Bab 2 TEORI DASAR Pada bab ini akan dipaparkan beberapa definisi dasar dalam Teori Graf yang kemudian dilanjutkan dengan definisi bilangan kromatik lokasi, serta menyertakan beberapa hasil penelitian sebelumnya. 2.1 Graf Definisi-definisi berikut merujuk pada [1]. Sebuah graf G(V(G), E(G), G) didefinisikan sebagai pasangan himpunan titik tak hampa V, himpunan sisi E, dan sebuah fungsi insidensi G yang merelasikan setiap sisi di G dengan pasangan tak terurut titik di G. Jika e adalah sisi dan u dan v adalah titik sedemikian sehingga G (e)= uv, maka sisi e dikatakan menghubungkan titik u dan v di G; titik u dan v disebut ujung dari sisi e. Banyaknya titik pada suatu graf G disebut orde (order) dinotasikan dengan V, sedangkan banyaknya sisi disebut ukuran (size) dari G dinotasikan dengan E. Sebagai contoh, pada Gambar 2.1 V(G) = {v1, v2, v3, v4, v5}, E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} dan G didefinisikan dengan G (e1) = v1v2, G (e2) = v2v4, G (e3) = v4v5, G (e4) = v3v5, G (e5) = v1v3, G (e6) = v3v4, G (e7) = v2v3 Sehingga orde G adalah 5 dan ukuran G adalah 6. Gambar 2.1: Graf G dengan orde 5 dan ukuran 7 4
Jika e = uv merupakan sebuah sisi dari G, maka u dan v merupakan titik-titik bertetangga (adjacent) di G. Dalam hal ini, titik u dan sisi e, begitu pula dengan titik v dan sisi e, disebut terkait (incident) satu sama lain. Sisi-sisi yang berbeda dan terkait pada satu titik yang sama disebut sisi-sisi yang bertetangga. Pada gambar 2.1 titik v1 dikatakan bertetangga dengan titik v2, sisi e1 bertetangga dengan e5, dan titik v1 dan v3 terkait dengan sisi e5 = v1v3. Derajat (degree), dg(v), dari sebuah titik v pada G adalah banyaknya sisi pada G yang terkait atau berinsidensi dengan v. Derajat maksimum pada G dinotasikan dengan (G) dan derajat minimum dinotasikan dengan (G). Himpunan ketetanggaan dari u V(G) yang dinotasikan dengan N(u) adalah {v V(G) uv E(G)}. Dengan demikian. N(u) = dg(u). Pada gambar 2.1, dg(v2) = 3, (G) = 4, (G) = 2. Sebuah graf H dikatakan subgraf dari graf G, ditulis H G, jika V(H) V(G), E(H) E(G). Misalkan G G. Jika E(G ) = {xy E(G) x,y V(G )} maka G adalah sebuah subgraf terinduksi (induced subgraph) oleh V(G ) dari G. Jika sebuah subgrafdari graf G mempunyai himpunan titik yang sama dengan himpunan titik dari graf itu sendiri, maka subgraf itu disebut subgraf pembangun (spanning subgraf). G disebut terhubung (connected) jika untuk setiap pasang titik u,v V(G) terdapat suatu lintasan yang memuat u dan v. Lintasan di G adalah suatu barisan tak nol dan berhinngga P = v1e1v2e2v3e3... ekvk yang beranggotakan titik dan sisi yang saling berselang. P disebut lintasan dari v1 ke vk. Banyaknya sisi pada suatu lintasan disebut panjang. Titik v1 Dikenal sebagai titik awal dan vk sebagai titik akhir dari P. Panjang lintasan terpendek dari x ke y, untuk x, y V(G), disebut jarak dari x ke y. Hal ini dinotasikan dengan dg(x,y) = d(x,y). Diameter dari G, dinotasikan dengan d, didefinisikan sebagai d = max{ d(x,y) x,y V(G)}. Sebagai contoh, pada gambar 2.2 dg(v1,v4) = 2 dan d(g) = 3. 5
G: H1 : H2 : H3 : H4 : H5 : Gambar 2.2 Graf dan subgraf Pada gambar 2.2 di atas memperlihatkan enam graf, dengan H1, H3, H4, dan H5 merupakan subgraf dari G. H2 bukan merupakan subgraf dari G karena H2 memuat v3 v1 yang tidak ada di G. H1 dan H3 adalah subgraf teriduksi dari G. H4 bukan subgraf terinduksi dari G, karena v2v5 E(G) tetapi v2v5 E(H4). H5 merupakan subgraf pembangun dari G karena V(H5) = V(G). Suatu graf dikatakan graf trivial jika graf tersebut hanya terdiri dari sebuah titik. Graf lengkap (complete graf) dengan n titik, dinotasikan dengan Kn, adalah suatu graf yang setiap pasang titiknya bertetangga. Graf G disebut graf regular jika derajat setiap titiknya sama. Graf G(V(G),E(G)) disebut graf k-reguler jika dg(v) = k, untuk setiap v V. 6
