formulasya. Paramtr yag dguaka stmas rror a postror trdr dar stmator ksalaa, dks fktftas, rror rlatf (dkator rror), da dkator pgalusa. Paramtr aka mtuka lokas jarga yag prlu dpralus utuk mgaslka rror yag lb kcl brdasarka dkas rror rlatfya. Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 11
REP Itrfac Basd Patc Idks fktftas myataka tgkat kovrgs stmas rror tradap rror ksak, yag scara umum drumuska sbaga raso rror yag dstmaska dalam btuk orma rg tradap rror ksakya sbaga brkut : 1/ 1/ Θ = atau Θ = (.) Dar dks fktftas trsbut kta mgarapka agar Θ * atau Θ 1 da rror ksak mdkat ol sgga stmas rror kta dapat dkataka asmtotk ksak. Utuk dapat mujukka lokas yag mmrluka prbaka solus, kta dapat mgguaka bsara yag damaka rror rlatf da dkator pgalusa. Dga mgguaka kdua bsara trsbut kta arus mjau apaka kovrgs asmtotk trcapa, yatu Θ * atau Θ 1 jka (ukura lm) 0 atau p(drajat polomal)..1.3 Pgalusa Jarga Dalam mrgras ms (jarga) kta mmlk pla utuk mgmat pross prtuga rror dga mmprtaaka btuk ms awal da kmuda dpralus scara lokal. Hal dapat dlakuka dga cara : a) Mamba lm yag brtp sama dga lm yag dguaka dalam ms awal ttap dga ukura () yag lb kcl, atau b) Mgguaka btuk lm yag sama, ttap dga mamba jumla drajat fugs polomal (p), dalam al mamba odal baru utuk tap lm, atau c) Kombas a) da b) Cara a) kta kal sbaga pgalusa mtod- sdagka cara b) kta kal sbaga pgalusa mtod-p yag dlustraska sprt pada Gambar dbawa : Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 1
Bab II. Pmula Solus Mtod REP Ms awal Pgalusa mtod scara lokal Pgalusa mtod p Gambar.1 Pgalusa jarga mtod- da p Gambar datas mujukka bawa pgalusa jarga dapat dlakuka dga dua mtod yatu mtod da mtod p. Mtod sdr dapat dlakuka scara sragam da adaptf. Pgalusa jarga scara adaptf mmlk kuggula dbadgka dga pgalusa sragam. Error yag trjad basaya tdak sama utuk stap lm, al dsbaka bbrapa faktor yatu pola pmbbaa, kods prltaka, da btuk gomtrya sdr. Pgalusa adaptf dapat mlakuka prtuga dalam waktu yag sgkat da pympaa mmor yag lb kcl kara dapat mmbtuk jarga yag optmal dga tgkat akuras yag dgka bak scara global maupu lokal. Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 13
REP Itrfac Basd Patc Pross mrupaka pross tratf dga formas rror solus lm gga sbaga kmud prossya. Scara umum algortma pgalusa adaptf mlput lagka-lagka sbaga brkut : a. Mmodlka struktur dga sjumla lm gga b. Mmasukka put data yatu karaktrstk matral struktur, pmbbaa, da kods batas c. alsa dga mtod lm gga d. alsa rror solus lm gga. Mlakuka pross pgalusa jarga, da aalsa pascapross scara tratf lgotma pgalusa adaptf scara lustratf dapat dlat pada baga alr pross pgalusa jarga lm dga mgguaka rror stmator (Gambar.). Sdagka lagka-lagka adaptf scara lustratf dapat kta lat pada Gambar.3. Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 14
Bab II. Pmula Solus Mtod REP Struktur Modlsas Elm Hgga INPU D alsa dga MEH alsa solus dga rcovry basd (lduta, gaya dalam, tgaga) Pgalusa Jarga Sragam atau daptf alsa prtuga stmas ksalaa φ * <5% tdak ya OUPU D Gambar. Dagram alr pross pgalusa jarga dga stmator rror Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 15
