Jural Tekk da Ilmu Komputer PEMECAHAN MASALAH OPTIMASI BERSIFAT PROBABILISTIK MENGGUNAKAN CHANGE- CONSTRAINED PROGRAMMING (Soluto of Probablstcally Optmzato Problems Usg Chage-Costraed Programmg) Bud Marpaug Fakultas Tekk da Ilmu Komputer Jurusa Tekk Idustr Uverstas Krste Krda Wacaa Jakarta bud.marpaug@ukrda.ac.d Abstrak Pemrograma Kedala yag Berubah merupaka model optmas yag dkembagka utuk memecahka masalah yag bersfat probablstk. Dalam dua yata, khususya dalam dua dustr, koefse kedala da kostata ss kaa tdak dapat dtetuka dega past. Dalam tulsa duraka megea pegguaa Pemrograma Kedala yag Berubah utuk megoptmalka keutuga yag dperoleh perusahaa dalam membuat berbaga produk dega megguaka beberapa mes yag memlk kapastas terbatas da bersfat probablstk. Terbukt bahwa Pemrograma Kedala yag Berubah dapat meetuka solus optmalya. Kata Kuc: pemrograma kedala yag berubah, tgkat kepercayaa, koefse fugs obektf, kostata ss kaa, optmal Abstract Chage-Costraed Programmg (CCP) s a optmzato model developed to solve probablstc problems. I real world, partcularly the dustry, costraed coeffcets ad rght-had sde costats caot be frmly determed. Ths paper eplas how the CCP s used to optmze the compay profts by makg varous products usg varous maches that have lmted capacty ad are probablstc. It was evdet that CCP ca succesfully provde a optmal soluto. Keywords: Chage-Costraed Programmg, level of cofdece, obectve fucto coeffcet, rgh-had-sde, optmal Taggal Terma Naskah : 17 Jul 2012 Taggal Persetuua Naskah : 21 Desember 2012 1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Dalam masalah optmas d dua yata da aplkas d dua dustr secara khusus, koefse fugs obektf, koefse kedala (costrat s) da kostata ss kaa (rght had sde - R.H.S) pada dasarya tdak dapat dtetuka dega past. Dalam proses produks d sebuah pabrk msalya, waktu proses setap ut produk pada 11
Vol. 02 No. 05, Ja Mar 2013 sebuah mes cederug bervaras. Meskpu dalam proses produks yag bersfat otomas, varas dalam proses produks mash terad, da hal tersebut merupaka kods yag waar. Demka uga dega kapastas yag terseda umumya tdak seatasa kosta dalam satu perode tertetu. Sebuah mes, msalya, memlk kapastas yag tdak selalu sama dalam satu bula, karea ada saatya mes tersebut megalam kerusaka pada waktu tertetu atau masuk dalam program perawata, sehgga kapastas yag terseda pada suatu perode mead berubah. Dega kods dua dustr yag umumya bersfat tdak past da cederug bersfat kompleks, maka model optmas yag bersfat probablstk semak berkembag. Salah satu dataraya Chage-Costraed Programmg (CCP). Model optmas mempertmbagka kemugka adaya varas varabel, sebagamaa terad dalam dua yata. Model CCP megakomodr adaya varas data pada koefse kedala, kostata ss kaa, da koefse fugs obektf, bak terad secara terpsah maupu secara bersamaa (serempak). Model CCP meemuka solus optmal yag bersfat probablstk, dmaa solus yag dperoleh dyataka dalam tgkat kepercayaa tertetu. Dalam hal solus yag dperoleh tdak dapat dyataka secara past, karea data yag dguaka tdak past, amu memlk tgkat galat tertetu yag relatf sagat kecl. Tulsa memperkealka pegguaa Chage-Costraed Programmg utuk megatas masalah optmas yag bersfat probablstk. Metode pada dasarya mash megguaka prsp determstk da adaya varabel yag bersfat probablstk beserta asums-asumsya. Peetua solus optmal dlakuka dega batua software W QSB+. 