PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER POTENSIAL SHAPE - INVARIANCE DENGAN FAKTOR SENTRIFUGAL MENGGUNAKAN METODE SUPERSIMETRI MEKANIKA KUANTUM (SUSYQM)

digilib.uns.ac.id PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER POTENSIAL SHAPE - INVARIANCE DENGAN FAKTOR SENTRIFUGAL MENGGUNAKAN METODE SUPERSIMETRI MEKANIKA KUANTUM (SUSYQM) TESIS Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan untuk Mencapai Derajat Magister Program Studi Ilmu Fisika Oleh HETI MARINI S911008004 PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 01 i

digilib.uns.ac.id PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER POTENSIAL SHAPE INVARIANCE DENGAN FAKTOR SENTRIFUGAL MENGGUNAKAN METODE SUPERSIMETRI MEKANIKAKUANTUM (SUSYQM) TESIS Oleh Heti Marini S911008004 Komisi Nama TandaTangan Tanggal Pembimbing Pembimbing I Dra. Suparmi, M.A., Ph.D... 30 Juli 01 NIP. 1950915 197603 001 Pembimbing II Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D... 30 Juli 01 NIP : 19610306 198503 1 00 Telah dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal 30 Juli 01 Ketua Program Studi IlmuFisika Program Pascasarjana UNS Drs.Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP : 19610306 198503 1 00 ii

digilib.uns.ac.id PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER POTENSIAL SHAPE INVARIANCE DENGAN FAKTOR SENTRIFUGAL MENGGUNAKAN METODE SUPERSIMETRI MEKANIKAKUANTUM (SUSYQM) TESIS Oleh Heti Marini S911008004 Tim Penguji Jabatan Nama TandaTangan Tanggal Ketua Dr. Agus Supriyanto, S.Si.,M.Si... Agustus 01 NIP.1969086 199903 1 001 Sekretaris Dr. Eng. Risa Suryana, S.Si.,M.Si... Agustus 01 NIP. 19710831 00003 1 005 Anggota Dra. Suparmi, M.A., Ph.D... Agustus 01 Penguji NIP. 1950915 197603 001 Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D... Agustus 01 NIP. 19610306 198503 1 00 Telah dipertahankan di depan penguji Dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal 15 Agustus 01 Program Pascasarjana UNS Ketua Program Studi IlmuFisika Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S Drs.Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP. 19610717198601 1 001 NIP : 19610306 198503 1 00 iii

digilib.uns.ac.id PERNYATAAN ORISINALITAS DAN PUBLIKASI ISI TESIS Saya menyatakan dengan sebenarnya bahwa: 1. Tesis yang berjudul Penyelesaian Persamaan Schrödinger Potensial Shape Invariance dengan Faktor Sentrifugal Menggunakan Metode Supersimetri Mekanika Kuantum (susyqm). ini adalah karya penelitian saya sendiri, tidak terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh orang lain untuk memperoleh gelar akademik, serta tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis digunakan sebagai acuan dalam naskah dan disbutkan dalam sumber acuan serta daftar pustaka. Apabila dikemudian hari terbukti pernyataan saya ini tidak benar, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan peraturan perundang-undangan (Permendiknas No. 17, Tahun 010). Publikasi sebagian atau keseluruhan dari isi tesis ini pada jurnal atau forum ilmiah lain harus seizin dan menyertakan tim pembimbing sebagai author dan PPs-UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu semester (enam bulan sejak pengesahan tesis) saya tidak melakukan publikasi dari sebagian atau keseluruhan tesis ini, maka PPs-UNS berhak mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu Fisika PPs-UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran dari ketentuan publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku. Surakarta, 13 Agustus 01 Mahasiswa Heti Marini S911008004 iv

digilib.uns.ac.id KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul, Penyelesaian Persaaan Schrödinger Potensial Shape Invariance dengan Faktor Sentrifugal Menggunakan Metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM) ini. Penyusunan tesis ini bertujuan untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Magister pada Program Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta. Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dari berbagai pihak, tesis ini tidak akan terwujud. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada: 1. Bapak Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta.. Bapak Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta, sekaligus sebagai Pembimbing II yang telah banyak memberikan banyak bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis sehingga mampu menyelesaikan tesis ini. 3. Ibu Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, selaku pembimbing I yang telah dengan sabar membimbing dan mengajari penulis, serta memberikan semangat kepada penulis untuk dapat menyelesaikan tesis ini. 4. Bapak/Ibu Dosen Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta yang commit telah memberikan to user banyak ilmu tentang fisika. v

digilib.uns.ac.id 5. Bapak Drs. Sunarno, selaku Kepala Sekolah SMP Muhammadiyah 04 Sambi, yang telah memberikan izin kepada penulis untuk melanjutkan studi ini. 6. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tesis ini. Penelitian ini didanai oleh Program Hibah Penelitian Tim Pascasarjana (HPTP) Universitas Sebelas Maret tahun 01 dengan nomer kontrak 345/UN7.16/PN/01. Surakarta, 01 Penulis vi

digilib.uns.ac.id ABSTRAK Heti Marini. S911008004. Penyelesaian Persamaan Schrödinger Potensial Shape Invariance dengan Faktor SentrifugalMenggunakan Metode Supersimetri Mekanika Kuantum(susyqm). Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing: (1). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, (). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D Penelitian ini bertujuan untuk menentukan spektrum energi dan fungsi gelombang beberapa potensial shape invariance dengan faktor sentrifugal, yaitu potensial Kratzer, potensial Morse, dan potensial Manning Rosen menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM). Penelitian ini merupakan studi literatur untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger potensial Kratzer, potensial Morse, dan potensial Manning Rosen dengan faktor sentrifugal secara analitik. Spektrum energi dan fungsi gelombang diperoleh melalui penyelesaian persamaan Schrödinger menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM), dimana spektrum energi ditentukan dengan menggunakan metode Operator Supersimetri dan metode Kuantisasi Supersimetri-WKB (SWKB), sedangkan Fungsi gelombang ditentukan dengan menggunakan metode Operator Supersimetri. Penentuan spektrum energi dengan metode operator supersimetri dilakukan dengan menggunakan sifat shape invariance, dan penentuan spektrum energi dengan metode kuantisasi SWKB dilakukan dengan menggunakan formula kuantisasi SWKB untuk kondisi simetri yang baik (unbroken symetry). Sedangkan persamaan fungsi gelombang tingkat dasar ditentukan menggunakan sifat dari operator penurun, dan untuk fungsi gelombang tingkat ke-n ditentukan dengan mengoperasikan operator penaik terhadap gelombang dasar. Spektrum energi dari potensial Kratzer, potensial Morse, dan potensial Manning Rosen dengan faktor sentrifugal yang ditentukan dengan menggunakan metode operator supersimetri hasilnya sama dengan spektrum energi dari potensial-potensial tersebut yang ditentukan dengan menggunakan metode SWKB. Spektrum energi dan fungsi gelombang untuk potensial Kratzer dapat ditentukan secara eksak untuk setiap bilangan kuantum orbital l, sedangkan untuk potensial Morse dan potensial Manning Rosen hanya dapat ditentukan secara eksak pada bilangan kuantum orbital l=0, sedangkan untuk bilangan kuantum l 0 baik spektrum energi maupun fungsi gelombangnya hanya dapat ditentukan dengan cara pendekatan. Kata Kunci: Persamaan Schrodinger, Potential Shape invariance, Faktor Sentrifugal, Supersimetri Mekanika Kuantum vii