REP Itrfac Basd Patc a) Ms wal b) Subdvs Elm c) Ms Rgrato d) Pgalusa p-r Gambar.3 Pgalusa daptf p- Pgalusa jarga adaptf mtod- dklompokka lag mjad 3 macam brdasarka cara pgalusa yag dlakuka yatu : 1. Subdvs lm dga mmprtaaka btuk ms awal Gambar.3b). Ds lm-lm yag mujukka rror yag bsar dbagbag mjad lm-lm lb kcl dga mmprtaaka prbatasa atar lm sblumya. Mtod pgalusa mlbatka bayak prtuga sgga kurag fs. Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 16
Bab II. Pmula Solus Mtod REP. Ms Rgrato (Gambar.3c). Struktur ddskrtsas ulag dga ukura lm yag brbda pada sluru doma. 3. Pgalusa tp-r (Gambar.3d). Jumla lm (jumla odal/dof) kosta/ttap, yag duba aya poss dar odal-odal trsbut.. ESIMSI ERROR Zkwcz-Zu Error stmator yag dkmbagka ol Zkwcz-Zu [Z4] brdasarka stmas rror a postror dga tkk pmula (rcovry) solus (lduta, gaya dalam, da tgaga) mtod lm gga. Sfatya yag muda, fs da cost ffctv dalam prtugaya mmbuatya rlatf lb uggul dbadgka mtod laya...1 Norma Error da gkat Kovrgs Ddalam prtuga struktur dkal foma sgulartas dmaa trjad kaka tgaga scara lokal mcapa la tak gga akbat dbba bba trpusat. Scara global solus yag daslka mas dapat dtrma, ttap scara lokal solusya jlas jau dar krtra asl. Utuk alasa brbaga btuk tgral skalar yag damaka sbaga orma dguaka utuk mgstmas rror. Dapat kta lat pada prsamaa lr umum sbaga brkut : Lu + p = 0 dalam Ω (.3) Dmaa, L = oprator dfrsal lr Ω = doma dar masala yag dtjau, dapat brupa volum, luas, da sbagaya Kmuda kta dapat mdfska rror dalam btuk orma rg sbaga brkut : Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 17
REP Itrfac Basd Patc dmaa : 1/ 1/ = L d = u u L u u d Ω ( ˆ) ( ˆ) Ω (.4) Ω Ω = rror ksak global dalam orma rg Utuk masala ltur pada suatu luasa, orma rror utuk gaya dalam mom M adala : dmaa : [ ] = [ ] [ ][ ] k B H B d b b b b = matrks kkakua ltur [ ]{ } M u b u = k d (.5) Prsamaa ubuga rgaga da gaya dalam utuk ltur ddfska sbaga : { χ } [ B ]{ } da { } [ ]{ b u M Hb χ } = = (.6a-b) Dga msubsttus prsamaa (.1a) da (.6a-b), prsamaa (.5) dapat dtuls kmbal mjad: ([ ] [ ][ ]){ } ( )[ ] ( u )[ ]([ ]({ } { })) k u B k b Hb Bb u u d k k ( [ b] [ b] )[ b] [ b]{ } [ b]{ } k k ( χ χ )[ H b ]({ χ } { χ }) d M = u b b b u B H B d = ( ) = u B u B H B u B u d = k k ( χ χ )({ M } { M }) d k 1 k ( χ χ )[ Hb][ Hb] ({ M } { M }) d k 1 k ( χ [ Hb] χ [ Hb] )[ Hb] ({ M } { M }) d ; [ Hb] = [ Hb] 1 ( k M M )[ H ] ({ k } { b M M }) d = = = = (.7) Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 18
Bab II. Pmula Solus Mtod REP Prsamaa (.7) dapat dyataka scara dtk utuk gaya dalam gsr sbaga brkut : ( ) k 1 k ( )[ s] { } { } = H d (.8) dmaa : M, = rror ksak dalam orma rg ltur, da gsr utuk lm Error ksak total dalam orma rg utuk lm dprol dga mjumlaka prsamaa (.7) da (.8) mjad : = M + 1 1 ( M [ b] { M} ) [ s] { } ( ) = H d + H d (.9) dmaa : M k k = M M ; = Btuk orma rg rror pada prsamaa (.9) dvaluas utuk subdoma atau lm tuggal saja. Error total dsluru doma strutur dprol dga mjumlaka kotrbus rror dar tap lm sbaga: dmaa : m = (.10) = 1 = rror ksak total (global) dalam orma rg m = jumla lm pada struktur gkat kovrgs rror brbadg lurus tradap ksposal fugs aproksmas polomal p da dyataka dalam btuk O( p ). gkat kovrgs brlaku utuk rror dalam btuk orma rg pada prsamaa (.10). Namu Zkwcz da aylor [Z5] mujukka bawa Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 19
