Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI

Produk Cartesius Relasi Relasi Khusus RELASI

Jika A dan B masing-masing menyatkan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terutut (x,y) dengan x A dan, y B ditulis A B = {( x, y) x A dan y B} Produk Cartesius

Misalkan A = { a, b, c}dan B = {1,2} maka: A B = {( a,1),( a,2),( b,1),( b,2),( c,1),( c,2)} B A = {(1, a),(1, b),(2, a),(2, b),(3, a),(3, b)}

Pengertian Relasi Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan tertentu. Misalnya : A = { 2, 3, 5 } dan B = { 1, 4, 7, 10, 14 } Akan kita tinjau relasi adalah faktor dari antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa : 2 adalah faktor dari 4 2 adalah faktor dari 10 2 adalah faktor dari 14 5 adalah faktor dari 10 Sedangkan 3 A tidak berrelasi dengan suatu elemenpun dari himpunan B.

A Diagram panah B 1 2 3 5 4 7 10 14

Relasi tersebut jugan dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berrelasi dengan elemen dari himpunan B di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari A pada urutan pertama dan elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi adalah faktor dari tersebut diberi nama R, maka : R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) } Jelaslah bahwa R A x B

Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu reelasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan himpunan bagian dari A X B ( produk Cartesius A dan B ). Definisi: R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B bhb R A x B A disebut daerah asal (domain), B disebut daerah kawan (kodomain),

Bila A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A. Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi refleksif bhb setiap elemen dari A berrelasi R dengan dirinya sendiri. R refleksif pada A bhb. ( x A). (x,x) R R non-refleksif pada A bhb. ( x A).( x,x) R R irrefleksif pada A bhb. ( x A).( x,x) R RELASI KHUSUS

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x dan y dalam A, bila x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x. R simetris pada A bhb ( x,y A).(x,y) R (y,x) R R non- simetris pada A bhb ( x,y A).(x,y) R (y,x) R R asimetris pada A bhb ( x,y A).(x,y) R (y,x) R R antisimetris pada A bhb ( x,y A).(x,y) R (y,x) R x=y RELASI KHUSUS

relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x,y dan z A, bila x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z, maka x berrelasi R dengan z. R transitif pada A bhb. ( x,y,z A).(x,y) R ( y,z ) R (x,z) R R non-transitif pada A bhb : ( x,y,z A).(x,y) R ( y,z ) R (x,z) R R intransitif pada A bhb : ( x,y,z A).(x,y) R ( y,z ) R (x,z) R RELASI KHUSUS

Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif,simetris dan transitif disebut relasi ekuivalensi pada A. RELASI KHUSUS

Definisi: Keluarga himpunan bagian yang tidak kosong dari suatu himpunan A disebut P a r t i s i dari A bhb. 1. Gabungan dari semua himpunan bagian itu adalah himpunan A sendiri. 2. Setiap dua himpunan bagian yang tidak sama merupakan dua himpunan yang saling lepas. Jadi suatu keluarga himpunan bagian yang tidak kosong dari himpunan A, misalnya {A 1, A 2, A 3,..A n }, adalah partisi dari A apabila 1. A 1 A 2 A 3.. A n = A 2. ( A i, A j ). A i A j A i A j =

FUNGSI Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut Fungsi. (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. f : A B bhb. ( x A).(!y B). y = f (x)

Perhatikan bahwa suatu fungsi f dari A ke B adalah suatu relasi yang mempunyai dua sifat khusus, yaitu: 1. Setiap anggota himpunan A (daerah asal) dikawankan dengan anggota himpunan B. (Seringkali dikatakan bahwa daerah asal dihabiskan ) 2. Kawan dari anggota-anggota himpunan A (daerah asal) adalah tunggal. Sifat ini dapat dinyatakan secara simbolis: ( x i, x i A). x 1 = x 2 f (x 1 ) = f (x 2 ) FUNGSI

A Diagram panah B 1 2 3 5 4 7 10 14 FUNGSI

Contoh: Misalkan A : {1, 2, 3, 4} B : {a, b, c} Terdapat fungsi f : A B a. f : {(1,a), (2,b), (3,c)} bukan fungsi hanya relasi biasa b. f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)} bukan fungsi hanya relasi biasa c. f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)} fungsi FUNGSI

FUNGSI Ada dua macam cara untuk menyajikan suatu fungsi, yaitu: 1. Cara aturan : fungsi itu disajikan dengan cara menyatakan aturan yang menentukan relasi antara angggota anggota daerah asal dengan anggota anggota daerah kawannya. Contoh : f: R R dimana f(x) = x R = himpunan semua bilangan nyata.