digilib.uns.ac.id ABSTRACT Heti Marini. S911008004. Solution of Schrödinger Equation For Some Shape Invariance Potentials with The Centrifugal Term Using Supersymetry of Quantum Mechanics (susyqm). Thesis: Physics Department of Postgraduate Study Sebelas Maret University Surakarta. Advisor: (1). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, (). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D The purposes of the research were to determine the energy spectrum and wave function of someshape invariance potentials with centrifugal term, Kratzer Potential, Morse Potential, and Manning Rosen Potential using supersymetry of quantum mechanics (SUSYQM). The research was a literature study to solve Schrödinger equation for Kratzer Potential, Morse Potential, and Manning Rosen Potentialwith centrifugal term analytically. the energy spectrum and wave functionwere obtained by solving Schrödinger equation usingsupersymetry of Quantum Mechanics method, the energy spectrum was obtained using Supersymetry Operator and Supersymetry WKB (SWKB) quantization method, while the wave function was obtained using Supersymetry Operator Method.Using Operator Supersymetry, the spectrum energy was obtained by applying concept of shape invariance, while using SWKB quantization method, the spectrum energy was obtainedby SWKB quantizationformula for unbroken symetry. By applying the lowering operator on ground state wave function we get the ground state wave function, and the first excited wave function was obtained by applying raising operator on the ground state wave function, and so on. The energy spectrum obtained using SWKB quantization formula was equal to the result obtained using Supersymetry Operator. For Kratzer Potential, both the energy spectrum and the wave function can be solvedexactly for all values of orbital quantum numberl. But for both Morse and Manning potential only exactly solvable for orbital quantum numberl=0, while for l 0, both energy spectrum and the wave function obtained was only treated by approximation methods. Key words: Schrödinger Equation,Shape invariance Potential, Centrifugal Term, Supersymetryof Quantum Mechanics viii

digilib.uns.ac.id DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... HALAMAN PENGESAHAN. HALAMAN PERNYATAAN... KATA PENGANTAR... ABSTRAK... ABSTRACT... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMPIRAN... ii iii iv v vii viii ix xii xiii xiv BAB I. PENDAHULUAN... 1 A. Latar belakang... 1 B. Rumusan Masalah... 7 C. Tujuan Penelitian... 8 D. Batasan Masalah... 8 E. Manfaat Penelitian... 9 BAB II. DASAR TEORI... 10 A. Persamaan Schrödinger... 10 B. Persamaan Schrödinger dalam ruang Tiga Dimensi... 1 C. Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM)... 18 D. Potensial Shape Invariance... 1 ix

digilib.uns.ac.id E. Formula Kuantisasi Supersimetri WKB (SWKB)... 3 F. Potensial Kratzer dengan Faktor Sentrifugal... 5 G. Potensial Morse dengan Faktor Sentrifugal... 6 H. Potensial Manning Rosen dengan Faktor Sentrifugal... 8 BAB III. METODE PENELITIAN... 30 A. Waktu Dan Tempat Penelitian... 30 B. Objek Penelitian... 30 C. Instrumen Penelitian... 31 D. Prosedur Penelitian... 3 E. Diagram Penelitian... 33 BAB IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN... 34 A. Hasil Penelitian... 34 1. Persamaan Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang untuk Potensial Kratzer dengan Faktor Sentrifugal... 34. Persamaan Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang untuk Potensial Morse dengan Faktor Sentrifugal... 48 3. Persamaan Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang untuk Potensial Manning Rosen dengan Faktor Sentrifugal... 58 B. Pembahasan... 70 BAB V. KESIMPULAN, IMPLIKASI, DAN SARAN... 76 A. Kesimpulan... 76 B. Implikasi... 77 x

digilib.uns.ac.id C. Saran... 78 DAFTAR PUSTAKA... 79 xi

digilib.uns.ac.id DAFTAR GAMBAR Gambar.1.Koordinat Bola... 13 Gambar 3.1. Diagram Penelitian... 33 Gambar 4.1: Gelombang Tingkat Dasar Potensial Kratzer... 47 Gambar 4.: Gelombang Tingkat Dasar untuk Potensial Morse... 57 Gambar 4.3: Gelombang Tingkat Dasar Potensial Manning Rosen... 69 xii

digilib.uns.ac.id DAFTAR TABEL Tabel 4.1: Spektrum Energi Potensial Kratzer Molekul HCl... 46 Tabel 4.: Spektrum Energi Potensial Morse Molekul HCl... 56 Tabel 4.3: Spektrum Energi Potensial Manning Rosen Molekul HCl... 68 xiii

digilib.uns.ac.id DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Uraian Lengkap Penentuan Spektrum Energi Dan Fungsi Gelombang Potensial Kratzer... 81 Lampiran. Uraian Lengkap Penentuan Spektrum Energi Dan Fungsi Gelombang Potensial Morse... 95 Lampiran 3. Uraian Lengkap Penentuan Spektrum Energi Dan Fungsi Gelombang Potensial Manning Rosen... 107 xiv

digilib.uns.ac.id BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Persamaan Schrödinger dalam mekanika kuantum adalah persamaan yang mendeskripsikan bagaimana keadaan kuantum (quantum state) suatu sistem fisika yang berubah terhadap waktu. Persamaan ini merupakan hal pokok dalam mekanika kuantum, sebagaimana hukum Newton dalam mekanika klasik. Dalam mekanika kuantum, keadaan suatu sistem fisika (partikel) diinterpretasikan melalui sebuah fungsi gelombang dan spektrum energi (Griffiths, 1994). Berdasarkan kedua hal ini dapat diprediksikan perilaku suatu sistem partikel dalam alam semesta. Persamaan Schrödinger merupakan pilar penting dalam sistem mekanika kuantum.oleh karenanya teknik penyelesaian pada persamaan ini perlu mendapatkan perhatian yang cukup serius, mengingat meskipun rumusan matematis dari persamaan ini relatif sederhana yang hanya berupa persamaaan diferensial, namun pemecahan persamaan ini tetap membutuhkan pengetahuan matematika lanjut yang rumit. Terdapat beberapa jenis potensial dalam teori kuantum. Persamaan dari potensial potensial ini biasanya disajikan atau dinyatakan dalam bentuk umum, artinya potensial terkait dalam keadaan normal, atau tanpa dipengaruhi faktor lain, misalnya faktor gaya sentrifugal. Dalam keadaan kuantum tertentu, misalnya pada keadaan stasioner atau untuk momentum angular l=0, faktor

digilib.uns.ac.id gaya sentrifugal ini tidak berpengaruh. Namun pada keadaan kuantum dengan momentum angular l 0, faktor ini tidak dapat diabaikan. Permasalahan yang muncul adalah bahwa penyelesaian eksak dari pesamaan Schrödinger untuk beberapa jenis potensial dengan faktor sentrifugal hanya mungkin untuk momentum angular l=0. Akan tetapi untukl 0, penyelesaian hanya dapat dilakukan melalui sebuah metode pendekatan yang sesuai (Sameer, 011). Beberapa metode yang dapat digunakan diantaranya adalah metode klasik WKB(Gallas, 1983), AIM (asymptotic iteration method) (Al-Dossary, 007; Aygun,et al., 007); Bayrak, 006; Bayrak, 007), Nikivorov-Uvarov (NU)(Sameer, 011; Antia,et al, 010), Ekspansi 1/N (Hammed, 011), Faktorisasi (Dong, 007; Sadeghi, 007), Supersimetri (SUSY) Mekanika Kuantum (Cooper, et al, 001) dan lain-lain. Di antara metode-metode tersebut, metode SUSY Mekanika Kuantum merupakan salah satu metode layak menjadi pilihan, karena selain dengan menggunakan metode ini penyelesaian persamaan Schrödinger menjadi lebih sederhana karena persamaan Schrödinger yang merupakan persamaan differensial orde dua dapat difaktorkan menjadi persamaan differesial orde satu melalui sifat degenerasinya, dengan metode ini dapat diketahui spektrum energi terendah dan tertinggi dari suatu partikel dengan lebih akurat, yang tidak semua metode dapat melakukannya, misalnya metode kuantisasi semiklasik WKB. Sebagaimana diungkapkan oleh Anjana Sinha dan Rajumar Roychoudhurydalam artikel mereka yaitu bahwa metode ini dapat memberikan penyelesaian yang akurat pada bilangan kuantum yang besar, akan tetapi tidak

