1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012
PENGERTIAN DASAR Denition Misalkan A dan B himpunan. Sebuah fungsi f dari A ke B ditulis f : A B adalah aturan pengawanan (pemetaan) di mana setiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan anggota B. Himpunan A disebut domain, B disebut kodomain, dan himpunan f (A) := {y B y = f (x), x A}disebut range fungsi f, kadang ditulis R f. Bila f (a) = b maka b disebut bayangan (image) dari a, a disebut pre-image dari b. Untuk E A, himpunan f (E) := {y B y = f (x), x E} disebut image dari E. Bahan Diskusi: Misalkan A = {a, b, c} dan B = {1,2,3}. 1 Susunlah semua pemetaan yang merupakan fungsi. 2 Susunlah semua pemetaan yang bukan merupakan fungsi. Sajikan konstruksi Anda dengan diagram! Misalkan A = {a, b, c, d, e} dan B = {1,2,3,4}. Didenisikan f (a) = 2, f (b) = 1, f (c) = 4, f (d) = 1, f (e) = 1. 1 Tentukan range fungsi f. Apakah range dan kodomainnya sama? 2 Tentukan image himpunan S = {b, c, d}.
Fungsi dalam Narasi 1 Apakah pemetaan f yang mengawankan himpunan semua string-bit ke integer merupakan fungsi atau bukan? 1 f (S) adalah posisi bit 0 pada string-bit S 2 f (S) adalah banyaknya bit 1 pada S. 3 f (S) adalah integer terkecil i sehingga bit ke-i pada S adalah 1. 4 f (S) adalah banyaknya bit 0 pada posisi genap. 2 Temukan domain dan range fungsi berikut 1 Fungsi yang mengawankan setiap bulat positif ke digit terakhirnya. 2 Fungsi yang mengawankan setiap bit-string ke banyaknya bit 1 dalam string tersebut 3 Fungsi yang mengawankan setiap bulat positif ke bilangan kuadrat terbesar yang tidak melebihi bilangan tersebut 4 Fungsi yang mengawankan setiap bilangan real ke bilangan bulat terkecil yang tidak kurang dari bilangan real terebut. 5 Fungsi yang mengawankan setiap bilangan real ke bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi bilangan real tersebut. 6 Fungsi yang mengawankan setiap pasangan bilangan real ke nilai maksimumnya.
Operasi Aljabar Fungsi Denition Misalkan f 1 dan f 2 fungsi dari A ke B. Fungsi f 1 + f 2 dan f 1 f 2 dari A ke B didenisikan sebagai (f 1 + f 2 )(x) ( := ) f 1 (x) + f 2 (x) dan (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x)f 2 (x). Pembagian dua fungsi f didenikan sebagai (x) := f (x) g g(x) asalkan g(x) 0. Example Misalkan f, g : R R dengan f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = 1 + x x 2. 1 Tentukan formula untuk f + g dan fg 2 Tentukan R f, R g, R fg dan R f +g. 3 Tentukan f dan R g f. g Penyelesaian: 1 (f + g)(x) = x 2 + 1 + (1 + x x 2 ) = 2 + x, (fg)(x) = (x 2 + 1)(1 + x x 2 ) = 1 + x + x 3 x 4. 2 R f = {y y 1}, R f +g = {y < y < }.Berikan alasan mengapa bisa demikian. Lanjutkan pertanyaan berikutnya.
Fungsi Monoton Fungsi monoton terbagi dua, yaitu monoton naik atau naik saja dan monoton turun atau turun saja. Denition Fungsi f : A R dikatakan naik tegas jika ia memenuhi pernyataan berikut x, y A[x < y f (x) < f (y)] Fungsi f dikatakan turun tegas jika pernyataan berikut TRUE x, y A[x < y f (x) > f (y)]. Sebuah fungsi yang bersifat f (x) = C, x A disebut fungsi konstan. Pada fungsi konstan berlaku x, y A, f (x) = f (y). Example Identikasilah sifat monoton fungsi berikut pada domain R. 1 f (x) := x 2 2 f (x) := 1 x 2 3 f (x) := x + 1 4 f (x) := x
Fungsi Injektif dan Surjektif Denition Sebuah fungsi f : A B dikatakan satu-satu atau injektif jika pernyataan berikut berlaku: x, y A[f (x) = f (y) x = y]. Dikatakan kepada atau surjektif jika pernyataan berikut TRUE: y B, x A sehingga f (x) = y. Fungsi yang surjektif dan injektif disebut bijektif. Fungsi injektif tidak terjadi percabangan. Sedangkan pada fungsi surjektif, semua elemen pada domain habis terpasang.
