LINER PROGRMMING METODE GRFIK Metode Grafik Setelah membuat formulasi model matematika, langkah selanjutnya dalam penerapan program linear untuk mengambil keputusan adalah menentukan pemecaham dari model. Karena hubungannya linear, beberapa model pemecahan dapat di ilustrasikan secara grafik. Metode grafik terbatas untuk model-model yang hanya mempunyai dua variabel, yang dapat digambarkan dalam dua dimensi grafik. Sistem dan idang Kerja Sistem untuk menyatakan hubungan antara aljabar (model matematika) dan geometri (grafik) adalah bidang yang dibagi menjadi empat bidang oleh sumbu tegak (absis) dan sumbu datar (ordinat). idang tersebut dikenal sebagai kuadran. Langkah-langkah Metode Grafik. Gambarkan model batasan (fungsi kendala) sebagai persamaan pada grafik, kemudian dengan mempertimbangkan ketidaksamaan batasan, tunjukkan daerah memenuhi kendala (DMK)... Gambarkan fungsi tujuan, lalu geser menjauh dari titik awal (,) ke titik solusi yang optimal. 3.. Selesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk menemukan nilai solusi yang optimal. tau:.. Selesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. 3.. Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal. 3
Menentukan Titik Koordinat Menggambar Daerah Penyelesaian Misal: + Ubah pertidaksamaan ( ) menjadi persamaan (=), maka: + = Mencari nilai dan dengan mengasumsikan salah satu variabel bernilai (nol). Jika =, maka: () + = = = Jika =, maka: + () = Jadi titik koordinatnya adalah: = dan = = 3 + = 3 Persamaan ( ) Persamaan ( ) misal: + misal: + 3 3 3 3 + + Persamaan (=) misal: + = 3 3 + = Daerah Memenuhi Kendala (DMK) Persamaan ( ), misal: 3 + + 3 DMK 3 Persamaan ( ), misal: 3 + + 3 DMK 3 Persamaan ( dan =) 3 + = = DMK 3 7 Fungsi atasan ertanda Lebih esar tau Sama Dengan ( ) + = 3 = Daerah 3 = feasible ontoh : atasan ketiga ( + X 3) diubah ketidaksamaannya menjadi + X 3
Metode Grafik Program Linear ontoh # Metode Grafik Fungsi atasan ertanda Sama Dengan (=) Fungsi Tujuan : X = + X = 3 Maksimalkan Z X 3X = Fungsi Kendala : + X : + 3X (3) NonNon-negatif : ; X () Tenaga kerja : () Tanah liat 9 Solusi Grafik ontoh # Solusi Grafik ontoh #. Menggambar fungsi kendala (Langkah ). Menggambar garis fungsi tujuan (Langkah.) X X X X = + X 3 3 + 3X 3 + X DKM 3 3 = + X (erada di luar DMK) 3 = + X 3 = + X Titik Optimal 3 3
Solusi Grafik ontoh # 3. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk nilai solusi optimal (Langkah 3.) X + 3 = + = = 3 + 3 = = = 3 (3 /) 3 + = 3 = 3 (3 /) / = = = = () = 3 Solusi Grafik ontoh #. Menyelesaikan persamaan-persamaan pada titik tiap sudut untuk memperoleh nilai solusi pada tiap sudut. (Langkah.) 3 = = 3 = = = 3 = 3. Masukkan nilai-nilai ke dalam fungsi tujuan untuk menentukan kumpulan nilai yang menghasilkan nilai Z yang optimal. (Langkah 3.) Pada titik Z = Pada titik Z = 3 Pada titik Z = Maka solusi optimal adalah pada titik dengan laba $3 ontoh # Metode Grafik Variabel Keputusan Fungsi Tujuan Fungsi Kendala = jumlah pupuk SG yang dibeli = jumlah pupuk Q yang dibeli Minimalkan Z = + 3 Z = total biaya pemupukan = harga/biaya dari SG 3 = harga/biaya dari Q + + 3 ; (kendala nitrogen) (kendala fosfat) (kendala non-negatif) Solusi Grafik ontoh # DKM = = DKM = = = =
