BAB III APLIKASI MODEL 3.1 Data Data yang akan digunakan untuk membangun yield curve adalah data yang diterbitkan secara mingguan oleh Danareksa Research Institute di situs Danareksa di bagian Debt Research 4. Data ini diambil secara berkala dari mulai awal Maret hinggai akhir Mei. Di antara tenggang waktu tersebut, terdapat minggu yang tidak terdapat laporan mingguan di dalamnya, yaitu di antara periode 27 April hingga 1 Mei 2009. 3.2 Prosedur Yield curve terlebih dahulu dibangun dengan menggunakan data asli pada MATLAB. Pada program MATLAB ini, parameter optimal kedua model dicari. Untuk model McCulloch, digunakan perhitungan penaksiran parameter dengan menggunakan metode kuadrat terkecil linier. Sedangkan untuk model Nelson Siegel, digunakan metode optimasi fungsi penalti terhadap bentuk kuadrat selisih hasil taksiran dan nilai realnya ditambah penalti. Selain itu, keakuratan hasil outputnya juga dibandingkan dengan data dengan cara mencari penaksir variansi errornya. Pada umumnya, ada data yang memiliki tanggal pengambilan data dari bursa yang berbeda data lainnya. Data seperti ini tidak digunakan karena berasal dari populasi yang berbeda. Selain itu, kadang terdapat data yang nilai yieldnya dapat mengacaukan perhitungan. Data yield ini biasanya nilainya terlampau jauh lebih kecil atau lebih besar dibandingkan dengan nilai-nilai yang ada disekitarnya. 4 http://www.danareksa.com/home/index_news2.cfm?act=riset&categoryid=5 30
Oleh karena itu, data terlebih dahulu disaring sesuai dengan tanggal pelaporannya. Metode penyaringan data dilakukan secara visual dengan mencari data yang melenceng jauh dari kumpulan data lainnya melalui plot di MatLab. Data yang disaring diusahakan sesedikit mungkin agar tidak membuat data yang didapatkan menjadi tidak bermakna karena tidak dapat mewakili keseluruhan obligasi yang ada di pasar. Sebagai contoh, pembuangan 3 data dari 20 data yang ada berarti menandakan bahwa data yan dibuang adalah sebanyak 15%. Jelas itu adalah jumlah yang sangat besar. Data yang telah disaring ini kemudian digunakan untuk membentuk yield curve baru. Yield curve ini kemudian dibandingkan dengan yield curve yang diperoleh dengan menggunakan data asli. 3.3 Yield Curve Periode 30 Maret - 3 April 2009 Pada subbab ini akan dibahas mengenai proses pembentukan yield curve dari salah satu data yang ada yaitu pada periode 30 Maret - 3 April 2009. Tanggal pelaporan untuk periode ini adalah tanggal 6 April 2009. Yield curve untuk periode yang lain dapat dilihat di lampiran. Berikut adalah grafik data yield pada periode tersebut 5. Gambar 6. Data yield curve asli tanggal pelaporan 6 April 2009. 5 Data dapat dilihat pada lampiran B 31
Periode ini dipilih karena dianggap dapat mencerminkan perbedaan antara yield curve yang dibentuk dengan model McCulloch dan Nelson-Siegel dengan baik. Dapat terlihat pada grafik terdapat kumpulan nilai yield yang sebarannya cukup tinggi pada maturity time 10 tahun ke bawah. Dengan demikian, diharapkan dapat dilihat pengaruh dari penghapusan data terhadap kurva yang dibentuk. 