GARIS SINGGUNG LINGKARAN

GARIS SINGGUNG LINGKARAN Banyak benda-benda di sekitarmu yang tanpa kamu sadari sebenarnya menggunakan konsep lingkaran. Misalnya, rantai sepeda, katrol timba, hingga alat-alat musik seperti drum, banjo, dan kerincing. Perhatikanlah sebuah sepeda. Sepeda mempunyai dua buah gir, yaitu gir belakang pada roda dan gir depan pada pedal. Agar roda sepeda dapat berputar, gir belakang dihubungkan dengan gir depan melalui rantai. Gir sepeda berbentuk lingkaran. Sedangkan rantai sepeda yang bersinggungan dengan gir dapat diumpamakan sebagai garis singgung lingkaran. Apabila jari- jari kedua gir dan jarak antara kedua roda gir diketahui, maka panjang rantai sepeda dapat ditentukan. Bagaimanakah caranya? A. Pengertian Garis Singgung Perhatikan gambar berikut Gambar 1 Gambar 1(a) memperlihatkan bahwa garis g menyinggung lingkaran di titik A. Garis g tegak lurus jari-jari OA. Dengan kata lain, hanya terdapat satu buah garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran. Pada Gambar 1(b), titik R terletak di luar lingkaran. Garis l melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik P, sehingga garis l tegak lurus jari-jari OP. Garis m melalui titik R dan menyinggung lingkaran di titik Q, sehingga garis m tegak lurus jari-jari OQ. Dengan demikian, dapat dibuat dua buah garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran. Garis Singgung Lingkaran 1

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran. Setiap garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. B. Melukis Garis Singgung Sebelum melukis garis singgung lingkaran, pastikan kamu telah memiliki jangka dan penggaris sebagai alat bantu. Perhatikan uraian berikut. 1. Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran Sebelumnya telah dijelaskan bahwa garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari (diameter) yang melalui titik singgungnya. Oleh karena itu, melukis garis singgung lingkaran di titik singgung P sama saja dengan melukis garis yang tegak lurus terhadap jari-jari OP. Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran melalui satu titik pada lingkaran berikut ini. Langkah 1 Buatlah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OP yang diperpanjang hingga titik Q. Langkah 2 Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan menempat kan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM = MT. Garis Singgung Lingkaran 2

Langkah 3 Buatlah busur dengan pusat A dan B sehingga berpotongan di titik C. Ingat, jari-jarinya harus sama. Langkah 4 Hubungkan titik C dan P sehingga membentuk garis CP. Garis inilah yang disebut garis singgung g yang melalui titik P pada lingkaran dengan pusat O. 2. Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran Sekarang, kamu akan melukis garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. Perhatikan langkah-langkah berikut dengan baik. Langkah 1 Buatlah sebuah lingkaran dengan pusat O. Hubungkan O dengan titik T yang terletak di luar lingkaran. Garis Singgung Lingkaran 3

Langkah 2 Bagilah garis OT menjadi dua ruas garis yang sama panjang dengan menempatkan titik M sebagai titik tengah, sehingga OM = MT. Langkah 3 Buatlah busur lingkaran dengan pusat M dan jari-jari OM sehingga memotong lingkaran dengan pusat O di titik A dan B. Langkah 4 Hubungkan titik A dengan T dan titik B dengan T sehingga diperoleh AT dan BT, yaitu pasangan garis singgung yang melalui titik T. Garis Singgung Lingkaran 4

C. Panjang Garis Singgung Lingkaran Setelah melukis garis singgung lingkaran, sekarang kamu akan menghitung panjang garis singgung yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran. Perhatikan gambar berikut. Garis AB dan BC adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Panjang OA = panjang OC = r = jari-jari lingkaran. Oleh karena garis singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran maka panjang garis singgung AB dan BC dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras. Perhatikan Δ OAB pada. Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras, yaitu: Pada ΔOCB juga berlaku teorema Pythagoras, yaitu: Ternyata, Uraian tersebut menggambarkan definisi berikut. Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran mempunyai panjang yang sama. Garis Singgung Lingkaran 5

Contoh soal Perhatikan gambar berikut. Jika diketahui jari-jari lingkaran r = 5 cm dan OB = 13 cm, tentukan: a. Panjang garis singgung AB, b. Luas ΔOAB Jawab: a. Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras sehingga Jadi, panjang AB adalah 12 cm. b. Luas ΔOAB Jadi luas ΔOAB adalah D. Garis Singgung Dua Lingkaran Kamu tentu sudah sering melihat sepeda. Apabila kamu amati rantai roda sepeda, tampak bahwa rantai itu melilit dua roda bergerigi yang berbeda ukuran. Dua roda bergerigi tersebut dapat dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai sepeda sebagai garis singgung persekutuan lingkaran. Dengan demikian, garis singgung persekutuan dapat diartikan sebagai garis yang tepat menyinggung dua lingkaran. Garis Singgung Lingkaran 6

