BAB LANDASAN TEORI.1 Osilator Sederhana Gerak periodik adalah gerak berulang dari suatu objek dalam jangka waktu yang sama. Sebagai suatu pengetahuan contohnya adalah bumi kembali ke posisi yang sama ketika setelah setahun mengitari matahari. Pada khususnya sebenarnya banyak sistem yang melakukan gerak periodik yaitu molekul dalam zat padat berosilasi disekitar titik setimbangnya,gelombang elektromagnetik seperti gelombang cahaya,radar,dan gelombang radio merupakan karakteristik dari osilasi listrik dan medan magnet. Gerak periodik terjadi pada sistem mekanik ketika gaya yang diberikan akan sebanding dengan jarak relatif obyek terhadap titik setimbangnya. Jika gaya selalu diarahkan ke titik setimbangnya maka gerak tersebut dikenal sebagai gerak harmonik sederhana. Gambar.1. Sistem pegas bermassa sederhana untuk partikel Persamaan yang digunakan untuk merepresentasikan gerak harmonik sederhana adalah d x dt = -k m x (.1) Jika rasio dari k m = ω, maka persamaan (.1) berubah menjadi :
d x dt = - ω x (.) Solusi dari persamaan orde dua diatas dapat di tuliskan dalam bentuk : x(t) = A cos (ωt + φ ) (.3) dengan frekuensi osilator harmonik : f = 1 π k m (.4) Gambar.. Grafik x vs t osilator sederhana dengan konstanta fase f periode T Dalam mekanika klasik,suatu osilator harmonis sederhana adalah suatu benda yang bergerak osilasi dengan simpangan kecil dalam pengaruh gaya konservatif : F = mω x (.5) Dan m adalah massa, dan sinosida : ω adalah frekuensi sudut dari osilasi berbentuk x t = A sin ωt (.6) Dengan A adalah simpangan maksimum (amplitudo). Dengan gaya konservatif tersebut, energi potensial yang dimiliki benda adalah : x V = F.dx = 1 mω x (.7) 0
energi total sebagai jumlah energi potensial dan energi kinetik adalah : E = 1 mω A (.8). Osilator Harmonik Kita akan mempertimbangkan adanya sebuah partikel bergerak di bawah potensial osilator harmonik. V x = 1 kx (.9) Persamaan umum untukdiferensial potensial osilator dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik yang sering dimanfaatkan dalam memecahkan masalah mekanika kuantum. Banyak masalah dalam fisika osilator harmonik yang dapat dikurangi dengan cara yang tepat. Dalam mekanika klasik,misalnya,dalam memperluas potensi sekitar titik aquilibrum klasik,kita memperoleh potensial harmonikadalah( kx ).Persamaan schodinger.hamiltonian dari osilator harmonik satu dimensi adalah : H = p + kx m (.10) Dimana k = mω, variabel m dan ω adalah massa osilator dan frekuensi sudut. Kita dapat : H = p + mω x = ħ m m d + mω dx x (.11) sehingga persamaan umum Schrödinger adalah : ħ d ψ(x) + mω x ψ x = Eψ(x) (.1) m dx
Solusi fungsi eigen dari persamaan schodingernya adalah : ψ n x = 1 πλ 1 4 1 n n! H n x λ e x λ (.13) Dimana λ = ħ mωdan H n (x)adalah polinominal hermit.nilai eigen dari energy osilator harmonik dapat dituliskan dalam persamaan berikut : E n = n + 1 ħω n = 0,1,, (.14).3 Persamaan schodinger Dalam kasus fisika kuantum tak relativistik, persamaan utama yang harus dipecahkan adalah adalah suatu persamaan diferensial parsial orde kedua, yang dikenal dengan persamaan schodinger.seperti halnya dengan hukum newton,kita juga mencari pemecahannya bagi suatu gaya tertentu, namun disini kita lebih menaruh perhatian pada potensialnya ketimbang gayanya. Berbeda dengan hukum newton,pemecahan persamaan schodinger yang disebut fungsi gelombang memberikan informasi tentang prilaku gelombang dari partikel. Dalam kasus fisika kuantum,persoalannya dicirikan oleh fungsi potensial tertentu.kita tinggal menuliskan persamaan schodinger bagi potensial tersebut dan mencari pemecahannya. Tentu saja,dalam masing-masing kasus ini,pemecahannya hanya berlaku bagi suatu keadaan situasi tertentu saja untuk situasi yang lain,perlu dicari lagi pemecahan baru bagi persamaan yang berkaitabn dengan situasi tersebut. Baik hukum newton,persamaan maxwel,maupun persamaan schodinger tidak dapat diturunkan dari seperangkat dasar, namun pemecahan yang diperoleh darinya ternyata sesuai dengan pengamatan percobaan.persamaan schodinger hanya dapat dipecahkan secara eksak untuk beberapa potensial konstan dan potensial osilator harmonik dan anharmonik.