Gambar 2.3 Graf lengkap K6 dan Graf 3-reguler Lingkaran berorde n, untuk n 3, dinotasikan dengan Cn, adalah graf terhubung 2reguler. Gambar 2.4 Graf lingkaran C6 Graf bintang, dinotasikan dengan K1,n, adalah graf dengan himpunan titiknya dikelompokkan atas dua himpunan partit, salah satu himpunan partit berangggotakan satu titik, sehingga tidak ada sisi yang menghubungkan setiap pasang tiitk yang berada dalam satu himpunan partit yang sama. Titik pusat pada graf bintang adalah titik berderajat n. 7
Gambar 2.5 Graf bintang K1,4 dengan titik pusat v Misalkan G adalah b suatu graf yang dibentuk dari dua buah graf bintak K1,a dan K1,b, dengan member sisi yang menghubungkan titik-titik pusat dari kedua graf tersebut, maka G disebut graf bintang ganda, dinotasikan dengan Sa,b. Pohon adalah graf terhubung yang tidak memuat lingkaran. Gambar 2.6 Graf bintang ganda S3,4, dengan titik pusat u dan v Gambar 2.7 Graf Pohon T 8
2.2 Bilangan Kromatik Lokasi Sebelum memaparkan bilangan kromatik lokasi, akan dipaparkan terlebih dulu definisi dari pewarnaan titik sejati, kode warna, himpunan pembeda, dan pewarnaan lokasi. Misalkan diberikan suatu graf G(V(G), E(G)). Pelabelan pada graf G didefinisikan sebagai suatu pemetaan unsur-unsur G pada himpunan bilangan bulat. Berdasarkan unsur yang dilabeli, pelabelan dibagi menjadi tiga jenis. Pelabelan sisi, pelabelan titik, dan pelabelan total. Pelabelan yang hanya melabeli titik, pelabelan ini disebut pelabelan titik. Begitu pula untuk pelabelan sisi yang hanya melabeli sisi. Pelabelan total adalah pelabelan baik sisi dan titik pada suatu graf. Pewarnaan titik sejati (vertex colouring) pada suatu graf adalah salah satu pelabelan titik dimana titik yang bertetangga tidak boleh dilabeli dengan label yang sama. Pada hakektanya secara matematis pewarnaan pada suatu graf G adalah suatu pemetaan c : V (G) {1,2,..., k}, sehingga ab E(G) c(a) c(b) Bilangan k terkecil sehingga G memiliki pewarnaan titik sejati disebut sebagai bilangan kromatik (chromatic number) dari G, dinotasikan dengan (G). Misalkan c suatu pewarnaan titik sejati dari suatu graf terhubung G, dengan menggunakan warna 1, 2,..., k untuk suatu bilangan asli k, maka c(u) c(v) untuk titik u dan v yang bertetangga di G. Dalam hal ini, c tidak lain merupakan suatu partisi terurut dari V(G) ke dalam kelas warna yang saling bebas C1, C2,..., Ck, dimana titik-titik di Ci adalah titik-titik yang diberi warna I, untuk 1 i k. Kode warna (color code), dinotasikan dengan C (v) dari suatu titik v di G didefinisikan sebagai k-vektor C (v) = (d(v, C1), d(v, C2),..., d(v, Ck)), dimana d(v, Ci) = min{ d(v, x) x Ci} untuk 1 i k. Jika setiap dua titik yang berbeda di G memiliki kode warna yang berbeda, maka c dikatakan sebagai suatu 9
pewarnaan lokasi (locating coloring) dari G. Secara ekivalen, = { C1, C2,..., Ck} disebut himpunan pembeda (locating set) bagi G. Oleh karena itu suatu pewarnaan lokasi bagi G adalah pewarnaan yang membedakan setiap titik di G berdasarkan jaraknya terhadap kelas warna yang dihasilkan. Pewarnaan lokasi dengan banyaknya warna minimum disebut sebgaai pewarnaan lokasi minimum dan banyaknya warna disebut bilangan kromatik lokasi (locating chromatic number) dari G yang dinotasikan dengan L(G). Oleh karena setiap pewarnaan lokasi merupakan suatu pewarnaan, maka (G) L(G) untuk setiap graf terhubung G. Sebagai contoh, misalkan graf