1. Kedudukan Dua lingkaran Secara umum Kedudukan dua lingkaran dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis, yaitu dua lingkaran bersinggungan, berpotongan, dan saling lepas. a. Dua Lingkaran Bersinggungan Gambar 2 Gambar (a) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di dalam. Untuk kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutan luar, yaitu k dengan titik singgung A. Gambar (b) memperlihatkan dua lingkaran yang bersinggungan di luar. Dalam kedudukan seperti ini dapat dibuat satu buah garis singgung persekutuan dalam, yaitu n dan dua garis singgung persekutuan luar, yaitu l dan m. b. Dua Lingkaran Berpotongan Dua lingkaran yang berpotongan seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 3 mempunyai dua garis singgung persekutuan luar, yaitu r dan s. Gambar 3 Garis Singgung Lingkaran 7

c. Dua Lingkaran Saling Lepas Gambar 4 memperlihatkan dua lingkaran yang saling lepas atau terpisah. Dalam kedudukan seperti ini, dapat dibuat dua garis persekutuan luar, yaitu k dan l dan dua garis persekutuan dalam, yaitu m dan n. Gambar 4 2. Garis Singgung Persekutuan Luar a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Misalnya terdapat dua lingkaran saling lepas dengan pusat P dan Q serta jari- jari R dan r. Bagaimana cara melukis garis singgung persekutuan luar dari lingkaran P dan Q tersebut? Pelajarilah langkah-langkah berikut. Langkah 1 Buatlah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari R dan r (r < R). Kemudian, hubungkan kedua titik pusatnya. Langkah 2 Buatlah busur lingkaran sebarang yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari yang sama dan panjangnya harus lebih besar dari PQ, sehingga berpotongan di titik M dan N. Garis Singgung Lingkaran 8

Langkah 3 Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T. Langkah 4 Gambar lingkaran yang berpusat di titik T dengan jari-jari PT. Garis Singgung Lingkaran 9

Langkah 5 Lukislah busur lingkaran yang berpusat di titik P dengan jari-jari R r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B. Langkah 6 Hubungkan P dengan A dan P dengan B, kemudian perpanjang kedua garis tersebut sehingga memotong lingkaran yang berpusat di P pada titik C dan D. Langkah 7 Lukislah busur lingkaran dengan pusat di C dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik E narakgnil rusub halsikul. dengan pusat di D dan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q di titik F Garis Singgung Lingkaran 10

Langkah 8 Langkah terakhir adalah menghubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Perhatikan gambar berikut ini. Garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q. R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama. r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua. l adalah panjang garis singgung persekutuan luar AB. k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q. SQ merupakan translasi dari AB, sehingga panjang AB = panjang SQ = l. Panjang SP = AP BQ = R r. AB sejajar SQ sehingga BAP = QSP = 90 (sehadap) Sekarang, perhatikan SPQ. Oleh karena QSP = 90 maka kita bisa meng gunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ. Garis Singgung Lingkaran 11

SPQ siku-siku di S sehingga Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah:, untuk dengan: = panjang garis singgung persekutuan luar = jarak kedua titik pusat lingkaran = jari-jari lingkaran pertama = jari-jari lingkaran kedua Contoh soal Pada gambar di samping, AB adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang berpusat di P dan Q. Hitunglah panjang AB. Jawab : Dari gambar diperoleh: jarak kedua titik pusat lingkaran, k = 17 cm, panjang jari-jari lingkaran pertama, R = 25 cm, panjang jari-jari lingkaran kedua, r = 17 cm, panjang garis singgung persekutuan luar = l. Jadi, panjang garis singgung l adalah 15 cm Garis Singgung Lingkaran 12

3. Garis Singgung Persekutuan Dalam a. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Perhatikan langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran berikut ini. Langkah 1 Lukislah dua lingkaran dengan pusat P dan Q serta jari-jari masingmasing R dan r (r < R), kemudian hubungkan kedua titik pusatnya. Langkah 2 Buatlah busur lingkaran yang berpusat di P dan Q dengan jari-jari yang panjangnya sama dan harus lebih besar dari 1 2 PQ sehingga berpotongan di titik M dan N Langkah 3 Hubungkan M dan N sehingga memotong PQ di titik T. Garis Singgung Lingkaran 13

