BIMODUL-C* HILBERT Oleh: Raden Muhammad Hadi hadimaster65555@gmail.com Departemen Pendidikan Matematika, Universitas Pendidikan Indonesia Agustus 2015 Dosen Pembimbing : Rizky Rosjanuardi dan Isnie Yusnitha ABSTRAK Misalkan dan aljabar-c*. Modul-C* Hilbert kanan (kiri ) adalah modul yang dilengkapi dengan hasil kali dalam kanan (kiri ) dan lengkap dalam norm modul kanan (kiri ) sedangkan bimodul-c* Hilbert adalah bimodul yang dilengkapi dengan hasil kali dalam kanan dan kiri juga lengkap dalam norm modul kanan dan kiri. Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk mengetahui apa modul-c* Hilbert dan bimoul-c* Hilbert tersebut dan bagaimana cara mengkonstruksi modul-c* Hilbert dan Bimodul-C* Hilbert, mempelajari sifat-sifat serta memberi contoh. Penelitian dilakukan dengan cara melakukan studi literatur, yaitu dengan mempelajari pokok bahasan yang berhubungan dengan modul-c* Hilbert. Berdasarkan hasil yang diperoleh, bimodul-c* Hilbert dapat dikonstruksi melalui modul dengan skalarnya adalah dua aljabar-c* yang dilengkapi dengan hasil kali dalam dan memenuhi sifat kelengkapan dalam norm modul. Selain itu, akan dijelaskan bagaimana cara mengaplikasikan modul- C* Hilbert melalui contoh. Kata Kunci : modul, bimodul, aljabar-c*, ruang Hilbert, ruang hasil kali dalam, modul-c* Hilbert, bimodul-c* Hilbert.
ABSTRACT Let and C*-algebras. right (left) Hilbert-C* module ( ) is module that completed with right (left) inner product ( ) and satisfied completeness on right (left) norm module ( ) whereas Hilbert-C* bimodule is bimodule that completed with right and left inner product and satisfied completeness on right and left norm module. Objectives of this final paper are to describe what is Hilbert-C* module and Hilbert-C* bimodule and how to construct it, studied its properties along with its application by examples. Research was done by literatures study, that is studied its main themes that highly related with Hilbert-C* module and Hilbert-C* bimodule. As the result, Hilbert-C* bimodule can be constructed through module with two C*-algebras as scalar completed with inner product and satisfies completeness on norm module. Then, we will show its application by examples. Key word : module, bimodule, C*-algebra, Hilbert space, inner product space, Hilbert-C* module, Hilbert-C* bimodule.
1. Pendahuluan Asal mula ekuivalensi Morita datang dari teori ring: dua ring adalah ekuivalen Morita jika kategori modulnya ekuivalen. Teorema Morita mengatakan terdapat bimodul-r-s sedemikian sehingga ekuivalensi tersebut membawa ke ( ). Pada aljabar-c*, tidak terdapat teorema demikian, setidaknya jika menggunakan representasi ruang Hilbert sebagai kategori dari modul. Akan tetapi, Rieffel menunjukkan bahwa terdapat gagasan mengenai ekuivalensi Morita untuk aljabar-c* dengan diperoleh dengan mengasumsikan keberadaan bimodul yang sesuai (Raeburn dan Williams, 1998). Untuk mengkonstruksi bimodul yang sesuai agar memperoleh gagasan mengenai ekuivalensi Morita tentunya membutuhkan alat yang khusus, yaitu Modul-C* Hilbert. Modul-C* Hilbert adalah perumuman dari ruang Hilbert yang lapangan skalarnya adalah aljabar-c*. Modul-C* Hilbert pertama kali dikemukakan oleh Irving Kaplansky dalam penelitiannya mengenai modul atas aljabar operator. Dalam skripsi ini, penulis memfokuskan diri pada konstruksi modul-c* Hilbert dan bimodul-c* Hilbert serta bagaimana mengaplikasikan modul-c* Hilbert dan bimodul-c* Hilbert, maka dari itu penulis memilih judul skripsi Bimodul- C* Hilbert.