digilib.uns.ac.id cukup baik pada bilangan kuantum kecil. (Sinha, A and Roychoudhury, R,000). Metode SUSY mekanika kuantum merupakan sebuah metode yang dikembangkan seiring diperkenalkannya konsep simetri baru dalam fisika yaitu Supersimetri.Konsep ini telah mulai dikembangkan oleh para fisika teoritis baru dalam rangka mendukung perkembangan riset di bidang fisika pada saat ini yaitu mencari teori terpadu yang dapat menjelaskan perilaku partikel dan interaksinya di alam semesta. Supersimetri merupakan sebuah simetri yang dapat mempertukarkan antara boson dengan fermion atau sebaliknya. Dimana boson adalah partikel yang dideskripsikan dengan sebuah fungsi gelombang yang memiliki sifat simetri, sedangkan fermion merupakan partikel yang dideskripsikan oleh sebuah fungsi gelombang yang memiliki sifat antisimetri. Secara fisik, kedua jenis partikel ini sangat berbeda, dimana boson memiki spin berupa kelipatan bilangan bulat, sedangkan fermion memiliki spin berupa kelipatan setengah dari bilangan bulat. (Greiner, 1989) SUSY merupakan simetri tingkat tinggi yang tak lazim mengingat boson dan fermion memiliki perbedaan sifat yang mendasar. Misalnya, ketika fermion mengikuti prinsip larangan pauli, yang menyatakan bahwa dua buah atau lebih fermion identik tidak dapat menempati satu keadaan yang sama, sebaliknya dua buah atau lebih boson identik dapat menempati keadaan yang sama. Sehingga kecil kemungkinan untuk mempertukarkan keduanya. (Greiner, 1994).

digilib.uns.ac.id Pada awalnya, diyakini bahwa jika memang (partikel) supersimetri ini terbukti ada di alam, maka simetri ini pasti sudah rusak secara spontan. Dalam papernya, Edward Witten memaparkan secara khusus mekanisme perusakan supersimetri (supersymetry breaking) ini. (Witten, 1981). Namun seiring dengan perkembangan penelitian-penelitian yang telah dilakukan terusmenerus oleh para ilmuwan fisika, akhirnya pada hari Rabu, 4 Juli 01, Ilmuwan CERN secara resmi melaporkan hasil sementara dari data tahun 011 tentang keberadaan Higgs boson alias Partikel Tuhan, dalam sebuah konferensi pers di Jenewa. Partikel baru dengan massa sekitar 15-16 gigaelectronvolts (GeV) ini ditemukan lewat eksperimen ATLAS dan CMS menggunakan akselerator partikel terbesar, Large Hadron Collider, di Jenewa, Swiss.( tempo.co, 01). Higgs boson adalah istilah untuk suatu subatomik (Boson/partikel) yang mengisi massa melalui interaksinya dengan kehadiran medan lain yang tersebar di jagat raya ini. Semakin berinteraksi, maka boson itu akan semakin masif dan menjadi berisi dan berat. Oleh karena perannya sebagai pembentuk materi, maka partikel dianggap sebagai perantara yang memungkinkan terbentuknya bintang, planet dan juga kehidupan. Caranya adalah dengan memberi massa untuk sejumlah partikel dasar. Pada mekanisme Higgs, massa merupakan konsekuensi perusakan simetri di alam semesta yang dipicu keberadaan partikel Higgs. Hal ini lalu berperan menimbulkan fenomena ketidakseimbangan materi dan antimateri. (kompas.com, 01)

digilib.uns.ac.id Konfirmasi eksistensi Higgs boson juga akan membantu menjelaskan bagaimana menyatunya dua interaksi dasar semesta, yaitu gaya elektromagnetik yang menguasai interaksi antara partikel bermuatan dan gaya nuklir lemah yang bertanggung jawab dalam penguraian radioaktif.sebagaimana diketahui bahwa setiap gaya di alam semesta berhubungan dengan sebuah partikel. Partikel yang terikat dengan gaya elektromagnetik adalah photon. Sementara gaya nuklir lemah diasosiasikan dengan partikel boson W dan Z. Mekanisme Higgs diperkirakan sebagai alasan bisa terjadinya hal tersebut. (tempo.co, 01) Dampak lain dari penemuan Partikel Tuhan ini adalah supersimetri. Dalam supersimetri, setiap partikel memiliki partikel superpartner dengan sedikit perbedaan karakterstik. Supersimetri ini menarik karena dapat membantu menyatukan beberapa gaya lain di alam semesta. Bahkan, menawarkan kandidat partikel yang membentuk materi gelap (dark matter). Sementara itu, partikel yang diumumkan para ilmuwan di CERN memiliki rentang massa rendah pada 15.3 Gev. Ini merupakan tanda menuju supersimetri. Jika partikel Higgs boson ditemukan pada massa rendah, ini akan membuat supersimetri menjadi sebuah teori yang layak. Meskipun temuan ini masih bersifat sementara, namun layaklah kiranya jika konsep supersimetri menjadi mendapat perhatian kembali dari para fisikawan untuk terus mengembangkan teori fisika yang terkait dengan SUSY, termasuk juga dalam teori mekanika kuantum. Berbagai masalah dalam sistem mekanika kuantum dapat diselesaikan dengan konsep supersimetri.

digilib.uns.ac.id Sebagaimana dipaparkan oleh Cooper, et al., dalam bukunya (Cooper, et al, 001) bahwa beberapa aplikasi konsep supersimetri dalam mekanika kuantum, salah satunya adalah pemecahan masalah potensial shape invariance. Secara spesifik Metin Aktas dalam tesisnya (Aktas, 005) memaparkan aplikasi supersimetri dalam mekanika kuantum yaitu dalam penyelelesaian persamaan Schrödinger untuk beberapa potensial. Dalam sistem SUSY mekanika kuantum terdapat beberapa metode menentukan spektrum energi diantaranya adalah metode operator supersimetri (operator tangga), metode pendekatan variasi, δ-ekspansi, teknik 1/N ekspansi, serta metode pengembangan dari WKB yaitu Supersimetri WKB atau SWKB, dan lain-lain (Aktas, 005). Metode-metode ini memiliki tingkat kerumitan masing-masing. Sampai saat ini sudah ada beberapa artikel atau makalah yang membahas mengenai penerapan masing-masing metode supersimetri tersebut di atas, namun lebih sering digunakan secara terpisah. Umumnya, para peneliti sebelumnya menggunakan satu metode untuk menyelesaikan beberapa potensial, seperti Anjana Sinha dan Rajumar Roychoudhury, mereka menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk jenis potensial Potensial Poschl- Teller dan potensial Dua Trigonometri dengan menggunakan metode SWKB saja (Sinha, Aand Roychoudhury, R, 000). Atau, Metin Aktas, menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk jenis potensial Woods-Saxon, Morse, Hulthen, dan lain-lain dengan menggunakan metode Operator Supesimetri (Aktas, 005). Sehingga cukup sulit membuktikan, apakah metode-metode tersebut