Surjektif dan Injektif lanj... Bahan diskusi Selidikah sifat surjektif dan injektif fungsi berikut 1 f (x) = x 2 dari Z ke Z. 2 f (x) = x + 1 dari R ke R. 3 Fungsi f : {a, b, c, d} {1,2,3} yang didenisikan sebagai f (a) = 3, f (b) = 2, f (c) = 1 dan f (d) = 3. 4 f (x) = x dari R ke R. 5 f (n) = n 3 dari Z ke Z. 6 f (m, n) = m 2 n dari Z Z ke Z. 7 f (m, n) = n dari Z Z ke Z. 8 f (m, n) = m n dari Z Z ke Z.
Fungsi Identitas dan Fungsi Invers Denition Fungsi identitas adalah fungsi i A : A A di mana i A (x) = x untuk setiap x A. Untuk fungsi bijektif f : A B kita selalu dapat membaliknya dengan mendenisikan fungsi f 1 : B A b = f (a) f 1 (a) = b (*) Fungsi f 1 yang memenuhi (*) disebut invers dari fungsi f. Fungsi f dikatakan invertibel jika ia mempunyai invers. Jadi fungsi bijektif adalah invertibel. A f B a = f -1 (b) f -1 a = f -1 (b) Bila f fungsi invertibel pada A maka berlaku f (f 1 (x)) = f (f (x)) = i A (x) = x. Buktikan!
Bahan Diskusi Fungsi Invers... Selidikilah apakah fungsi berikut invertibel. Bila tidak invertibel, berikan alasannya. Bila invertibel, tentukan fungsi inversnya. 1 f : {a, b, c} {1,2,3} di mana f (a) = 2, f (b) = 3 dan f (3) = 1. 2 f (x) = x + 1 dari dari Z ke Z. 3 f (x) = x 1 dari R\{ 2} ke R. x+2 4 f (x) = x 2 dari Z ke Z. 5 f (x) = x2 +1 x 2 dari R ke R. +2
Komposisi Fungsi Misalkan g : A B, f : B C. Komposisi fungsi f dan g, ditulis f g adalah fungsi dari A ke C yang didenisikan sebagai (f g)(x) = f (g(x)). (#) Syarat agar fungsi f g terdenisi sebagai fungsi maka haruslah R g B. A B C f f g g f Berdasarkan sifat sebelumnya diperoleh f f 1 = f 1 f = i A sebuah fungsi identitas pada A. Bahan Diskusi: Misalkan f dan g fungsi dari R ke R di mana f (x) = x 2 + 1 dan g(x) = x 2. Temukan formula untuk kombinasi fungsi berikut 1 f g dan g f. Apakah f g = g f. 2 f + g dan fg.
Fungsi Pembulatan 1 Fungsi lantai (ooring): x :=bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. 2 Fungsi plafon (ceiling): x :=bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan x. 3 Fungsi pembulatan (rounding): [x] :=bilangan bulat terdekat dari x. Example 1.2 = 1, 0.7 = 0, 0.5 = 1, 3 = 3. 1.2 = 2, 0.7 = 1, 0.5 = 0, 3 = 3. [1.2] = 1, [0.7] = 1, [ 0.5] = 1, [3] = 3. 3 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0-1 -1-1 -2 ceiling -2 flooring -2 rounding -3-3 -2-1 0 1 2 3-3 -3-2 -1 0 1 2 3-3 -3-2 -1 0 1 2 3
Sifat-sifat Fungsi Pembulatan 1 Misalkan n Z dan x R. Maka berlaku 1 x = n jika dan hanya jika n x < n + 1 2 x = n jika dan hanya jika n 1 < x n 3 x = n jika dan hanya jika x 1 < n x 4 x = n jika dan hanya jika x n < x + 1. 2 Untuk setiap x R, berlaku x 1 < x x x < x + 1. 3 Untuk setiap x R, beralku x = x dan x = x. 4 Untuk n Z dan x R, berlaku Bukti 4: 1 x + n = x + n 2 x + n = x + n. 1 Misalkan x = m. Dengan sifat 1(1) berlaku m x < n + 1. Tambahkan ketiga ruas dengan n diperoleh (m + n) x + n < (m + n) + 1. Dengan sifat yang sama (kebalikannya), diperoleh x + n = m + n = x + n. 2 Misalkan x = m. Dengan sifat 1(2) berlaku m 1 < x m (m + n) 1 < x + n (m + n). Dengan sifat yang sama (kebalikannya), disimpulkan x + n = m + n = x + n.
Bahan Diskusi Fungsi Pembulatan 1 Apakah berlaku x + y = x + y. Bila tidak, berikan contoh pengingkarnya. 2 Buktikan berlaku 2x = x + x + 1 2. 3 Diberikan himpunan S = { 1,0,2,4,6}. Temukan f (S) jika 1 f (x) = x/3 x 2 f (x) = 2 +3 2 3 f (x) = x 3 + x 3 4 Gambarkan grak fungsi pembulatan berikut pada domain 5 x 5. 1 f (x) = 2x + 1 2 f (x) = x + x/2 3 f (x) = x/2 x/2 4 f (x) = 2 x/2 + 1 2. Soal-soal yang dipecahkan: hal 108-111.