BAHAN AJAR SISTEM DIGITAL

BAHAN AJAR SISTEM DIGITAL JURUSAN TEKNOLOGI KIMIA INDUSTRI PENDIDIKAN TEKNOLOGI KIMIA INDUSTRI MEDAN Disusun oleh : Golfrid Gultom, ST Untuk kalangan sendiri 1

DASAR TEKNOLOGI DIGITAL Deskripsi Singkat : Pada Bab ini dijelaskan dasar teknik digital, dimana pada bab ini mahasiswa sebelumnya harus mengetahui dasar teori listrik yang meliputi: Hubungan seri (sumber tunggal): menentukan tegangan (V), arus listrik (I), hambatan (R) dan daya (P); Hukum Kirchoff (Tegangan); pembagi tegangan, hubungan paralel menentukan V,I,R,P; Hukum Kirchoff (Arus); pembagi arus dan hubungan seri / paralel : menentukan V,I,R,P. Selanjutnya pada bab ini akan dijelaskan mengenai Sistem Bilangan, terdiri dari Bilangan Biner, Bilangan Oktal, Bilangan Desimal dan Bilangan Heksadesimal dilanjutkan dengan penguasaan gerbang-gerbang logika dan aljabar Boolean. Setelah selesai mempelajari bab V ini, mahasiswa semester III Jurusan Teknologi Mekanik Industri diharapakan menguasai dasar-dasar teknik digital yang meliputi gerbanggerbang logika dan analisa penyederhanaan gerbang logika tersebut menggunakan aljabar Boolean dan Peta Karnaugh dilanjutkan dengan dasar konversi analog dan digital yang merupakan dasar pada pengenalan proses kontrol dan otomatisasi pada industri. Untuk melatih kemampuan mahasiswa diberikan soal-soal latihan yang harus dikerjakan agar dapat memantapkan ilmu. Disarankan pada mahasiswa untuk membaca lebih banyak tentang instrumentasi dan pengendalian proses, ditambah dengan mencari informasi tentang Programmable Logic Controller (PLC). 2

SISTEM BILANGAN Suatu rangkaian digital bekerja dalam sistem bilangan biner, yakni hanya dalam dua keadaan. Keluaran dari rangkaian ada dalam keadaan tegangan rendah atau dalam keadaan tegangan tinggi, selain dua keadaan tersebut tidak ada harga keadaan lain yang diperbolehkan. Dua keadaan keluaran dari rangkaian digital dinyatakan dalam 0 dan 1. Harga 0 dan 1 menyatakan berturut-turut harga rendah dan harga tinggi, maka sistem tersebut dinamakan sistem logika positif. Sebaliknya apabila 0 dan 1 menyatakan tegangan tinggi dan rendah, maka sistem dinamakan sistem logika negatif. Sistem Bilangan Biner dan Desimal Dalam sistem bilangan biner, setiap bilangan didasarkan pada basis 2. Setiap digit biner disebut bit (binary digit); bit yang paling kanan disebut least significant bit (LSB) dan bit yang paling kiri disebut Most Significant Bit (MSB). Tabel 5.1 berikut ini menunjukkan daftar bilangan desimal dan daftar bilangan biner beserta ekivalensinya Desimal Biner 2 2 2 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1 Most Significant Bit (MSB) Least Significant Bit (LSB) Tabel 1. Ekivalensi Bilangan Desimal dan Biner Untuk membedakan bilangan pada sistem bilangan bilangan yang berbeda digunakan tanda subskrip. Sebagai contoh 7 10 adalah bilangan 7 pada sistem bilangan desimal dan 10001 2 adalah sistem bilangan 10001 pada sistem bilangan biner. Pada tabel 5.2. berikut ditunjukkan pengubahan bilangan biner ke bilangan desimal 3