REP Itrfac Basd Patc utuk kasus dmaa sgulartas trjad umumya tgkat kovrgs rror aka brada dbawa ord O( p ) da sama utuk lm dga fugs lr, kuadratk, da kubk... kk Pmula Solus Kotutas prala yag dprlatka pada ttk-ttk odal tdak brart juga mgaslka kotutas gaya dalam pada ss prtmua lm yag brbatasa. Gaya-gaya dalam dtug dar drvatf fugs prala sgga mmbulka masala kotutas da akuras. U U X X (a) Kotutas prala u (b) Dskotutas gaya dalam Gambar.4 Ilustras aproksmas problm 1D lm lar Scara torts maupu solus aaltk tdak ddapat masala, kara da gomtr mmprtaaka ksragama sfat da btuk. Masala mucul d dalam mtod lm gga yag kmuda justru djadka acua dasar utuk mgstmas rror asl prtuga lm gga. Walaupu asl solus yag dbrka mtod lm gga mmpuya akuras yag kurag bak utuk gaya dalam pada odal-odal struktur, ttap ttap dmugkka dlakuka pmula (rcovry) gaya dalam trsbut sgga aka ddapat gaya dalam yag baru yag mmpuya akuras yag lb bak dar sblumya da kotutas bsa daslka pada odal-odal struktur. Bbrapa tkk pmula solus yag trsda adala sbaga brkut: Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 0
Bab II. Pmula Solus Mtod REP Mtod Itrpolas Brdasarka solus yag dbrka ol mtod lm gga, sjumla plt mmuka fakta bawa solus-solus gaya dalam, rgaga, maupu tgaga mmlk tgkat kovrgs yag tgg utuk ttk-ttk yag brada d dalam lm, buka pada odal lm. Hrrma [H1] dga tormaya mujukka bawa solus-solus trsbut mujukka la yag bak pada ttk-ttk tgras Gauss-Lgdr da dsbut sbaga optmal samplg pots. Foma kmuda dsbut sbaga suprcovrgc. Brdasarka pmua mtod pmula solus mgalam prkmbaga. Sala satuya adala mtod trpolas. Idya adala mmprbak solus, msalya tgaga σ, dga mgtug pada ttk tgras Gauss da mgasumska utuk sluru doma lm solus yag lb bak σ * dapat dprol dga mlakuka trpolas yag sama utuk trpolas prala σ = σ~ N (.11) Mtod trpolas dapat dlustraska pada Gambar.5. u (a) Elm Lr (b) Elm quadratk Gars trpolas Δ tk Gauss Nla odal asl trpolas Gambar.5 Nla gaya dalam pada odal mlalu trpolas ttk Gauss Mtod Ekstrapolas Prosdur la dkmukaka ol Hto da Campbll [H] yag myaraka prtuga tgaga pada smua odal dlakuka dga Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 1
REP Itrfac Basd Patc mgkstrapolas la solus pada ttk Gauss. Prosdur dlustraska pada Gambar.6. 40 30 Nla odal yag dkstrapolaska dar ttk Gauss 0 10 0-10 Grafk yag dbrka ol solus MEH Nla pada ttk Gauss xtk Gambar.6 Balok Katlvr dga lm Q8 Mtod Proyks Gaya Mtod proyks mrupaka sala satu mtod pmula gaya dalam yag cukup sdraa utuk mmbagu kotutas gaya dalam pada odal struktur. Pmula gaya dalam yag dlakuka pada mtod adala mgambl la proyks gaya dalam dar tap-tap lm brbasska fugs btuk lm kdalam odal struktur. Proyks gaya dalam kotu pada odal slajutya mjad dasar utuk mgtug stmas rror. kk dpaka ol Zkwcz da Zu utuk mmbtuk stmator rror Z². Mtod Suprcovrgc Patc Rcovry (SPR) Mtod SPR mrupaka mtod yag dkmbagka ol Zkwcz-Zu [Z3] yag rlatf lb sdraa da muda daplkaska kara dya adala mmulka gaya dalam pada odal lm dga aalog mtod Last Squar Ft atau pcocoka fugs/kurva tradap datadata sampl gaya dalam yag lb akurat. Brsama dga prumusa rror Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008.