digilib.uns.ac.id memberikan hasil yang sama, ataukah berbeda. Selain itu, belum banyak juga artikel yang membahas secara khusus mengenai cara menyelesaikan masingmasing jenis potensial mengingat terdapat beberapa bentuk persamaan potensial dalam mekanika kuantum, misalnya bentuk radial biasa, bentuk eksponensial, trigonometri, hiperbolik, dan lain-lain, maka perlu adanya contoh khusus langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk masing-masing jenis potensial tersebut. B. Rumusan Masalah Berdasarkan uraian dari latar belakang masalah di atas, maka dapat dituliskan rumusan masalahnya sebagai berikut: 1. Bagaimana persamaan spektrum energi dari beberapa jenis potensial shape invariance yang ditentukan dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM). Bagaimana persamaan fungsi gelombang dari beberapa jenis potensial shape invariance yang ditentukan dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM) C. Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah:

digilib.uns.ac.id 1. Menentukan persamaan spektrum energi dari beberapa jenis potensial shape invariance dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM). Menentukan persamaan fungsi gelombang dari beberapa jenis potensial shape invariance dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM) D. Batasan Masalah Pembahasan pada penelitian ini dibatasi pada: 1. Persamaan spektrum energi ditentukan dengan menggunakan metode Operator Supersimetri (operator tangga) dan Metode Kuantisasi Supersimetri WKB (SWKB). Sedangkan fungsi gelombang ditentukan dengan menggunakan metode operator supersimetri (operator tangga).. Jenis potensial shape invariance yang dibahas adalah Potensial Kratzer untuk tipe radial biasa, Potensial Morse untuk tipe eksponensial, dan Potensial Manning Rosen untuk tipe Hiperbolik. 3. Semua fungsi gelombang yang ditentukan dalam penelitian ini belum ternormalisasi (N=1). E. Manfaat Penelitian 1. Manfaat Teoritis

digilib.uns.ac.id Langkah-langkah penyelesaian persamaan Schrödingerdengan menggunakan Metode Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM), khususnya metode Operator Supersimetri dan Metode kuantisasi SWKB untuk jenis potensial dengan bentuk persamaan radial biasa (Potensial Kratzer), bentuk persamaan eksponensial (Potensial Morse), dan bentuk persamaan hiperbolik (Potensial Manning Rosen) dapat digunakan sebagai alternatif contoh untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger untuk jenis potensial yang lain yang bertipe sama.. Manfaat Praktis Solusi dari persamaan Schrödinger untuk jenis potensial terkait yang berupa spektrum energi dan fungsi gelombang dapat digunakan untuk meramalkan perilaku sistem dan interaksinya dengan sistem lain sehinggadapat memberikan struktur sistem fisika yang utuh yang selanjutnya dapat dimanfaatkan untuk pengembangan bidang lain.

digilib.uns.ac.id 10 BAB II DASAR TEORI A. Persamaan Schrödinger Persamaan Schrödinger dalam mekanika kuantum adalah persamaan yang mendeskripsikan bagaimana keadaan kuantum (quantum state) suatu sistem fisika yang berubah terhadap waktu. Dalam mekanika kuantum, keadaan suatu sistem fisika (partikel) diinterpretasikan melalui sebuah fungsi gelombang dan spektrum energi (Griffiths, 1994). Pada prinsipnya, energi partikel dalam mekanika kuantum adalah sama dengan energi mekanik atau energi total dalam mekanika klasik, hanya saja variabel-variabel dalam mekanika klasik berperan sebagai operator (Suparmi, 011). Apabila sebuah partikel yang memiliki massa m yang bergerak sepanjang sumbu x dan mengalami gaya konservatif F (x,t), dimana F (x,t) dapat dituliskan sebagai gradient dari energi potensial V (x,t). Secara klasik, energi total yang dimiliki partikel tersebut dapat dituliskan sebagai, (Griffiths, 1994) E = p + V x, t (.1) m dimana p m merupakan energi kinetik partikel, dan p adalah momentum partikel. Dalam pendekatan mekanika kuantum, variabel-variabel pada pers.(.1) diubah menjadi operator dimana, E = i t dan p = i x.

digilib.uns.ac.id 11 Selanjutnya operator-operator ini dioperasikan terhadap fungsi gelombang ψ(x, t), sehingga pers. (.1) dapat ditulis, (Suparmi, 011) ψ x,t i t = m x ψ x, t + V x, t ψ x, t (.) Pers.(.) merupakan persamaan Schrödinger satu dimensi fungsi posisi dan waktu. Persamaan ini dapat diuraikan menjadi fungsi posisi saja atau fungsi waktu saja dengan cara menyelesaikan persamaan differensial orde dua tersebut dengan menggunakan metode pemisahan variabel. Dengan memisalkan ψ x, t = ψ x T t, maka pers.(.) dapat ditulis, ψ(x)i t T t = m T t ψ(x) + V x, t ψ(x)t t (.3) x jika masing-masing ruas dibagi dengan ψ x T t, maka 1 T t i t T t = m 1 ψ x x ψ x + V x = E (.4) Berdasarkan pers.(.4) dapat diperoleh, T t = Ne i Et (.5a) dengan N adalah konstanta normalisasi. Dan, m x ψ x + V x ψ x = Eψ x (.5b) Pers.(.5b) merupakan persamaan Schrödinger stasioner satu dimensi bebas waktu. Persamaan ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk, Hψ x = Eψ x (.6) dengan H adalah operator Hamiltonian[Griffiths, 1994]. Pers.(.6) ini sering disebut sebagai persamaan nilai eigen (eigenvalue), dimana E disebut eigen nilai (eigen value) dan ψ merupakan eigen fungsi (eigen function) (Greiner, 1989). Persamaan ini dapat diartikan

digilib.uns.ac.id 1 bahwa jika operator hamiltonian dioperasikan/ bekerja pada suatu fungsi gelombang tertentu maka akan menghasilkan kembali fungsi gelombang tersebut yang dikalikan suatu konstanta E. Berdasarkan pers. (.5b) dan (.6) Operator Hamiltonian (H) yang merupakan energi total partikel untuk sistem satu dimensi dapat dituliskan sebagai, H = m x + V x (.7) Dengan membandingkan pers.(.1) dan pers.(.7) dapat dilihat bahwa persamaan energi total (E) diubah menjadi Operator Hamiltonian (H) dalam mekanika kuantum. Prinsip ini sering disebut prinsip korespondensi. (Suparmi, 011) B. Persamaan Schrödinger dalam Ruang Tiga Dimensi Persamaan Schrödinger untuk sistem satu dimensi yang dinyatakan dalam pers.(.5b) dapat diperluas ke dalam sistem tiga dimensi yang dapat dituliskan sebagai berikut,(griffiths, 1994). m ψ + Vψ = Eψ (.8) Dimana adalah Laplasian dalam koordinat kartesian. Ruang tiga dimensi umumnya digambarkan sebagai ruang pada permukaan bola. Dalam koordinat bola (r, θ, φ), Laplasian ( ) dinyatakan sebagai, = 1 r r r r sin θ θ + 1 r sin θ θ + 1 r sin θ φ (.9)

digilib.uns.ac.id 13 Sehingga pers.(.8) dapat ditulis kembali menjadi, m 1 r r r ψ r + 1 r sin θ θ ψ sin θ θ + 1 ψ r sin θ + Vψ = Eψ (.10) Pers. (.10) ini merupakan persamaan Schrödinger sistem tiga dimensi bebas waktu. Umumnya energi potensial adalah fungsi yang hanya tergantung pada jarak partikel terhadap titik pusat (r) saja, sedangkan bagian sudut biasanya sama (tidak berubah) untuk semua potensial yang bersimetri bola. Oleh sebab itu, untuk menyederhanakan penyelesaian, maka terlebih dahulu persamaan dipisahkan menjadi dua, yaitu bagian radial dan bagian sudut dengan metode pemisahan variabel. Apabila ψ r, θ, = R r Y θ,, maka pers.(.10) dapat ditulis, m Y d r dr r dr dr + R r sin θ θ Y sin θ + R θ r sin θ Y + V RY = E RY (.11) z p θ r y x Gambar.1. Koordinat Bola: Jari-jari r, Sudut Polar θ, dan Sudut Azimut φ