Kita bayangkan sejenak bahwa kita adalah Erwin schodinger dan sedang meneliti suatu persamaan diferential yang akan menghasilkan pemecahan yang sesuai bagi fisika kuantum,akan kita dapati bahwa kita dihalangi oleh tidak adanya hasil percobaan yang dapat kita gunakan sebagai bahan perbandingan. oleh karena itu,kita harus merasa puas dengan hal berikut. Kita daftarkan semua sifat yang kita perkirakan akan dimiliki persamaan manakah yang memenuhi semua karakter tersebut. Kita tidak boleh melanggar hukum kekelan energi. Meskipun kita hendak mengorbankan sebagian besar kerangka fisika klasik,hukum kekelan energy adalah salah satu asas yang kita inginkan tetap berlaku, oleh karena itu kita mengambil : K + V = E (.15) Berturut-turut, K, V, dan E adalah energy kinetik, potensial,total. Karena kajian kita tentang fisika kuantum ini dibatasi keadaan takrealistivistik,makak = 1 mv = p ; E hanyalah menyatakan jumlah energy kinetik dan m potensial,bukan energy masa relativistik. Bentuk persamaan diferensial apapun yang kita tulis haruslah taat terhadap hipotesis deberoglie, Jika kita pecahkan persamaan mematikankannya bagi sebuah partikel dengan momentum p,maka pecahan yang kita dapat haruslah berbentuk sebuah fungsi gelombang dengan panjang gelombang λ yang sama dengan h p. Kita mengharapkan pemecahannya memberikan informasi kepada kita tentang probabilitas untuk menemukan partikelnya.kita akan terperanjat menemukan bahwa,misalnya probabilitasnya berubah secara tidak kontiniu,karena ini bahwa partikelnya menghilang secara tiba-tiba dari suatu titik dan muncul kembali kepada titiknya.jadi kita syaratkan bahwa fungsinya haruslah bernilai tunggal-artinya, tidak ada yang boleh ada dua probabilitas untuk menemukan
partikel di suatu titik yang sama. Ia harus pula linier,agar gelombangnya memiliki sifat superposisi yang kita harapkan sebagai milik gelombang yang berprilaku baik. Dengan memilih dalam urutan terbalik,kita akan tinjau terlebih dahulu pemecahan dari persamaan yang sedang kita cari,tentunya kita bisa lihat dari bentuk matematik sebuah gelombang tali yaitu : Y(x, t) = A sin (kx ωt) (.16) oleh karena itu kita postulatkan bahwa gelombang Broglie partikel bebas ψ(x, t),yaitu bentuk dasar sebuah gelombang dengan amplitude A sin (kx ωt),yaitu bentuk dasar sebuah gelombang dengan amplitude A yang merambat dalam arah x positif. Gelombang ini memiliki panjang gelombang λ = π dan k frekuensi v = ω. Untuk sementara,kita akan mengabaikan π ketergantungannyapada waktu,dan membicarakan keadaan gelombang ini pada suatu keadaan tertentu, katakanlah t = 0. jadi,dengan mendefinisikan ψ(x) sebagai ψ(x, t = 0 ), maka : ψ(x) = A sin kx (.17) persamaan diferensial, yang pemecahannya adalah Ψ x, t,dapat mengandung turunan terhadap x atau t tetapi,ia haruslah hanya bergantung pada pangkat satu dari ψ dan turunan-turunannya,sehingga suku seperti ψ atau ( ψ t ) tidak boleh muncul,(ini sebagai akibat dari anggapan kita tentang sifat linier dan bernilai-tunggal dari persamaan dan pemecahannya). Persamaan ini haruslah mengandung potensial V,jikaV yang muncul berpangkat satu, maka agar taat asas kekelan energy ( V + K = E ),K harus pula muncul dalam bentuk pangkat satu. Di depan telah kita dapati bahwa K = ħ k sehingga satu-satunya cara untuk memperoleh suku yang mengandung k adalah dengan mengambil turunan turunan m