1.2 Perumusa Masalah Pokok permasalaha yag dbahas dalam tulsa adalah bagamaa memformulaska masalah optmas yag bersfat probablstk sekalgus meemuka solus optmalya dega megguaka Chage-Costraed Programmg. 1.3 Tuua da Mafaat Peelta Tuua peelta adalah megguaka Chage-Costraed Programmg utuk memecahka masalah program ler yag memlk la koefse kedala da kostata ss kaa yag bersfat probablstk. Peelta dharapka dapat mead masuka dalam pemodela da peetua solus optmal pada masalah optmas yag medekat masalah yata, yag umumya bersfat probablstk. 1.4 Pembatasa Masalah Masalah yag dbahas dalam peelta haya pada model masalah maksmsas, dega empat es produk dmaa produk tersebut memlk la keutuga yag tetap, tga es resource s, yatu tga mes yag memlk kapastas yag bervaras, da waktu proses produks setap produk pada ketga es mes yag uga bervaras. 2. OPTIMASI PROBABILISTIK 2.1 Stochastc Programmg Stochastc Programmg berkata dega beberapa atau semua parameter problem yag dyataka dalam betuk varabel acak (radom varables). Dalam keyataaya sagat sult meetuka la sebuah parameter secara past. Aalss Sestvtas da Parametrc Programmg sagat efektf dguaka utuk mempredks 12
Pemecaha Masalah Optmas... solus optmal bla parameter berubah dalam terval tertetu, amu gagal utuk mempredks karakterstk solus optmal bla parameter dalam betuk probablstk. Utuk masalah dega parameter yag bersfat probablstk dapat dselesaka dega Stochastk Programmg. Tuua dar Stochastc Programmg yatu medapatka solus optmal yag bersfat acak/radom [1]. Ide dasar dar semua model Stochastc Programmg adalah megkovers kods probablstk sebuah masalah ke dalam betuk program determstk yag sesua. Beberapa model telah dkembagka utuk megatas beberapa kods khusus dar masalah umum. Dalam hal, metode yag dapat dguaka utuk proses kovers model probablstk ke model determstk adalah Chage-Costraed Programmg [1]. 2.2 Chage-Costraed Programmg Sebuah problem berbetuk Chage-Costraed Programmg ddefska sebaga [2]: Maksmumka Z c 1... (1) dega kedala : Pa b 1, = 1, 2,.., m; 0 utuk semua... (2) 1 Nama Chace-Costraed berlaku utuk setap kedala a peluag keada mmal sebesar ( 1 ), dmaa 0 1. 1 b dega la Dalam kasus umum dasumska bahwa c, a da b merupaka varabel radom. Pedekata yag umum dguaka bla c bersfat varabel radom adalah dega pedekata la harapa (epected value). Hal membulka tga kods khusus yag aka dbahas dalam baga berkut [2]. 2.2.1 Matrks Koefse Baya Bersfat Radom Varable (Kasus 1) Matrks baya atau a berbetuk varabel radom memlk rata-rata (mea) E{a } da varas Var {a}. Kovaras atara a da a dyataka dega cov (a, a ). Kedala ke- dyataka dega persamaa [2]: P 1 a b 1...(3) Msalka sebuah persamaa dyataka dega: h 1 a... (4) Persamaa h berbetuk dstrbus ormal dega parameter: E h Ea 1... (5) 13
