Solusi dan Penyelesaian Kombinatorik # Ralat Soal Soal 17. (b) (a 2b + c) 2 Soal 30. Peluang Jevon bisa mengerjakan Bagian A Solusi Solusi 1. (a) 4500 (b) 5832 Solusi 16*. 1152 Solusi 2. (a) 2240 (b*) 2296 (c) 96 Solusi 17. (a) x 4 8x 3 + 24x 2 32x + 16 (b) a 2 + 4b 2 + c 2 4ab 4bc + 2ac Solusi 3. (a) 3885 (b*) 3967 Solusi 18. (a) 2160 (b) 20 (c*) 15 (d*) 0 Solusi 4. (a) 20160 (b) 5040 (c*) 15120 Solusi 19. (a) 1326 (b) 1 (c) 8 17 663 Solusi 5. (a) 16 (b) 84 Solusi 20. (a) 2 28 (b) 17 1105 Solusi 6. (a) 12 (b*) 192 Solusi 21. 8 13 Solusi 7. (a) 4500 26 3 (b) 9000 5 3 Solusi 8. (a) 720 (b) 400 (c*) 420 Solusi 9. (a) 12 (b) 60 Solusi 22. (a) 1 36 (b) 1 6 (c*) 1 6 Solusi 23. 1 3 Solusi 24*. 5 72 Solusi 10. (a) 99 100 (b*) 50 98 99 (c) 33 50 98 Solusi 25. (a) 4 (b) 7 15 Solusi 11. (a) 120 (b) 25 (c*) 60 Solusi 26. (a) 343 (b*) 960 15 Solusi 12. 56 Solusi 27. (a) 1 8 (b) 3 8 Solusi 13. 252 Solusi 28. (a) 3 15 (b*) 8 16 Solusi 14. (a) 9! (b) 8! 2 (c) 7! 2 Solusi 29. 0,72 (d*) 9! 7! 3! Solusi 30. 0,06 Solusi 15. (a) 720 (b) 144 (c*) 480 Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 1
Bagian B Penyelesaian Penyelesaian 2b. Perhatikan bahwa ketika digit terakhir (satuan) dari bilangan tersebut adalah 0, maka digit pertamanya (ribuan) bisa 9 kemungkinan (1 sampai 9). Namun, ketika digit terakhirnya bukan 0 (2, 4, 6, 8), maka digit pertamanya hanya bisa 8 kemungkinan (1 sampai 9, dikurangi angka yang menjadi digit terakhir). Jadi akan dibagi menjadi 2 kasus. Kasus I : Digit terakhirnya 0 Banyak bilangan yang memenuhi adalah 9 8 7 1 = 504 Kasus II : Digit terakhirnya 2, 4, 6, 8 Banyak bilangan yang memenuhi adalah 8 8 7 4 = 1792 Jadi, total ada 1792 + 504 = 2296 bilangan. Penyelesaian 3b. Perhitungan akan dibagi menjadi 4 kasus. Kasus I : 8764 8760 Banyaknya bilangan yang memenuhi adalah 1 1 1 5 = 5 Kasus II : 8759 8700 Banyaknya bilangan yang memenuhi adalah 1 1 6 7 = 42 Kasus III : 8699 8000 Banyaknya bilangan yang memenuhi adalah 1 7 8 7 = 392 Kasus IV : 7999 1000 Banyaknya bilangan yang memenuhi adalah 7 9 8 7 = 3528 Jadi, total ada 5 + 42 + 392 + 3528 = 3967 bilangan. (Catatan : Proses pengerjaannya mirip dengan Soal 3a, tapi dibalik.) Penyelesaian 4c. Menghitung banyaknya susunan kata dari TUTORIAL dimana kedua huruf T tidak berdekatan sama dengan menghitung banyaknya susunan kata yang bisa dibentuk jika tidak ada aturan khusus, lalu dikurangi dengan banyak susunan kata dimana huruf T berdekatan. Banyaknya susunan kata jika tidak ada aturan khusus = 8! : 2! = 20160 Banyaknya susunan kata dimana huruf T berdekatan = 7! = 5040 Jadi, total ada 20160 5040 = 15120 susunan kata. Penyelesaian 6b. Perhatikan gambar di bawah ini. 1 2 3 4 5 6 7 8 Perhatikan juga bahwa huruf vokal dari kata HIRAGANA adalah I, A, A, A, dan huruf konsonannya adalah H, R, G, N. Karena semua huruf vokal tidak boleh berdekatan, maka susunan kata yang bisa dibentuk adalah ketika huruf vokalnya berada di posisi 2, 4, 6, 8 (huruf konsonan mengisi posisi 1, 3, 5, 7) atau huruf vokalnya berada di posisi 1, 3, 5, 7 (huruf konsonan mengisi posisi 2, 4, 6, 8). Kasus I : Huruf vokal berada di posisi 2, 4, 6, 8 Banyak kemungkinan letak masing-masing huruf konsonan = 4! = 24 Banyak kemungkinan letak masing-masing huruf vokal = 4! 3! = 4 Total ada 24 4 = 96 susunan kata. Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 2