2. Konsep Modul-A Hilbert Misalkan adalah aljabar-c*, yang dimaksud dengan modul- kanan adalah ruang vektor kompleks bersama dengan pemetaan bilinier dengan ( ) dengan dan. Modul- kanan biasanya ditulis sebagai. Sedangkan yang dimaksud dengan modul- kiri adalah ruang vektor kompleks bersama dengan pemetaan bilinier dengan ( ) dengan dan. Modul- kiri biasanya ditulis dengan. Definisi 2.1 (Pra-Modul- Hilbert Kanan) [1] : Ruang hasil kali dalam modulkanan (atau disebut juga sebagai pra-modul- Hilbert kanan) adalah modulkanan dengan pemetaan sedemikian sehingga dipenuhi: (1) (linier pada variabel kedua); (2) (aksi kanan); (3) (konjugat); (4) (non-negatif); (5) mengakibatkan ; untuk dan. Definisi 2.2 (Pra-Modul- Hilbert Kiri) [1] : Ruang hasil kali dalam modul- kiri (atau disebut juga sebagai pra-modul- Hilbert kiri) adalah modul- kiri dengan pemetaan sedemikian sehingga dipenuhi: (1) (linier pada variabel pertama); (2) (aksi kiri); (3) (konjugat); (4) (non-negatif);
(5) mengakibatkan ; untuk dan. Definisi 2.3 (Norm Pra-Modul- ) [2] : Misalkan pra-modul- Hilbert dan, maka norm pada didefinisikan sebagai. Norm pada pra-modul- Hilbert kanan dinotasikan dengan dan norm pada pra-modul- Hilbert kiri dinotasikan dengan. Lemma 2.4 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) [1] : Jika adalah ruang hasil kali dalam modul-, dan jika, maka sebagai unsur dari aljabar-c*. Perhatikan bahwa pada pra-modul- Hilbert kiri pertidaksamaan tersebut akan menjadi Akibat 2.5 [1] : Jika adalah hasil kali dalam modul-, maka mendefinisikan sebuah norm pada sedemikian sehingga. Modul bernorm ( ) nondegenerate dalam arti bahwa unsurunsur yang membentuk merentang subruang padat. Tentu saja, adalah -padat di. * +
Definisi 2.6 (Modul-C* Hilbert Kanan (Kiri)) [1] : Modul- Hilbert kanan (kiri) adalah hasil kali dalam modul- yang lengkap dalam norm ( ). 3. Konsep Bimodul-A-B Hilbert Definisi 3.1 (Pra-bimodul-A-B Hilbert): Misalkan dan aljabar-c*. Misalkan adalah pra-modul-c* Hilbert kiri atas dengan hasil kali dalam dan pra-modul-c* Hilbert kanan atas dengan hasil kali dalam. Modul disebut bimodul-a-b Hilbert jika kondisi berikut terpenuhi: untuk setiap. Kondisi di atas disebut sebagai kondisi asosiatif perkalian. Definisi 3.2 (Bimodul-A-B Hilbert): Pra-bimodul-A-B Hilbert disebut bimodul-a-b Hilbert jika lengkap dalam norm dan.
4. Bimodul- ( ( ))- ( ) Hilbert ( ) 4.1. Konstruksi Modul- ( ( )) Hilbert Kiri ( ) Misalkan ruang Hausdorff yang locally compact dan ruang Hilbert kompleks. Misalkan ( ) * ( ) ( )+ ruang vektor kompleks dan ( ( )) * ( ) ( ) ( )+ aljabar-c*. Teorema 4.1.1: Misalkan ( ( )) aljabar-c* dan ( ) sebarang ruang vektor bersama dengan pemetaan bilinier ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) dan didefinisikan maka ( ( )) membentuk modul- ( ( )) kiri atas ( ). Bukti: Misalkan ( ( )) dan dan didefinisikan ( ) ( )( ( )). (1) Akan ditunjukkan bahwa ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( )( )( ( )) ( ( ) ( ))( ( )) ( )( ( )) ( )( ( )) ( ) ( ) (2) Akan ditunjukkan bahwa ( )( ) ( ) ( ).
( )( ) ( )(( )( )) ( )( ( ) ( )) ( )( ( )) ( )( ( )) ( ) ( ) (3) Akan ditunjukkan bahwa ( ) ( ) ( ( )). ( ) ( ) ( )( )( ( )) ( ( ) ( ))( ( )) ( ( ) ( ))( ( )) ( ) ( ( )( ( ))) ( ( )) Karena ( ) memenuhi ketiga aksioma, maka ( ) merupakan modul- ( ( )) kiri ( ) dan dinotasikan sebagai ( ) ( ( )). Teorema 4.1.2: Misalkan ( ) modul- ( ( )) kanan dengan pemetaan ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) dan didefinisikan ( ) ( ) ( ). Maka pemetaan adalah pra-modul- ( ( )) Hilbert kiri ( ). Bukti: Misal ( ) ( ( )) dan (1) Akan ditunjukkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) (2) Akan ditunjukkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) (3) Akan ditunjukkan ( ) ( ). ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4) Akan ditunjukkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) akibatnya ( ) (5) Akan ditunjukkan ( ) jika dan hanya jika ( ). ( ) ( ( ))