3.3.1 Model McCulloch Parameter yang diperoleh adalah sebagai berikut a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8-16.0277 13.7104 9.5611 11.0954 10.7171 12.2056 13.4182 10.4564 Tabel 2. Parameter model McCulloch untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 dengan titik-titik ujung subselang sebagai berikut. t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8-5.8810-3.8849-1.8889 0.1071 2.1032 4.1984 6.4524 10.3135 t 9 t 10 t 11 t 12 27.3942 44.3849 61.4206 78.4563 Tabel 3. Titik-titik ujung subselang model McCulloch tanggal pelaporan 6 April 2009 Dari titik-titik tersebut dapat dibentuk 11 subselang. Delapan subselang pertama digunakan dalam proses pembentukan yield curve dengan menggunakan parameter pada tabel 2 sedangkan 3 subselang terakhir digunakan untuk mengatasi error program pada saat pengecekan nilai input maturity time masuk ke subselang yang mana (lihat di persamaan (40) bahwa diperlukan subselang hingga [x i +2,x i +3 ]). Grafik bentukannya dapat dilihat pada gambar 8 di halaman selanjutnya. 3.3.2 Model Nelson Siegel Parameter yang diperoleh adalah sebagai berikut! 0! 1! 2! 11.1216-4.1208 2.6493 0.2812 Tabel 4. Parameter model Nelson-Siegel untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 Dalam bentuk grafik, nilai output yang dihasikan setiap segmen parameter! 0,! 1, dan! 2 terhadap maturity time akan berbentuk sebagai berikut 32
Gambar 7. Grafik setiap segmen model Nelson Siegel tanggal pelaporan 6 April 2009 Dari grafik di atas dapat disimpulkan bahwa yield curve yang dibentuk oleh model Nelson Siegel akan naik pada maturity time yang mendekati nol dan kemudian menjadi relatif datar setelahnya seperti yang terlihat pada gambar 8. Hal ini disebabkan karena segmen! 1 dan! 2 yang saling menghilangkan. 3.3.3 Perbandingan antara Kedua Model Didapatkan yield curve dari kedua model sebagai berikut Gambar 8. Yield curve model Nelson-Siegel dan McCulloch untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 Dari grafik di atas, dapat terlihat bahwa yield curve yang dibentuk Nelson-Siegel tidak menghampiri data asli yang ada dengan baik. Secara visual, terlihat bahwa 33
jika ditarik garis yang menghubungkan data asli akan diperoleh kurva yang cenderung cekung ke atas. Model McCulloh dapat mendekati data asli lebih baik daripada Nelson-Siegel terutama di data yang memiliki maturity time tinggi. Taksiran variansi error yang diperoleh adalah sebagai berikut Nelson-Siegel McCulloch! ˆ 2 1.5955 1.2140 Tabel 5. Variansi error kedua model untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 Terlihat bahwa variansi model Nelson Siegel lebih besar daripada model McCulloch karena ketidaktepatannya dalam menghampiri data terutama di data yang memiliki maturity time tinggi. Kedua model memiliki variansi yang sangat besar karena sebaran data maturity time 10 tahun ke bawah yang cukup tinggi. 3.4 Pengaruh Kualitas Data Selanjutnya akan diamati pengaruh penghapusan data yang nilainya melenceng jauh dari kumpulan data yang ada terhadap yield curve yang dibentuk. Data yang tidak digunakan tersebut dipilih secara visual. Jika data terlihat jauh di bawah atau di atas kumpulan data di sekitarnya, maka data tersebut tidak akan digunakan dalam proses pembentukan yield curve. Terdapat beberapa data yang ada pada data periode periode 30 Maret - 3 April 2009 yang akan dihapus. Data yang tidak digunakan dalam proses pembentukan yield curve tersebut dapat dilihat sebagai titik berwarna hitam pada grafik di bawah ini. Gambar 9. Data yield curve yang telah disaring untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 34