Biner Kolom Biner Desimal 16 8 4 2 1 1001-1 0 0 1 8+0+0+1 = 9 11001 1 1 0 0 1 16+8+0+0+1=25 10111 1 0 1 1 1 16+0+4+2+1= 23 Tabel 2. Pengubahan Bilangan Biner Ke Desimal Basis atau radiks dari sistem bilangan menunjukkan jumlah angka digit total yang digunakan dalam sistem bilangan tersebut. Dalam contoh pada tabel 5.2. angka biner 1001 ekivalen dengan angka 9 pada sistem bilangan desimal, yang diperoleh dari: 3 1001 = 1 x 2 + 0 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9 Konversi bilangan Desimal ke Biner dapat dilakukan dengan kombinasi intuisi dan metode trial and error. Bilangan desimal yang diketahui dipisah-pisahkan ke dalam sejumlah bilangan berbasis dua. Sebagai contoh bilangan desimal 22 10 nilainya lebih kecil dari 2 5 =32 dan lebih besar dari 2 4 = 16, maka bit 1 ditempatkan pada kolom 16, sisanya adalah 22-16 = 6, dapat dimasukkan pada kolom 4 dan kolom 2, sehingga bit 1 diletakkan pada kolom tersebut, selanjutnya diperoleh konversi bilangan 22 10 adalah 10110 2. Kenapa diletakkan 0 pada kolom 8? Karena sisa pengurangan 22 terhadap 16 adalah 6 (lebih kecil dari 8) sehingga kolom 8 diberi angka nol. Cara lain adalah dengan pembagian secara progresif angka desimal dengan 2 sampai memperoleh sisa pembagian nol. Tulislah sisanya setelah setiap pembagian dengan urutan terbalik, maka diperoleh angka biner. Proses ini dijelaskan di bawah ini dimana angka 22 diubah menjadi angka binernya. 22 2 = 11 ; sisa 0 (LSB) 11 2 = 5 ; sisa 1 5 2 = 2 ; sisa 1 2 2 = 1 ; sisa 0 1 2 = 0 ; sisa 1 (MSB) Pembacaan hasil pembagian adalah dari bagian MSB ke ke bagian LSB, dari hasil diperoleh bahwa 2210 dikonversikan ke biner, maka diperoleh 101102. Pada tabel di bawah ini diberikan beberapa contoh pengkonversian bilangan desimal ke biner: 4

Bilangan Kolom Biner Bilangan Desimal 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 2 Biner 15 0 0 1 1 1 1 001111 45 1 0 1 1 0 1 101101 52 1 1 0 1 0 0 110100 Tabel 3. Beberapa Contoh Pengkonversian Desimal Ke Biner Latihan 1 1. Ubah bilangan biner berikut menjadi bilangan desimal : a. 110 b. 10101 c. 1111001 2. Ubah bilangan desimal berikut menjadi bilangan biner : a. 8 b. 52 c. 67 Jawaban : 1. (a) 6 (b) 21 (c)121 ; 2.(a) 1000 (b) 110100 (c) 1000011 Metode yang dipakai diatas tidak berlaku untuk bilangan yang mengandung pecahan. Dalam bilangan desimal, bilangan pecahan disajikan dengan menggunakan titik desimal. Digit-digit yang berada di sebelah kiri titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin besar dan digit-digit yang berada di sebelah kanan titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin kecil. Sehingga: -2 0,01 10 = 1 x 10-1 -2-3 0,10110 = 1 x 10 + 0 x 10 + 1x 10 Cara yang sama dapat digunakan untuk menyajikan bilangan biner pecahan, contoh : 0,1 2 = 1 x 2-1 0,01 2 = 0 x 2-1 -2-2 + 1 x 2 = 2 = ¼ Contoh : Tentukan 0,111 2 =.. 10 Jawab = 1 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-3 = ½ + ¼ + 1/8 = 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,875 10 5

Pengubahan bilangan pecahan dari desimal ke biner dapat dilakukan dengan cara mengalikan bagian pecahan dari bilangan desimal tersebut dengan 2, bagian bulat dari hasil perkalian merupakan pecahan dalam bit biner. Proses perkalian diteruskan pada sisa sebelumnya sampai hasil perkalian sama dengan 1 atau sampai pada tingkat ketelitian yang diinginkan. Bit biner pertama yang diperoleh merupakan MSB dari bilangan biner pecahan. Contoh : 1. Tentukanlah 0,625 10 = 2 Jawab 0,625 x 2 = 1,25 bagian bulat =1 (MSB) Sisa = 0,25 0,25 x 2 = 0,5 bagian bulat =0, sisa = 0,5 0,5 x 2 = 1 bagian bulat = 1 (LSB), tanpa sisa Maka diperoleh: 0,625 10 = 0,101 2 2. Tentukan 5,625 10 =. 2 Jawab I. Pisahkan bilangan bulatnya, lalu konversikan ke biner 510 = 1012 II. Konversikan bilangan pecahan ke biner 0,625 10 = 0,101 2 III. Gabungkan hasil pengkonversian bilangan bulat dengan pecahan, maka : 5,625 10 = 101,101 2 Latihan 2 1. Ubah bilangan biner berikut menjadi bilangan desimal : a. 0,01 b. 0,111 c. 101,101 2. Ubah bilangan desimal berikut menjadi bilangan biner : a. 0,25 b. 0,21875 c. 0,46875 Jawaban : 1.(a) 0,25 (b) 0,875 (c) 5,625 ; 2.(a) 0,01 (b) 0,00111 (c) 0,1111 Sistem Bilangan Oktal dan Biner 6