digilib.uns.ac.id 14 Jika masing-masing ruas dibagi dengan YR, dan mengalikannya dengan mr maka diperoleh, 1 d R dr r dr dr mr V r E + 1 Y 1 sin θ θ Y sin θ + 1 Y θ sin θ = 0 (.1) Dapat dilihat pada pers.(.1) bahwa suku pertama hanya bergantung pada r, dan suku kedua hanya bergantung pada sudut θ dan. Dapat terlihat juga bahwa kedua suku identik, sehingga keduanya harus sama dengan konstanta. Dalam kasus ini konstanta pemisahan variabel ini definisikan sebagai faktor momentum anguler, yaitu l l + 1, Sehingga apabila kedua suku pada pers. (.1) dipisahkan, maka diperoleh dua persamaan differensial orde dua, yaitu fungsi radial dan fungsi sudut. Dimana fungsi radial dituliskan sebagai, 1 d R dr r dr dr mr V r E = l l + 1 (.13) Dan fungsi sudut dituliskan sebagai, 1 Y 1 sin θ θ Y sin θ θ + 1 Y sin θ = l l + 1 (.14) a. Persamaan Schrödinger Pada Bagian Radial Pers.(.13), yaitu persamaan Schrödinger untuk sistem tiga dimensi pada bagian radial dapat disederhanakan dengan memisalkan fungsi gelombang baru,(suparmi, 011) R = ψ r (.15) Sehingga diperoleh, dr = 1 dψ dr r dr ψ r dan 1 R d dr commit dψto user r 1 ψ r dr r = r R d ψ dr. (.16)

digilib.uns.ac.id 15 Jika pers.(.16) disubtitusikan ke pers.(.13) dan dengan penjabaran sederhana maka persamaan Scrhödinger bagian radial dapat ditulis kembali menjadi Atau, r R r R d ψ dr mr V r E = l l + 1 (.17) d ψ + mr E mr V r = l l + 1 (.18) dr Jika masing-masing ruas pada pers.(.18) dikalikan dengan R mr, dengan R = ψ r maka persamaan menjadi, mr d ψ + ψ E ψ V r = ψ l l + 1 (.19) dr r r mr r Sehingga diperoleh, d ψ m dr + Eψ V r ψ = l l + 1 mr ψ (.0) Atau dapat ditulis, m Dimana, d ψ + V r + dr m l l+1 r ψ = Eψ (.1) V eff = V r + l l+1 (.) m r V eff didefinisikan sebagai potensial efektif, dan m l l+1 r sebagai faktor gaya sentrifugal. Dengan = h = 1,054573 π 1034 Js, dan l merupakan bilangan kuantum orbital (l = 0, 1,, ), sedangkan m adalah massa atom tereduksi. (Griffiths, 1994).

digilib.uns.ac.id 16 Dapat dilihat bahwa pers.(.1) ini identik dengan persamaan Scrhödinger untuk sistem satu dimensi (.5b). b. Persamaan Schrödinger Pada Bagian Sudut Pers.(.14) merupakan persamaan Schrödinger bagian sudut (angular). Pada bagian ini fungsi gelombang ψ hanya tergantung pada sudut θ dan saja. Jika masing-masing ruas dikalikan dengan Y sin θ diperoleh, sin θ θ Y sin θ θ + Y = l l + 1 Ysin θ (.3) Dapat dilihat pada pers.(.3) persamaan masih tergantung pada dua variabel yaitu θ dan. Sebagaimana sebelumnya, maka dilakukan pemisahan variabel, Y θ, = θ (.4) Jika persamaan ini dimasukkan ke pers.(.3) dan dengan membagi masing-masing ruas dengan diperoleh, 1 sin θ θ sin θ θ + l l + 1 sin θ + 1 = 0 (.5) Dapat dilihat pada pers.(.5) persamaan terbagi menjadi dua, fungsi yang pertama hanya bergantung pada variabel θ, dan fungsi yang kedua hanya tergantung pada saja. Sehingga keduanya harus sama dengan konstanta. Konstanta pemisahan ini didefinisikan sebagai bilangan kuantum magnetik, m ; sehingga diperoleh, 1 sin θ θ sin θ θ + l l + 1 sin θ = m (.6)

digilib.uns.ac.id 17 Atau, sin θ d dθ d sin θ dθ + l l + 1 sin θ m = 0 (.7) Dan 1 = m atau 1 + m = 0 (.8) Pers.(.7) merupakan persamaan polar, dan pers.(.8) merupakan persamaan azimut. (Griffiths, 1994). Apabila pers.(.7) dikalikan dengan sin θ maka diperoleh, 1 d sin θ dθ d sin θ dθ + l l + 1 m sin θ = 0 (.9) Jika dimisalkan = Q sin θ d, dan = 1 dq 1 dθ sinθ dθ cosθ sin 3 θ Q, maka, 1 sinθ θ d sinθ dθ = 1 sin θ θ sinθ dq dθ 1 cosθ sinθ Q = 1 d Q + 1 sinθ dθ Q sinθ + 1 4 cos θ sinθ 5 Q (.30) Jika pers. (.30) ini disubtitusikan ke pers.(.9) maka diperoleh, 1 d Q + 1 sinθ dθ Q sinθ + 1 4 cos θ sinθ 5 Q + l l + 1 Q m sinθ sin θ Q sinθ = 0 (.31) Atau, d Q cos θ dθ + Q + 1 4 sin θ Q + l l + 1 Q m sin θ Q = 0 (.3) Karena cos θ = 1 sin θ, maka melaui penjabaran sederhana diperoleh, d Q + 1 m Q Q + l + 1 dθ 4 sin θ sin θ Q = 0 (.33) Jika masing-masing dikalikan m maka, d Q m dθ m 1 4 sin θ Qcommit l to + user 1 Q + m m m sin θ Q = 0 (.34)

digilib.uns.ac.id 18 Atau dapat ditulis sebagai berikut, d Q + m dθ m m 1 4 sin θ Q = l + 1 m Q (.35) Dimana Q merupakan fungsi gelombang bagian polar. Dengan demikian persamaan Schödinger untuk sistem tiga dimensi yang merupakan koordinat bola yang dinyatakan dalam pers.(.10) dapat dipisahkan menjadi tiga persamaan diferensial orde dua yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel saja. C. Supersimetri Mekanika Kuantum (SUSYQM) Pemeran utama supersimetri mekanika kuantum adalah operatoroperator supermuatan. Witten mendefinisikan sistem supersimetri mekanika kuantum sebagai sistem yang terdiri dari operator supermuatan Q i yang komut dengan Hamiltonian Supersimetri (H SS ),(Witten, 1981) Q i, H SS = 0 dan i = 1,,,N (.36) dimana N adalah banyaknya generator dan memenuhi hubungan anti komutasi, Q i, Q j = δ ij H ss (.37) Hamiltonian supersimetri (H ss ) didefinisikan sebagai jumlah kuadrat dari operator supermuatan (Q i ) H ss = Q 1 = Q (.38) Untuk sistem SUSY yang paling sederhana, N=, dengan operator super muatan Q 1 dan Q yang mana dapat diasosiasikan dengan partikel