Bab II. Pmula Solus Mtod REP stmas Z, mtod mgaslka tgkat kovrgs rror yag sagat tgg (suprcovrgc). Mtod aka djlaska pada subbab brkutya. Mtod Rcovry Equlbrum Patc (REP) Mtod mrupaka mtod trbaru yag dkmbagka ol Boroomad [B5] yag dya adala prsamaa ksmbaga dar formulas solus utuk mgaslka mda gaya dalam yag dpulka. Pada dasarya formulas juga mgguaka patc sbaga mda utuk prtugaya. Mtod aka djlaska pada subbab brkutya. Dga trsdaya brbaga solus pdkata baru sprt yag tla dbaas datas (pmula solus lm gga), maka yag mjad prsoala bag kta adala sbrapa bsar akuras yag dprol stla dlakuka pmula solus. Dga kata la tap mtod trsbut mmlk solus yag brbda-bda yag umumya trkat dar kasus yag kta tjau d maa masg-masg mtod trsbut mmlk kuggula da klmaaya sdr. gkat ktpata yag dprol aka mtuka rlabltas stmator rror yag dbtuk. Dga dmka pmla mtod pmula gaya dalam lm gga mmpuya prgkat trtgg da ptu kualtas suatu stmator rror. Brbaga tkk pmula solus lm gga trsbut datas, walaupu mmbrka solus yag lb akurat utuk gaya dalam, aka ttap umumya mmbrka akuras yag kurag bak tradap rg rgaga, sgga rg rgaga tdak bol dpaka sbaga ukura. Utuk slajutya aka dbaas dua bua mtod pmula gaya dalam yatu mtod SPR da mtod REP. Kdua mtod tu mrupaka mtod pmula suprkovrg. Mtod REP mrupaka mtod yag sgaja puls pl sbaga baa plta. Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 3
REP Itrfac Basd Patc..3 Suprcovrgt Patc Rcovry (SPR) Rlabltas rror stmator Z sagat trgatug dar kualtas da akuras dar tkk pmula solus yag dguaka da la dar solus yag suda dprbak trsbut. Prsyarata utuk mdapatka solus dga akuras yag tgg tla mmcu pmua tkk pmula solus yag mgaslka solus yag suprkovrg, yag dkal sbaga Suprcovrgt Patc Rcovry. kk baru dapat mgabaka bbrapa ksulta yag dtmuka sblumya utuk sjumla lm quadratk dmaa dprluka bayak pysuaa utuk mmprol asl yag rasoabl. Dga mgaplkaska mtod SPR, tla dbuktka [B6,B7] bawa stmas rror Zkwcz-Zu mmbrka asl yag lb akurat dar pada altratf mtod laya [H,O,H3]. Brkut aka djlaska prosdur mplmtas mtod SPR yag dkmukaka Zkwcz-Zu [Z3] Sprt yag tla djlaska sblumya bawa la gaya dalam atau tgaga pada sampl ttk tror lm mmlk karaktrstk suprkovrg da mmlk kovrgs rror brord O( p+1 ). Dalam mtod SPR d yag dguaka adala mmpralus (smootg) la pada ttk trsbut dga mgguaka fugs polomal drajat p utuk mmbtuk sbua local patc yag mlgkup sjumla lm da odal trttu. Sbaga lustras d trsbut da prosdur mplmtas-ya, kta ambl problm lar lptc sbaga modl yag brbtuk Lu S DSu = f dalam Ω (.1) Dmaa utuk problm laststas u adala vktor prala. Kta dfska fugs u sbaga fugs pdkata prala tradap solus ksak u, da dyataka sbaga u = Nu (.13) Gaya dalam yag dtug lagsug dga mtod lm gga dyataka dalam btuk (utuk mom) : Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 4
Bab II. Pmula Solus Mtod REP { M } [ Hb ]{ χ } = (.14) D maa u adala la prala pada odal, N adala sap fucto, da S adala oprator dffrsal yag mdfska rgaga sbaga Su χ = (.15) Gaya dalam yag dprol dar prsamaa (.19) umumya tdak kotu pada prbatasa atar lm da mujukka akuras yag rda pada odal da batas lm (prltaka). ujua dar tkk pmula adala mtuka paramtr odal M *, sgga dprol mda gaya dalam kotu M * yag ddfska sbaga : M = NM (.16) yag lb bak dar solus lm gga M, dmaa N mrupaka sap fucto yag sama dguaka dalam fugs prala. Pada awalya Zkwcz-Zu mgasumska bawa la gaya dalam M * SPR pada odal brlaku utuk fugs kspas polomal M p dga drajat polomal p yag sama dalam sap fucto N, da brlaku pada sbua local patc yag mlgkup sjumla lm da odal trttu. Pa Patc Elm 1 Elm Lar 1D odal Pa Elm Kuadratk 1D 3 odal Sampl Nla Suprcovrgt Gambar.7 Patc lm utuk problm 1 dms : Δ Suprcovrgt Gauss Pot ; Nla odal dga SPR ; Patc assmbly pot Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 5