Kasus II : Huruf vokal berada di posisi 1, 3, 5, 7 Banyak kemungkinan letak masing-masing huruf konsonan = 4! = 24 Banyak kemungkinan letak masing-masing huruf vokal = 4! 3! = 4 Total ada 24 4 = 96 susunan kata. Jadi, total ada 96 + 96 = 192 susunan kata. (Catatan : Gunakan prinsip permutasi dimana terdapat unsur yang sama dalam menghitung letak masingmasing huruf.) Penyelesaian 8c. Perhatikan bahwa ketika digit terakhir (satuan) dari bilangan tersebut adalah 0, maka digit pertamanya (ribuan) bisa 6 kemungkinan (2, 3, 5, 6, 7, 8). Namun, ketika digit terakhirnya bukan 0 (2, 6, 8), maka digit pertamanya hanya bisa 5 kemungkinan (2, 3, 5, 6, 7, 8, dikurangi angka yang menjadi digit terakhir). Jadi akan dibagi menjadi 2 kasus. Kasus I : Digit terakhirnya 0 Banyak bilangan yang memenuhi adalah 6 5 4 1 = 120 Kasus II : Digit terakhirnya 2, 6, 8 Banyak bilangan yang memenuhi adalah 5 5 4 3 = 300 Jadi, total ada 120 + 300 = 420 bilangan. Penyelesaian 10b. Perhatikan bahwa juru bicara satu dengan yang lainnya jabatannya sama, sehingga kedua posisi juru bicara dianggap sama. 100 Banyaknya cara memilih ketua = C 1 = 100 Banyaknya cara memilih juru bicara = C 2 99 = 99 98 99 98 Jadi, total ada 100 = 50 98 99 cara memilih ketua dan 2 juru bicara. 2 2 Penyelesaian 11c. Perhatikan bahwa harus ada minimal 2 anak laki-laki yang terpilih, jadi ada 2 kasus. Kasus I : Terpilih 2 anak laki-laki dan 1 anak perempuan Banyaknya cara memilih ketiga anak tersebut adalah C 5 2 C 5 1 = 50 Kasus II : Terpilih 3 anak laki-laki Banyaknya cara memilih ketiga anak tersebut adalah C 5 3 = 10 Jadi, total ada 50 + 10 = 60 cara memilih ketiga anak dimana terdapat minimal 2 anak laki-laki. Penyelesaian 14d. Menghitung banyaknya susunan duduk dimana E, F, G tidak duduk berdekatan sama dengan menghitung banyaknya susunan duduk jika tidak ada aturan khusus, lalu dikurangi dengan banyak susunan duduk dimana E, F, G duduk berdekatan. Banyaknya susunan duduk jika tidak ada aturan khusus = 9! Banyaknya susunan duduk dimana E, F, G duduk berdekatan = 7!3! Jadi, total ada 9! 7!3! susunan duduk. Penyelesaian 15c. Menghitung banyaknya susunan duduk dimana P dan S tidak duduk berdekatan sama dengan menghitung banyaknya susunan duduk jika tidak ada aturan khusus, lalu dikurangi dengan banyak susunan duduk dimana P dan S duduk berdekatan. Perhatikan juga bahwa N, O, P, Q, R, S, dan U duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Banyaknya susunan duduk jika tidak ada aturan khusus = 6! = 720 Banyaknya susunan duduk dimana P dan S duduk berdekatan = 5! 2! = 240 Jadi, total ada 720 240 = 480 susunan duduk. Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 3
Penyelesaian 16. Perhatikan gambar di bawah ini. 1 2 3 4 5 6 7 8 Perhatikan juga bahwa masing-masing orang (baik perempuan maupun laki-laki) berbeda. Karena orang perempuan dan laki-laki duduk selang-seling, maka susunan duduk yang bisa dibentuk adalah ketika perempuannya berada di posisi 2, 4, 6, 8 (laki-laki mengisi posisi 1, 3, 5, 7) atau perempuannya berada di posisi 1, 3, 5, 7 (laki-laki mengisi posisi 2, 4, 6, 8). Kasus I : Orang perempuan berada di posisi 2, 4, 6, 8 Banyak kemungkinan letak masing-masing perempuan = 4! = 24 Banyak kemungkinan letak masing-masing laki-laki = 4! = 24 Total ada 24 24 = 576 susunan kata. Kasus II : Orang perempuan berada di posisi 1, 3, 5, 7 Banyak kemungkinan letak masing-masing perempuan = 4! = 24 Banyak kemungkinan letak masing-masing laki-laki = 4! = 24 Total ada 24 24 = 576 susunan kata. Jadi, total ada 576 + 576 = 1152 susunan kata. Penyelesaian 18c. Perhatikan bahwa binomial yang akan dijabarkan adalah (a b 2 ) 6 dan diminta untuk mencari koefisien dari a 2 b 8. Pertama, tentukan pangkat dari masing-masing suku. Diperoleh suku a pangkatnya 2 dan suku ( b 2 ) pangkatnya 4. Kedua, tentukan koefisiennya berdasarkan aturan Binomial