BAB I PENDAHULUAN Pada Bab I Pendahuluan ini dijelaskan mengenai latar belakang yang mendasari penelitian yang kemudian dirumuskan dalam rumusan masalah. Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah yang telah disusun, ditentukan tujuan penelitian agar penelitian memiliki arahan yang jelas mengenai apa saja yang ingin dicapai. Selanjutnya, pada bab ini juga dijelaskan mengenai manfaat penelitian, tinjauan pustaka dan sistematika penulisan Tesis. 1.1 Latar Belakang Hingga saat ini telah diidentifikasi berbagai jenis penyakit yang dapat menular tidak hanya secara horizontal, namun juga menular secara vertikal. Penularan penyakit secara horizontal dapat terjadi melalui kontak langsung maupun tidak langsung, sedangkan penularan secara vertikal dari ibu ke bayi dapat terjadi melalui plasenta pada saat bayi berada dalam kandungan atau menular ke bayi yang baru lahir pada saat proses kelahiran normal. Salah satu contoh penyakit yang menular secara horizontal dan vertikal adalah penyakit Herpes Simpleks. Penyakit Herpes Simpleks disebabkan oleh Virus Herpes Simpleks (HSV), tipe 1 atau 2. Setelah virus masuk ke dalam tubuh, HSV menjadi laten dan tidak dapat menular ke orang lain selama kurang lebih 2 14 hari sebelum akhirnya dapat menular ke orang lain (Public Health Agency of Canada, 2001). Penyakit Herpes Simpleks bukanlah penyakit yang fatal, namun virus akan terus ada dalam tubuh penderita sepanjang waktu dan dapat menular meskipun penderita tidak menunjukkan gejala sama sekali (Picard, 2013). Diperlukan suatu upaya untuk mengendalikan penularan penyakit agar tidak semakin mewabah, salah satunya adalah dengan pemberian vaksin pencegahan. Selain itu, hingga kini juga sedang diteliti vaksin pengobatan sehingga dapat menjadi alternatif di kemudian hari untuk mengendalikan penularan penyakit sekaligus memberikan harapan sembuh bagi individu yang telah tertular penyakit. 1
2 Oleh karena itu, dengan maksud untuk mempelajari mengenai penularan penyakit, dapat digunakan model matematika, dalam hal ini disebut dengan model epidemi. Dengan menggunakan model epidemi, dapat ditentukan kapan penyakit akan menjadi endemik dan langkah apa saja yang dapat dilakukan untuk menanggulanginya. Pada Tesis ini digunakan model epidemi SEIV berdasarkan pada penelitian yang telah dilakukan oleh Long dan Xiang (2011). Sebagian besar hasil penelitian yang ada pada Tesis ini bersumber dari penelitian Long dan Xiang (2011). Long dan Xiang (2011) menggunakan model epidemi SEIV untuk mempelajari penularan penyakit yang menular secara horizontal dan vertikal dengan memperhatikan pemberian vaksin dan adanya masa laten. Perilaku dinamik model SEIV yang akan diselidiki adalah keberadaan (eksistensi) titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik, analisis kestabilan lokal masing-masing titik ekuilibrium dan kemungkinan terjadinya bifurkasi pada nilai parameter tertentu. Analisis bifurkasi dilakukan untuk melihat apakah perubahan nilai parameter tertentu menyebabkan perubahan perilaku dinamik dari model epidemi yang dibentuk. Terkait eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik, serta analisis bifurkasi pada model epidemi SEIV yang dibentuk, perlu diperhatikan bilangan reproduksi dasar R 0. Pada beberapa kasus model epidemi, pada saat R 0 < 1, titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik dan tidak ada titik ekuilibrium endemik, sedangkan pada saat R 0 > 1, titik ekuilibrium bebas penyakit tidak stabil dan muncul titik ekuilibrium endemik yang stabil asimtotik. Fenomena seperti ini yang terjadi pada model epidemi disebut dengan bifurkasi maju. Selanjutnya perlu diselidiki pula kemungkinan terjadinya bifurkasi mundur yang ditandai munculnya titik ekuilibrium endemik pada saat R 0 < 1. Jika bifurkasi mundur terjadi maka penyakit belum tentu akan menghilang meskipun R 0 < 1 (Castilo-Chavez dan Song, 2004). Adapun salah satu faktor yang mempengaruhi perilaku dinamik dari model epidemi yang dibentuk adalah laju insidensi yang digunakan. Laju insidensi adalah laju munculnya infeksi baru (Li dkk, 2010). Pada model epidemi sering