Vol. 02 No. 05, Ja Mar 2013 Var h T X D SX...(6) T X 1,......,...(7) vara 1... cova 1, a D........(8) cova, a 1... var a Dega megguaka persamaa (4), (5), (6), (7) da (8) maka persamaa (3) mead: P h h E var h h h h b P 1 b E var...(9) Dega h Eh / varh sebuah dstrbus ormal dega rata-rata 0 da varas 1, maka persamaa (9) mead: P h b b E var h h... (10) Dmaa meyataka cumulatve dstrbuto of fucto (CDF) dar sebuah dstrbus ormal yag dstadarsas. Msalka K 1, maka K merupaka la stadar ormal, sehgga peryataa bahwa P h b 1 aka terbukt bear bla da haya bla b E var h h K... (11) Kods meghaslka kedala berbetuk oler: 1 E a T K X D X b... (12) Persamaa (12) merupaka persamaa yag ekvale dega kedala stokastk awal (persamaa (3)). Bla dstrbus ormal adalah depede dega cov a, 0, maka persamaa (12) berubah mead : E a K vara 1 1 a ' ' 2 b... (13) Kedala persamaa (13) dalam dselesaka dega Separable Programmg dega melakuka substtus persamaa, utuk semua [2]: 14
Pemecaha Masalah Optmas... y 1 a 2 var... (14) Dega demka kedala stokastk awal dar persamaa (3) mead 2 persamaa kedala, utuk la y 0, yatu: 1 E a K y b... (15) 1 2 2 var a y 0... (16) 2.2.2 Kostata Ss Kaa Bersfat Radom Varabel (Kasus 2) Dalam kods kostata ss kaa berbetuk dstrbus ormal dega rata-rata E{b } da varas var{b }, dapat dpecahka dega pedekata yag hampr sama dega Kasus 1. Msalka kedala stokastk dyataka dega [2]: Pb a... (17) 1 Dega megkut prsp pemecaha pada Kasus 1, maka dperoleh: h E P var b b 1 a var E b b... (18) Persamaa (18) aka terbukt bear bla da haya bla 1 a var E b b K... (19) Dega demka maka kedala stokastk sebagamaa dyataka dalam persamaa (17) berubah mead kedala ler berbetuk determstk: 1 a E b b K var... (20) 2.2.3. Matrks Koefse Baya da Kostata Ss Kaa Bersamaa Bersfat Radom Varabel (Kasus 3) Sebuah persamaa kedala berbetuk: 1 a b Persamaa (21) uga dapat dyataka dega:... (21) 15
Vol. 02 No. 05, Ja Mar 2013 1 a b 0... (22) Dalam kods matrks koefse baya a da kostata ss kaa b berbetuk dstrbus ormal, maka sesua teor statstk dyataka bahwa a 1 b uga berdstrbus ormal. Masalah dapat dpecahka sepert pembahasa pada Kasus 1 da Kasus 2 [3]. 3. STUDI KASUS OPTIMALISASI JUMLAH PRODUKSI 3.1 Gambara Umum Sebuah perusahaa membuat empat es produk A, B, C da D, megguaka tga es mes M 1, M 2, da M 3. Setap produk cukup dproses pada sebuah mes saa da keempat produk dapat megguaka setap mes. Berdasarka pegalama selama, waktu proses setap produk d setap mes tdak selalu sama. Namu waktu proses tersebut membetuk dstrbus ormal dega parameter tertetu, sebaga berkut. Mes Tabel 1. Waktu proses produk pada mes (met) Produk A B C D 2 2 2 2 M-1 4 1 4 1 4 1 4 1 M-2 3 0.5 5 1 5 1.5 3 0.25 M-3 4 0.5 5 0.9 2 0.5 4 0.75 Demka uga dega waktu mes yag terseda (tme avalable) tdak selalu sama, karea mes dalam waktu tertetu megalam kerusaka. Namu berdasarka pegalama, waktu yag terseda utuk setap mes memlk dstrbus ormal dega parameter tertetu, sebaga berkut. Tabel 2. Kapastas mes produks (am) Mes Kapastas Terseda/Har 2 M-1 18 1 M-2 20 0.5 M-3 21 0.5 Keutuga bersh yag dperoleh perusahaa utuk masg-masg produk A, B, C da D (dalam rbu Rupah) sebesar 4, 5 4 da 6. Model megabaka adaya waktu set-up utuk setap mes, sedagka tgkat keyaka yag dharapka perusahaa sebesar 95 perse. Perusahaa berhadapa dega masalah peetua umlah produks masg-masg produk agar dperoleh keutuga maksmum. 16
