Aljabar Boolean Rudi Susanto
Tujuan Pembelajaran Bisa menghasilkan suatu realisasi rangkaian elektronika digital dari suatu persamaan logika matematika Persamaan logika matematika tersebut dimodifikasi sehingga menghasilkan realisasi rangkaian dengan jumlah gerbang yang minimal/optimal. 2
Rangkaian digital yang ekivalen dengan persamaan logika Misalnya diketahui persamaan logika: x = A.B+C Rangkaiannya: 3
Urutan Operasi (Parentheses) Operasi bilangan biner hanya mengenal AND dan OR Jika terjadi operasi AND dan OR bersamaan tanpa ada kurung, maka yang didahulukan adalah AND Misal : x = A.B+C = (A.B)+C A dan B diand-kan dulu, baru di-or-kan dengan C A.B+C =/= A.(B+C) 4
Contoh rangkaian (dengan inverter) x = A BC(A+D) 5
Tabel kebenaran rangkaian digital Merupakan list output rangkaian/ persamaan logika untuk seluruh kombinasi input Contoh: buatlah tabel kebenaran untuk rangkaian x = A BC(A+D) 6
Tabel kebenaran D C B A A B.C (A+D) x = A BC(A+D) 7
Sifat Aljabar Boolean Sifat komutatif Sifat Asosiatif Sifat Distributif 8
Sifat Komutatif 9
Sifat Asosiatif
Sifat Distributif
Aturan aljabar Boolean 2
Latihan Sederhanakan! a. y=ac + ABC b. Y=A B CD + A B C D c. Y=A D + ABD d. Y=(A +B)(A+B) 3
Teorema De Morgan Yang perlu diingat: break the bar, change the operator -Teori De Morgan sangat berguna untuk disain rangkaian digital -Menggunakan teknik ini, gerbang AND dan OR bisa saling ditukar -Penukaran dilakukan dengan menambahkan gerbang NOT 4
Contoh : X = A +B, realisasi rangkaian: A B U6A 2 744 U7A 2 744 2 X=A +B sesuai de Morgan bisa diubah menjadi ekspresi AND sebagai berikut X=(A.B), realisasi rangkaian U3A 7432 3 X A B 2 U4A 3 X 74 5
Latihan. Implementasikan rangkaian z=a B C menggunakan sebuah gerbang NOR dan sebuah inverter! 2. Ubahlah ekspresi y=(a+b +C D) menjadi ekspresi yang berisi inversi single variable! 6
Universalitas gerbang NAND Fungsi-fungsi boolean bisa dibentuk menggunakan gerbang NAND 7
Universalitas gerbang NOR Fungsi-fungsi boolean bisa dibentuk menggunakan gerbang NOR 8
Bentuk Kanonik Ada dua macam bentuk kanonik:. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP) 2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS) Contoh:. f(x, y, z) = x y z + xy z + xyz SOP Setiap suku (term) disebut minterm 2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z ) (x + y + z )(x + y + z) POS Setiap suku (term) disebut maxterm Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap 9
Bentuk Kanonik 2 Input Minterm Maxterm x y Suku Lambang Suku Lambang x y x y xy x y m m m 2 m 3 x + y x + y x + y x + y M M M 2 M 3 2
Bentuk Kanonik 4 Input Minterm Maxterm x y z Suku Lambang Suku Lambang x y z m x + y + z M x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z m m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 x + y + z x + y +z x + y +z x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z M M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 2
Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS. Tabel 7. x y z f(x, y, z) Contoh 22
Penyelesaian (a) SOP Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan adalah,, dan, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah f(x, y, z) = x y z + xy z + xyz atau (dengan menggunakan lambang minterm), f(x, y, z) = m + m 4 + m 7 = (, 4, 7) 23
Penyelesaian (b) POS Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan adalah,,,, dan, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z ) (x + y + z )(x + y + z) atau dalam bentuk lain, f(x, y, z) = M M 2 M 3 M 5 M 6 = (, 2, 3, 5, 6) 24
Contoh Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y z dalam bentuk kanonik SOP dan POS. Penyelesaian: (a) SOP x = x(y + y ) = xy + xy = xy (z + z ) + xy (z + z ) = xyz + xyz + xy z + xy z y z = y z (x + x ) = xy z + x y z Jadi f(x, y, z) = x + y z = xyz + xyz + xy z + xy z + xy z + x y z = x y z + xy z + xy z + xyz + xyz atau f(x, y, z) = m + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 = (,4,5,6,7) 25
(b) POS f(x, y, z) = x + y z = (x + y )(x + z) x + y = x + y + zz = (x + y + z)(x + y + z ) x + z = x + z + yy = (x + y + z)(x + y + z) Jadi, f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z )(x + y + z)(x + y + z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z ) atau f(x, y, z) = M M 2 M 3 = (, 2, 3) 26
Konversi Antar Bentuk Kanonik Misalkan f(x, y, z) = (, 4, 5, 6, 7) dan f adalah fungsi komplemen dari f, f (x, y, z) = (, 2, 3) = m + m 2 + m 3 Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS: f (x, y, z) = (f (x, y, z)) = (m + m 2 + m 3 ) = m. m 2. m 3 = (x y z ) (x y z ) (x y z) = (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z ) = M M 2 M 3 = (,2,3) Jadi, f(x, y, z) = (, 4, 5, 6, 7) = (,2,3). Kesimpulan: m j = M j 27
Contoh. Nyatakan f(x, y, z)= (, 2, 4, 5) dan g(w, x, y, z) = (, 2, 5, 6,, 5) dalam bentuk SOP. Penyelesaian: f(x, y, z) = (, 3, 6, 7) g(w, x, y, z)= (, 3, 4, 7, 8, 9,, 2, 3, 4) 28
Contoh. Carilah bentuk kanonik SOP dan POS dari f(x, y, z) = y + xy + x yz Penyelesaian: (a) SOP f(x, y, z) = y + xy + x yz = y (x + x ) (z + z ) + xy (z + z ) + x yz = (xy + x y ) (z + z ) + xyz + xyz + x yz = xy z + xy z + x y z + x y z + xyz + xyz + x yz atau f(x, y, z) = m + m + m 2 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 (b) POS f(x, y, z) = M 3 = x + y + z 29
Tugas(hardware) Implementasikan persamaan x = AC+BC menggunakan gerbang NAND (IC 74LS) seluruhnya! Berapa buah gerbang NAND yang digunakan? Berapakah IC 74LS yg digunakan? 3