3 kali digunakan laju insidensi bilinear βs(t)i(t), dengan S(t) dan I(t) berturut-turut menyatakan jumlah individu yang rentan penyakit dan jumlah individu yang terinfeksi sekaligus memiliki kemampuan untuk menginfeksi individu lain pada saat t. Laju insidensi bilinear βs(t)i(t) menunjukkan kenaikan laju kontak β sebanding dengan kepadatan populasi (Hethcote, 2000). Selanjutnya Liu dkk (1986,1987) (dalam Li dkk, 2010) memperkenalkan laju insidensi βs p (t)i q (t) dengan mempertimbangkan adanya faktor kejenuhan atau adanya pajanan (exposure) jamak sebelum terjadinya infeksi. Pajanan adalah peristiwa yang menimbulkan risiko penularan (Yayasan Spiritia, 2013). Pajanan berkaitan erat dengan bagaimana virus atau bakteri penyebab penyakit masuk ke dalam tubuh. Contohnya antara lain hubungan seksual, penggunaan jarum suntik bekas dan pemakaian alat makan secara bersamaan/ bergantian. Van den Driessche dan Watmough (2000) mengkombinasikan kedua bentuk laju insidensi di atas dan memperkenalkan laju insidensi nonlinear βs(t)i(t)[1 + αi p 1 (t)], dengan β > 0, α > 0 dan p 1. Pada Tesis ini, model epidemi SEIV yang dibentuk menggunakan laju insidensi nonlinear βs(t)i(t)[1 + αi p 1 (t)] dengan p = 2 yang memasukkan faktor naiknya laju insidensi yang diakibatkan oleh pajanan ganda dalam waktu yang singkat. Masuknya virus atau bakteri penyebab penyakit akan menyerang sistem kekebalan (imun) tubuh. Pajanan pertama mengakibatkan masuknya virus atau bakteri ke dalam tubuh dan dapat melemahkan sistem kekebalan tubuh dalam jangka waktu tertentu. Akibatnya, jika dalam kondisi sistem kekebalan yang lemah, tubuh mendapatkan pajanan ke dua yang membawa virus atau bakteri penyebab penyakit ke dalam tubuh, maka tubuh akan memiliki risiko lebih tinggi untuk terserang penyakit. Dengan demikian, pajanan ganda dalam waktu singkat dapat mengakibatkan naiknya laju munculnya infeksi baru. Infeksi baru yang diakibatkan oleh pajanan ganda muncul dengan laju αβs(t)i 2 (t), sedangkan infeksi baru yang diakibatkan oleh kontak tunggal muncul dengan laju βs(t)i(t) (Van den Driessche dan Watmough, 2000).
4 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian pada latar belakang, maka rumusan masalah dari penelitian ini adalah: 1. Bagaimana model epidemi yang sesuai dengan karakteristik penyakit yang ingin dimodelkan? 2. Bagaimana nilai dari bilangan reproduksi dasar pada model epidemi yang dibentuk? 3. Bagaimana eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik? 4. Bagaimana sifat kestabilan lokal dari masing-masing titik ekuilibrium? 5. Bagaimana bifurkasi yang terjadi pada model epidemi yang dibentuk? 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan uraian pada latar belakang dan rumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Menentukan model epidemi yang sesuai dengan karakteristik penyakit yang ingin dimodelkan. 2. Menentukan bilangan reproduksi dasar. 3. Menyelidiki eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. 4. Melakukan analisis kestabilan lokal dari masing-masing titik ekuilibrium. 5. Melakukan analisis bifurkasi yang mungkin terjadi pada model epidemi yang dibentuk. 1.4 Manfaat Penelitian Secara umum, manfaat dari penelitian ini adalah memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan dan menambah wawasan pengetahuan dalam bidang matematika terapan terutama dalam bidang biomatematika. Secara khusus, penelitian ini bermanfaat dalam pengembangan model matematika pada bidang epidemiologi terkait penyakit yang menular secara horizontal dan vertikal, serta pemberian vaksin sebagai upaya untuk mengendalikan penularan penyakit.