( ) Karena ( ) ( ) ( ) memenuhi Definisi 2.2 maka pemetaan adalah pra-modul- ( ( )) Hilbert kiri ( ). Teorema 4.1.3: Misalkan ( ) pra-modul- ( ( )) kiri dengan pemetaan ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) dan didefinisikan ( ) ( ) ( ) dengan pemetaan adalah pra-modul- ( ( )) Hilbert kiri ( ). Didefinisikan norm ( ) ( ). Maka pra-modul- ( ( )) kiri ( ) adalah modul- ( ( )) Hilbert kiri ( ). Bukti: Untuk menunjukkan pra-modul- ( ( )) Hilbert kiri ( ) adalah modul- ( ( )) Hilbert kiri ( ), akan ditunjukkan pramodul- ( ( )) Hilbert kiri ( ) lengkap dalam norm ( ). Perhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sehingga diperoleh ( ) ( ). Artinya norm sama dengan norm pada ( ). Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ( ) lengkap dalam norm ( ). Misalkan ( ) barisan Cauchy di ( ) sedemikian sehingga untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap. Akan ditunjukkan
bahwa untuk setiap terdapat sedemikian sehingga ( ) ( ) untuk setiap. Untuk setiap, diperoleh bahwa ( ) ( ) untuk. Kkarenanya untuk setiap ( ( )) adalah Cauchy di. Karena lengkap, maka terdapat ( ) yang merupakan limit dari ( ( )). Tulis ( ) ( ). Klaim bahwa konvergen uniform karena ( ) ( ) ( ) ( ) Karena Cauchy, maka terdapat sedemikian sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) secara seragam Karena kontinu, juga kontinu, maka ( ) di ( ) sehingga ( ) lengkap dalam. Karena ( ) lengkap dalam norm maka pra-modul- ( ( )) Hilbert kiri ( ) menjadi modul- ( ( )) Hilbert kiri ( ). 4.2. Konstruksi Modul- ( ) Hilbert Kanan ( ) Misalkan ruang Hausdorff yang kompak lokal dan ruang Hilbert kompleks. Misalkan ( ) * ( ) ( )+ ruang vektor kompleks dan ( ) { ( ) } aljabar-c*.
Teorema 4.2.1: Misalkan ( ) aljabar-c* dan ( ) sebarang ruang vektor bersama dengan pemetaan bilinier ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) maka ( ) membentuk modul- ( ) kanan atas ruang vektor kompleks ( ). Bukti: Misalkan ( ) dan ( ) dan didefinisikan ( ) ( ) ( ). (1) Akan ditunjukkan bahwa ( )( ) ( ( ) ( )) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) Akan ditunjukkan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) Akan ditunjukkan bahwa ( )( ) ( ( )) ( ). ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
Karena ( ) memenuhi ketiga aksioma, maka ( ) merupakan modul- ( ) kanan, dinotasikan dengan ( ) ( ). Teorema 4.2.2: Misalkan ( ) modul- ( ) kanan dengan pemetaan ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) dan didefinisikan ( ) ( ) ( ). Maka pemetaan ( ) adalah pra-modul- ( ) Hilbert kanan ( ). Bukti: Misal ( ) ( ) dan (1) Akan ditunjukkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) Akan ditunjukkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) Akan ditunjukkan ( ) ( ). ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )
(4) Akan ditunjukkan ( ) ( ) ( ) ( ) akibatnya ( ) (5) Akan ditunjukkan ( ) jika dan hanya jika ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) Karena ( ) ( ) ( ) memenuhi Definisi 2.1 maka pemetaan adalah pra-modul- ( ) Hilbert kanan ( ). Teorema 4.2.3: Misalkan ( ) pra-modul- ( ) kanan dengan pemetaan ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) dan didefinisikan ( ) ( ) ( ) dengan pemetaan adalah pra-modul- ( ) Hilbert kanan. Didefinisikan norm ( ) ( ). Maka pra-modul- ( ) kanan adalah modul- ( ) Hilbert kanan. Bukti: Untuk menunjukkan pra-modul- ( ) kanan adalah modul- ( ) Hilbert kanan, akan ditunjukkan pra-modul- ( ) ( ) lengkap dalam norm. Perhatikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) sehingga ( ) ( ). Artinya norm sama dengan norm pada ( ). Berdasarkan pembuktian pada Teorema 4.1.3 ( ) lengkap dalam norm ( ) sehingga ( ) lengkap dalam. Karena ( ) lengkap dalam norm maka pra-modul- ( ( )) Hilbert kanan ( ) menjadi modul- ( ( )) Hilbert kanan ( ). 4.3. Konstruksi Bimodul- ( ( ))- ( ) Hilbert ( ) Teorema 4.3.1: Misal ( ) modul dan ( ( )) dan ( ) aljabar-c*. Jika kondisi berikut berlaku: ( ) ( ) ( ) ( ) untuk setiap. Maka ( ) adalah bimodul- ( ( ))- ( ) Hilbert. Bukti: Akan dibuktikan bahwa syarat asosiatif perkalian berlaku.. Untuk setiap ( ), maka ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) sehingga syarat terpenuhi. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
REFERENSI [1] Raeburn, Iain dan Williams, D.P. (1998). Morita equivalence and continous trace C*-algebras. Rhode Island: American Mathematical Society. [2] Tsui, Sze-Kai. (1997). Hilbert C*-modules: A useful tool. Taiwanese Journal of Mathematics, 1 (2), hlm. 111-126.