REP Itrfac Basd Patc Elm 4 odal Patc Elm Elm 8 odal Gambar.8 Patc lm utuk lm lar, quadratc, da kubk quadrlatral: Δ Suprcovrgt Gauss Pot ; Nla odal dga SPR ; Patc assmbly pot Elm 9 odal Elm 16 odal Patc lm Elm 3 Nodal Elm 6 odal Gambar.9 Patc lm utuk lm lar da quadratc tragular : Δ Suprcovrgt Gauss Pot ; Nla odal dga SPR ; Patc assmbly pot Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 6
Bab II. Pmula Solus Mtod REP Btuk patc lm yag dguaka dprlatka pada Gambar.7-9 dga modl patc yag dbtuk ol lm (Elmt Basd Patc). Saat ada tga bua modl patc yag dapat dguaka yatu Nodal Basd Patc, Elmt Basd Patc, da Elmt Itrfac Basd Patc. Ktga modl patc trsbut dlustraska pada Gambar.10. (a) (b) (c) Gambar.10 Btuk modl patc: (a) Nodal Basd Patc; (b) Elmt trfac Basd Patc; da (c) Elmt Basd Patc Elmt Basd Patc prtama kal dprkalka ol Zkwcz- Zu [Z3] yag kmuda dmodfkas ol J.E. k [1]. Formulas SPR yag dkmukaka ol Zkwcz-Zu [Z3] myataka bawa sbua kspas polomal dga drajat yag sama dga drajat polomal aproksmas prala odal lm brlaku pada sbua lokal patc sbaga mda grad solus yag kotu dga mlakuka Last Squar Ft polomal trsbut tradap sjumla ttk sampl suprkovrgt dalam patc yag sdag dtjau. Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 7
REP Itrfac Basd Patc Grad solus MEH yag dskotu pada boudary lm Grad solus yag kotu pada boudary lm stla dpulka dga SPR Gambar.11 Ilustras kotutas gaya dalam pada problm D Ekspas polomal dapat dguaka utuk tap kompo M SPR (msalya M x SPR ) da dyataka sbaga : SPR x SPR x ( ξ,η) { } M = P a M = 1 ξ η ξ ξη η ξ η ξη a a a a a a a a 1 3 4 5 6 7 8 Vktor...(.17) P mrupaka fugs kspas polomal dalam sstm koordat lokal paramtrk (ξ,η) yag dasumska sbaga mda gaya dalam yag kotu pada patc yag dtjau. D s dguaka dlapa trm polomal kuadratk ssua dga formulas lm DKMQ[K] yag mgguaka drajat kbbasa tmporr pada ss lm utuk mrprstaska fugs kuadratk pada ss lm trsbut. Nla paramtr tdak dktau {a } dalam prsamaa (.) dttuka dga mlakuka pcocoka (Last Squar Ft) paramtr trsbut tradap ttk-ttk sampl yag suprkovrg, d maa d s aka dpaka ttk tgras Gauss. Utuk mlakuka al kta prlu mmmas prsamaa brkut, utuk patc lm dga ttk sampl: Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 8
Bab II. Pmula Solus Mtod REP M x ( k, k) Pk { a} (.18) Φ= ξ η k= 1 k ( ξ η ) P = P, k k dmaa : (ξ k, η k ) = koordat ttk-ttk Gauss dalam sstm koordat lokal Patc = jumla ttk Gauss pada tap Patc M (ξ,η ) = Nla gaya dalam solus MEH pada ttk-ttk Gauss x k k y max y (-1,1) (1,1) η Doma patc = mmbtuk suatu lm rfrs yag mrupaka traformas dar koordat rl patc k koordat atural patc y m (-1,-1) (1,-1) Elm yag dtjau ξ tk gauss x m x max x Gambar.1 Doma local Patc da sstm koordat lokal paramtrk (ξ,η) utuk tp Elmt Itrfac Basd Patc pada sbua ms lm smbarag; koordat ξ=0, η=0 tdak arus brmpt pada pusat lm pmbtuk patc Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 9