5 1.5 Tinjauan Pustaka Model epidemi SIR pertama kali dikembangkan oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Selanjutnya model epidemi SIR dikembangkan menjadi model epidemi lain seperti SIS, SIRS, SEIR, SEIRS dan SEIV. Adapun model epidemi yang digunakan dalam Tesis ini adalah model epidemi SEIV yang terkait dengan masa laten dan pemberian vaksin. Pada model epidemi SEIV yang dibentuk, digunakan laju insidensi nonlinear βsi(1 + αi p 1 ) dengan β > 0, α > 0 dan p = 2 yang dijelaskan oleh Van den Driessche dan Watmough (2000). Perlu diketahui bahwa model epidemi SEIV disusun ke dalam bentuk sistem persamaan diferensial nonlinear autonomous. Oleh karena itu, terlebih dahulu perlu dijamin eksistensi dan ketunggalan solusi dari sistem persamaan diferensial nonlinear yang dibentuk. Teorema yang menjamin eksistensi dan ketunggalan solusi dari sistem persamaan diferensial diberikan oleh Perko (2001). Selanjutnya akan diselidiki eksistensi titik (solusi) ekuilibrium dari sistem persamaan diferensial yang dibentuk dan kemudian akan dianalisis perilaku solusi di sekitar titik ekuilibrium dengan melihat sifat kestabilan titik ekuilibrium, dijelaskan oleh Perko (2001). Adapun pada model epidemi SEIV yang dibentuk akan diselidiki eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. Pada Tesis ini, titik ekuilibrium endemik merupakan akar dari suatu persamaan polinom sehingga eksistensi titik ekuilibrium endemik akan diselidiki dengan menggunakan Aturan Tanda Descartes yang dijelaskan oleh Wiggins (2003). Untuk mengetahui sifat kestabilan lokal dari titik ekuilibrium, dilakukan linearisasi di titik ekuilibrium dengan menggunakan matriks Jacobian, kemudian dicari nilai eigen dari matriks Jacobian seperti yang dijelaskan oleh Perko (2001). Sifat kestabilan lokal titik ekuilibrium yang diselidiki melalui nilai eigen dari matriks Jacobian hanya berlaku jika titik ekuilibrium yang ditinjau adalah titik ekuilibrium hiperbolik. Definisi mengenai titik ekuilibrium hiperbolik dan nonhiperbolik diberikan oleh Perko (2001). Adapun definisi matriks Jacobian dari suatu fungsi di titik tertentu pada domainnya dan nilai eigen dari suatu matriks diberikan oleh Luenberger (1979). Sehubungan dengan nilai eigen, akan ditemui
6 bentuk polinomial karakteristik, multiplisitas aljabar dari nilai eigen, nilai eigen sederhana, vektor eigen kanan dan vektor eigen kiri yang dijelaskan oleh Luenberger (1979), sedangkan Seyranian dan Mailybaev (2003) menjelaskan tentang normalisasi vektor eigen kanan dan kiri. Selanjutnya, Wiggins (2003) menjelaskan mengenai tes Routh-Hurwitz untuk menentukan banyaknya pembuat nol dari suatu persamaan polinom yang memiliki bagian real negatif. Hal ini terkait dengan identifikasi nilai eigen untuk mengetahui apakah titik ekuilibrium stabil asimtotik lokal atau tidak stabil. Pada umumnya, eksistensi dari titik ekuilibrium endemik akan terkait dengan bilangan reproduksi dasar yang definisinya diberikan oleh Diekmann dan Heestterbeek (2000), sedangkan eksistensi dari titik ekuilibrium bebas penyakit tidak bergantung pada bilangan reproduksi dasar. Castillo-Chavez, dkk (2001) menjelaskan mengenai metode untuk mendapatkan bilangan reproduksi dasar. Nilai bilangan reproduksi dasar juga berpengaruh terhadap sifat kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit dan analisis bifurkasi. Salah satu bagian yang sangat penting untuk diteliti adalah kemungkinan terjadinya bifurkasi mundur pada model epidemi. Castillo-Chavez dan Song (2004) menjelaskan mengenai bifurkasi mundur yang terjadi pada titik ekuilibrium nonhiperbolik saat diperoleh nilai eigen sederhana 0. Adapun definisi mengenai bifurkasi diberikan oleh Kuznetsov (1998). Jenis-jenis bifurkasi yang terjadi pada saat matriks Jacobian memiliki nilai eigen sederhana 0, yaitu bifurkasi saddle node, bifurkasi transkritis