PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 1-7) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan Sifat-Sifat Operasi Himpunan 2 Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Permutasi dan Kombinasi 3 Minggu 3:PROBABILITAS Probabilitas 4 Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Independensi 5 Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu

Outline 1 Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan Sifat-Sifat Operasi Himpunan 2 Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Permutasi dan Kombinasi 3 Minggu 3:PROBABILITAS Probabilitas 4 Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Independensi 5 Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu Outline 1 Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan Sifat-Sifat Operasi Himpunan 2 Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Permutasi dan Kombinasi 3 Minggu 3:PROBABILITAS Probabilitas 4 Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Independensi 5 Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu

Outline 1 Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan Sifat-Sifat Operasi Himpunan 2 Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Permutasi dan Kombinasi 3 Minggu 3:PROBABILITAS Probabilitas 4 Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Independensi 5 Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu Outline 1 Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan Sifat-Sifat Operasi Himpunan 2 Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Permutasi dan Kombinasi 3 Minggu 3:PROBABILITAS Probabilitas 4 Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Independensi 5 Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu

Minggu 1:HIMPUNAN Himpunan S adalah koleksi obyek yang diberi notasi s. Dengan kata lain, s adalah anggota S, elemen S, atau dimiliki oleh S diekspresikan dengan tulisan s S. Negasi pernyataan tersebut diekspresikan dengan menulis s / S. Dikatakan S adalah himpunan bagian dari S atau bahwa S termuat dalam S, ditulis S S, bila setiap s S, berakibat s S. S dikatakan himpunan bagian sejati dari S dan ditulis S S, bila S S dan terdapat s S sedemikian hingga s / S. Operasi Himpunan Komplemen terhadap S dari himpunan A ditulis dengan notasi A c didefinisikan sebagai A c = {s S; s / A} (1) Union dari himpunan A j, j = 1, 2,..., n, diberi notasi n A 1 A 2 A n or didefinisikan sebagai n A j = {s S; s A j untuk paling sedikit satu j = 1, 2,..., n} j=1 (2) Definisi dapat diperluas untuk banyaknya himpunan tak berhingga, sehingga untuk banyaknya himpunan denumerabel dapat ditulis A j = {s S; s A j untuk paling sedikit satu j = 1, 2,... } j=1 j=1 A j (3)

Operasi Himpunan Interseksi dari himpunan A j, j = 1, 2,..., n, diberi notasi didefinisikan sebagai A 1 A 2 A n or n j=1 A j n A j = {s S; s A j untuk semua j = 1, 2,..., n} (4) j=1 Definisi dapat diperluas untuk banyaknya himpunan tak berhingga, sehingga untuk banyaknya himpunan denumerabel dapat ditulis A j = {s S; s A j untuk semua j = 1, 2,... } (5) j=1 Operasi Himpunan Difference dari A 1 A 2 didefinisikan sebagai A 1 A 2 = {s S; s A 1, s / A 2 } (6) Secara simetris, A 2 A 1 = {s S; s A 2, s / A 1 } (7)

Operasi Himpunan Berikut ini berapa hal penting mengenai himpunan: 1 Himpunan yang tidak memuat satu elemenpun disebut himpunan kosong dan diberi notasi. 2 Dua himpunan A 1, A 2 disebut disjoint atau saling asing bila A 1 A 2 =. 3 Dua himpunan A 1, A 2, disebut sama, ditulis A 1 = A 2, bila A 1 A 2 dan A 2 A 1. 4 Himpunan A j, j = 1, 2,... disebut sepasang-sepasang atau mutually disjoint jika A i A j = untuk semua i j. Dalam hal ini, biasa ditulis n A 1 +A 2, A 1 + +A n = A j, dan A 1 +A 2 + = sebagai pengganti Dapat ditulis A j, A j, j j A 1 A 2, j=1 n A j, j=1 dan A j (atau j j A j, j=1 A j A j, j j=1 A j ). Sifat-Sifat Operasi Himpunan 1 S c =, c = S, (A c ) c = A 2 S A = S, A = A, A A c = S, A A = A 3 S A = A, A =, A A c =, A A = A 4 A untuk semua himpunan bagian A dari S. 5 A 1 (A 2 A 3 ) = (A 1 A 2 ) A 3 A 1 (A 2 A 3 ) = (A 1 A 2 ) A 3 yang disebut hukum Assosiatif. 6 A 1 (A 2 A 3 ) = (A 1 A 2 ) (A 1 A 3 ) A 1 (A 2 A 3 ) = (A 1 A 2 ) (A 1 A 3 ) yang disebut hukum Distributif. Perluasannya adalah A ( n i=1 B i) = n i=1 (A B i) A ( n i=1 B i) = n i=1 (A B i) 7 Hukum de Morgan (A 1 A 2 ) c = A c 1 Ac 2 (A 1 A 2 ) c = A c 1 Ac 2 Perluasan Hukum de Morgan ( n i=1 A i) c = n i=1 Ac i ( n i=1 A i) c = n i=1 Ac i j A j