kedua dari m ħ Ψ x = a sin kx terhadap x. d ψ dx = kψ = - m ħ kψ = - ( E V) ψ,persamaan schodinger bebas waktu dapat dituliskan sebagai berikut : ħ d ψ m dx + V(x)ψ = Eψ (.18) dengan : ħ = Konstanta planck per π m = Massa partikel ψ = Fungsi gelombang V = Energi potensial E = Tingkat energy dari ψ.4metode Operator Untuk Osilator Harmonik Fungsi eigendapat dianggap sebagai basis ortonormal dari vektor-vektor satuan dalam ruang vektor n dimensi yang diperoleh dengan memecahkan persamaan Schrödinger.Disini kita akan melangkah lebih jauh. Kita akan menemukan spektrum eigen dan fungsi eigen menggunakan operator yang sendirian. Operator menurunkan dan menaikkan, a dan a +, maka : a = mω ħ x + ip mω (.19) a + = mω ħ x ip mω (.0) operator ini adalah alat yang berguna untuk representasi fungsi eigen dari osilator harmonik. Perhatikan bahwa Hamiltonian dari osilator harmonik dapat ditulis sebagai berikut :
H + = ħω a + a + 1 (.1) H = ħω aa + 1 (.) dapat dibuktikan bahwa hubungan pergantian operator ini sebagai berikut : a, a + = 1 (.3) H, a = ħωa (.4) H, a + = ħωa + (.5).5Algoritma matematika ; Dalam persamaan orde ke dua : d y dx + k (x) y = S (x) (.6) Dengans(x) adalah ketidak homogenan dan k fungsi real. Saat k positif maka persamaan homogen akan bersosialisasi dengan bilangan gelombang k sedangkan saat k negatif maka solusinya akan berubah menjadi (- k ) 1/. System ini adalah merupakan persamaan schodinger bebas waktu karena dengan σ adalah error local. Saat S(x) = 0dan k = m (E V(x) ). Skema ini dapat lebih ħ disederhanakan menjadi : Y n+1 = y n y n-1 + m ħ (E V(x) ) dx (.7)
.6 Polinominal Hermit Polinominal hermit H n (x) adalah adalah polinomial derajat n yang simetris genap n dan antisimetrik untuk n ganjil,solusi persamaan diferensial polinominal hermit adalah : d H n x dx + x dh n x dx E n ħω 1 H n x = 0 (.8) Persaamaan ini dapat kita tuliskan kembali : d H n x dx x dh n x dx + nh n x = 0 (.9) Polinominal hermit juga memenuhi hubungan berikut : dh n x dx = nh n 1 x (.30) Dan H n+1 x = xh n x nh n 1 x (.31).7 Operator Fungsi Gamma FungsiGammadanBetamerupakanfungsifungsiistimewayangseringmunculdalampe mecahanpersamaandifferensial,prosesfisika,perpindahanpanas,gesekansumberbun yi,rambatangelombang,potensialgaya,persamaangelombang,mekanikakuantum,da nlainnya.di dalam matematika, fungsi gamma (disajikan oleh huruf kapital Yunani Γ) merupakan ekstensi atau perluasan dari fungsifaktorial,dengan argumennya digeser turun oleh 1,ke bilangan real dan kompleks. Yaitu,jikan adalah bilangan bulatpositif, maka: Γ n = n 1! (.3)
Fungsi gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat negatif dan nol. Untuk bilangan kompleks yang bagian realnya positif, fungsi gamma terdefinisi melalui sebuah integral takwajar yang konvergen.fungsi integral ini diperluas oleh kekontinuan analitik terhadap semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat tak-positif (di mana fungsi ini memiliki kutubkutub yang sederhana),menghasilkan fungsi meromorfik yang kita sebut fungsi gamma.fungsi gamma adalah sebuah komponen di dalam berbagai fungsi distribusi peluang, dan dengan demikian fungsi gamma dapat diterapkan pada cabang peluang dan statistika..8fungsi Delta Diract Fungsi delta dirac sering kali ditemukan pada fenomena fenomena fisika tetapi maknanya tidak seperti fungsi yang dikenal dalam matematika. Pada tulisan ini, akan dibahas beberapa fungsi sederhana yang digunakan untuk menghampiri fungsi delta direc dan untuk memperlihatkan