dan bifurkasi pitchfork dijelaskan oleh Wiggins (2003), sedangkan bifurkasi Hopf yang terjadi pada saat matriks Jacobian memiliki sepasang nilai eigen imajiner murni dijelaskan oleh Kuznetsov (1998) dan van der Heijden (2004). Beberapa definisi lain yang diperlukan yaitu mengenai kurva solusi, trayektori atau orbit dan potret fase diberikan oleh Arrowsmith dan Place (1992), definisi mengenai solusi periodik dan limit cycle berturut-turut diberikan oleh Wiggins (2003) dan Kuznetsov (1998). Himpunan invarian dijelaskan oleh Wiggins (2003), sedangkan Grant (1999) menjelaskan mengenai dua sistem
7 persamaan diferensial autonomous yang ekuivalen secara topologi dan dua sistem persamaan diferensial autonomous yang konjugat secara topologi. 1.6 Metodologi Penelitian Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dengan mengumpulkan bahan literatur serta bahan pustaka sebagai referensi untuk mempelajari model penularan penyakit SEIV dan melakukan pembimbingan dengan dosen pembimbing. Langkah pertama adalah menentukan asumsi-asumsi yang berkaitan dengan model epidemi SEIV sesuai dengan karakteristik penyakit yang dimodelkan, kemudian dilanjutkan dengan membuat diagram transfer berdasarkan asumsi yang telah dibuat dan disajikan menjadi model matematika dalam bentuk sistem persamaan diferensial nonlinear. Pada model epidemi SEIV yang telah dibentuk, akan diselidiki eksistensi, ketunggalan dan batasan solusi sistem persamaan diferensial nonlinear. Setelah itu, akan diselidiki kapan titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik ada. Selain itu, dicari pula bilangan reproduksi dasar dan pengaruhnya terhadap eksistensi titik ekuilibrium. Untuk menentukan sifat kestabilan lokal titik ekuilibrium, dilakukan linearisasi dengan menggunakan matriks Jacobian, kemudian dicari persamaan karakteristiknya dan nilai eigennya. Selanjutnya dilakukan analisis bifurkasi. Langkah terakhir adalah melakukan simulasi numerik terhadap hasil yang diperoleh menggunakan program komputer yaitu Matlab (Matcont). Model epidemi SEIV dan sebagian besar hasil penelitian yang dibahas pada Tesis ini telah dikemukakan sebelumnya oleh Long dan Xiang pada Journal of Apllied Mathematics & Bioinformatics, volume 1, nomor 1, tahun 2011, halaman 21 30. Kontribusi penulis antara lain menjelaskan konstruksi model epidemi SEIV, menambahkan diagram transfer model epidemi SEIV, menjelaskan mengenai eksistensi, ketunggalan dan batasan solusi, menggunakan metode yang berbeda dalam pencarian bilangan reproduksi dasar, melengkapi pembuktianpembuktian yang ada, melakukan koreksi, serta memberikan interpretasi dan simulasi numerik dengan bantuan program komputer, yaitu Matlab (Matcont).
8 1.7 Sistematika Penulisan Tesis disusun dengan sistematika penulisan sebagai berikut: 1. Bab I, berisi Pendahuluan yang memuat latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta sistematika penulisan. 2. Bab II, berisi Landasan Teori yang memuat teori-teori dasar mengenai polinomial dan persamaan karakteristik, aturan tanda Descartes, Tes Routh- Hurwitz, nilai eigen dan vektor eigen, fungsi diferensiabel kontinu, sistem persamaan diferensial linear dan nonlinear, linearisasi dan ekuivalensi secara topologi, titik ekuilibrium dan analisis kestabilan titik ekuilibrium, bilangan reproduksi dasar serta bifurkasi. 3. Bab III, berisi Analisis Kestabilan Lokal dan Bifurkasi pada Model Epidemi SEIV yang membahas tentang pembentukan model epidemi SEIV, eksistensi dan ketunggalan serta batasan solusi, eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik, bilangan reproduksi dasar dari model SEIV, analisis kestabilan lokal dari titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik, analisis bifurkasi serta simulasi numerik. 4. Bab IV, berisi Penutup yang memuat kesimpulan dan saran sebagai konsekuensi dari kekurangan pada pembahasan.