Bilangan oktal adalah sistem bilangan yang berbasis 8. Teknik pembagian yang berturutan dapat digunakan untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan oktal. Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi dengan 8 dan sisa pembagiannya harus selalu dicatat. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 5819 10 ke oktal, langkah-langkah yang dilakukan adalah : 5819 8 = 727, sisa 3 (LSB) 727 8 = 90, sisa 7 90 8 = 11, sisa 2 11 8 = 1, sisa 3 1 8 = 0, sisa 1, MSB Sehingga, 5819 10 = 13273 8 Setiap digit pada bilangan oktal dapat disajikan dengan 3 digit bilangan biner, seperti pada tabel 5.4 berikut: Oktal Biner 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Tabel 4. Konversi Oktal Ke Biner Untuk mengubah bilangan oktal ke bilangan biner, setiap digit oktal diubah secara terpisah. Sebagai contoh, 7536 8 sama dengan bilangan biner 111 101 011 110. Sebaliknya, pengubahan dari bilangan biner ke bilangan oktal dilakukan dengan mengelompokkan setiap tiga digit biner dimulai dari digit paling kanan. Kemudian setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan oktal. Sebagai contoh, bilangan 11110011001 2 akan dikelompokkan sehingga 11 110 011 001, sehingga: 11 2 = 3 8 MSB 110 2 = 6 8 011 2 = 3 8 7

0012 = 1 8 LSB Jadi, bilangan biner 11110011001 apabila diubah menjadi bilangan oktal akan memperoleh 3631 8. Latihan 3 1. Ubah bilangan Oktal berikut ini menjadi bilangan biner: a. 32 b. 57 c. 213 2. Ubah bilangan biner berikut menjadi bilangan oktal: a. 010 b. 110011 c. 101110110 Jawaban : 1. (a)11010 (b)101111 (c) 10001011; 2.(a)2 (b)63 (c)566 Sistem Bilangan Biner dan Heksadesimal Bilangan heksadesimal atau bilangan basis enam belas mempunyai 16 simbol yang berbeda. Ditunjukkan pada tabel 5.5. Heksadesimal Desimal Biner 0 0 0000 1 1 0001 2 2 0010 3 3 0011 4 4 0100 5 5 0101 6 6 0110 7 7 0111 8 8 1000 9 9 1001 A 10 1010 B 11 1011 C 12 1100 D 13 1101 E 14 1110 F 15 1111 Tabel 5. Tabel Konversi Sistem Bilangan Heksadesimal 8

Setiap digit pada bilangan heksadesimal dapat disajikan dengan empat buah bit seperti ditunjukkan pada tabel 5.5. Untuk mengubah bilangan heksadesimal menjadi bilangan biner, setiap digit dari bilangan heksadesimal diubah secara terpisah ke dalam empat bit bilangan biner. Sebagai contoh, bilangan heksadesimal 2A5C, dapat dikonversikan ke dalam bilangan biner dengan cara: 216 = 0010, MSB A 16 = 1010 516 = 0101 C = 1100, LSB 16 Sehingga bilangan heksadesimal 2A5C akan diubah menjadi bilangan biner 0010 1010 0101 1100. Bilangan biner apabila dikonversikan menjadi bilangan heksadesimal, maka langkah yang dilakukan adalah mengelompokkan setiap empat digit dari bilangan biner dimulai dari digit paling kanan. Sebagai contoh bilangan biner 0100111101011100, dapat dikelompokkan menjadi 0100 1111 0101 1100, sehingga: 0100 2 = 416, MSB 1111 2 = F 16 0101 2 = 5 16 1100 2 = C 16, LSB Dengan demikian, bilangan 0100111101011100 2 = 4F5C 16 Latihan 4 1. Ubah bilangan biner berikut menjadi bilangan heksadesimal : a. 110110100 b. 1000010001111 c. 1110111 2. Ubah bilangan heksadesimal berikut menjadi bilangan biner : a. 2A b. EF2 c. C19 Jawaban:1.(a) 1B4 (b) 108F (c) 77 ; 2.(a) 101010 (b) 111011110010 (c) 110000011001 9

