Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr yng melibtkn du opersi biner yng disebut penjumlhn ( dinotsikn dengn + ) dn perklin (yng dinotsikn dengn. ) sedemikin sehingg (F, ) dn (F,.) msing msing membentuk grup belin dn memenuhi ksiom distributive. Dengn menghilngkn beberp ksiom pd field, mk diperoleh struktur-struktur bru yng merupkn generlissi dri field. Pd tulisn ini kn dibhs slh stu generlissi dri field yng disebut dengn skew-semifield dn beberp siftny. Skew-semifield S dlh semiring komuttif terhdp jumlh dengn elemen nol sedemikin sehingg S \,. merupkn grup. Dri hsil kjin diperoleh hsil bhw: Jik S skew semifield yng memut elemen tk nol yng mempunyi invers jumlh mk S dlh skew semifield. Hsil lin diperoleh bhw: Skew semifield S memut pling bnyk stu elemen sedemikin sehingg dn. Lebih lnjut jik S mempunyi sift demikin, mk untuk setip di S. Kt Kunci: Semiring, semifield, skew-field, skew-semifield A. Pendhulun Dlm kjin struktur ljbr, seringkli dikji sift-sift yng msih berlku mupun sift-sift bru yng muncul pd sutu struktur bru yng diperoleh dengn menghilngkn beberp iom ( generlissi ) tu dengn menmbh beberp ksiom pd struktur ljbr sebelumny. Mislkn ring ( gelnggng ) R dlh himpunn tk kosong R bersm du opersi biner + ( penjumlhn ) dn opersi biner. ( perklin ) sedemikin sehingg (R, ) membentuk grup belin, (R,.) membentuk semigrup dn berlku sift distributif knn mupun kiri ( Adkin & Weintrub: p. 49 ). Ring (R,,.) diktkn mempunyi elemen identits jik terdpt R sedemikin sehingg Dismpikn pd Seminr Nsionl Penelitin, Pendidikn & Penerpn MIPA, Hotel Shid Yogykrt, 8 Februri 5
berlku.. untuk setip R. Division ring ( skew-field ) dlh sutu ring dengn elemen identits sedemikin sehingg setip elemen yng bukn elemen nol mempunyi invers perklin. Sedngkn field ( lpngn ) dlh skew field yng komuttif terhdp opersi perklin ( Adkin & Weintrub: p. 5 ). Dengn demikin, bik ring mupun skew-field msing-msing dlh generlissi dri field, tu dpt diktkn bhw skew-field mupun field dlh bentuk khusus dri ring. Sehingg semu sift yng berlku pd ring psti berlku pd skew-field mupun field, tetpi tidk seblikny. Sehingg d sift dlm skew-field mupun field yng tidk berlku pd ring. Dlm tulisn Kemprsit & Triphop disebutkn bhw semiring (S,,.) dlh struktur ljbr dimn (S, ) dn (S,.) msing msing membentuk struktur semigrup dn berlku sift distributif knn mupun kiri. Elemen pd semiring (S,,.) disebut elemen nol ( zero ) jik dn.. untuk semu b S. Sebgi contoh : M, b, c, d Z, dengn Z himpunn bult c d positif. Terhdp opersi penjumlhn dn perklin mtriks, mk ( M,,.) membentuk semiring. Semifield dlh semiring (S,,.) sedemikin sehingg (S, ) membentuk semigrup komuttif dn (S,.) grup komuttif dengn elemen nol (zero) dlh, yng merupkn elemen identits terhdp penjumlhn ( Mitchell & Sinutoke dlm Kemprsit & Triphop). Struktur semifield ini merupkn generlissi dri field dn merupkn bentuk khusus dri semiring. Sebgi contoh dlh semiring R {},,. dlh semifield terhdp opersi penjumlhn dn perklin bis pd bilngn rel. Struktur semifield ini dpt digenerlissi dengn menghilngkn sift komuttif terhdp perklin, yng disebut dengn skew-semifield. Dengn demikin, skew-semifield dlh semiring (S,,.) sedemikin sehingg (S, ) membentuk semigrup komuttif dn (S,.) grup komuttif dengn elemen nol (zero) dlh, yng merupkn elemen identits terhdp penjumlhn (Kemprsit &
