Analisa Kualitatif pada Model Penyakit Parasitosis Nara Riatul Kasanah dan Sri Suprapti H Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia email: prapti@matematika.its.ac.id 1 Abstrak Parasitosis (Vector-borne) adalah penyakit infeksi yang disebabkan oleh virus, bakteri, protozoa atau rickettsia yang ditransmisikan oleh agen biologis yang disebut vektor. Secara khusus, parasitosis adalah penyakit yang disebabkan oleh nyamuk, seperti malaria, demam berdarah, dan demam West Nile, yang ditularkan ke manusia melalui gigitan nyamuk. Malaria adalah penyakit parasitik yang membunuh lebih banyak orang dibandingkan penyakit menular lain kecuali TBC sedangkan demam berdarah adalah penyakit parasitik kedua setelah malaria. Demam west Nile sendiri juga menunjukkan ancaman bagi kesehatan masyarakat dan kuda. Penyakit-penyakit tersebut cukup mengkhawatirkan bagi kesehatan masyarakat di dunia. Dalam tugas akhir ini, dibahas analisa kualitatif model penyakit parasitosis dengan menganalisa titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik. Kemudian mencari kestabilannya dan dari hasil analisis didapatkan bilangan reproduksi dasar (R 0 ) yang menyatakan rata-rata terjadinya penularan penyakit. Jika R 0 < 1 maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimtotis, namun jika R 0 > 1 tidak stabil. Untuk titik kesetimbangan endemik akan stabil asimtotis jika hanya jika R 0 > 1. Kata Kunci Analisa Kualitatif, Bilangan Reproduksi Dasar, Titik Kesetimbangan, Parasitosis (Vector-Borne). I. PENDAHULUAN enyakit Vektor-borne (parasitosit) adalah penyakit P infeksi yang disebabkan oleh virus, bakteri, protozoa atau rickettsia yang ditularkan oleh agen biologis yang disebut vektor. Secara khusus, penyakit parasitosit adalah penyakit yang ditularkan nyamuk, seperti malaria, demam berdarah, dan Demam West Nile, yang ditularkan ke manusia melalui gigitan nyamuk. Dan penyakit tersebut cukup mengkhawatikan bagi kesehatan masyarakat di dunia. Malaria adalah penyakit parasitic yang membunuh lebih banyak orang dibanding penyakit menular lain kecuali TBC dan endemik di 9 negara. Sekitar 3,3 miliar orang (setengah dari populasi dunia) beresiko terjangkit malaria. Setiap tahun, hal tersebut mengarah menjadi sekitar 50 juta kasus malaria dan 880.000 kematian. Masyarakat yang hidup di negara-negara termiskin adalah yang paling rentan. Malaria adalah masalah serius terutama di Afrika, dimana satu dari setiap lima anak (0%) meninggal disebabkan oleh penyakit tersebut. Seorang anak Afrika memiliki rata-rata antara 1,6 dan 5,4 episode demam malaria setiap tahun. Dan setiap 30 detik seorang anak meninggal. Dengue atau demam berdarah dengue (DBD) adalah penyakit parasitic kedua setelah malaria yang berdampak buruk di seluruh dunia. Pandemi global dengue dimulai di Asia Tenggara setelah Perang Dunia II dan telah meningkat selama 18 tahun terakhir. Pada tahun 1997, demam berdarah adalah penyakit yang ditularkan nyamuk yang paling berbahaya untuk manusia. Distribusi global adalah sebanding dengan malaria, dan diperkirakan,5 miliar orang yang hidup di daerah beresiko untuk epidemic transmisi. Setiap tahun, puluhan juta kasus demam berdarah terjadi dan meningkat