GERBANG LOGIKA Gerbang logika adalah piranti dua keadaan yaitu mempunyai keluaran dua keadaan; keluaran dengan nol (0) volt yang menyatakan logika nol atau rendah dan keluaran dengan tegangan tetap yang menyatakan logika 1 (atau tinggi). Gerbang logika dapat mempunyai beberapa masukan yang masing-masing mempunyai salah satu dari dua keadaan logika, yaitu 0 dan 1. Gerbang logika dapat digunakan untuk melakukan fungsi-fungsi khusus, misalnya: OR, AND, NOT, NOR, NAND atau EXOR. Gerbang-gerbang logika dengan dua masukan digambarkan pada gambar 5.1 berikut ini: Gerbang Logika AND Gerbang Logika OR Gerbang Logika NOT Gerbang Logika NAND Gerbang Logika NOR Gerbang Logika EXOR Gambar 1. Gambar Gerbang-Gerbang Logika Dua Masukan Gerbang Logika AND Gerbang AND digunakan untuk menghasilkan logika 1 jika semua masukannya mempunyai logika 1, apabila tidak maka akan dihasilkan logika nol (0). Daftar yang berisi kombinasi semua kemungkinan keadaan masukan dan keluaran yang dihasilkan disebut sebagai tabel kebenaran dari gerbang yang bersangkutan. Tabel 5.6 berikut ini menunjukkan tabel kebenaran dari gerbang AND dua masukan. Masukan Keluaran A B F 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Tabel 6. Tabel Kebenaran Gerbang AND Dua Masukan 10

Gerbang logika AND dapat dianalogikan sebagai hubungan seri dua saklar pada rangkaian listrik, dimana tegangan dapat mengalir (logika 1) pada rangkaian apabila kedua saklar ditutup (logika 1) dan tegangan tidak dapat mengalir (logika 0) apabila salah satu atau kedua saklar terbuak (logika 0) Gerbang Logika OR Gerbang logika OR mempunyai dua masukan atau lebih tetapi mempunyai satu keluaran. Keluaran dari gerbang logika OR mempunyai keadaan satu (1) apabila satu atau lebih masukannya berada dalam keadaan satu (1). Jika diinginkan keadaan keluaran nol (0), maka semua masukan harus dalam keadaan nol (0). Gerbang logika OR dapat dianalogikan sebagai hubungan seri antara dua saklar pada rangkaian listrik, dimana tegangan dapat mengalir (logika 1) apabila salah satu atau dua saklar ditutup, dan tegangan tidak akan mengalir (logika 0) apabila kedua saklar terbuka (keduanya memberikan logika 0). Tabel kebenaran dari gerbang logika OR diberikan pada tabel berikut ini : Masukan Keluaran A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Tabel 6. Tabel Kebenaran Gerbang OR Dua Masukan Gerbang Logika NOT (Inverter) Gerbang logika NOT atau Inverter mempunyai satu masukan dan satu keluaran. Keluaran dari rangkaian tersebut mempunyai harga logika 1 jika dan hanya jika masukan tidak berada dalam logika 1 atau keluaran akan tinggi apabila masukannya rendah dan keluarannya akan rendah apabila masukannya tinggi. Tabel kebenaran gerbang logika NOT (Inverter) ditunjukkan pada tabel 5.7 berikut ini: Masukan Keluaran 0 1 1 0 Tabel 7. Tabel Kebenaran Gerbang Logika NOT 11

Gerbang Logika NAND Gerbang logika NAND merupakan gabungan antara gerbang logika AND dan gerbang Logika NOT (ingkaran dari gerbang logika AND). Gerbang logika NAND akan mempunyai keluaran 0 apabila semua masukan pada logika 1. Sebaliknya, apabila terdapat sebuah logika 0 pada sembarang masukan pada gerbang logika NAND, maka keluarannya akan bernilai 1. Tabel kebenaran gerbang logika NAND dua masuk ditunjukkan pada tabel 5.8 berikut ini Masukan Keluaran A B F 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Tabel 5.8. Tabel Kebenaran Gerbang Logika NAND Gerbang Logika NOR Gerbang logika NOR merupakan gabungan antara gerbang logika OR dan gerbang Logika NOT (ingkaran dari gerbang logika AND). Gerbang logika NOR akan mempunyai keluaran 1 apabila semua masukan pada logika 0. Sebaliknya, apabila terdapat sebuah logika 1 pada sembarang masukan pada gerbang logika NOR, maka keluarannya akan bernilai 0. Tabel kebenaran gerbang logika NOR dua masuk ditunjukkan pada tabel 5.9 berikut ini Masukan Keluaran A B F 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Tabel 9. Tabel Kebenaran Gerbang Logika NOR Gerbang Logika EXOR 12