REP Itrfac Basd Patc Mmas prsamaa (.3) mgdkaska bawa {a } arus mmu prsamaa brkut : P ( ξk, ηk) P ( ξk, ηk) { a} = P ( ξk, ηk) M x ( ξk, ηk) (.19) k= 1 k= 1 Dar prsamaa (.4) dprol dmaa: 1 { a } [ ] { b } [ ] = P P, { b } = P M ( ξ, η ) k k k x k k k= 1 k= 1 = (.0) (.1) SPR Stla paramtr {a } dttuka, la odal gaya dalam M dapat dtug dga mmasukka la koordat odal pada prsamaa (.) brdasarka sstm korrdat lokal dar patc yag dtjau. D s smua odal yag brada pada patc yag dtjau aka dtug la gaya dalamya. Hal yag sama brlaku pada kompo gaya dalam laya, yatu utuk fugs mom da gaya ltag : 1 { a} = [ ] { b } M 1 { a } = [ ] { b } d maa : { } M M a : paramtr {a } utuk gaya dalam mom { } b : vktor {b } utuk gaya dalam mom { } M a : paramtr {a } utuk gaya dalam ltag { } b : vktor {b } utuk gaya dalam ltag Prtuga gaya dalam pada smua odal dalam suatu patc mgakbatka trjadya prtuga yag trus brulag pada odal yag sama d stap patc yag brbda. Ol kara tu dalam plta lala gaya dalam pada odal dar patc-patc yag brbda aka drata- Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 30
Bab II. Pmula Solus Mtod REP rataka, yatu dakumulas sgga kmuda stla slsa prtuga pada smua odal la akumulas trsbut dbag dga jumla prtuga gaya dalam pada odal trsbut, atau dga kata la jumla patc yag mgadug odal trsbut. Scara kslurua prosdur SPR mmrluka data-data brkut : Jumla patc yag dapat dbtuk ol sbua lm pada suatu ms lm Jumla lm srta odal yag trdapat pada stap patc Jumla ttk-ttk Gauss srta koordatya pada tap patc Nla gaya dalam pada tap ttk Gauss pada tap patc Sdagka prosdur SPR tu sdr pada lm DKMQ[K] dapat dragkum sbaga brkut : jau stap patc pada ms lm Btuk doma dar tap patc sprt pada Gambar.1 rasformaska koordat rl dar tap odal da ttk Gauss yag trdapat ddalam patc trsbut k sstm koordat atural (ξ,η) patc trsbut sprt pada Gambar.1. Prsamaa trasformas koordat brdasarka trasformas Jacoba kosta sbaga brkut : 1 1 x xm xmax x= (1 ξ) xm + (1+ ξ) xmax ξ = ( xmax xm ) 1 1 y ym y y= (1 η) ym + (1+ η) ymax η = ( y y ) d maa kta mcar koordat atural (ξ,η) brdasarka koordat rl (x,y) yag dktau. Brdasarka koordat atural ttk-ttk Gauss tug vktor P = 1 ξ η ξ ξη η ξ η ξη pada tap ttk Gauss da tug max m max matrk k= 1 k = P P sgga trbtuk matrk [] brukura 8 8. k Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 31
REP Itrfac Basd Patc Kmuda matrk djumlaka utuk sluru ttk Gauss dalam patc yag dtjau. Brdasarka koordat atural ttk-ttk Gauss srta la gaya dalam M (ξ k,ηk ) pada ttk Gauss yag brssuaa, tug vktor { b } P M ( ξ, η ) = sgga trbtuk vktor {b } brukura 8 1. k k k k= 1 Jumlaka vktor trsbut pada smua ttk Gauss dalam patc yag dtjau. Htug matrk [ -1 ] (vrs ) sgga dapat dtug vktor 1 { a } { b } = yag brdms 8 1 Htug gaya dalam pada smua odal yag brada dalam patc trsbut dga mmasukka koordat atural odal yag brsagkuta kdalam SPR prsamaa ( ξ,η) { } SPR. M = P a. Hal yag sama brlaku utuk gaya gsr..4 Rcovry by Equlbrum Patcs (REP) Mtod mrupaka mtod trbaru yag dkmbagka ol Boroomad [B5]. mbulya d mtod pmula ddasar kbutua utuk mgaslka pmula solus yag akurat mskpu tapa kbradaa ttk-ttk suprkovrg. Idya adala prsamaa ksmbaga dar formulas solus utuk mgaslka mda gaya dalam yag dpulka. Pada dasarya formulasya juga mgguaka patc sbaga mda utuk prtugaya. k ( ) [ B] { M } { M } dω= 0 (.) Ω Pada prsamaa d atas, Ω p adala doma dar patc. Prsamaa trsbut bsa mrprstaska kslurua problm, sbua patc lm atau sbua lm tuggal. Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 3