Solusi Grafik ontoh # Solusi Grafik ontoh # Pada titik, koordinat dan adalah: + = * + = 3 + 3 = * + 3 = + = + (,) = =, =, = = /,, = = DKM =, =,, = = Pada titik Z = Pada k Z = 33, Pada k Z = Maka solusi optimal terletak pada titik dengan total biaya $ 7 Latihan #3 Perusahaan sepatu membuat macam sepatu. Yang pertama merek I, dgn sol karet, dan merek I dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin. Mesin membuat sol karet, mesin membuat sol kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I mula-mula dikerjakan di mesin selama jam, kemudian tanpa melalui mesin terus dikerjakan di mesin 3 selama jam. Sedang untuk sepatu merek I tidak diproses di mesin, tetapi pertama kali dikerjakan di mesin selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin adalah jam, mesin adalah jam, dan mesin 3 adalah 3 jam. Sumbangan terhadap laba setiap lusin sepatu merek I =Rp.3. sedang merek I =Rp... Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I dan merek I yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba. Solusi Latihan #3 (entuk Tabel) Mesin Merek I (x ) I (x ) Kapasitas Maksimum 3 3 3 Sumbangan laba 3 9
Solusi Latihan #3 (entuk Matematis) Maksimumkan Z = 3x + x atasan (constrain) () () 3 (3) + 3 Solusi Latihan #3 Fungsi atasan () -> x dan, = Gambar tersebut merupakan bagian yang memenuhi batasanbatasan:,, dan x Solusi Latihan #3 (Fungsi atasan/ll) Solusi Latihan #3 (Titik Optimal) + = 3 x D = 3 = + = 3 Titik D: Pada titik ini nilai X = ; = Nilai Z = 3() + () = D = Titik : X =. Substitusikan batasan (3), maka + () = 3. Jadi nilai = (3 )/ = /. Nilai Z = 3(/) + () = 7, 3 = Daerah feasible x Titik : =. Substitusikan batasan (3), maka () + X = 3. Jadi nilai X = (3 )/ = /. Nilai Z = 3() + (/) = Daerah feasible Titik : Pada titik ini nilai = ; X = Nilai Z = 3() + = 3
Latihan #3 Produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan adalah meja dan kursi. Dengan ahan mentah dalam satu minggu yang tersedia adalah sebanyak gelondong kayu dan jumlah jam kerja buruh yang tersedia adalah 3 jam kerja. Informasi mengenai penggunaan sumber daya dan hara jual per unit, dijelaskan dalam table dibawah ini : Jenis Produk Meja Kursi Kebutuhan sumber daya uruh(jam/unit) ahan(kg/unit) Harga ($/unit) Dengan melihat kepada informasi diatas, berapakah jumlah Meja dan Kursi yang harus dihasilkan agar keuntungan yang didapat perusahaan maksimum? Variabel keputusan = Jumlah Meja yang dihasilkan X = Jumlah Kursi yang dihasilkan Fungsi Tujuan Jumlah keuntungan yang di dapat adalah sebesar : Z X X Solusi Latihan #3 (Sistem Kendala) Solusi Latihan #3 (Kendala) a. Kendala Jam Kerja X X b. Kendala ahan aku X X 3 3 = = Titik temu antara Kendala dengan Kendala : 3 3 3 3 3 3 = = c. Jumlah, X yang harus dihasilkan X X ; DMK 3 7 9 = = + = + = = = 7 7
Solusi Latihan #3 (Titik Optimal) Pada titik = ; = ; Z = Pada titik = ; = ; Z = Pada titik = ; = ; Z = Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa keuntungan yang terbesar didapatkan apabila memproduksi Meja sebanyak unit dan memproduksi Kursi sebanyak unit dengan mendapatkan keuntungan sebesar $. SEKIN & TERIM KSIH 9 3