digilib.uns.ac.id 19 mempunyai spin 1 yang bergerak pada garis lurus. Dalam sistem yang sederhana ini, Q 1 dan Q didefinisikan sebagai Q 1 = 1 σ 1 p m + σ W x dan, Q = 1 σ p m σ 1W x (.39) dimana σ 1 dan σ adalah matriks dari Pauli.[Suparmi, 011] H ss adalah supersimetri Hamiltonian, p = iħ d, adalah dx momentum linear (momentum bosonik), x adalah koordinat bosonik, W(x) adalah superpotensial bosonik. Dengan menggunakan pers.(.37) dapat ditunjukkan bahwa H ss = ħ m d dx + W (x) + ħ dw(x) m dx 0 ħ m d 0 dx + W (x) ħ dw(x) m dx = H + 0 0 H (.40) dimana, H = ħ m d dx + W (x) ħ dw(x) m dx, dan (.40a) H + = ħ m d dx + W (x) + ħ dw(x) m dx (.40b) Sehingga dapat dikatakan Persamaan (.36) menyebabkan timbulnya energi terdegenerasi H dan H +, yang merupakan SUSY partner Hamiltonian Fermionik (penurun) dan Bosonik (penaik),dan keduanya juga dituliskan sebagai H ss. Dengan demikian persamaan Schrodinger standard dapat dinyatakan dalam Hamiltonian SUSY sebagai berikut, H = ħ m d dx + V (x), dengan V x = W x m W x (.41) Dan,

digilib.uns.ac.id 0 H + = ħ m d dx + V +(x),dengan V + (x) = W x + m W x (.4) Dimana V x danv + x disebutpasangan potensial supersimetri, dan W x adalah Superpotensial. Sedangkan W x merupakan turunan pertama dari W x. Berdasarkan pers.(.40a) dan (.40b) masing-masing persamaan Hamiltonian SUSY dapat difaktorkan sebagai berikut, untuk Hamiltonian penurun dan Hamiltonian penaik berturut-turut dinyatakan sebagai berikut, H = A + A, dan H + = AA + (.43) Dimana, A + = m d d dx + W x dan A = m dx + W x (.44) Dengan, A + disebut operator penaik (raising operator), dan A sebagai operator penurun (lowering operator). (Witten, 1981; Rodrigues, 00; Fabre and Odelin, 010) Berdasarkan sifat dari operator penurun (A), yaitu apabila operator penurun (A) dioperasikan fungsi gelombang tingkat dasar ψ 0, maka akan sama dengan nol (karena sudah tidak ada lagi fungsi gelombang di bawah fungsi gelombang tingkat dasar) (Cooper,et al., 001), Aψ 0 = 0 (.45) Atau, d m Sehingga diperoleh, + W x ψ dx 0 = 0 (.46) ψ 0 x = N exp m W x dx x (.47)

digilib.uns.ac.id 1 dengan N adalah faktor normalisasi. Dan, W x = m dψ 0 ψ 0 = m lnψ 0 (.48) D. Potensial Shape Invariance Sepasang potensial supersimetri (SUSY), yaitu V x dan V + x dapat dikatakan shape invariance jika kedua potensial tersebut memiliki bentuk yang sama, hanya dibedakan oleh sebuah parameter yang ada pada mereka. Ditinjau pasangan potensial V ± (x; a j ) dimana a j adalah sebuah set dari parameter, sepasang potensial dikatakan shape invariance bila sepasang potensial ini memenuhi syarat berikut: (Cooper, et al., 001) V + x; a j = V x; a j +1 + R a j +1 (.49) Dengan, V + x; a j = W x, a j + ħ m W x, a j (.49a) V x; a j = W x, a j ħ m W x, a j (.49b) Dimana j = 0,1,,, sedangkan parameter a ditentukan secara rekursif (berturutan), a j +1 = f(a j ) dan R(a j ) adalah konstanta yang tidak bergantung dengan x. Hubungan antara Hamiltonian Standard (pers..7) dan Hamiltonian SUSY (.41) dinyatakan sebagai, (Anjos, et. al., (008), Suparmi, (011) H = H + E 0 = ħ m d dx + V x; a 0 + E 0 (.50) Maka berdasarkan persamaan eigen nilai (pers..6) diperoleh, E n = E () n + E 0 (.51)

digilib.uns.ac.id Dimana E 0 merupakan energi tingkat dasar pada pasangan Hamiltonian penurun. Dengan membandingkan pers.(.7) dan(.50) diperoleh hubungan antara V x dan V x sebagai berikut, V x = V x; a 0 + E 0 = W x, a 0 ħ m W x, a 0 + E 0 (.5) Dimana V x sering dinyatakan sebagai Potensial Efektif (V eff ). Sedangkan W x ditentukan dengan dugaan/ perkiraan secara intelektual berdasarkan bentuk potensial efektif sistem terkait. Berdasarkan sifat shape invariance, dapat ditentukan spektrum energi dari pasangan potensial. Untuk tujuan tersebut, berikut akan di konstruksi sederet Hamiltonian yaitu H k, dimana k = 0, 1,, Dengan mengulang prosedur sifat shape invariance, diperoleh, H k = ħ m d + V dx x; a k + i=1 R(a i ) (.53) energi (eigenvalues) dari H adalah sama dengan k Dimana a k = f k1 a 1, f k1 berarti fungsi tersebut diaplikasikan k 1 kali. Jika diambil k k + 1 pada pers. (.53), maka diperoleh H k = ħ m = ħ m d + V dx x; a k+1 + i=1 R(a i ) d k k1 + V dx + x; a k + i=1 R(a i ) (.54) Di sini H k dan H k+1 merupakan pasangan Hamiltonian SUSY dimana keduanya memiliki spektrum energi yang sama kecuali untuk spektrum tingkat dasar, yang hanya dimiliki oleh Hamiltonian penurun saja. Berdasarkan pers.(.50) dan (.54), dapat diketahui bahwa spektrum

digilib.uns.ac.id 3 E n () = n k=1 R(a k ) (.55) Maka spektrum energi dari Hamiltonian dengan potensial V x adalah E n = E n () + E 0 = n k=1 R(a k ) + E 0 (.56) Fungsi gelombang ψ n x; a 0 dapat dijabarkan dari fungsi gelombang keadaan dasar ψ 0 x; a 0 dengan metode operator yang diperoleh dari operasi berantai operator penaik A + terhadap gelombang tingkat dasar, atau ψ n x; a 0 ~ A + x; a 0 A + x; a 1 A + x; a n1 ψ 0 x; a n (.57) ψ n x; a 0 ~A + x; a 0 ψ n1 x; a 1 (.58) Dengan analog diperoleh ψ n+1 x; a 0 ~A + x; a 0 ψ n x; a 1 (.59) E. Formula Kuantisasi Supersimetri WKB (SWKB) Metode SWKB ini merupakan pengembangan dari metode semiklasik WKB. Nama WKB ini diambil dari singkatan nama para penemunya, yaitu Wentzel, Kramers, dan Brillouin. (Sinha, A and Roychoudhury, R., 000). Seperti telah diketahui bahwa metode WKB memiliki kelemahan dalam hal pendekatan matematik yang digunakan, yaitu adanya koreksi Langer. Berikut adalah ulasan singkat mengenai konversi matematis metode semiklasik WKB menjadi SWKB. Kuantisasi pendekatan semiklasik WKB pada orde terendah untuk potensial satu dimensi V x adalah, (Cooper et al., 001)