Langkah 4 Lukislah lingkaran yang berpusat di T dengan jari-jari PT. Langkah 5 Lukislah busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari R + r sehingga memotong lingkaran yang berpusat di T pada titik A dan B. Langkah 6 Hubungkan titik pusat P dengan A dan P dengan B sehingga memotong lingkaran dengan pusat P di titik C dan D. Langkah 7 1) Lukislah busur lingkaran dari C dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik E. Garis Singgung Lingkaran 14

2) Lukislah busur lingkaran dari D dengan jari-jari AQ sehingga memotong lingkaran yang berpusat di Q pada titik F. Langkah 8 Terakhir, hubungkan C dengan E dan D dengan F. Garis CE dan DF adalah garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan Q. b. Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Perhatikan gambar berikut ini. Garis AB merupakan garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di P dan di Q. 1) R = AP adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di P atau lingkaran pertama dan r = BQ adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di Q atau lingkaran kedua. PS = AS + AP = BQ + AP = r + R = R + r. Garis Singgung Lingkaran 15

2) d adalah panjang garis singgung persekutuan dalam AB. k adalah jarak antara kedua titik pusat P dan Q. 3) SQ merupakan translasi dari AB, sehingga SQ sejajar AB dan panjang SQ = panjang AB = d. 4) Oleh karena SQ sejajar AB maka PSQ = PAB = 90. 5) Sekarang perhatikan ΔPSQ. Oleh karena ΔPSQ merupakan segitiga siku-siku dengan PSQ = 90 maka kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang SQ. Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah: dengan = panjang garis singgung persekutuan dalam = jarak kedua titik pusat lingkaran = jari-jari lingkaran pertama = jari-jari lingkaran kedua Contoh soal Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 14 cm dan 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut jika jarak antara kedua titik pusatnya adalah 30 cm. Jawab : Soal tersebut dapat disajikan dalam gambar berikut. Diketahui: k = 30 cm R = 14 cm r = 4 cm Garis Singgung Lingkaran 16

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 24 cm 4. Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang menghubungkan Dua Lingkaran Pernahkah kamu mengganti rantai roda sepedamu? Bagaimana kamu menentukan agar panjang rantai yang diperlukan tidak terlalu panjang atau terlalu pendek? Jika kamu perhatikan, dua roda gigi sepeda biasa dianggap sebagai dua lingkaran dan rantai yang melilitnya sebagai garis singgung persekutuan luar. Perhatikan gambar berikut ini. Jika α menyatakan besar sudut yang menghadap busur ASC maka besar sudut yang menghadap busur BTD adalah 360 α. Kenapa demikian? Tahukah kamu alasannya? Berdasarkan uraian di atas, dapat dihitung panjang sabuk lilitan minimal untuk menghubungkan dua lingkaran. Oleh karena AB = CD maka Panjang sabuk lilitan minimal Jika α menyatakan besar sudut yang menghadap busur ASC maka besar sudut yang menghadap busur BTD adalah 360 α. Kenapa demikian? Tahukah kamu alasannya? Berdasarkan uraian di atas, dapat dihitung panjang sabuk lilitan minimal untuk menghubungkan dua lingkaran. Oleh karena AB = CD maka Dengan Garis Singgung Lingkaran 17

E. Lingkaran Luar dan Lingkaran Dalam Segitiga Kali ini kita akan mempelajari tentang lingkaran yang dikaitkan dengan segitiga, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam suatu segitiga. 1. Lingkaran Luar Segitiga a. Pengertian Lingkaran Luar Segitiga Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga. Gambar di samping menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O. OA = OB = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis sumbu sisi-sisi segitiga. b. Melukis Lingkaran Luar Segitiga Telah disebutkan sebelumnya bahwa titik pusat lingkaran luar suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisinya. Oleh karena itu, untuk dapat melukis lingkaran luar segitiga, kamu harus melukis dulu garis sumbu ketiga sisi segitiga tersebut. Perhatikan langkah-langkah berikut: 1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian, lukis lah garis sumbu PQ. 2) Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis sumbu PQ di titik O. 3) Hubungkan O dan Q 4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari PQ dan berpusat di O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ΔPQR. Garis Singgung Lingkaran 18