Sifat-Sifat Operasi Himpunan Contoh 1.1 Misalkan S adalah suatu himpunan dan misalkan A, B, C adalah himpunan-himpunan bagian dari S. Tunjukkan bahwa Bukti: A (B C) (A B) (A C) s A (B C) s A dan s B C (s A) dan (s B atau s C) (s A dan s B) atau (s A dan s C) (s A B) atau (s A C) (s A B) (s A C) Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Bila E 1 adalah suatu eksperimen yang mempunyai n 1 hasil yang mungkin dan E 2 adalah suatu eksperimen yang memiliki n 2 hasil yang mungkin, maka eksperimen yang menghasilkan pasangan hasil E 1 dan E 2 adalah n 1.n 2 hasil yang mungkin. Multiplication principle, bila E 1 adalah suatu eksperimen yang mempunyai n 1 hasil yang mungkin, E 2 adalah suatu eksperimen yang memiliki n 2 hasil yang mungkin, dan seterusnya E r adalah suatu eksperimen yang memiliki n r hasil yang mungkin, maka eksperimen yang menghasilkan pasangan hasil E 1,..., E r adalah sebanyak r n i = n 1 n 2 n 3... n r (8) i=1 Apabila n i = N, untuk semua i maka r n i = NNN... N = N r (9) i=1

Permutasi dan Kombinasi Banyaknya permutasi dari n obyek yang berbeda = n! Banyaknya permutasi r obyek diambil dari n obyek adalah P n r = n! (n r)! (10) Banyaknya kombinasi r obyek diambil dari n obyek adalah ( ) n n! = (11) r r!(n r)! Permutasi dan Kombinasi Teorema Binomial Dari matematik dasar telah diketahui bahwa (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = x 2 + xy + 0 1 2 ( ) 2 2 = x 2 k y k k k=0 y 2

Permutasi dan Kombinasi Dengan cara yang sama (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 = x 3 + x 2 y + xy 2 + 0 1 2 3 ( ) 3 3 = x 3 k y k k k=0 y 3 Permutasi dan Kombinasi Secara umum, dengan menggunakan argumen induksi, dapat ditunjukkan bahwa ( ) n n (x + y) n = x n k y k (12) k k=0 ( ) n Hasil tersebut disebut Teorema Binomial. Koefisien disebut k koefisien Binomial. Berikut ini bukti combinatorial dari Teorema Binomial. Jika (x + y) n ditulis sebagai n kali faktor (x + y), yaitu (x + y) n = (x + y)(x + y)(x + y)... (x + y), ( ) n maka koefisien x n k y k adalah, yaitu banyaknya cara k memilih k faktor yang menghasilkan y.

Permutasi dan Kombinasi Sekarang, akan diselidiki sifat-sifat dari koefisien Binomial. Teorema 2.1 Andaikan n N (himpunan bilangan Asli) dan r = 0, 1, 2,..., n. Maka, ( ) ( ) n n = (13) r n r Permutasi dan Kombinasi Teorema 2.2 Untuk suatu bilangan bulat positif n dan r = 1, 2,..., n, maka ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + (14) r r r 1

Minggu 3:PROBABILITAS Misal dilakukan eksperimen yang hasilnya tidak dapat diprediksi sebelumnya. Namun demikian, hasil dari eksperimen dapat diketahui dari kejadian yang mungkin, himpunan semua kejadian yang mungkin disebut ruang sampel, biasa diberi notasi S. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Beberapa contoh eksperimen dan hasilnya adalah sebagai berikut: 1 Eksperimen melempar mata uang satu kali, maka ruang sampel adalah S = {H, T } dengan H berarti mendapatkan hasil lemparan sisi Head dan T adalah hasil lemparan sisi Tail. 2 Melempar sebuah dadu satu kali, maka ruang sampel adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3 Melempar dua mata uang dua kali, maka ruang sampel adalah S = {HH, HT, TH, TT } Misal himpunan A adalah munculnya sisi Head, maka A = {HH, HT, TH} Minggu 1:HIMPUNAN Dari sini, MingguA2:COUNTING S. Dengan TECHNIQUEdemikian, Minggu 3:PROBABILITAS himpunan Minggu A 4,5:PROBABILITAS merupakan BERSYARAT Minggu 6,7:V kejadian. Probabilitas Definisi 3.1 Suatu eksperimen memberikan ruang sampel S. A, A 1, A 2,... merupakan kejadian. Fungsi himpunan berharga riil P(A) untuk setiap kejadian A disebut fungsi (himpunan) probabilitas dan P(A) disebut probabilitas dari A bila sifat-sifat di bawah ini dipenuhi 1 P(A) 0 untuk setiap kejadian A 2 P(S) = 1 3 P ( i=1 A i) = i=1 P(A i) untuk A i kejadian saling asing.