sampai ratusan ribu kasus DBD. Virus West Nile telah muncul dalam beberapa tahun terakhir di daerah beriklim sedang di Eropa dan Amerika Utara yang menunjukkan ancaman bagi kesehatan masyarakat, kuda, dan hewan. Ada 891 kasus West Nile pada manusia di 46 negara bagian Amerika Serikat pada tanggal 17 Desember 003, termasuk 11 kematian. Wabah ini merupakan yang terbesar sejak West Nile, yang umum di Afrika dan Timur Tengah, muncul di Amerika tujuh tahun yang lalu. Pada tahun 005, secara nasional.949 manusia terinfeksi dan 116 meninggal yang dilaporkan ke CDC[1]. Pada tugas akhir ini akan dibahas tentang analasis kualitatif pada model penyakit parasitosis dengan menganalisa titik kesetimbangan dan mencari kestabilannya selanjutnya akan diberikan simulasi berdasarkan hasil analisa yang diperoleh. Dengan begitu diharapkan dengan mengerti dinamika penyakit tersebut bisa didapatkan strategi yang sesuai untuk mengontrol penyebarannya. II. METODOLOGI PENELITIAN A. Studi Literatur Dari permasalahan dan tujuan yang telah dirumuskan selanjutnya dilakukan studi literatur untuk memberi acuan pemecahan permasalahan. Studi literatur dilakukan terhadap jurnal-jurnal ilmiah, tugas akhir, dan buku-buku yang berhubungan dengan model penyebaran penyakit parasitosis dengan populasi host dan vektor. B. Kajian Model Penyakit Parasitosis Untuk memahami dinamika sistem penyakit parasitosis, disusun asumsi-asumsi tertentu sehingga dapat dibuat model kompartemen gabungan dari populasi yaitu host dan vektor. Dari model kompartemen gabungan tersebut akan didapatkan sistem dinamik penyakit parasitosis gabungan.
C. Bilangan Reproduksi Dasar dan Stabilitas Titik Kesetimbangan Dari model penyakit parasitosis campuran akan diperoleh matriks Jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik yang selanjutnya dapat ditentukan nilai eigen sehingga dapat diperoleh bilangan reproduksi dasar (R 0 ). Dari nilai eigen titik kesetimbangan model dapat diketahui titik kesetimbangan tersebut stabil asimtotik atau tidak. D. Mensimulasikan Model Setelah didapat titik kesetimbangan serta kestabilan dari model, selanjutnya membuat simulasi dengan bantuan software Matlab 7.10. E. Kesimpulan Setelah dilakukan analisa dan pembahasan maka akan diambil suatu kesimpulan. III. PEMBAHASAN A. Model Penyakit Parasitosis Model Penyakit Parasitosis pada Populasi Host Model penyakit parasitosis pada populasi host mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut : a. Populasi host yang diberikan notasi N 1 dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu : S adalah populasi susceptible yaitu individuindividu yang rentan terhadap penyakit. I adalah populasi infected yaitu individu-individu yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit. R adalah populasi recovered yaitu individuindividu yang telah sembuh dan kebal dari penyakit. Sehingga diperoleh N 1 = S + I + R. b. merupakan laju kematian alami pada populasi host dengan > 0. Dan laju kelahiran adalah, dimana > 0. Kita asumsikan juga bahwa transmisi vertikal tidak terjadi pada populasi host sehingga semua individu yang baru lahir akan masuk dalam kelompok susceptible. c. γ merupakan laju kesembuhan per kapita dengan γ > 0 dan diasumsikan individu yang sembuh tersebut kebal terhadap penyakit sehingga tidak menjadi susceptible lagi. d. Kelompok susceptible terinfeksi melalui gigitan dari vektor yang terinfeksi dengan laju infeksi 1 dan kontak dari infeksi yang ditransmisikan oleh vektor sebesar 1 SV. Dari asumsi-asumsi tersebut didapat model penyakit parasitosis pada populasi host = 1 SV S, di = 1SV γi I, (3. 