Gerbang EXOR (berasal dari kata Exclusive OR) akan memberikan keluaran logika 1, apabila masukan-masukannya mempunyai keadaan 1 jika masukannya mempunyai keadaaan berbeda. Tabel kebenarannya ditunjukkan pada tabel 5.10 berikut ini: Masukan Keluaran A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Tabel 10. Tabel Kebenaran Gerbang Logika EXOR ALJABAR BOOLEAN DAN PETA KARNAUGH Keluaran dari satu atau kombinasi beberapa buah gerbang dapat dinyatakan dalam dalam suatu ungkapan logika yang disebut ungkapan Boolean. Teknik ini memanfaatkan aljabar Booelan dengan notasi-notasi khusus dan aturan-aturan yang berlaku untuk elemen-elemen logika termasuk gerbang logika. Hukum- Hukum dan Teorema Aljabar Booelan Aljabar Boolean mempunyai notasi-notasi sebagai berikut : a. Fungsi AND dinyatakan dengan sebuah titik (dot), sehingga sebuah gerbang AND yang mempunyai dua masukan misalkan A dan B dan mempunyai keluaran F, secara aljabar Boolean keadaan ini dapat dinotasikan dengan : F = A.B dengan A dan B adalah masukan dari gerbang AND. Untuk gerbang AND tiga masukan (A, B dan C), maka keluarannya dapat dituliskan dengan persamaan Boolean F = A.B.C b. Fungsi OR dinyatakan dengan sebuah simbol tambah (+), sehingga gerbang OR dua masukan dengan masukan A dan B dengan keluaran F, dapat dituliskan dengan persamaan Boolean F = A+B. Untuk gerbang OR tiga masukan (A, B dan C), maka keluarannya dapat dituliskan dengan persamaan Boolean F = A +B+C c. Fungsi NOT dinyatakan dengan tanda garis atas (overline) pada masukkannya. Sehingga gerbang NOT dengan masukan A mempunyai keluaran yang dapat dituliskan sebagai F = A (dibaca not A atau inverter A) 13

d. Fungsi NAND yang merupakan kombinasi antara gerbang logika NOT dan AND, sehingga persamaan Boolean dari gerbang logika NAND, akan dapat dituliskan dengan persamaan F = A.B e. Fungsi NOR yang merupakan kombinasi antara gerbang logika NOT dan OR, sehingga persamaan Boolean dari gerbang logika NOR, akan dapat dituliskan dengan persamaan F = A+B Contoh : Perhatikan gambar 5.2 berikut ini : A C F B D a. Tentukanlah persamaan Booleannya! b. Buatlah tabel kebenaran yang menunjukkan semua keadaan pada semua masukan sehingga dapat dibuktikan gerbang kombinasinya dapat digantikan dengan sebuah gerbang! c. Buktikanlah bahwa A+B = A. B Jawab : a. Persamaan Boolean pada C= A, dan persamaan Boolean pada D= B, sehingga persamaan Boolean pada F = A. B b. Tabel kebenaran dari persamaan Boolean tersebut adalah : A B C D F 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 Dari tabel kebenaran tersebut dapat dilihat bahwa keluaran pada F sama dengan keluaran dari gerbang logika NOR. Sehingga gerbang kombinasi tersebut dapat digantikan dengan sebuah gerbang NOR c. Persamaan Boolean dari fungsi NOR adalah A+B. Tetapi persamaan yang dihasilkan dari point (a) adalah A.B. Sehingga A + B = A. B 14

Beberapa teorema Boolean yang lain adalah : 1 + A = A 0 + A = A A + A = A A. A = A A + A = 1 A. A = 0 A. B = B. A A + B = B + A A. (B.C) = (A. B). C A+(B+C) = (A +B)+ C (A+B).(A+C) = A. ( B+C) A + A.B = A A +A. B = A + B A. (A + B) = A. B Latihan 5 Dengan aturan aljabar Boolean buktikanlah persamaan berikut : a. (A+B).(A+C) = A + BC b. A + A.B = A+B c. A.(A + B) = A.B Teorema De Morgan Teorema 1 Teorema 2 : Komplemen dari jumlah dua peubah atau lebih sama dengan hasil- hasil komplemen dari peubah-peubah : Komplemen dari hasil kali dua peubah atau lebih sama dengan jumlah dari komplemen-komplemen peubah-peubah Untuk dua peubah A dan B, teorema-teorema tersebut ditulis dalam persamaan Boolean sebagai berikut : A + B = A. B A. B = A + B Peta Karnaugh 15