2. Lingkaran Dalam Segitiga a. Pengertian Lingkaran Dalam Segitiga Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang berada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga. Gambar berikut menunjukkan lingkaran dalam ΔABC dengan pusat O. Diketahui OP = OQ = OR adalah jarijari lingkaran. Adapun AD, BE, dan EF adalah garis bagi sudut segitiga. b. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga Jika titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga tersebut maka hal pertama yang harus kamu lakukan adalah menentukan titik pusatnya. Kamu tentu masih ingat bagaimana cara melukis garis bagi sudut segitiga, Garis Singgung Lingkaran 19

bukan? Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis lingkaran dalam segitiga, sebagai berikut: 1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan ΔPQR. Kemudian, lukislah garis bagi P. 2) Lukislah garis bagi Q sehingga memotong garis bagi P di titik O. 3) Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari titik O ke salah satu sisi segitiga. Misalnya OA, tegak lurus PQ. 4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari OA dan berpusat di titik O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ΔPQR. Garis Singgung Lingkaran 20

Latihan Soal 1. Perhatikan gambar beikut Hitung panjang garis singgung AB! Jawab Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras sehingga, Jadi panjang garissinggung AB adalah 24 2. Pada gambar di samping, lingkaran O berjari-jari 7 cm dan lingkaran P berjari-jari 5 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar AB. Jawab : Dari soal diketahui: AO = R = 7 cm BP = r = 5 cm Kedua lingkaran bersinggungan di luar sehingga jarak kedua titik pusat lingkaran adalah maka, Jadi panjang garis singgung AB adalah Garis Singgung Lingkaran 21

3. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm dan kedua titik pusatnya terpisah sejauh 17 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3 cm, tentukan panjang jari-jari lingkaran yang lain. Jawab : Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 15 cm maka d = 15 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 17 cm maka k = 17 cm. Panjang jari-jari (R) salah satu lingkaran adalah 3 cm maka R = 3 cm., Jadipanjang jari-jari yang lain adalah 5 cm. 4. Gambar di samping menunjukkan penampang 3 buah paralon yang terikat rapat oleh seutas tali. Jika ketiga paralon tersebut memiliki ukuran jari- jari yang sama, yaitu 14 cm, hitunglah panjang tali pengikatnya. Jawab: Jari-jari = r = 14 cm. PQ = RS = TU = MN = NO = MO = 2r = 2 14 = 28 cm ΔMNO sama sisi, sehingga MNO = MON OMN = 60 QNR = SOT = PMU = 360 ( MNQ + MNO + RNO) = 360 (90 + 60 + 90 ) = 360 240 = 120 Garis Singgung Lingkaran 22

Sehingga panjang panjang tali pengikat paralon Jadi, panjang tali pengikat paralon tersebut adalah 172 cm 5. Berdasarkan gambar di samping, jika jari-jari lingkaran 9 cm, hitunglah panjang lilitan minimalnya! Jawab: Jari-jari = 9 cm d = 2r = 2 9 = 18 cm Banyaknya garis singgung = n = 4 buah Panjang lilitan minimal = nd + πd = 4 18 + 3,14 18 = 72 + 56,52 = 128,52 cm Jadi, panjang lilitan minimalnya adalah 128,52 cm. Garis Singgung Lingkaran 23

LKS (LEMBAR KEGIATAN SISWA) NAMA :... :... NO :... :... l A m C B O O O Apakah ada perbedaan antara garis,, dan? Ya/Tidak Jika ya, apa bedanya? Garis merupakan garis singgung lingkaran. Berdasarkan uraaian diatas, apa yang dimaksud garis singgung ligkaran? Garis Singgung Lingkaran 24

LKS (LEMBAR KEGIATAN SISWA) NAMA :... :... NO :... :... Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua buah lingkaran, kalian dapat menggunakan teorema phytahoras. Dari gambar diatas terdapat dua buah lingkaran, yaitu lingkaran satu (L1) yang berpusat di dan lingkarandua (L2 )yang berpusat di Jari-jari lingkarang yang berpusat di Jari-jari lingkarang yang berpusat di Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah Jarak titik pusat kedua lingkarang adalah Garis Singgung Lingkaran 25

Langkah-langkah menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam: 1. Besar sudut adalah... (Ingat pengertian garis singgung) 2. Garis sejajar dengan garis, sehingga sudut sudut... 3. Perhatikan segiempat Garis... dan sudut sudut... Jadi segiempat adalah..._... dengan panjang =... dan lebar =... 4. Perhatikan! Membentuk... dan sudut dititik... 5. Dengan menggunakan teorema phytagoras, maka: Karena garis sejajar, maka: Panjang Panjang Panjang Dengan jarak kedua titik pusat jari-jari lingkarang besar, dan jarak jari-jari ligkarang kecil r maka dapat diketahui rumus garis singgung persekutuan dalam adalah: Garis Singgung Lingkaran 26