1) dr = γi R, Karena N 1 = S + I + R, maka dn 1 = + di + dr Sehingga dn 1 = N 1 (3. ) Model Penyakit Parasitosis pada Populasi Vektor Model penyakit parasitosis pada populasi vektor mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut : a. Populasi vektor yang diberikan notasi N dibagi menjadi kelompok, yaitu : V merupakan vektor yang membawa penyakit (infectious). M adalah vektor yang bebas penyakit (susceptible). Sehingga diperoleh N = M + V. b. μ merupakan laju kematian alami dengan μ > 0. Dan laju kelahiran adalah b, dimana b > 0. Kita asumsikan juga bahwa transmisi vertikal tidak terjadi pada populasi vektor sehingga semua vektor yang baru, masuk dalam kelompok susceptible. c. Kelompok susceptible vektor mulai membawa penyakit setelah terjadi kontak dengan host yang terinfeksi dengan laju sebesar dan kontak dari infeksi yang ditransmisikan oleh host yang terinfeksi sebesar MI. Dari asumsi-asumsi tersebut didapat model penyakit parasitosis pada populasi vector dm = b MI μ M, = MI μ V, (3. 3) Karena N = M + V, maka dn Sehingga dn = b μ N = dm + (3. 4) Model Penyakit Parasitosis Gabungan Model penyakit parasitosis untuk populasi host dan vektor mempunyai inisial kondisi sebagai berikut : S(0) = S 0, I(0) = I 0, R(0) = R 0, M(0) = M 0, dan V(0) = V 0. Total populasi host yang dinotasikan dengan N 1 didapatkan dari N 1 = S + I + R, sehingga dn 1 = N 1 (3. ) Dan untuk total populasi vektor yang dinotasikan dengan N didapatkan dari N = M + V, sehingga dn = b μ N (3. 4) Total populasi keduanya host dan vektor yaitu persaman (3.) dan (3.4) konstan asimtotis jika lim N 1 (t) = dan lim N t μ (t) = b 1 t μ Hal itu mengakibatkan bahwa model dapat diasumsikan untuk nilai N 1 (t) = dan N μ (t) = b untuk 1 μ semua t 0 dan dapat disajikan persamaan S 0 + I 0 + R 0 =, M μ 0 + V 0 = b. 1 μ Untuk diagram kompartemen gabungan dari populasi host dan vektor adalah sebagai berikut :
1 S(0) S = 0 S = 0 S = S = Jadi, titik kesetimbangan bebas penyakit model penyakit parasitosis adalah E 0 = (S 0, I 0, V 0 ) =, 0,0 Γ. 3 Gambar 1 Diagram Kompartemen Gabungan Dari diagram kompartemen di atas diperoleh model penyakit parasitosis gabungan = 1 SV S, di = 1SV γi I, dr = γi R, (3. 5) dm = b MI μ M, = MI μ V, Sistem dinamik (3.5) ekivalen secara kualilatif dengan sistem dinamik di bawah ini = 1 SV S, di = 1SV γi I, (3. 