Bab II. Pmula Solus Mtod REP Dar prsamaa d atas, gaya dalam ksak dgat dga gaya dalam yag dprbak sgga prsama mjad: { Bp} { M } d { B } { M } dω (.3) Ωp * Ω p Ωp D s juga dpaka kspas polomal sprt prsamaa (.17), yag dalam btuk matrks dtuls sbaga brkut: * x M = [ P]{ a% } P( ξη, ) 0 0 0 0 { a} 1 0 P(, ) 0 0 0 { a} ξη [ P] = 0 0 P( ξ, η ) 0 0, { a% } = { a} 3 0 0 0 P(, ) 0 { a} ξη 4 0 0 0 0 P(, ) ξη { a} 5 (.4) Prsamaa (.3) mjad [ Bp ][ P]{} a % dω { F p}, [ H ]{} a% { Fp} (.4) Ω p Slajutya, ddfska fugs ([ ]{ }{ }) H a-f ([ H ]{ a-f }{ }) Φ= % % (.5) Φ Da dga mmmaskaya tradap { a %}, = 0, dprol {} a% 1 { a% } = [ H] [ H] [ H] { F } (.6) Dalam prkmbagaya, btuk prsamaa REP d atas dprbak kara dar plta Boroomad da Zkwcz, formulas d atas sstf tradap lm dga aspct rato yag tgg. Sstvtas tradap aspct rato trsbut bsa dlmas jka vktor gaya dalam dtuls sbaga M1 1 0 { M} = M = M1 0 + M 1 +... = M 1 M M M (.7) Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 33
REP Itrfac Basd Patc Substtus k prsamaa (.4) aka mgaslka 1 1 { F*} + { F} +... = { F } + { F } +... (.8) Da prmsaa prsamaa kstmbaga trsbut mgaslka { F*} { F } Prsamaa d atas djabarka sbaga: { F*} = [ B] { M*} dω, { F } = [ B] { M } dω atau p p Ωp Ωp * p p Ωp Ωp { F*} = [ B] {1} M dω, { F } = [ B] {1} M dω Substtus prsamaa (.17) k prsamaa d atas mgaslka Ω p [H] da {F } bsa dtug dga tgras umrk sbaga brkut: p [ B] {1} ( P( ξη, ) { a } ) dω { F } atau [ H] { a} { F } (.9) (.30) (.31) Ω p p [ H] = [ B] {1} P( ξ, η) dω m l l p l l l l l= 1 [ H] = [ B( ξ, η )] {1} P( ξ, η ) J( ξ, η ) ω m l l p l l l= 1 { F } = [ B( ξ, η )] {1} M J( ξ, η ) ω (.3) (.33) dga m adala jumla ttk tgras, J matrks Jacoba da ω faktor pmbrat. Slajutya, bsa ddfska fugs sprt prsamaa (.5), yag dga mmmaska tradap {a} aka mgaslka: 1 { a} = [ H] [ H] [ H] { F } (.34) Pada bbrapa kasus kofguras patc, matrks [H] mugk tdak stabl. Hal bsa dlagka dga mgguaka fugs Φ= ([ H]{ a} { F } ) ([ H]{ a} { F } ) +Σ([ H]{ a} { F } ) ([ H]{ a} { F } ) (.35) Mmas prsamaa trsbut tradap {a} aka mgaslka: 1 { a} = [ H] [ H] +Σ [ H] [ H] [ H] { F} +Σ[ H] { F} (.36) Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 34
Bab II. Pmula Solus Mtod REP Pada prsamaa trsbut, [H] da {F } mmpuya kprs yag sama dga [H] da {F }, tap tgralya daplkaska pada masg-masg lm. Prosdur REP sama prss dga prosdur SPR sprt yag djlaska pada subbab..3 d atas. Prbdaaya aya pada prosdur mcar paramtr yag tdak dktau, {a}. Dalam prosdur REP, tdak dprluka data jumla ttk Gauss da la gaya dalam pada tap ttk Gauss dalam patc...5 Gaya Dalam pada Nodal Struktur Prtuga gaya dalam pada odal struktur dlakuka dga mrataka-rataka la pmula gaya dalam odal pada tap lm yag brtmu pada odal trsbut, yatu: (.36a-b) 1 m VR VR { M } = { M } da { } { } m 1 m = m d maa : M = M M M = gaya dalam rata pada odal struktur VR VR VR VR x y xy VR VR VR = x y M = M M M = la pmula gaya dalam dar stap lm x y xy yag brtmu pada odal = x y m = jumla lm yag brtmu pada odal Mom utama utuk tap odal struktur adala : M M 1 VR VR VR VR M + M M M = + + ( Mxy ) x y x y VR VR VR VR VR M + M M M = + ( Mxy ) x y x y VR (.37a-b) Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 35