Aljabar Boolean dapat menyederhanakan gerbang logika, tetapi cara ini memakai operasi matematis yang cukup panjang dengan menggunakan aturan Aljabar Boolean. Terdapat cara lain untuk menyederhanakan gerbang-gerbang logika yaitu dengan cara menggunakan peta Karnaugh (K-Map) atau diagram berdasarkan teknik pengenalan pola. Peta Karnaugh berisi semua kemungkinan kombinasi dari sistem logika. Kombinasi ini dirangkai dalam sebuah tabel. Tabel atau peta tersebut berisi kombinasi antara variabel-variabel atau peubah-peubah yang menjadi masukan pada sistem logika. Peta Karnaugh yang paling sederhana terdiri atas 2 variabel, dimisalkan variabel A dan variabel B. Perhatikanlah tabel 5.11 berikut ini : B 0 1 A 0 1 Tabel 11. Peta Karnaugh 2 Variabel Kolom menyajikan masukan A, dengan kolom disebelah kiri memberikan masukan 0 dari variabel A. Kolom disebelah kanan memberikan masukan 1 dari variabel A. Selanjutnya perhatikan baris pertama dab baris kedua. Pada baris pertama memberikan nilai 0 pada masukan B dan baris kedua memberikan nilai 1 pada masukan B. Dari empat kotak sel yang tersusun akan menyajikan semua kemungkinan masukan, yaitu : 2 2 = 4 buah masukan yang mungkin terjadi. Logika 1 atau masukan 1 dituliskan pada bagian masukan apabila dari persamaan Boolean yang diberikan menuliskan variabel atau masukan tersebut, dan logika 0 dituliskan apabila variabel atau masukan tidak terdapat pada persamaan Boolean atau pada persamaan Booleannya masukan atau variabel tersebut di inverter. Contoh Tuliskanlah dan sederhanakanlah persaman Boolean tersebut di bawah ini ke dalam peta Karnaugh! F = A.B + A.B Jawab : Sesuai dengan persamaan tersebut, maka logika 1 ditempatkan pada pada sel A=1 dan B = 0. Hal ini diulang untuk bagian kedua dari persamaan tersebut (A.B), maka logika 1 ditempatkan pada sel A=1 da B=1. Sisa sel yang lain dapat diisi oleh logika 0. Seperti ditunjukkan pada peta Karnaugh berikut : 16

B A 0 1 0 0 1 1 0 1 A.B A.B Selanjutnya angka 1 yang berdekatan kemudian dikelompokkan dan pada hasil pengelompokan tersebut diperhatikan variabel apa yang tidak berubah. A B 0 1 0 0 0 1 1 1 Dari hasil pengelompokan diperhatikan bahwa variabel A tidak berubah, karena pada kolom tersebut, variabel A tetap pada logika 1, sementara variabel B pada baris 1 berlogika 0 dan pada baris 2 berlogika 1. Sehingga persamaan Boolean tersebut dapat direduksi menjadi F =A Persamaan Boolean untuk dua variabel dapat ditunjukkan pada peta Karnaugh seperti ditunjukkan pada tabel 5.12 berikut : A 0 1 B 0 A B A B 1 A B A B Tabel 5.12. Tabel Relevansi Aljabar Boolean Terhadap Peta Karnaugh Untuk peta Karnaugh tiga masukan dimisalkan A, B dan C akan terdapat 2 3 = 8 buah kombinasi yang harus dituliskan pada peta Karnaugh seperti pada tabel 5.13 berikut ini : A = 0 A = 0 A = 1 A = 1 B = 0 B = 1 B = 1 B = 0 C = 0 A B C A B C A B C A B C C = 1 A B C A B C A B C A B C Contoh 17

Dimisalkan suatu persamaan Boolean sebagai berikut : F = A B C + A B C Dengan menggunakan peta Karnaugh sederhanakanlah persamaan tersebut Jawab : A = 0 A = 0 A = 1 A = 1 B = 0 B = 1 B = 1 B = 0 C = 0 0 1 0 0 C = 1 0 1 0 0 A B Sama seperti peta Karnaugh dua variabel, peta karnaugh tiga variabel menggabungkan dua logika 1 yang berdekatan. Selanjutnya memperhatikan variabel mana yang tidak berubah. Dan dapat dilihat hasil penyederhanaan persamaan Boolean tersebuat adalah F = A B Apabila kita bandingkan dengan penyelesaian secara aljabar Boolean dapat diperoleh : F = A B C + A B C F = A B (C + C) F = A B Latihan 6 1. Dengan aturan aljabar Boolean dan peta Karnaugh sederhanakanlah persamaan berikut: a. F = A B + A B + A B b. F = Y (X+Z) + Z (X +Y) + XZ 2. Suatu tangki mempunyai kapasitas volume 100 m 3. Tangki tersebut di supply oleh 3 buah pompa. Pompa A mengalirkan fluida dengan debit 40 m 3 / jam, pompa B mengalirkan fluida dengan debit 50 m 3 /jam dan pompa C mengalirkan fluida dengan debit 70 m 3 /jam. Rencanakanlah suatu rangkaian kontrol (dengan pengaturan 1 jam), sehingga apabila terjadi kelebihan kapasitas pada tangki, maka rangkaian kontrol tersebut akan membunyikan bel secara otomatis! Jawaban : 1.(a) A+B (b) Z+XY ; 2. AC +BC KONVERSI ANALOG DAN DIGITAL 18