Pemecaha Masalah Optmas... 3.2 Formulas Masalah d atas dyataka sebaga Chace-Cotraed-Programmg, sebaga berkut. Maksmum Z = 4 1 + 5 2 + 4 3 + 6 3 d.k. P{a 11 1 + a 12 2 + a 13 3 + a 14 4 b 1 } 0.95 P{a 21 1 + a 22 2 + a 23 3 + a 24 4 b 2 } 0.95 P{a 31 1 + a 32 2 + a 33 3 + a 34 4 b 3 } 0.95 1, 2, 3, 4 0 Parameter masg-masg varabel radom dyataka sebaga berkut. Tabel 3. Nla parameter varabel radom Varabel Radom E() var () a 11 4 1.00 a 12 4 1.00 a 13 4 1.00 a 14 4 1.00 a 21 3 0.50 a 22 5 1.00 a 23 5 1.50 a 24 3 0.25 a 31 4 0.50 a 32 5 0.90 a 33 2 0.50 a 34 4 0.75 b 1 1080 60 b 2 1200 30 b 3 1260 30 Dar tabel ormal ddapat K 1 = K 2 = K 3 =1.645. Dega megguaka persamaa (15), (16), da (20) maka betuk masalah stokastk berubah mead masalah determstc, sebaga berkut. Maksmum Z = 4 1 + 5 2 + 4 3 + 6 4 d.k. 4 1 + 4 2 + 4 3 + 4 4 + 1.645y 1 1080 + 1.645(60) = 1179 3 1 + 5 2 + 5 3 + 3 4 + 1.645y 2 1200 + 1.645(30) = 1250 4 1 + 5 2 + 2 3 + 4 4 + 1.645y 3 1260 + 1.645(30) = 1310 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 - y 1 2 = 0 0.5 1 2 + 2 2 + 1.5 3 2 + 0.25 4 2 y 2 2 = 0 0.5 1 2 + 0.9 2 2 + 0.5 3 2 + 0.75 4 2 y 3 2 = 0 1, 2, 3, 4, y 1, y 2, y 3 0 17
Vol. 02 No. 05, Ja Mar 2013 3.3 Kovers Noler Mead Model Ler Pemecahaa masalah d atas dapat dlakuka dega megubah problem oler d atas mead problem ler dega pedekata Separable Programmg. Jumlah grd pot sebayak 6, sehgga dperoleh la masg-masg varabel utuk setap setap la grd pot, sebaga berkut. Tabel 4. Nla varabel pada grd pot K k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 60 50 50 60 150 160 160 2 120 100 100 120 300 320 320 3 180 150 150 180 450 480 480 4 240 200 200 240 600 640 640 5 300 250 250 300 750 800 800 Nla fugs obektf da fugs kedala utuk setap varabel sesua hasl formulas matemats d atas, sehgga dperoleh formulas yag baru, sebaga berkut. M Z = 0λ 01 + 240λ 11 + 480λ 21 + 720λ 31 + 960λ 41 + 1200λ 51 + 0λ 02 + 250λ 12 + 500λ 22 + 750λ 32 + 1000λ 42 + 1250λ 52 + 0λ 03 + 250λ 13 + 500λ 23 + 750λ 33 + 1000λ 43 + 1250λ 53 + 0λ 04 + 360λ 14 + 720λ 24 + 1080λ 34 + 1440λ 44 + 1800λ 54 d.k. 0λ 01 + 240λ 11 + 480λ 21 + 720λ 31 + 960λ 41 + 1200λ 51 + 0λ 02 + 200λ 12 + 400λ 22 + 600λ 32 + 800λ 42 + 1000λ 52 + 0λ 03 + 200λ 13 + 400λ 23 + 600λ 33 + 800λ 43 + 1000λ 53 + 0λ 04 + 240λ 14 + 480λ 24 + 720λ 34 + 960λ 44 + 1200λ 54 + 0λ 05 + 247λ 15 + 494λ 25 + 740λ 35 + 987λ 45 + 1234λ 55 1179 0λ 01 + 360λ 11 + 360λ 21 + 540λ 31 + 720λ 41 + 900λ 51 + 0λ 02 + 150λ 12 + 300λ 22 + 450λ 32 + 600λ 42 + 750λ 52 + 0λ 03 + 150λ 13 + 300λ 23 + 450λ 33 + 600λ 43 + 750λ 53 + 0λ 04 + 180λ 14 + 360λ 24 + 540λ 34 + 720λ 44 + 900λ 54 + 0λ 06 + 263λ 16 + 526λ 26 + 790λ 36 + 1053λ 46 + 1316λ 56 1250 0λ 01 + 240λ 11 + 480λ 21 + 720λ 31 + 960λ 41 + 1200λ 51 + 0λ 02 + 200λ 12 + 400λ 22 + 600λ 32 + 800λ 42 + 1000λ 52 + 0λ 03 + 200λ 13 + 400λ 23 + 600λ 33 + 800λ 43 + 1000λ 53 + 0λ 04 + 240λ 14 + 480λ 24 + 720λ 34 + 960λ 44 + 1200λ 54 + 0λ 07 + 263λ 17 + 526λ 27 + 790λ 37 + 1053λ 47 + 1316λ 57 1310 