REP Itrfac Basd Patc M 1 Sdagka sudut utamaya adala : M1 M = (.38) φ M 1 xy 1 = ta Mx M y (.39)..6 Estmas Error dga Pmula Solus Gaya Dalam Pada dasarya stmator rror Zkwcz-Zu [Z5] dlakuka utuk mgstmas rror utuk mmprbak sulus MEH mgguaka tkk pmula, sgga rror stmas mjad : dmaa : M = + (.40) = stmator rror orma rg lokal utuk lm dga mtod pmula gaya dalam (SPR, PRJ, VR) Error total d sluru doma struktur : m = (.41) = 1 Nla dks fktftasya sbaga brkut Θ = (.4) orma yag dkmukaka Zkwcz-Zu [Z6] mujukka bawa utuk smua rror stmator brbasska tkk pmula solus dapat dbuat batasa utuk dks fktftas trsbut sbaga brkut 1 Θ 1+ (.43) Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 36
Bab II. Pmula Solus Mtod REP atau + (.44) Dmaa adala rror aktual da adala rror solus yag dprbak = u u (.45) Dar torma trsbut dapat dtark dua ksmpula ptg sbaga brkut: 1. Stap pross pmula yag mgaslka rror yag trduks aka mmbrka rror stmator yag bak. Jka solus lm gga yag dprbak kovrg dga rat lb tgg dar solus lagsug lm gga maka rror stmator trsbut aka slalu asmtotk ksak.3 INDIKOR ERROR Da PENGHLUSN Estmator rror aya mugk mjad rror aktual jka ukura lm dprkcl mjad sagat kcl mcapa ol da dalam al mmbuat jumla lm mjad tak trgga. pabla ukura lm mdkat ol, maka prtuga tak aka pra brt. Utuk tu dprluka suatu batasa yag fktf sbaga ptu krtra utuk pmbrta pross dkrtsas. Idkator rror ksak struktur dapat ddfska dar rror rg ksak yag dormalsas ol rg rgaga ksak sbaga brkut : φ = 100% (.46) u dmaa adala orma rg rror yag ddfska pada prsamaa (.10), sdagka u adala dua kal rg rgaga ksak struktur scara global yag utuk struktur plat trdr dar rg ltur da gsr Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 37
REP Itrfac Basd Patc = M + u u u (.47 a) 1 1 [ ] { } [ ] { } = M H M d + H d (.47 b) b s m u = u (.47 c) = 1 Idkator rror ksak trsbut dapat dtug jka solus ksak trsda. Kta dapat mgstmasya dga mgguaka pmula solus yag suda dbaas sblumya. Idkator rror rlatf struktur dga mtod pmula gaya dalam φ * adala sbaga brkut dmaa u φ * = 100% (.48) u u = u + (.49) = dua kal rg rgaga lm scara lokal yag dstmas dga mtod pmula gaya dalam Nla ssua dga prsamaa (.41) sdagka u adala dua kal rg rgaga ltur utuk gaya mom da gsr lm scara lokal yag dprol mlalu mtod lm gga da dapat dksprska dalam btuk : = M + u u u 1 1 [ b] { } [ m] { } = M H M d + H d (.50) Sgga dapat kta prol u m = u (.51) = 1 Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 38
Bab II. Pmula Solus Mtod REP dmaa : u = dua kal rg rgaga lm scara global yag dstmas dga mtod pmula gaya dalam Idkator rror murut prsamaa (.48) mrupaka bsara yag kta guaka sbaga krtra pgta pross pgalusa lm. Hal dapat dlakuka dga mmbrka batasa φ dmaa jka φ * φ maka pross dskrtsas dapat dtka. Nla φ yag dguaka utuk aplkas rkayasa umumya adala 5%. Idkator rror j struktur dttuka ol : φ ˆ = 100% (.5) u Modlsas Elm INPU D alsa MEH Ms Rfmt dak φ < 5 % alsa Solus & Estmas Error Ya OUPU D Gambar.13: Pross pgalusa jarga d maa ê adala rror j orma rg global, yatu : ( ) ˆ = φ u + (.53) Dalam jarga lm yag optmal dstrbus rror orma rg adala sama/mrata d smua lm., sgga ˆ m ˆ = (.54) Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 39
REP Itrfac Basd Patc d maa m = jumla lm yag dguaka Dga subttus prsamaa (.53) k prsamaa (.54) mgaslka : ( ) ( u + ) mˆ = φ u + ˆ φ = m (.55) Dga dmka kta dapat msyaratka bawa rror tap lm arus lb kcl atau sama dga d maa : ˆ 1/ u + = φ = m ê = rror orma rg j yag dprkraka utuk tap lm m (.56) Utuk lm d maa prsyarata trsbut tdak dpu adala kaddat utuk dpralus. Jka kta yataka raso sbaga brkut : * m = ζ (.57) k Maka lm arus dpralus jka ζ 1 k > (.58) Implmtas mtod..., lmufd, F UI., 008. 40