digilib.uns.ac.id 4 b a E V x dx = n + 1 π (.60) Sebagaimana telah disebutkan sebelumnya bahwa fungsi energi E dapat dinyatakan dengan Hamiltonian (H). Dalam SUSY, Hamiltonian dipisahkan menjadi dua macam yaitu, Hamiltonian Penaik (H + ) dan Hamiltonian Penurun (H ). Demikian juga potensialnya, berturut-turut (V + ) dan (V ). Sehingga persamaan Hamiltonian Penurun (H_) Supersimetri-WKB (SWKB) diperoleh, b a E n V (x) dx = n + 1 π (.61) diperoleh Dengan memasukkan nilai V (x) pada pers.(.41) ke pers.(.61) b a m (E n () (W x m W x ) dx = (n + 1 )π (.6) Dimana n = 0, 1,,...dan a, b adalah titik balik. Jika a dan b, dimasukkan ke persamaan diperoleh, W a m W a = W b m W b = E n (). Dengan mengekspansikan ruas kiri pada pers.(.6) pada pangkat diperoleh, b a m (E n () W x dx + b a W x dx E n W x = (n + 1 )π (.63) Dimana, W a = W b = E n (), sehingga b a W x dx E n () W x = sin1 W(b) E n () 1 W(a) sin () E n = 1 π (.64)

digilib.uns.ac.id 5 Dengan mensubtitusikan hasil dari pers.(.64) ke pers.(.63) maka pers.(.6) dapat dituliskan menjadi, b a m (E n W x dx = nπ (.65) Persamaan (.65) merupakan persamaan umum tingkat energi SWKB untuk simetri baik (unbroken symetry). Sedangkan persamaan umum tingkat energi SWKB untuk kondisi simetri rusak (broken symetry) dituliskan sebagai, b a m (E n W x dx = n + 1 π (.66) Faktor 1 π pada pendekatan WKB standar dapat dipandang sebagai energi tingkat nol pada boson, yang didalam teori SUSY untuk konsisi yang baik secara eksak dapat dihilangkan dengan bentuk fermion. F. Potensial Kratzer Dengan Faktor Sentrifugal Potensial Kratzer dinyatakan sebagai, (Flügge, 1971) a V r = D a 1 (.67) r r Dimana D merupakan Energi Disosiasi (peruraian), a adalah jarak keseimbangan/ kestabilan antar inti atom, dan r adalah jarak antar inti atom pada posisi tertentu. Jika a <<< r, maka potensial ini dapat dipresentasikan dalam bentuk potensial Coulomb V r = Ze, dengan r Da = Ze. Model potensial ini umumnya digunakan untuk menyelidiki spektrum rotasi-vibrasi dari molekul beratom dua, dimana salah satu atom jauh lebih masif dari yang lain. commit Atom to yang user lebih masif ini diam dan dianggap

digilib.uns.ac.id 6 sebagai koordinat, sedangkan atom yang lain bergerak mengelilinginya dalam kulit bola. Dalam keadaan stabil, yaitu ketika r = a, maka V a = D minimum. Berdasarkan pers.(.) dan pers.(.67), maka persamaan potensial efektif dari Potensial Kratzer untuk l 0dapat ditulis sebagai V eff = D a r 1 a r + m l l+1 r (.68) G. Potensial Morse dengan Faktor Sentrifugal Potensial Morse digunakan untuk mendeskripsikan interaksi antara dua atom di dalam molekul yang beratom duayang dinyatakan sebagai, (Flügge, 1971) V x = D e αx e αx ; x = rr 0 r 0 (.69) dimana, D merupakan Energi Disosiasi (peruraian), r adalah jarak orbital elektron terhadap inti dari molekul beratom dua, dan r 0 adalah jarak keseimbangan antar inti atom. Sedangkan dan α adalah konstanta penyesuaian. Berdasarkan pers.(.) dan pers.(.69) maka persamaan potensial efektif dari Potensial Morse untuk l 0 dapat ditulis sebagai V eff = D e αx e αx + m l l+1 r (.70) Dengan l merupakan bilangan kuantum dan m adalah massa atom tereduksi. ditulis sebagai, Karena x = rr 0 r 0, maka r = r 0 x + 1. Sehingga pers.(.71) dapat

digilib.uns.ac.id 7 V eff = D e αx e αx + Dengan mengekspansikan faktor x + 1 diperoleh, m l l+1 r 0 x + 1 (.7) x + 1 = 1 x + 3x + (.73) Persamaan ini dirubah dalam bentuk eksponensial. Dengan asumsi bahwa suku ke-4 dan seterusnya sangat kecil, maka penyelesaian ini diambil sampai suku ke-3 saja. Dimisalkan suatu persamaan eksponensial sebagai berikut, Dimana, 1 x + 3x = C 0 + C 1 e αx + C e αx (.74) e αx = 1 αx + α x +, dan e αx = 1 αx + 4α x + (.75)! Jika pers. (.75) disubtitusikan ke dalam pers. (.74) diperoleh,! 1 x + 3x = C 0 + C 1 1 αx + α x Atau,! + C 1 αx + 4α x! (.76) 1 x + 3x = C 0 + C 1 + C C 1 + C αx + C 1 + 4C α x (.77) Dengan membandingkan komponen ruas kiridan ruas kanan dari pers.(.77) dapat diperoleh, C 0 + C 1 + C = 1; C 1 + C = α C 1 + 4C = 6 α (.78a) (.78b) (.78c) Dengan metode subtitusi diperoleh, C 0 = 1 3 + 3 ; C α α 1 = 4 6 ; dan C α α = 1 + 3 α α (.78d)

digilib.uns.ac.id 8 Dengan mensubtitusikan pers. (.78d) ke dalam pers.(.74), maka pers.(.73) dapat dituliskan sebagai berikut, x + 1 = 1 3 α + 3 α + 4 α 6 α eαx + 1 α + 3 α eαx (.79) Sehingga secara lengkap persamaan potensial efektif untuk potensial Morse dapat dituliskan kembali sebagai, V eff = D e αx e αx + Atau, m l l+1 r 0 1 3 α + 3 α + 4 α 6 α eαx + 1 α + 3 α eαx (.80) V eff = A 0 A 1 e αx + A e αx (.81) Dengan, A 0 = l l+1 m r 1 3 + 3 0 α α A 1 = D l l+1 4 6 m r 0 α α A = D + l l+1 m r 1 + 3 0 α α (.81a) (.81b) (.81c) H. Potensial Manning Rosen dengan Faktor Sentrifugal Potensial Manning Rosen merupakan salah satu potensial yang digunakan sebagai model matematika untuk mendeskripsikan vibrasi dari molekul beratom dua. Persamaan potensial ini dinyatakan sebagai, V r = υ υ1 mα sinh r α q mα coth r α (.8) Dimana υ dan q merupakan dua parameter yang tak berdimensi, sedangkan α merupakan dimensi dari panjang, dan r adalah jarak antar inti dari kedua atom. (Sameer, 011; Antia, AD,et al.,010; Hammed, 011). Untuk υ = 0 atau υ = 1, Potensial Manning Rosen potential berubah menjadi Potensial Hulthen Potential (Sameer, 011; Antia, AD,et al.,010).