Triphop ). Dengn kt lin skew-semifield dlh semiring komuttif dengn elemen nol (zero) dlh sedemikin sehingg S \ { },. dlh sutu grup dn semifield dlh skew-semifield komuttif terhdp perklin. Dlm kenytnny, skewsemifield dlh generlissi dri semifield dn skew-field. Sebgi contoh dlh: mislkn n dlh bilngn integer positif yng lebih besr dri dn S dlh himpunn semu mtriks ukurn sebgi berikut: n n ts bilngn rel dengn bentuk elemen dengn i untuk semu i. n Terhdp opersi jumlh dn perklin mtriks, S merupkn skew-semifield yng bukn merupkn semifield mupun skew-field. Dengn invers perklinny dlm bentuk sebgi berikut: n n Dlm kjin st ini kn diselidiki beberp sift yng berlku pd skewsemifield. B. Pembhsn Dlm bgin ini, beberp sift skew-semifield dibuktikn. Sepnjng dlm tulisn ini, untuk skew-semifield (S,,.), menotsikn elemen identits dri grup S \ { },.. Sift berikut memberikn syrt cukup gr sutu skew-semifield membentuk sutu skew - field: 3
Teorem ( Kemprsit & Triphop ). Jik sutu skew-semifield (S,,.) memut elemen tk nol yng mempunyi invers jumlh, mk (S,,.) dlh skew-field Bukti: Dlm hl ini dikethui bhw (S,,.) skew-semifield dn sutu elemen S \ { } mempunyi invers jumlh. Selnjutny dibuktikn bhw (S,,.) skew-field. Dengn demikin tinggl dibuktikn bhw setip elemen di (S,,.) mempunyi invers jumlh. Bukti selengkpny diberikn sebgi berikut: Dikethui S \ { } mempunyi invers jumlh, mislkn invers tersebut dlh b S, mk dipenuhi b. Di lin pihk, S \ { },. dlh sutu grup sehingg S \ { } mempunyi invers perklin yng dinotsikn dengn yng jug di dlm S \ { }. Selnjutny, mbil sebrng elemen S, mk diperoleh: b b (, S skew-semifield ) ( b) ( S bersift distributif ) ( b invers jumlh dri ) = Hl ini berlku untuk setip sedemikin sehingg S dn untuk setip S dpt ditemukn b S b, mk dpt disimpulkn bhw setip elemen pd skew-semifield S mempunyi invers jumlh. Dengn demikin terbukti bhw (S,,.) skew-field. Berikutny kn diberikn sift lin dri struktur skew semifield. Sift ini menjmin bhw sutu skew semifield hny memiliki pling bnyk stu elemen yng mempunyi sift dn untuk sutu elemen S. Teorem berikut jug seklugus memberikn kibt dri sutu elemen skew-semifield yng mempunyi sift demikin, yng selengkpny diberikn pd teorem sebgi berikut: 4
Teorem. ( Kemprsit & Triphop ). Sutu skew-semifield S memut pling bnyk stu elemen yng mempunyi sift dn. Lebih lnjut, jik S mempunyi sift demikin, mk Bukti: untuk setip S. Untuk pembuktin pd bgin pertm, dimbil elemen mempunyi sift b dn b. Selnjutny dibuktikn bhw b. Untuk S, dengn sift dn, mk diperoleh: b S yng jug ( ) Dikethui S \ { },. dlh grup, mk. Akibtny, pd persmn di ts hny dipenuhi untuk. Akn tetpi dikethui bhw sehingg. Dri sini diperoleh bhw dlh invers jumlh dri. Dengn demikin dimiliki kondisi bhw S dlh skew-semifield yng memut elemen tk nol yng mempunyi invers jumlh. Menurut Teorem, kondisi ini berkibt S dlh skew-field. Jik b S yng jug mempunyi sift b dn, secr sm kn diperoleh bhw b. Dengn demikin diperoleh persmn b, dn diperoleh b. Selnjutny dibuktikn bhw jik elemen b S, dengn sift dn, mk berlku, untuk setip S. Untuk membuktikn hl ini, mbil sebrng elemen S, mk : ( )..( ) Dri persmn tersebut diperoleh bhw yng berlku untuk setip S. C. Kesimpuln Dri pembhsn di ts dpt disimpulkn bhw d sift dri sutu skew - semifield yitu:. Jik sutu skew-semifield (S,,.) memut elemen tk nol yng mempunyi invers jumlh, mk (S,,.) dlh skew-field. 5
. Sutu skew-semifield S memut pling bnyk stu elemen yng mempunyi sift dn. Lebih lnjut, jik S mempunyi sift demikin, mk untuk setip S. D. Dftr Pustk: Adkins, W.A nd Weintrub,S.H. 99. Algebr: An Approch vi Module Theory. Springer Verlg,New York. Kemprsit, Y nd Triphop, N.. Some Mtri Groups Admitting Skew-Semifield Structure. Est-West Journl of Mthemtics: Vol 3 No. () pp.- 6