G seperti pada Gambar 2.7. Gambar 2.8 Graf G Gambar 2.9 Pewarnaan c = {1, 2, 3, 4} pada graf G (4 warna) Misalkan c = {1, 2, 3, 4} suatu pewarnaan pada graf G seperti terlihat pada gambar 2.8. Kode warna dari titik-titik G terhadap = {C1, C2, C3, C4} adalah sebagai berikut: C (v1) = (d(v1, C1), d(v1, C2),..., d(v1, Ck)) = (0, 1, 2, 3) C (v2) = (d(v2, C1), d(v2, C2),..., d(v2, Ck)) = (1, 0, 1, 2) C (v3) = (d(v3, C1), d(v3, C2),..., d(v3, Ck)) = (1, 0, 1, 2) C (v4) = (d(v4, C1), d(v4, C2),..., d(v4, Ck)) = (2, 1, 0, 1) C (v5) = (d(v5, C1), d(v5, C2),..., d(v5, Ck)) = (2, 1, 0, 1) C (v6) = (d(v6, C1), d(v6, C2),..., d(v6, Ck)) = (3, 2, 1, 0) 10
Oleh karena C (v2) = C (v3) dan C (v4) = C (v5) maka c bukan merupakan pewarnaan lokasi. Di sisi lain, pewarnaan c = {1, 2, 3, 4, 5} seperti terlihat pada gambar 2.9, merupakan pewarnaan lokasi pada graf G, karena setiap titik pada G memiliki kode warna yang berbeda terhadap = { C1, C2, C3, C4, C5}, yaitu : C (v1) = (0, 1, 1, 2, 2) C (v2) = (1, 0, 2, 1, 3) C (v3) = (1, 2, 0, 1, 1) C (v4) = (2, 1, 1, 0, 2) C (v5) = (2, 1, 1, 2, 0) C (v6) = (3, 0, 2, 1, 1) Gambar 2.10 Pewarnaan c = {1, 2, 3, 4, 5} pada graf G (5 warna) Walaupun demikian, c bukanlah pewarnaan lokasi yang minimum karena terdapat pewarnaan c = {1, 2, 3, 4} seperti pada Gambar 2.10 yang juga merupakan pewarnaan lokasi bagi graf G dengan kardinalitas lebih sedikit dibandingkan kardinalitas c. Kode warna dari titik-titik G terhadap = { C1, C2, C3, C4} adalah sebagai berikut: C (v1) = (0, 1, 1, 2) C (v2) = (1, 0, 2, 1) C (v3) = (1, 2, 0, 1) C (v4) = (2, 1, 1, 0) C (v5) = (2, 3, 1, 0) C (v6) = (3, 2, 0, 1) 11
Gambar 2.11 Pewarnaan c = {1, 2, 3, 4} pada graf G (4 warna) Lebih lanjut, tidak ada pewarnaan pada G dengan kardinalitas lebih kecil daripada c yang menjadikannya pewarnaan lokasi, oleh karena itu bilangan kromatik lokasi dari G, L(G) = 4. 2.3 Hasil Penelitian Sebelumnya Beberapa graf yang cukup terkenal seperti graf lintasan, graf lingkaran, dan graf multipartit lengkap telah diketahui dari beberapa penelitian sebelumnya. Beberapa dari teorema berikut, dari Chartand dkk (tahun 2002) [2] dan [3], digunakan untuk membuktikan beberapa hasil pada tugas akhir ini. Teorema 1. [2] Misalkan c sebuah pewarnaan lokasi pada graf terhubung G. Jika u dan v adalah titik-titik yang berbeda pada G sehingga d(u,w) = d(v,w) untuk setiap w V(G) {u,v}, maka c(u) c(v). Dalam hal khusus, jika u dan v adalah titik-titik yang tidak bertetangga pada G sehingga N(u) = N(v), maka c(u) c(v). Teorema 2. [2] Jika Pn adalah graf lintasan berorde n 3, maka L(Pn) = 3. Teorema 3. [2] Untuk suatu graf lingkaran (Cn) berorde n 3 L(Cn) = 3 jika n ganjil, dan L(Cn) = 4 jika n genap. Teorema 4. [2] Untuk suatu bilangan asli a dan b, dengan 1 a b dan b 2, L(Sa, b) =b+1 Teorema 5. [2] Misalkan G suatu graf terhubung dengan orde n 3, maka L(G) = n jika dan hanya jika G adalah graf multipartit lengkap. 12
Selain menentukan L dari suatu graf G, G Chartrand dkk [2] dan [3] juga telah melakukan penelitian untuk menentukan batas bawah dan /atau batas atas L dari suatu graf secara umum. Hasil yang diperoleh diantaranya adalah sebagai berikut. Teorema 6. [2] Untuk setiap graf terhubung G, (G) L(G) dimm(g). Teorema 7. [2] Untuk setiap graf terhubung G dengan orde n 3, 3 L(G) n. Teorema 8. [2] Jika G adalah suatu graf dengan orde n 3, dan diameter d 2, maka logd+1n L(G) n d + 2. Teorema 9. [2] Misalkan G suatu graf terhubung dengan orde n 3, diameter d 2, dan L(G) = k, maka n kd k - 1 1. Teorema 10. [2] Misalkan k 3. Jika T adalah suatu pohon dengan (T) > (k - 1)2 k 2, maka L(T) > k. 13