6) = b V I μ μ V, Terjadi pereduksian terhadap nilai R dan M. Nilai R dan M dapat ditentukan dari R = S I, dan M = b V μ dr atau dari = R dm = γi R dan = M = b MI μ M, berlaku sebaliknya. Dengan daerah penyelesaian : Γ = (S, I, V) R 3 + 0 S + I, 0 V b, S 0, I 0 μ 3 dimana R + diartikan sebagai kone nonnegative dari R 3 termasuk permukaan dimensi terbawahnya. Dapat diverifikasi bahwa Γ adalah invarian positif untuk menyelesaikan persamaan (3.6). Untuk batas dari Γ dalam R 3 dinotasikan sebagai Γ dan untuk interior dari Γ dalam R 3 dinotasikan sebagai Γ 0. B. Titik Kesetimbangan Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Titik kesetimbangan bebas penyakit (E 0 ) dapat diperoleh dengan mengambil I 0 = 0 dan V 0 = 0 dimana pada keadaan ini tidak ada infeksi penyakit di dalam populasi sehingga didapatkan nilai S 0 =. Bila diambil nilai I 0 = 0 dan V 0 = 0 maka untuk nilai S 0 dapat dicari sebagai berikut : = 0 1 SV S = 0 Titik Kesetimbangan Endemik Titik kesetimbangan endemik (E ) yaitu suatu keadaan dimana terjadi infeksi penyakit di dalam populasi. Titik kesetimbangan endemik bisa didapatkan dengan mengambil nilai di = 0, = 0, = 0 untuk persamaan (3.6). Selanjutnya, akan diperoleh : = 0 1 SV S = 0 1 SV S = S( 1 V + ) = S = ( 1 V + ) (1) di = 0 1 SV γi I = 0 1 SV = γi + I S = γi + I 1 V S = (γ + )I 1 V () = 0 b V I μ μ V = 0 b μ I VI μ V = 0 VI μ V = b μ I b V( I + μ ) = I μ V b I = μ ( I + μ ) (3) Untuk mencari nilai I dengan menggunakan pers. (1) dan () sebagai berikut : S = S ( 1 V + ) = (γ + )I 1 V Kemudian substitusikan pers. (3), (γ + )I 1 b I = 1 b I μ ( I + μ ) + 1 b I + μ ( I + μ ) μ ( I + μ ) μ ( I + μ ) = (γ + )I 1 b I μ ( I + μ ) 1 b I + μ ( I + μ ) = (γ + )I 1 b I 1 b I = (γ + )I 1 b I + μ ( I + μ ) 1 b = (γ + ) 1 b I + μ ( I + μ )
1 b (γ + ) = 1 b I + μ ( I + μ ) 1 b (γ + ) = 1 b I + μ I + μ 1 b (γ + ) μ = ( 1 b + μ )I 1 b μ (γ + ) = (γ + ) ( 1 b + μ )I 1 b μ (γ + ) ( 1 b + μ )(γ + ) = I Telah didapatkan nilai I. Maka titik kesetimbangan endemik tunggal untuk model penyakit parasitosis adalah E = (S, I, V ) = (γ+ )I, 1 b μ (γ+ ), 1 V ( 1 b + μ )(γ+ ) b I μ ( I +μ ) Γ0. C. Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar (R 0 ) model penyakit parasitosis didapat dari nilai I. I = 1 b μ (γ + ) ( 1 b + μ )(γ + ) = 1 b μ (γ + ) ( 1 b + μ )(γ + ) μ (γ + ) μ (γ + ) = 1 b μ (γ + ) μ (γ + ) μ (γ + ) ( 1 b + μ )(γ + ) 1 b = μ (γ + ) 1 μ ( 1 b + μ ) μ = (R 0 1) ( 1 b + μ ) Bilangan reproduksi dasar untuk model penyakit parasitosis adalah R 0 = 1 b μ (γ + ) Karena titik kesetimbangan endemik ada untuk R 0 > 1. D. Kestabilan Lokal Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Sistem dinamik (3.6) akan dilinearisasi di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit (E 0 ). Linearisasi sistem (4.5) menggunakan matriks Jacobian 3x3. Misalkan persamaan (3.6) dinotasikan = f 1, di = f, = f 3 dengan f 1 = 1 SV S f = 1 SV γi I f 3 = b V I μ μ V Bentuk matriks Jacobian dari sistem tersebut adalah f 1 f 1 f 1 S I V J = f f f S f 3 S I f 3 I V f 3 V 1V 0 1 S = 1 V γ 1 S 0 b (3.7) V μ I μ Titik kesetimbangan E 0 = (S 0, I 0, V 0 ) =, 0,0 disubstitusikan ke persamaan (3.7) maka diperoleh matriks Jacobian 0 1 1 J(E 0 ) = 0 γ μ 1 b 0 μ μ Persamaan karakteristik dari matriks Jacobian di atas didapatkan dari det ri J(E 0 ) = 0, dimana I adalah matriks satuan 3x3. Selanjutnya, didapatkan polynomial karakteristik sebagai berikut : (r + ) r + r( + μ + γ) + μ ( + γ) 1 b = 0 μ yang ekivalen dengan (r + )(r + a 1 + a ) = 0, Dimana a 1 = + μ + γ > 0, a = μ ( + γ) 1 b. μ Persamaan karakteristik di atas mempunyai nilai eigen negatif yaitu r =. Dan nilai eigen yang lain didapatkan dengan menyelesaikan persamaan kuadrat r + ra 1 + a = 0 Mudah dihitung bahwa a 1 a = a 1 μ ( + γ)(1 R 0 ) dengan R 0 < 1, maka a 1 a > 0. Sebaliknya, jika R 0 > 1 maka a < 0 dan persamaan kuadrat akan mempunyai satu akar positif. Sehingga, jika R 0 > 1 titik kesetimbangan bebas penyakit tidak stabil. Berdasarkan kriteria Hurwitz hanya persamaan kuadrat yang mempunyai bagian real negatif saja yang titik kesetimbangannya stabil asimtotis lokal. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Endemik Sama halnya dengan yang sebelumnya, linearisasi dari sistem (3.6) menggunakan matriks Jacobian 3x3 adalah persamaan (3.7) yaitu 1V 0 1 S J = 1 V γ 1 S I μ 0 b V μ Untuk titik kesetimbangan endemik (E ) = (S, I, V ) diberikan matriks linearisasi sebagai berikut 1V 0 1 S J(E ) = 1 V γ 1 S I μ 0 b V μ Persamaan karakteristik dari matriks Jacobian di atas didapatkan dari det ri J(E ) = 0, dimana I adalah matriks satuan 3x3. Persamaan karakteristik menjadi r 3 + r ( + μ + γ+ I + 1 V ) + r ( 1 V + )( + γ) + ( 1 V + + γ)(μ + I ) 4
1 S b μ V + ( 1 V + )( + γ)(μ + I ) 1 S b μ V = 0 Yang ekivalen dengan r 3 + a 1 r + a r + a 3 = 0 Dimana a 1 = + μ + γ+ I + 1 V > 0, a = ( 1 V + )( + γ) + ( 1 V + + γ)(μ + I 1S bμ V a 3 = ( 1 V + )( + γ)(μ + I ) 1 S b μ V. Mudah dihitung bahwa a 1 a a 3 > 0 a 1 a > a 3 a 1 ( 1 V + )( + γ) + ( 1 V + + γ)(μ + I 1S bμ V >1V +μ1μ1+γμ+i 1 S μ1bμ V Jelas terlihat bahwa a 1 a > a 3 dengan a 1 > 0, a > 0 dan a 3 > 0 jika R 0 > 1. Berdasarkan kriteria Routh Hurwitz, titik kesetimbangan endemik (E ) stabil asimtotis lokal di Γ. E. Simulasi dan Interpretasi Dengan mengambil parameter = 00; 1 = 0.001; = 0.5; γ = 0.4; = 0.00; μ = 0.6; b = 300 Dengan nilai awal t = 0; S(0) = 50; I(0) = 50; V(0) = 50 Didapat R 0 = 0.740740; E 0 = (400,0,0) Maka didapat grafik kestabilan = 300; 1 = 0.00; = 0.5; γ = 0.4; = 0.004; μ = 0.6; b = 800 Dengan nilai awal t = 0; S(0) = 50; I(0) = 50; V(0) = 50 Didapat R 0 = 11.85185; E = (137.3684,57.0175,841.954) Maka didapat grafik kestabilan Gambar 3 Grafik Kestabilan yang dipengaruhi titik kesetimbangan endemik Laju Pertumbuhan Host Susceptible Pada awal laju pertumbuhannya, host susceptible mengalami kenaikan karena laju kelahiran host, dan mengalami penurunan karena terjadi infeksi penyakit dan kematian alami pada populasi host. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan individu baru dan tidak ada pengurangan host susceptible yang terinfeksi. Laju Pertumbuhan Host Infective Pada awal laju pertumbuhan host infective mengalami penurunan karena kematian alami pada host infective. Dan mengalami kenaikan karena banyak host susceptible yang mulai terinfeksi penyakit. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan host yang terinfeksi lagi. Laju Pertumbuhan Vektor Infective Pada awal laju pertumbuhan vektor infective mengalami kenaikan karena laju kelahiran vektor lebih banyak daripada host. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan vektor infective yang baru. Selanjutnya, akan ditunjukkan parameter-parameter apa saja yang mempengaruhi terhadap level titik kesetimbangan dari infeksi terhadap populasi manusia. 