Dari data yang telah disaring tersebut diperoleh parameter untuk model McCulloh sebagai berikut a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7-0.2708 9.6808 10.2684 11.3046 11.8142 13.9321 9.0932 Tabel 6. Parameter model McCulloch menggunakan data hasil saringan untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8-10.1905-6.7579-3.3254 0.1071 3.5397 5.7222 10.3135 27.3942 t 9 t 10 t 11 44.3849 61.4206 78.4563 Tabel 7. Titik-titik ujung subselang model McCulloch menggunakan data hasil saringan untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 dan untuk model Nelson-Siegel sebagai berikut! 0! 1! 2! 12.4163-4.3846 0.0013 1.7367 Tabel 8. Parameter model Nelson-Siegel menggunakan data hasil saringan untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 Nilai parameter Nelson-Siegel yang diperoleh memang tidak berbeda cukup jauh dari nilai yang diperoleh sebelumnya ketika menggunakan data asli tanpa proses penyaringan. Akan tetapi, bentuk kurva yang diperoleh sangat berbeda dari bentuk sebelumnya seperti terlihat pada grafik di halaman selanjutnya. Gambar 10. Grafik setiap segmen model Nelson Siegel menggunakan data hasil saringan untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 35
Grafik yield curve kedua model yang diperoleh adalah sebagai berikut Gambar 11. Yield curve model Nelson-Siegel dan McCulloch menggunakan data hasil saringan untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 Terlihat bahwa yield curve model Nelson Siegel menjadi berbentuk cekung ke atas dan lebih mendekati data asli daripada sebelumnya. Walaupun demikian, memang model Nelson-Siegel belum menghampiri data dengan cukup baik. Terlihat bahwa kurva model Nelson-Siegel belum menghampiri data yang maturity timenya besar dengan baik. Pada saat itu, kurva yang dibentuk berada jauh di bawah data. Penaksir variansi yang diperoleh adalah sebagai berikut Nelson-Siegel McCulloch! ˆ 2 0.2224 0.2043 Tabel 9.Variansi error kedua model menggunakan data hasil saringan untuk tanggal pelaporan 6 April 2009 Nilai variansi yang diperoleh jauh lebih baik daripada sebelumnya setelah dilakukan penyaringan data dengan model McCulloch tetap menghampiri data asli lebih baik. Hanya saja sekarang perbedaan antara kedua variansi juga tidak sejauh sebelumnya. Jadi, penyaringan data ternyata memiliki pengaruh yang signifikan pada yield curve yang dibentuk dengan menggunakan data periode ini. 3.5 Perbandingan Model untuk Data Periode yang Lain Selanjutnya akan dibahas mengenai pengaplikasian program terhadap data periode yang lainnya secara singkat. Dengan menggunakan program MATLAB yang serupa dengan yang digunakan untuk membentuk yield curve periode 30 36
Maret - 3 April 2009 dan prosedur yang sama diperoleh penaksir variansi sebagai berikut Tanggal Pelaporan Nelson- Siegel Data Asli McCulloch Data Asli Nelson-Siegel Data Hasil Saringan McCulloch Data Hasil Saringan! ˆ 2! ˆ 2! ˆ 2! ˆ 2 02 Maret 2009 0.4902 0.3961 0.3701 0.2447 10 Maret 2009 1.4445 0.7848 0.1916 0.0802 16 Maret 2009 1.7209 1.7820 0.3191 0.3768 23 Maret 2009 1.7705 2.5420 0.3779 0.3165 30 Maret 2009 4.6467 4.5806 0.2762 0.2671 06 April 2009 1.5955 1.2140 0.2224 0.2043 13 April 2009 4.6877 4.4169 0.1293 0.1300 20 April 2009 5.1149 4.6061 0.1579 0.1585 27 April 2009 2.4614 2.5255 0.3144 0.3146 11 Mei 2009 5.4722 5.2584 0.2032 0.1597 18 Mei 2009 5.1578 5.5104 0.1654 0.1333 25 Mei 2009 4.1705 3.7389 0.6659 0.6873 Tabel 10. Perbandingan variansi data asli dan data hasil saringan Dari tabel 10 di atas, terlihat bahwa dengan menggunakan data asli, taksiran variansi yang didapat bernilai sangat besar kecuali pada tanggal pelaporan 2 Maret 2009. Perbedaan nilai variansi antara kedua model juga cukup besar. Hal ini disebabkan pada data asli selain tanggal 2 Maret banyak terdapat data yang nilai terlalu besar atau kecil dibandingkan dengan data di sekitarnya terutama pada maturity time rendah. Akibat lainnya dari data yang seperti itu bentuk kurva yang dihasilkan 6. Umumnya kurva McCulloch yang dibentuk hampir selalu bergelombang dengan puncak dan dasar yang rentangnya besar terutama pada maturity time rendah karena bentuk kurvanya akan mengikuti data aslinya yang memiliki sebaran tinggi. Dengan demikian, kurva McCulloch yang dibentuk akan sulit 6 Grafik yield curve dengan menggunakan data asli dan data hasil saringan beserta dengan parameter-parameter yang membentuknya dapat dilihat pada bagian lampiran C, D, E, dan F. 37