digilib.uns.ac.id 9 Berdasarkan pers.(.) dan pers.(.8) maka persamaan potensial efektif dari Potensial Manning Rosen untuk l 0 dapat ditulis sebagai V eff = υ υ1 mα sinh r α q coth r + l l+1 (.83) mα α m r Jika e r α e r α = sinh r α, dimana, e r α = 1 + r α + r α Dengan mengambil dua suku pertama, maka diperoleh! + (.84) e r α e r α 1 + r α 1 r α = r α Sehingga, r α = sinh r α, dan sinh r α = r α. Jika r α (.85) <<< 1, maka sinh r r dan α α sinh r = r α α, maka diperoleh r = α sinh r. Sehingga α persamaan potensial efektif dari potensial Manning Rosen (pers.(.83)) secara lengkap dapat dituliskan kembali sebagai berikut, V eff = mα υ υ1 sinh r α q coth r α + m l l+1 α sinh r α (.86) Atau, V eff = υ υ 1 mα sinh r α q mα coth r α (.87) Dengan, υ = υ 1 + l l + 1 + 1

digilib.uns.ac.id 30 BAB III METODOLOGI PENELITIAN A. Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilaksanakan mulai bulan September 011 sampai bulan Juli 01 di Fakultas Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta. B. Objek Penelitian Objek dalam penelitian ini adalah persamaan potensial efektif dari beberapa jenis potensial shape invariance, diantaranya yaitu: 1. Potensial Kratzer V eff = D a r 1 a + r mr l l + 1 (3.1). Potensial Morse V eff = A 0 A 1 e αx + A e αx (3.) Dengan, A 0 = l l+1 m r 1 3 + 3 0 α α A 1 = D l l+1 4 6 m r 0 α α A = D + l l+1 m r 1 + 3 0 α α (3.a) (3.b) (3.c) 3. Potensial Manning Rosen V eff = υ υ 1 mα sinh r α q mα coth r α (3.3) Dengan, υ = υ 1 1 commit + l l + to 1 user +

digilib.uns.ac.id 31 C. Instrumen Penelitian Instrumen yang digunakan dalam penelitian ini berupa persamaanpersamaan dalam metode Supersimetri Mekanika Kuantum, diantara yaitu: 1. Persamaan umum hubungan antara potensial efektif (potensial standard) dan potensial supersimetri V eff = V x; a 0 + E 0 (3.4). Persamaan pasangan potensial supersimetri shape invariance V + x; a j = V x; a j +1 + R a j +1 (3.5) Dengan, V x; a j = W x, a j ħ m W x, a j (3.5a) V + x; a j = W x, a j + ħ m W x, a j (3.5b) 3. Persamaan umum tingkat energi ke-n untuk Hamiltonian Penurun E n () dengan metode operator SUSY E n () = n k=1 R(a k ), (3.6) Dimana R a k = V + x; a k1 V x; a k (3.7) 4. Persamaan umum tingkat energi ke-n SWKB untuk Hamiltonian Penurun E n () b a m (E n W x dx = nπ (3.8) 5. Persamaan umum spektrum energi tingkat ke-n dengan metode SUSY E n = E n () + E 0 (3.9)

digilib.uns.ac.id 3 6. Persamaan fungsi gelombang tingkat dasar ψ 0 x = N exp m 7. Persamaan Operator Penaik x W x dx (3.10) A + = d m dx + W x (3.11) 8. Persamaan fungsi gelombang tingkat ke-n ψ n x; a 0 ~A + x; a 0 ψ n1 x; a 1 (3.1) D. Prosedur Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan persamaan spektrum energi dan fungsi gelombang dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanika Kuantum dengan langkah langkah sebagai berikut: 1. Menentukan persamaan superpotensial W(x) berdasarkan potensial efektif terkait dan energi tingkat dasar (E 0 ) dengan menggunakan persamaan (3.5) dan persamaan potensial efektif dari potensial terkait (pers. (3.1), (3.), atau (3.3)). Menentukan persamaan pasangan potensial supersimetri V ± x; a j dan R a j dengan menggunakan persamaan (3.4), (3.4a), dan (3.4b) 3. Menentukan persamaan umum tingkat energi ke-n dengan Metode Operator Supersimetrimenggunakan persamaan (3.6), (3.7) dan (3.9) 4. Menentukan persamaan umum tingkat energi ke-ndengan metode SWKByaitu dengan menggunakan persaman (3.8) dan (3.9) 5. Menentukan persamaan fungsi gelombang tingkat dasar ψ 0 dengan menggunakan persamaan commit (3.10) to user

digilib.uns.ac.id 33 6. Menentukan persamaan fungsi gelombang tingkat ke-n(ψ n )dengan menggunakan persamaan (3.11) dan (3.1) E. Diagram Penelitian (flow chart) Persamaan Potensial Efektif ( ) Menentukan Persamaan Superpotensial Menentukan Persamaan Energi Tingkat Dasar Metode Operator Supersimetri Metode SWKB Menentukan Persamaan Fungsi Gelombang Tingkat Dasar Menentukan Persamaan Energi Tingkat ke-n untuk Hamiltonian Penurun E n () Menentukan Persamaan Fungsi Gelombang Tingkat ke-1 Persamaan Energi Tingkat ke-n untuk Hamiltonian Penurun E n ANALISA Gambar 3.1. Diagram Penelitian

digilib.uns.ac.id 34 BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. Hasil Penelitian 1. Persamaan Tingkat Energi dan Fungsi Gelombang untuk Potensial Kratzer dengan Faktor Sentrifugal Berdasarkan pers.(.17), persamaan Schrödinger untuk potensial Kratzer dengan faktor sentrifugal dapat dituliskan sebagai berikut; Atau, d ψ + D a 1 a + l l+1 ψ = Eψ (4.1) m dr r r m r d ψ + A + B ψ = Eψ (4.) m dr r r dengan A = Da, dan B = Da + m l l + 1. Penyelesaian persamaan Schrödinger yang berupa persamaan fungsi gelombang ψ dan spektrum energi Euntuk potensial Kratzer dengan faktor sentrifugal ini dapat dilakukan dengan menggunakan metode Supersimetri Mekanikan Kuantum (SUSYQM) dengan langkah-langkah seperti pada prosedur penelitian. Berdasarkan bentuk persamaan potensial efektif potensial Kratzer pada pers.(4.), dapat dimisalkan persamaan superpotensialnya sebagai berikut, W r = F + G r (4.3) Dengan menggunakan commit persamaan to user (3.5) yaitu,

digilib.uns.ac.id 35 V eff = V x; a 0 + E 0 Atau, V eff E 0 = W r m W r (4.4) maka diperoleh, A r + B r E 0 = F + FG r + G r + m G r (4.5) Dengan menyamakan ruas kiri dan kanan, diperoleh G = B + 8m + F = A B+ m m (4.6) (4.7) berikut, Dan diperoleh persamaan spektrum energi tingkat dasar sebagai E 0 = A 4 B+ m (4.8) Dengan mensubtitusikan pers.(4.6) dan (4.7) ke pers.(4.3), maka persamaan superpotensial untuk potensial kratzer dapat ditulis kembali sebagai, W r = A B+ m B+ m r (4.9) Sehingga, W r = A + 4 B+ m B+ m r A r (4.10)

digilib.uns.ac.id 36 Dan, W (r) = B+ m r (4.11) Berdasarkan persamaan superpotensial ini dapat ditentukan pasangan potensial supersimetri V x; a j dan V + r; a j. Dimana V x; a j ditentukan dengan menggunakan pers.(3.4a), sedangkan V + r; a j ditentukan dengan menggunakan pers.(3.4b). Dengan mensubtitusikan pers.(4.10) dan (4.11) ke dalam pers.(3.4a) diperoleh, V r; a 0 = A r + B+ m + r A 4 B+ m m B+ m r Atau, V r; a 0 = A r + B+ m B+ m m + r A 4 B+ m (4.1) Sedangkandengan mensubtitusikan pers.(4.10) dan (4.11) ke dalam pers.(3.4b) diperoleh, V + r; a 0 = A r + B+ m + r A 4 B+ m + m B+ m r Atau, V + r; a 0 = A r + B+ m B+ m + m + r A 4 B+ m (4.13) Dari kedua pers.(4.1) dan (4.13), commit diketahui to user