0λ 01 + 3600λ 11 + 14400λ 21 + 32400λ 31 + 57600λ 41 + 90000λ 51 + 0λ 02 + 2500λ 12 + 10000λ 22 + 22500λ 32 + 40000λ 42 + 62500λ 52 + 0λ 03 + 2500λ 13 + 10000λ 23 + 22500λ 33 + 40000λ 43 + 62500λ 53 + 0λ 04 + 3600λ 14 + 14400λ 24 + 32400λ 34 + 57600λ 44 + 90000λ 54-0λ 05-22500λ 15-90000λ 25-202500λ 35-360000λ 45-562500λ 55 = 0 0λ 01 + 1800λ 11 + 7200λ 21 + 16200λ 31 + 28800λ 41 + 45000λ 51 + 0λ 02 + 2500λ 12 + 10000λ 22 + 22500λ 32 + 40000λ 42 + 62500λ 52 + 0λ 03 + 3750λ 13 + 15000λ 23 + 33750λ 33 + 60000λ 43 + 93750λ 53 + 0λ 04 + 900λ 14 + 3600λ 24 + 8100λ 34 + 14400λ 44 + 22500λ 54-0λ 06-25600λ 16-102400λ 26-203400λ 36-409600λ 46-640000λ 56 = 0 18
Pemecaha Masalah Optmas... 0λ 01 + 1800λ 11 + 7200λ 21 + 16200λ 31 + 28800λ 41 + 45000λ 51 + 0λ 02 + 2250λ 12 + 9000λ 22 + 20250λ 32 + 36000λ 42 + 56250λ 52 + 0λ 03 + 2250λ 13 + 9000λ 23 + 20250λ 33 + 36000λ 43 + 56250λ 53 + 0λ 04 + 3240λ 14 + 12960λ 24 + 29160λ 34 + 51840λ 44 + 81000λ 54-0λ 07-25600λ 17-102400λ 27-230400λ 37-409600λ 47-640000λ 57 = 0 λ 01 + λ 11 + λ 21 + λ 31 + λ 41 + λ 51 = 1 λ 02 + λ 12 + λ 22 + λ 32 + λ 42 + λ 52 = 1 λ 03 + λ 13 + λ 23 + λ 33 + λ 43 + λ 53 = 1 λ 04 + λ 14 + λ 24 + λ 34 + λ 44 + λ 54 = 1 λ 05 + λ 15 + λ 25 + λ 35 + λ 45 + λ 55 = 1 λ 06 + λ 16 + λ 26 + λ 36 + λ 46 + λ 56 = 1 λ 07 + λ 17 + λ 27 + λ 37 + λ 47 + λ 57 = 1 k 0 utuk k = 0, 1, 2, 3, 4, da 5; = 1, 2, 3, 4, 5, 6 da 7. 3.4 Solus Optmal Masalah d atas telah berubah mead model ler dega 35 varabel da 13 kedala, d luar kedala oegatvtas. Secara maual solus optmal sagat sult ddapatka. Dalam hal solus optmal dperoleh meggguaka Software W WSB+, sebaga berkut. Gambar 1. Costrat summary pada W QSB+ Dar Gambar 1 terlhat bahwa solus yag dperoleh sebesar 1552,7070. Solus yag dperoleh memeuh sebayak 13 kedala yag ada. Dar tga kedala pertdaksamaa, haya kedala pertama yag megguaka sumber daya sepeuhya, dalam hal Mes-1 dguaka secara maksmal, sedagka dua kedala laya, yatu Mes 2 da Mes 3 tdak dperguaka sepeuhya. Setap har ada sebayak 429 met Mes 2 da 151 met Mes 3 memlk waktu meggaggur (dle tme). 19
Vol. 02 No. 05, Ja Mar 2013 Gambar 2. Solus optmal pada W QSB+ Dar Gambar 1 terlhat bahwa solus optmal masalah d atas sebesar 1.552,7070. Namu solus mas megguaka varabel kovers. Hasl perhtuga dega megguaka W QSB+ pada Gambar 1 mash berupa solus optmal megguaka varabel kovers. Adapau la varabel problem awal dapat dhtug, sebaga berkut. 1 = 01 λ 01 + 11 λ 11 + 21 λ 21 + 31 λ 31 + 41 λ 41 + 51 λ 51 = (0)(1) + (60)(0) + (120)(0) + (180)(0) + (240)(0) + (300)(0) = 0 20
Pemecaha Masalah Optmas... 2 = 02 λ 02 + 12 λ 12 + 22 λ 22 + 32 λ 32 + 42 λ 42 + 52 λ 52 = (0)(1) + (50)(0) + (100)(0) + (150)(0) + (200)(0) + (250)(0) = 0 3 = 03 λ 03 + 13 λ 13 + 23 λ 23 + 33 λ 33 + 43 λ 43 + 53 λ 53 = (0)(0.5492) + (50)(0.4508) + (100)(0) + (150)(0) + (200)(0) + (250)(0) = 22.5 4 = 04 λ 04 + 14 λ 14 + 24 λ 24 + 34 λ 34 + 44 λ 44 + 54 λ 54 = (0)(0) + (60)(0) + (120)(0) + (180)(0) + (240)(240) + (300)(0) = 240 Maks Z = (4)(0) +5(0) + (4)(22.5) + (6)(240) = 1530,16 Terlhat bahwa la optmal yag dperoleh dega megguaka varabel awal medekat la optmal dega varabel kovers megguaka batua W QSB. Selsh kedua la optmal tersebut aka semak kecl serg pegkata umlah grd pot yag dguaka. Namu umlah grd pot yag semak besar membulka peambaha varabel da kedala, sehgga kurag prakts dalam perhtuga. 