direpresentasikan secara visual dengan membandingkannya dengan bentuk yield curve umum pada subbab 2.3.1. Kurva Nelson-Siegel yang dibentuk pun cenderung terlalu datar jika dibandingkan dengan data asli yang nilai yieldnya cenderung monoton tidak turun. Oleh karena itu, kurva Nelson-Siegel yang dibentuk menjadi melenceng jauh dari data asli jika dibandingkan dengan McCulloch. Berikut adalah contoh yield curve yang dapat mengilustrasikan pembahasan di atas dan mewakili data lainnya. Gambar 12. (kiri) Yield curve tanggal pelaporan 11 Mei 2009. (kanan) Yield curve tanggal pelaporan 18 Mei 2009. Proses penyaringan data terbukti mampu menurunkan variansi error kedua model secara signifikan. Perbedaan nilai variansi kedua model sekarang umumnya berada pada nilai digit ke dua di belakang koma setelah penyaringan data dilakukan. Selain itu, bila yield curve yang dibentuk diamati dan dibandingkan dengan yield curve bentukan data asli, umumnya akan terlihat perubahan bentuk yield curve kedua model menjadi lebih menghampiri data. Gambar 13.(kiri) Yield curve tanggal pelaporan 11 Mei 2009. (kanan) Yield curve tanggal pelaporan 18 Mei 2009. Keduanya telah melalui proses penyaringan data. 38
Kurva McCulloch yang dibentuk tidak memiliki gelombang yang rentangnya sebesar dulu lagi, cenderung lebih smooth. Sedangkan, kurva Nelson-Siegel yang dibentuk menjadi lebih melengkung ke atas, menghampiri data dengan lebih baik. Akan tetapi, kurva Nelson-Siegel yang dibentuk masih terkesan seperti "tertarik ke bawah" pada beberapa tanggal pelaporan seperti 2 Maret, 10 Maret, dan 16 Maret. Hal ini disebabkan pada ketiga tanggal pelaporan tersebut, terdapat dua data yang nilainya jauh di bawah data sekitarnya sehingga "menarik" kurva yang dibentuk ke bawah. Penghapusan data tidak dapat dilakukan lagi karena data yang telah dihapus sudah cukup banyak (dua data). Akurasi yang diperoleh oleh kedua model hampir sama baiknya jika dibandingkan. Pada tujuh tanggal pelaporan yaitu : 2 Maret, 10 Maret, 23 Maret, 30 Maret, 6 April, 11 Mei, dan 18Mei, model McCulloch menghampiri data dengan lebih baik dan empat tanggal pelaporan yaitu : 16 Maret, 20 April, 27 April, dan 25 Mei, model Nelson-Siegel lebih baik. Pada satu tanggal pelaporan lainnya, 13 April, model McCulloch menghampiri data hampir sama persis dengan model Nelson-Siegel. Keakuratan ini lebih dipengaruhi oleh kualitas data yang ada. Pada tanggal pelaporan yang memiliki kualitas data cukup baik, model Nelson-Siegel dapat menghampiri data dengan lebih baik walaupun taksiran variansi biasanya berbeda tipis dengan model McCulloch. Sedangkan pada tanggal pelaporan yang memiliki banyak data yang nilainya abnormal, model McCulloch menghampiri data dengan lebih baik walaupun kurva yang dibentuk kadang terlalu bergelombang. Umumnya, karena sebaran data yang cukup tinggi pada maturity time rendah, grafik McCulloch yang dihasilkan cenderung bergelombang. Pada maturity time rendah tersebut, model Nelson-Siegel mendekati data dengan lebih baik. Akan tetapi pada data dengan maturity time tinggi, model Nelson-Siegel kadang melenceng dan model McCulloch mendekati data asli dengan lebih baik. 39