sifat unik dari fungsi ini.dalam beberapa fenomena fisika,kita akan berhubungan dengan kejadian yang sifat impulsive ( hal yang terjadi pada selang waktu yang singkat. Sebagai contoh, saat bola golf dipukul dengan stik, kejutan listrik, tumbukan massa, transfer panas, dan sebagainya. Pada kasus bola golf yang dipukul dengan stik, bola yang dipukul tentunya tidak akan menempel pada alat pemukul untuk jangka waktu yang lama.misalnya fungsi (δ(t) menyatakan besarnya gaya yang diberikan stik terhadap bola yang bekerja pada saat t= t o, maka akan diperoleh nilai δ t = 0 untuk t< t 0 maupun t> t 0, sedangkan reaksi dari gaya ini dapat dituliskan setelah dinormalisasi sebagai : δ t dt = 1 (.33) Fungsi Delta Dirac pertama kali diperkenalkan oleh fisikawan inggis Paul. A. M. Dirac (190-198). Untuk menggambarkan suatu keadaan fenomena fisika yang memiliki nilai pada suatu titik (singular pada satu titik),namun nilai pada titik yang lain sama dengan nol. Di samping itu, integral fungsi tersebut sepanjang
interval domainnya sama dengan satu. Dirac menggunakan symbol δ untuk menggambarkan fungsi nya tersebut.misalkan t = 0 adalah titik saat nilai fungsi Dirac Delta tidak sama dengan nol, maka fungsi Delta Dirac dalam notasi matematika dapat dituliskan sebagai berikut : δ t =, t = 0 0, t 0 (.34) dan δ t dt = 1 (.35) Potensial delta adalah potensial yang diturunkan dari fungsi delta Dirac δ(x).potensial ini bernilai nol di seluruh titik kecuali satu titik.persamaan schodinger pada fungsi gelombang ψ(x) dari sebuah partikel dalam satu dimensi dalam vpotensial (x)adalah : ħ m d ψ dx x + V x ψ x = Eψ x (.36) Potensial delta dapat ditulis: V(x) = g δ(x-x 0 ) (.37) Dengang adalah kontsanta pasangan (pairing constant).jika potensial merupakan sumur potensial Dirac, maka bernilai positif.dimana gdisebut konstanta pairing delta potensial jika bernilai negatif dan disebut konstanta pairing gangguan jika bernilai positif.fungsi potensial delta direct memiliki fungsi transcendent yang memili nilai eigen v,denganv adalah nilai vibrasi dari soilator harmonic yang diganggu oleh potensial delta direct. sehingga dapat dituliskan v = n.fungsi transcentdent dapat dirumuskan sebagai berikut :
F v g Γ(a) Γ(b) = 0 (.38).9FungsiHipergeometrik Dalam matematika, sebuah fungsi hipergeometrik adalah solusi dari konfluen persamaan hipergeometrik, yang merupakan sebuah bentuk dari persamaan diferensial hipergeometrik di mana dua dari tiga singularitas biasa bergabung menjadi sebuah singularitas tidak teratur. Istilah "konfluen" mengacu pada penggabungan titik tunggal keluarga persamaan diferensial; Ada beberapa bentuk standar umum fungsi confluent hipergeometrik: 1. Kummer.fungsi M (a, b, z), yang diperkenalkan oleh Kummer (1837), merupakan solusi untuk persamaan diferensial Kummer ini.. Tricomi's (confluent hypergeometric), Fungsi U (a, b, z) diperkenalkan oleh Francesco Tricomi (1947), kadang-kadang dilambangkan dengan Ψ (a, b, z), solusi lain untuk persamaan Kummer. A. Persamaan Kummer persamaan Kummer mungkin ditulis sebagai: z d dw + b z dz dz aw = 0, (.39) dengan titik singular reguler di z = 0 dan titik singular teratur di z =, memiliki dua (biasanya) solusi bebas linear M (a, b, z) dan U (a, b, z).fungsi Kummer (jenis pertama) M adalah serangkaianhipergeometrik umum diperkenalkan di (Kummer 1837), yang diberikan oleh: M a, b, z = a n z n n=o = 1 F 1 a; b; z, (.40) b n n!