Probabilitas Teorema 3.2 Misal {A 1, A 2,..., A n } adalah kumpulan berhingga dari n kejadian sedemikian hingga A i E j = untuk i j. Maka ( n ) P A i = i=1 n P(A i ) (15) i=1 Probabilitas Definisi probabilitas P(A) = n(a) N memenuhi ketiga syarat probabilitas yaitu 1 P(A) = n(a) N 0 2 P(S) = n(s) N = N N = 1 3 Untuk probabilitas union dua himpunan adalah sbb (16) P(A B) = n(a B) N = n(a) + n(b) N = n(a) N + n(b) N = P(A) + P(B)

Probabilitas Sifat-sifat probabilitas 1 P(A) = 1 P(A c ) 2 P(A) 1 3 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 4 P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Hint : A B C = (A B) C 5 Bila A C = P(A) P(B) 6 P(A B c ) = P(A) P(A B) 7 P(A B) = 1 P(A c B c ) Probabilitas Teorema 3.3 Jika A adalah suatu kejadian pada suatu ruang sampel diskrit S, maka probabilitas dari A adalah jumlah probabilitas kejadian elementernya. Teorema 3.4 Jika A 1 dan A 2 adalah dua kejadian sedemikian hingga A 1 A 2, maka P(A 2 \ A 1 ) = P(A 2 ) P(A 1 )

Probabilitas Contoh 3.5 Sebuah mata uang dilempar sebanyak tiga kali. Berapa probablilitas 1 lemparan pertama sama dengan lemparan ketiga 2 lemparan pertama dan kedua berbeda 3 tidak ada sisi H 4 banyaknya sisi H lebih besar dari banyaknya sisi T 5 banyaknya sisi H sama dengan banyaknya sisi T Contoh 3.6 Sebuah dadu dilempar sebanyak dua kali. Berapa probabilitas 1 lemparan pertama genap 2 lemparan pertama dan kedua ganjil 3 jumlah kedua lemparan 7 4 jumlah kedua lemparan genap 5 selisih kedua lemparan 3 Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Pandang eksperimen yang mempunyai ruang sampel S. Misal B S. Dalam berbagai situasi, kita hanya memandang kejadian B tanpa memperhatikan S. Dalam hal ini, B dipandang sebagai ruang sampel. Misalkan S adalah ruang sampel berhingga yang tidak kosong dan B merupakan himpunan tidak kosong dari S. Dengan ruang sampel baru B, bagaimana mendefinisikan probabilitas terjadinya kejadian A. Secara intuisi, seseorang akan mendefinisikan probabilitas A terhadap ruang sampel baru B sebagai berikut: P(A dengan syarat B) = banyaknya elemen dalam A B banyaknya elemen dalam B dengan catatan: banyaknya elemen dalamb > 0. Dengan demikian, probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat B dapat didefinisikan sebagai P(A dengan syarat B) = P(A B P(B) (17)

Definisi 4.1 Misal S merupakan ruang sampel dari suatu eksperimen random. Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi, didefinisikan sebagai dengan syarat P(B) > 0 P( B) = P(A B) P(B) (18) P(. B) merupakan probabilitas, yaitu memenuhi ketiga syarat sebagai probabilitas, yaitu 1 P(A B) = P(A B) P(B) 0 2 P(S B) = P(S B) P(B) = P(B) P(B) = 1 3 A 1, A 2,... saling asing maka P( i=1 A i B) = i=1 P(A i B) Dibuktikan pernyataan no 3 P( i=1b i A) = P(( i=1 B i) A) P(A) = P( i=1 (B i A)) P(A) i=1 = P(B i A) P(A) = P(B i A), karena B i A i juga saling asing. i=1