2. Cara himpunan : Seperti halnya relasi, maka fungsi f dari A ke B dapat dipandang sebagai himpunan bagian (khusus) dari A x B. Maka fungsi f : R R dimana f ( x ) = x dapat juga disajikan sebagai suatu himpunan, yaitu himpunan bagian dari R x R : F = { (x,y) x R, y R, y = x 2 } FUNGSI

Kesamaan dua buah fungsi. Dua buah fungsi f : A B dan g : A B dikatakan sama bila kedua fungsi itu mengkaitkan anggota-anggota dari daerah asalnya dengan anggota-anggota yang sama didaerah kawannya. f = g bhb ( x A).f(x) = g(x) Contoh : f : R R dimana f(x) = 2(x+1)(x-2) g : R R dimana g(x) = 2x 2-2x-4 Karena f (x ) = 2(x+1)(x-2) = 2(x 2 -x-2) = 2x 2-2x-4 = g(x) Maka f = g FUNGSI

1. FUNGSI SURJEKTIF 2. FUNGSI INJEKTIF 3. FUNGSI BIJEKTIF 4. FUNGSI KONSTAN 5. FUNGSI IDENTITAS FUNGSI-FUNGSI KHUSUS

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif dari A kepada (onto) B bila setiap anggota B merupakan bayangan dari suatu anggota A. Jadi pada fungsi yang surjektif, daerah hasilnya berimpit dengan daerah kawan (atau daerah kawannya dihabiskan ). f : A B adalah fungsi surjektif bhb ( y B) ( x A). y = f (x) bhb R f = B bhb ( y B) f -1 (y) = FUNGSI SURJEKTIF/ONTO

Contoh A Diagram panah B 2 3 7 10 5 FUNGSI SURJEKTIF

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi injektif bila anggota anggota dari B merupakan bayangan dari tepat satu anggota A. f : A B adalah fungsi injektif bhb ( x 1,x 2 A ). x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) bhb ( x 1,x 2 A ). f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU

contoh A Diagram panah B 1 2 3 5 4 7 10 14 FUNGSI INJEKTIF

Suatu fungsi f : A B merupakan fungsi bijektif apabila fungsi f adalah fungsi surjektif dan sekaligus injektif. Fungsi bijektif sering dikatakan fungsi korespondensi satu-satu. FUNGSI BIJEKTIF

Contoh A Diagram panah B 2 3 5 7 10 14 FUNGSI BIJEKTIF

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi konstan bila bayangan semua anggota A adalah satu anggota yang sama di B. f : A B adalah fungsi konstan bhb.(!c B)( x A).f(x) = c Contoh: 1. f(x) = 2 2. Diagram panah A B 2 3 7 10 14 FUNGSI KONSTAN 5

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi indentitas bila bayangan dari setiap anggota dari A ialah dirinya sendiri. Daerah asal dan saerah kawan dari suatu fungsi identits adalah himpunan yang sama. f : A A adalah fungsi indentitas bhb.( x A). f(x) = x FUNGSI IDENTITAS

CONTOH A Diagram panah A 2 3 5 2 3 5 FUNGSI IDENTITAS

Misalkan A : {a,b,c} B : {1,2,3} C: {x, y, z, w} D: {4,5,6} f: A B g: B C h: C D i: B D Tentukan apakah fungsi berikut surjektif, injektif atau bijektif? a. f: {(a,2), (b,1), (c,2)} b. g: {(1,y), (2,x), (3,w)} c. h: {(x,4), (y,6), (z,4), (w,5)} d. i: {(1,4), (2,6), (3,5)} LATIHAN

Dua buah fungsi yang memenuhi syarat tertentu dapat disusun (dikomposisikan) menjadi suatu fungsi baru yang disebut fungsi tersusun (fungsi komposisi). Misalnya kita mempunyai dua buah fungsi f : A B dan g : C D di mana R g A, C A B f f o g maka kedua fungsi tersebut dapat disusun menjadi fungsi baru, yang disajikan dengan lambang f o g : C B Dengan aturan ( f o g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] ( lambang f o g dibaca f bundaran g ) FUNGSI TERSUSUN g

CONTOH: Modul halaman 81 Latihan: 1. Misalkan A : {a,b,c} B : {1,2} C: {1,2,3} D: {x, y, z, w} f: A B, f: {(a,2), (b,1), (c,2) g: C D, g: {(1,y), (2,x), (3,w)} Tentukan g o f! 2. Perhatikan fungsi f(x) = x 2 + 3x + 1 dan g(x) = 2x -3. Tentukan g o f (x)! FUNGSI TERSUSUN

Sifat-sifat Komposisi Fungsi. 1. Komposisi fungsi bersifat assosiatif, yaitu untuk tiap tiga buah fungsi f,g dan h yang dapat dikomposisikan berlakulah: (f o g ) o h=f o (g o h) 2. Bila i adalah fungsi identitas, yaitu i (x) = x untuk tiap x anggota domainnya, dan i dapat dikomposisikan dengan suatu fungsi f, maka i o f = f dan f o i = f. 3. Bila f adalah fungsi bijektif, maka f o f = f o f = i dimana i adalah fungsi identitas. FUNGSI TERSUSUN

Fungsi nyata ialah fungsi yang daerah asal dan daerah kawannya adalah himpunan bilangan bilangan nyata. Fungsi Nyata dan Grafik Fungsi