Newton. Pilih salah satu : Jika dilihat dari pangkat suku a maka diperoleh koefisiennya C 2 6. Jika dilihat dari pangkat suku ( b 2 ) maka diperoleh koefisiennya C 4 6. Ketiga, hitung hasil kalinya. C 2 6 a 2 ( b 2 ) 4 = 15a 2 b 8 Jadi, koefisien dari a 2 b 8 adalah 15. (Catatan : C 2 6 dan C 4 6 memiliki hasil yang sama.) Penyelesaian 18d. Perhatikan bahwa binomial yang akan dijabarkan adalah (j + i 2 ) 13 dan diminta untuk mencari koefisien dari i 16 j 6. Pertama, tentukan pangkat dari masing-masing suku. Kalau suku j pangkatnya 6 maka suku i 2 pangkatnya 13 6 = 7. Akan tetapi, (i 2 ) 7 = i 14 i 16. Kalau suku i 2 pangkatnya 8 maka suku j pangkatnya 13 8 = 5. Akan tetapi, j 5 j 6. Bisa disimpulkan bahwa tidak ada suku i 16 j 6 dalam penjabaran (j + i 2 ) 13. Jadi, koefisien i 16 j 6 pada penjabaran (j + i 2 ) 13 adalah 0. Penyelesaian 22c. Perhatikan bahwa agar hasil bagi mata dadunya 1, kedua dadu yang dilempar harus memunculkan mata dadu yang sama (contoh : 1 dan 1). Banyaknya kemungkinan hal ini terjadi adalah 6. Sementara itu banyaknya kemungkinan mata dadu yang muncul adalah 6 6 = 36. Jadi, peluang mendapatkan mata dadu dimana hasil bagi kedua mata dadunya 1 adalah 6 36 = 1 6 Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 4
Penyelesaian 24. Perhatikan bahwa untuk mendapatkan jumlah 14, maka mata-mata dadu yang dilempar harus menunjukkan angka 6, 6, 2; 6, 5, 3; 6, 4, 4; atau 5, 5, 4. Agar memudahkan perhitungan, akan dibagi menjadi 4 kasus. Perhatikan juga bahwa ketiga dadu yang dilempar adalah dadu-dadu berbeda. Kasus I : 6, 6, 2 Banyaknya kemungkinan keluarnya mata dadu 6, 6, 2 pada pelemparan tersebut adalah 3! Kasus II : 6, 5, 3 Banyaknya kemungkinan keluarnya mata dadu 6, 5, 3 pada pelemparan tersebut adalah 3! = 6 Kasus III : 6, 4, 4 Banyaknya kemungkinan keluarnya mata dadu 6, 4, 4 pada pelemparan tersebut adalah 3! Kasus IV : 5, 5, 4 Banyaknya kemungkinan keluarnya mata dadu 5, 5, 4 pada pelemparan tersebut adalah 3! Sementara banyak kemungkinan mata dadu yang muncul dalam pelemparan 3 dadu (ruang sampel) adalah 6 6 6 = 216. Jadi, peluang jumlah ketiga mata dadunya 14 adalah 3+6+3+3 216 = 15 216 = 5 72. (Catatan : Gunakan prinsip permutasi dimana terdapat unsur yang sama dalam menghitung banyak kemungkinan keluarnya mata dadu tertentu pada masing-masing dadu.) Penyelesaian 26b. Perhatikan bahwa akan diambil 1 permen sebanyak 3 kali dengan pengembalian. Perhatikan juga bahwa harus terambil minimal 2 permen kopi. Jadi ada 2 kasus. Kasus I : Terambil 2 permen kopi dan 1 permen coklat Banyaknya cara memilih ketiga anak tersebut adalah 8 8 7 = 448 Kasus II : Terpilih 3 permen kopi Banyaknya cara memilih ketiga anak tersebut adalah 8 8 8 = 512 Jadi, total ada 448 + 512 = 960 kemungkinan cara mengambil. Penyelesaian 28b. Pertama akan dihitung banyak kemungkinan muncul minimal 1 gambar ketika 4 koin dilempar bersamasama sekali, lalu akan dicari nilai peluangnya. Menghitung banyaknya kemungkinan hasil pelemparan dimana muncil minimal 1 gambar sama dengan menghitung banyaknya kemungkinan hasil pelemparan jika tidak ada aturan khusus, lalu dikurangi dengan banyak kemungkinan hasil pelemparan dimana tidak muncul gambar (semuanya angka). Banyaknya kemungkinan hasil pelemparan jika tidak ada aturan khusus = 16 Banyaknya kemungkinan hasil pelemparan dimana tidak muncul gambar (semuanya angka) = 1 Sementara itu, banyak kemungkinan hasil pelemparan 4 koin (ruang sampel) adalah 16. Jadi, peluang muncul minimal 1 gambar dalam pelemparan 4 koin adalah 16 1 = 15. 16 16 Mathematics is not just solving for x, it s also figuring out (wh)y. 5