Piranti-piranti dan sistem-sistem logika hanya mengenal isyarat digital. Tetapi kebanyakan isyarat atau sinyal yang dihubungkan dengan transduser mempunyai bentuk analog. Sebelum diumpankan ke sistem digital, sinyal-sinyal ini harus diubah ke dalam sinyal digital oleh pengubah analog ke digital (analog to digital converter = ADC). Dan keluaran dari sistem digital dapat diubah menjadi bentuk analog oleh pengubah digital ke analog (digital to analog converter = DAC). 5.4.1. Konversi Analog ke Digital Konversi analog ke digital mengambil masukan analog, kemudian mencuplik sinyal tersebut lalu mengubahnya amplitudo dari setiap pencuplikan menjadi sandi digital. Seperti ditunjukkan pada blok diagram berikut : Masukan analog Sampling Konversi Sinyal Digital Gambar 5.3. Blok Diagram Analog ke Digital 5.4.2 Pencuplikan Untuk mendapatkan hasil yang memuaskan sinyal analog harus disampling atau dicuplik dengan laju paling sedikit dua kali frekuensi tertinggi dari masukan analog asli seperti ditunjukkan pada gambar 5.4 berikut ini: Pulsa Sampling Gambar.5.4. Pencuplikan dan Penyusunan Kembali Sinyal Asli Laju pencuplikan ini disebut dengan laju Nyquist. Pada saat cuplikan-cuplikan tersebut digabungkan kembali dengan cara menggabungkan ujung-ujung dari setiap sinyal yang dicuplik, gelombang yang terbentuk harus berisi informasi yang sama dengan bentuk gelombang semula. Jika laju pencuplikan rendah apabila dibandingkan dengan frekuensi sinyal analog, maka akan terjadi proses aliasing. Apabila sebuah sinyal analog dengan frekuensi 10 KHz, kemudian dicuplik dengan laju sinyal 9 KHz, maka akan 19

mengakibatkan sinyal hasil pencuplikan terlalu renggang (infrequent) maka hanya disajikan sebuah nilai dari sinyal tetapi pada titik yang sedikit yang sedikit berbeda pada setiap putarannya, sehingga menghasilkan gelombang sinus yang mempunyai frekuensi sama dengan selisih dua frekuensi, 10 KHz 9 KHz = 1 KHz Proses Konversi Langkah selanjutnya pada ADC adalah proses konversi. Sejumlah aras, misalnya 0.25, 0.5, 0.75, 1.0 dst disusun dengan sandi binernya. Langkah ini disebut kuantisasi (quantizing). Cacah aras kuantum ditentukan oleh cacah bit pada keluaran pengubah. Sebagai contoh, untuk ADC 3 bit, keluaran biner dapat bernilai 000 samapi 111, yaitu sejumlah 8 aras. Dimisalkan digunakan skala quantum sebesar 250 mv. Pada tabel 5.13 ditunjukkan tegangan cuplikan dan sandi binernya, dan memberikan tegangan maksimum sebesar 1.75 Volt. Aras Tegangan Cuplikan (Volt) Kode Biner MSB LSB 0 0.00 0 0 0 1 0.25 0 0 1 2 0.50 0 1 0 3 0.75 0 1 1 4 1.00 1 0 0 5 1.25 1 0 1 6 1.50 1 1 0 7 1.75 1 1 1 Tabel 13. Pencuplikan Sinyal Analog Menjadi Bit Bit Digital Kesalahan kuantisasi tidak dapat dihilangkan, tetapi dapat dikurangi dengan meningkatkan resolusi pengubah dengan cara menaikkan cacah bit yang digunakan sehingga mengurangi aras kuantum dan kesalahan kuantisasi. Konversi Digital Ke Analog 20