4. PEMBAHASAN Solus optmal yag dperoleh dega batua W QSB+ meuukka bahwa Mes 1 dmafaatka secara peuh. Namu pegguaa Mes 2 da Mes 3 masgmasg haya sebesar 65.7 perse da 88.5 perse. Pemafaata secara peuh Mes 1 terad karea Mes 1 memlk kapastas rata-rata palg kecl d atara tga mes yag ada. Solus optmal yag dperoleh aka berbeda bla kapastas ketga mes cederug sama. Solus yag dperoleh d atas pada dasarya bersfat probablstk. Dega la α = 0.05, berart tgkat kepercayaa sebesar (1-α) = 0.95 atau 95 perse. Solus megadug art bahwa la optmal yag dperoleh bsa berbeda, amu kemugkaya sagat kecl, yatu haya 5 perse saa. Perubaha tersebut bsa terad bla dalam keyataaya waktu proses produks da kapastas hara masg-masg mes bervaras, melebh batas yag dyataka dalam parameter. Namu kemugka peympaga tersebut sagat kecl. Walaupu waktu proses produks setap produk pada masg-masg mes bervaras da kapastas hara mes uga megalam perubaha, amu solus optmal yag dperoleh sudah optmal, dega tgkat keyaka 95 perse. Solus yag dperoleh meuukka bahwa produk A da B tdak dproduks, sedagka umlah produks hara produk C sebayak 22.5 ut, da produk D sebayak 240 ut. Jumlah produks yag sagat besar utuk produk D terad karea dar keempat es produk tersebut, produk D memlk keutuga per ut terbesar, sedagka produk C dproduks karea proses produks pembuata produk C memlk waktu terkecl d atara keempat es produk pada ketga mes tersebut. 5. KESIMPULAN Dar hasl pembahasa d atas dperoleh kesmpula sebaga berkut: 1) Chage-Costraed Programmg merupaka model pemecaha masalah yag tepat utuk kods koefse fugs kedala da kostata ss kaa dalam kods tdak past (probablstc). Dalam kods yata, koefse fugs kedala da kostata ss kaa tdak seatasa terseda dalam sebuah la yag past, amu umumya memlk dstrbus peluag tertetu. 2) Dega megguaka Chage-Costraed Programmg dbatu software W QSB+ terlhat bahwa, dega tgkat keyaka 95 perse, dar empat es produk yag dapat dkeraka perusahaa haya memproduks dua es produk saa, yatu 21
Vol. 02 No. 05, Ja Mar 2013 produk C sebayak 22.5 ut/har da produk D sebayak 240 ut/har, dega la keutuga optmal setap har sebesar Rp. 1.552.707,-. 3) Kovers model oler mead model ler memugka masalah oler dapat dpecahka dega prsp model ler. Adapu embata peghubug dapat megguaka grd pot. Semak besar umlah grd pot yag dguaka maka hasl keduaya mead sama, amu proses perhtugaya mead semak kurag prakts. 4) Utuk peelta lauta dharapka dapat mempertmbagka varas pada koefse fugs obektf, kemugka pegguaa smulas dalam medapatka hasl yag lebh medekat keyataa, da kemugka data megkut dstrbus la sela dstrbus ormal. REFERENSI [1]. Hller, Frederck S, Leberma J. Gerald, Itroducto to Operatos Research, Sth Edto, McGraw-Hll, Ic, 1995. [2]. Hamdy A. Taha, Operatos Research, A Itroducto, Ffth Edto, Macmlla, Ic, 1992. [3]. Do T. Phlps, et.al., Operato Research: Prcple ad Practce, 2 d edto, Joh Wley ad Sos, 1987. 22