Contoh 4.2 Misalkan kartu bernomor 1 sampai 10 dikocok, diambil secara random. Jika dikatakan bahwa kartu terpilih bernomor paling sedikit 5. Berapa probabilitas bersyarat bahwa yang terambil adalah 10. Penyelesaian : Notasikan: E adalah pengambilan kartu 10 dan F adalah pengambilan paling sedikit 5. Probabilitas yang diinginkan adalah P(E/F ). P(E F ) = P(E F ) P(F ) P(E F ) = 1 10 6 10 = 1 6 E F = E karena banyaknya kartu bernomor 10 dan paling sedikit nomor 5 hanya ada 1 yaitu kartu bernomor 10. Teorema 4.3 Hukum Probabilitas Total Apabila B 1,..., B n merupakan partisi dari ruang sampel S maka untuk sebarang kejadian A berlaku P(A) = k P(B i )P(A B i ) i=1 Bukti: Karena kejadian B 1,..., B n partisi dari S maka A i saling asing maka kejadian dan k i=1 A i = S, sehingga A B 1, A B 2,..., A B k juga saling asing. Dengan demikian P(A) = P(A S) = P(A ( k i=1b i )) = P( k i=1(a B i )) = k P(A Bi )

Teorema 4.4 Aturan Bayes Apabila B 1,..., B n koleksi kejadian yang saling asing, maka untuk setiap j = 1, 2,..., k berlaku P(B j A) = P(B j )P(A B j ) k i=1 P(B i)p(a B i ) Bukti: P(B j A) = P(A B j) P(A) = P(B j)p(a B j ) P(A) P(B j )P(A B j ) = k i=1 P(B j)p(a B j ) Contoh 4.5 Ada 3 buah kotak, kotak pertama berisi 2 bola merah, 3 bola putih. Kotak kedua berisi 3 bola merah, 4 bola putih. Kotak ketiga berisi 3 bola merah, 3 bola putih. Dari kotak pertama diambil satu bola dimasukkan ke kotak kedua, sebut pengambilan I, selanjutnya dari kotak kedua diambil sebuah bola dimasukkan ke kotak ketiga, sebut pengambilan II, dan selanjutnya dari kotak ke ketiga diambil sebuah bola sebut pengambilan III. Hitung probabilitas pengambilan ketiga menghasilkan bola berwarna merah.

Penyelesaian: P(III m ) = P(I m II m III m ) +P(I m II p III m ) + P(I p II m III m ) +P(I p II p III m ) = P(I m ).P(II m I m ).P(III m I m II m ) +P(I m ).P(II p I m ).P(III m I m II p ) +P(I p ).P(II m I p ).P(III m I p II m ) +P(I p ).P(II p I p ).P(III m I p II p ) = 2 4 4 5 8 7 + 2 4 3 5 8 7 + 3 3 4 5 8 7 + 3 5 3 5 8 7 32 + 24 + 36 + 45 = = 137 280 280 Independensi Bila P(A B) = P(A) atau P(B A) = P(B) maka A&B disebut independen. Dengan demikian, 2 kejadian A&B disebut independen bila a. P(A B) = P(A) atau b. (B A) = P(B) atau c. P(A B) = P(A)P(B)

Independensi Contoh 4.6 Dua buah dadu dilempar. A 1 adalah kejadian jumlah kedua lemparan 6 dan B adalah kejadian dadu pertama muncul angka 4. Apakah A 1 dan B independen? Penyelesaian: P(A 1 B) = P(4, 2) = 1 36 Sementara itu, P(A 1 )P(B) = 5 36 1 36 = 5 216 * Bila A&B independen buktikan A c &B, A&B c, A c &B c independen. Independensi Definisi 4.7 n kejadian E 1, E 2,... E n disebut independen atau mutually independen bila j = 2, 3,... n dan setiap himpunan bagian indeks yang berbeda i 1,..., i j, berlaku P(E i1 E i1... E ij ) = P(E i1 )... P(E ij )

Independensi Contoh 4.8 Dalam menjawab pertanyaan pilihan ganda, seorang murid mungkin mengetahui dengan pasti jawaban yang benar atau dia menebak. p adalah probabilitas dia mengetahui jawaban yang benar dan 1 p adalah probabilitas dia menebak. Dianggap mahasiswa yang menebak mempunyai probabilitas menjawab benar 1/m, bila tersedia m alternatif jawaban. Berapa probabilitas bersyarat mahasiswa yang tahu jawaban yang benar akan menjawab dengan benar? Penyelesaian: Misal C dan K adalah kejadian bahwa mahasiswa menjawab dengan benar dengan syarat dia memang mengetahui jawaban yang benar. P(K C) = = = = P(K C) P(C) P(C K)P(K) P(C K)P(K) + P(C K c )P(K c ) p p + (1/m)(1 p) mp 1 + (m 1)p Jadi, untuk m = 5, p = 1/2, probabilitas seorang mahasiswa yang tahu jawaban yang benar akan menjawab benar adalah 5/6. Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA Hasil suatu eksperimen dapat berupa angka seperti melempar sebuah dadu satu kali, mengamati bola lampu mulai nyala sampai mati, namun sering kali hasil eksperimen tidak berupa angka namun berupa pasangan angka atau bahkan pasangan huruf. Misal sebuah dadu dilempar tiga kali akan menghasilkan outcome tripel bilangan seperti (2, 3, 6), (1, 1, 1). Sebuah mata uang dilempar tiga kali akan menghasilkan outcome tripel huruf H dan T seperti (H, H, T ) atau (H, T, T ). Outcome nonnumeris ini perlu dijadikan outcome numeris supaya dapat dilakukan perhitungan perhitungan yang bermanfaat. Perkawanan outcome nonnumeris menjadi outcome numeris disebut variabel random yang disajikan dalam definisi berikut