B. Fungsi Tricomi's (konfluent hypergeometrik) Persamaan kummer adalah urutan kedua harus ada yang lain, independen, solusi. Untuk ini kita biasanya dapat menggunakan fungsi tricomi hipergeometrik U (a, b, z) diperkenalkan oleh Francesco Tricomi (1947), dan kadang-kadang dilambangkan dengan Ψ (a, b, z). Fungsi U didefinisikan dalam hal Kummer fungsi Moleh: U a, b, z = b, z (.41) Γ(1 b) Γ a b+1 M a, b, z + Γ b 1 Γ a z 1 b M a b + 1, Fungsi confluent hipergeometrik dapat digunakan untuk memecahkan konfluen diperpanjang Hipergeometrik Persamaan yang bentuk umum diberikan sebagai: z d w dw + b z dz dz M m =0 a mz m w = 0 (.4) Jadi konfluen Hipergeometrik Fungsi dapat digunakan untuk memecahkan "paling" orde kedua persamaan diferensial biasa yang koefisien variabel semua fungsi linear dari z; karena mereka dapat ditransformasikan ke Extended konfluen Hipergeometrik Equalition.w (z) adalah fungsi konfluen batas hipergeometrik : Zw (z) + Cw (z) + (E - 1 CD)w z = 0. (.43).10. Fungsi Weber-Hermit Fungsi weber terkait dengan solusi yang diperoleh saat memisahkan persamaan Laplace atau persamaan Helmholtz dalam fungsi silinder parabola. a. Persamaan weber
persamaan weber diberikan dalam beberapa bentuk. kita menggunakan definisi bulan dan spencer : d D v z dz + v + 1 1 4 z D v z = 0 (.44) Solusi dari D v z adalah disebut silinder parabola atau Fungsi Weber-hermite. Moon dan spencer diberi tanda solusi w(v, z). d A dt + (v + 1 t ) A = 0 (.45) b. Fungsi weber solusi untuk persamaan weber di atas dapat berhubungan dengan fungsi confluent hipergeometrik. y z = e x 4 u z, t = z kitaperoleh t d u + 1 du t 1 a + 1 dt dt 4 u = 0 (.46) dari perbandingan dengan persamaan konfluent hipergeometrik denganα = a + 1, γ = 1.Persamaan(.46) mempunyai solusi : 4 y 1 z = e x 4 M a + 1 4, 1, z (.47) y z = e x 4 M a + 3 4, 3, z (.48)
yang menunjukkan keunikan non ekspresi. satu juga dapat memperoleh hubungan lain jika seseorang memilih : y z = e x 4 u z, t = z persamaan konfluent hipergeometrik denganα = a + 1, γ = 1.dan solusinya 4 menjadi : D v z = v e z 4 Γ 1 Γ 1 v M v, 1, z + z Γ 1 1 Γ v M 1 v, 3, z (.57)