Konversi digital ke analog (digital to analog converter = DAC) menerima masukan sinyal digital paralel dan mengkonversinya ke nilai tegangan atau arus listrik yang disajikan masukan biner. Apabila ini diulang untuk masukan digital yang berurutan akan terbentuk gelombang analog. Sebagai contoh, untuk masukan biner 3 bit akan dihasilkan 8 aras dengan 000 menunjukkan keluaran o dan 111 menunjukkan tegangan keluaran maksimum yang ditentukan berdasarkan tegangan referensi (V ref ). Masukan lain dihasilkan kembali sebanding dengan V ref, misalnya 001 sebanding 1/8 Vref, 011 sebanding dengan 3/8 V ref, dan 101 sebanding dengan 5/8 Vref. Setiap bit dari masukan biner (b2, b 1, b 0 ) dihasilkan ulang berdasarkan faktor pembebanan, berdasarkan persamaan umum sebagai berikut : Aras keluaran = V ref (b2/2 + b 1 /4 + b 0 /8) Agar dapat diterapkan pada suatu sistem, misalnya sistem pengaturan, dimana sistem ini mempunyai sinyal asli analog, sinyal analog tersebut harus dikonversikan ke dalam sistem digital oleh suatu alat yaitu Analog to Digital Converter. Hasil keluaran dari alat Analog to Digital Converter ditampilkan kembali ke dalam bentuk analog dengan menggunakan Digital to Analog Converter. KONVERSI ANALOG DAN DIGITAL 1. Elemen-Elemen Dasar Sistem Pemrosesan Sinyal Digital Sinyal adalah fungsi dari himpunan variabel bebas pada umumnya waktu dijadikan sebagai variabel tunggal. Mis : Tegangan sebagai fungsi waktu Gaya sebagai fungsi waktu Aliran sebagai fungsi waktu Sebagian besar sinyal-sinyal dalam sains dan teknologi merupakan sinyal analog. Sinyal analog dapat diproses secara langsung oleh sistem analog. Sinyal Masukan Analog Prosesor Sinyal Analog Sinyal Keluaran Analog 21

Pada pemrosesan sinyal digital, disediakan suatu metode alternatif untuk pemrosesan sinyal asli (analog). Sinyal Masukan l Konverter Analog ke Digital Proses Sinyal Digital Konverter Digital ke Analog Sinyal Keluaran A l Sinyal Keluaran Sinyal Masukan Di it l Di it l Untuk melakukan pemrosesan secara digital diperlukan dua perangkat yang dinamakan pengkonversi analog menjadi digital (ADC), dimana keluaran dari ADC adalah sinyal digital yang cocok dengan masukan terhadap prosesor sinyal digital. Prosesor sinyal digital dapat merupakan sebuah komputer digital yang dapat diprogram atau sebuah mikroprosesor yang diprogram untuk melakukan operasi-operasi yang diinginkan pada sinyal masukan. Selanjutnya untuk pemakaian dengan keluaran digital dari prosesor sinyal digital akan disampaikan kepada pemakai dalam bentuk analog. Perangkat untuk hal tersebut dinamakan dengan pengkonversi digital menjadi analog (DAC). 2. Keuntungan Pemrosesan Sinyal Digital dibandingkan Sinyal Analog. Terdapat beberapa alasan mengapa pemrosesan sinyal digital lebih banyak dipakai : a. Suatu sinyal digital dapat dengan mudah dikonfigurasi ulang dengan menggunakan program-program untuk sinyal digital. Pada sinyal analog konfigurasi ulang sistem akan menuntut disain ulang perangkat keras yang diikuti dengan pengujian dan pembuktian untuk melihat apakah sistem beroperasi dengan baik. b. Sistem digital menyediakan kontrol yang lebih baik pada keakuratan. 22

c. Sinyal digital mudah dimemori tanpa mengalami penurunan atau kehilangan keaslian sinyalnya. Sebagian besar sinyal-sinyal untuk maksud praktis, seperti suara, sinyal biologis, sinyal mekanis dan berbagai sinyal komunikasi seperti sinyal audio dan video merupakan sinyal analog. Untuk memproses sinyal analog dengan alat digital, yang pertama sekali dilakukan adalah mengubah sinyal analog tersebut menjadi sinyal digital dengan cara mengkonversi sinyal analog tersebut menjadi sederetan bilangan biner yang mempunyai presisi tertentu dengan menggunakan alat ADC. Secara konsepsi, proses analog menjadi digital mempunyai tiga langkah proses yaitu : 1. Pencuplikan (sampling) Pencuplikan adalah konversi suatu sinyal yang diperoleh dengan pengambilan cuplikan sinyal asli menjadi sinyal-sinyal digital 2. Kuantisasi Setelah sinyal analog dicuplik, hasil pencuplikan dikuantisasi dimana nilai setiap cuplikan dinyatakan dalam bilangan 3. Pengkodean Dalam proses pengkodean setiap nilai hasil kuantisasi dinyatakan dalam bilangan biner. ( Sinyal Analog Pencuplikan Kuantisasi Pengkode Sinyal Digital 011001110 Analog To Digital Converter Pada teknologi proses, pengkonversian sinyal analog ke digital sangat banyak dilakukan baik dalam laboratorium maupun dalam pengendalian proses. Terutama dalam 23

teknologi dewasa ini, dimana pabrik sudah memakai teknologi DCS (Distributed Control System). Pada DCS, semua perangkat yang akan dijalankan atau dikontrol dapat dioperasikan melalui suatu komputer pada pusat pengendali. LAN / WAN Komputer Host PLC PLC.. PLC MESIN MESIN MESIN 24