5 Gambar Grafik Kestabilan yang dipengaruhi titik kesetimbangan bebas penyakit Laju Pertumbuhan Host Susceptible Pada awal laju pertumbuhannya, host susceptible mengalami kenaikan karena tidak ada infeksi yang terjadi di dalam populasi. Kemudian konstan karena tidak ada penambahan individu baru. Laju Pertumbuhan Host Infective Laju pertumbuhan host infective tidak terjadi. Laju Pertumbuhan Vektor Infective Laju pertumbuhan vektor infective juga tidak terjadi karena tidak ada pertumbuhan pada populasi vektor. Dengan mengambil parameter Gambar 4 Variasi dari infeksi populasi terhadap waktu untuk dimana parameter yang lainnya 1 = 0.00, = 0.5, γ = 0.4, = 0.004, μ = 0.6, b = 800
parameter-parameter di atas dinaikkan, maka level titik kesetimbangan dari populasi yang terinfeksi juga naik. 6 Gambar 5 Variasi dari infeksi populasi terhadap waktu untuk b dimana parameter yang lainnya = 300, 1 = 0.00, = 0.5, γ = 0.4, = 0.004, μ = 0.6 Gambar 6 Variasi dari infeksi populasi terhadap waktu untuk 1 dimana parameter yang lainnya = 300, = 0.5, γ = 0.4, = 0.004, μ = 0.6, b = 800 Gambar 7 Variasi dari infeksi populasi terhadap waktu untuk dimana parameter yang lainnya = 300, 1 = 0.00, = 0.5, γ = 0.4, μ = 0.6, b = 800 IV. KESIMPULAN Berdasarkan keseluruhan hasil analisis dapat disimpulkan sebagai berikut: 1. Diperoleh Bilangan Reproduksi Dasar R 0 = 1 b μ (γ + ), Bilangan Reproduksi Dasar (R 0 ) meningkat jika beberapa parameter berikut dinaikkan yaitu laju kelahiran kedua populasi host dan vektor (, b ) dan laju transmisi penyakit ( 1, ).. Diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu : a. Titik kesetimbangan bebas penyakit E 0 = (S 0, I 0, V 0 ) =, 0,0 b. Titik kesetimbangan endemik E = (S, I, V ) = (γ + )I (γ + ) b I 1 V, 1 b μ ( 1 b + μ )(γ + ), μ ( I + μ ) 3. Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal pada penyakit parasitosis adalah : a. Jika R 0 < 1 maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil asimtotis, namun jika R 0 > 1 tidak stabil. b. Jika R 0 > 1 maka titik kesetimbangan endemic stabil asimtotis. V. DAFTAR PUSTAKA [1] www.rahmatblogg.com/01/07/parasitologi.html diakses pada tanggal 7 Maret 013 [] Yang, H., Wei, H., Li, X.010. Global Stability of An Epidemic Model for Vector-Borne Disease.J Syst Sci Complex Vol. 3, Hal. 79-9 [3] Rahmalia, Dinita.010. Permodelan Matematika dan Analisis Stabilitas dari Penyebaran Penyakit Flu Burung.Tugas Akhir.Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. [4] Finizio, N. dan Landas, G.1988. Ordinary Differential Equations with Modern Applications.California: Wadsworth Publishing Company. [5] Nugroho, Susilo.009. Pengaruh Vaksinasi terhadap Penyebaran Penyakit dengan Model Endemi SIR.Tugas Akhir.Jurusan Matematika Universitas Sebelas Maret. [6] Anggraeni, E.010. Penyelesaian Numerik dan Analisis Perilaku Model Epidemi Tipe SIR dengan Vaksinasi untuk Pencegahan Penularan Penyakit.Tugas Akhir. Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Berdasarkan Gambar 4-7, Bilangan Reproduksi Dasar (R 0 ) penyakit parasitosis bergantung pada banyak parameter seperti laju kelahiran pada kedua populasi yaitu host ( ) dan vektor (b ) serta laju transmisi penyakit ( 1 dan ). Dan dapat disimpulkan bahwa ketika