Definisi 5.1 Variabel random X adalah fungsi dengan domain S dan range subset bilangan riil X (e) = x, dengan e S & x R Definisi 5.2 Himpunan {x R x = X (s), s S} adalah ruang dari variabel random X diberi simbol R X. Contoh 5.3 Diberikan beberpa contoh variabel random hasil eksperimen dibawah ini. 1 Sebuah dadu bersisi 4 dilempar 2 kali. X : lemparan pertama Y : lemparan kedua Z : jumlah lemparan 1 dan lemparan 2 T : selisih lemparan 1 dan lemparan 2 R X = {1, 2, 3, 4} R Y = {1, 2, 3, 4} R Z = {2, 3,..., 8} R T = {0, 1, 2, 3} 2 Sebuah mata uang dilempar 3 kali. X : banyaknya sisi H. P(X = 2) = P((HHT ), (THH), (HTH)) = 3 8

Contoh 5.4 Pandang percobaan pelemparan sebuah koin. Konstruksikan variabel random X dari percobaan ini, lalu tentukan ruang dari variabel random tersebut! Penyelesaian: Ruang sampel dari percobaan ini adalah S = {Head, Tail} Selanjutnya, didefinisikan suatu fungsi dari S ke dalam himpunan bilangan riil, yakni: X (Head) = 0 X (Tail) = 1 Sehingga, ruang dari variabel random adalah R X = {0, 1} Definisi 5.5 Jika ruang dari variabel random X adalah countable, maka X disebut variabel random diskrit. Definisi 5.6 Jika ruang dari variabel random X adalah uncountable, maka X disebut variabel random kontinu.

Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit Definisi 5.7 Misal R X adalah ruang dari variabel random X. Fungsi f : R X R yang didefinsikan sebagai: f (x) = P(X = x) disebut probability density function (pdf) dari X. Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit Contoh 5.8 Sebuah kotak memuat 5 bola, yang terdiri dari 2 bola putih dan 3 bola merah. tiga buah bola diambil dari kotak tanpa pengembalian. Jika variabel random X menyatakan banyaknya bola merah yang terambil, maka tentukan pdf dari X! Penyelesaian: Karena X menyatakan banyaknya bola merah yang terambil, maka X = 0, 1, 2, 3 ( ) ( ) 3 2 P(X = 0) = 0 ( 5 3 ) = 0, tidak mungkin mendapatkan 3 bola pu ( 3 3 ) ( 2 ) P(X = 1) = 1 ( 5 2 ) = 3 10 3 ( ) ( ) 3 2

Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit Teorema 5.9 Jika X adalah variabel random diskrit dengan ruang R X dan pdf f (x), maka a. f (x) 0 untuk semua x di R X b. x R X f (x) = 1 Contoh 5.10 Jika probabilitas dari variabel random X dengan R X = {1, 2, 3,..., 12} diberikan oleh f (x) = k(2x 1), maka, tentukan nilai dari konstanta k! Penyelesaian: 1 = x R X f (x) = 12 k(2x 1) = k(2x 1) x R X x=1 [ ] 12 [ = k 2 x 12 = k 2 (12)(13) ] 12 2 Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit x=1 = k.144 Definisi 5.11 Sehingga, Fungsi distribusi kumulatif F (x) dari k = 1 variabel random X didefinisikan sebagai: 144 untuk semua bilangan riil X. F (x) = P(X x) Definisi 5.12 Jika X adalah variabel random diskrit dengan ruang R X, maka F (x) = t x f (t) untuk x R X.

Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit Contoh 5.13 Jika pdf dari variabel random X diberikan oleh 1 (2x 1), untuk x = 1, 2, 3,..., 12 144 Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari X Penyelesaian: Ruang dari variabel random X adalah Maka, F (1) = t 1 F (2) = t 2 F (3) = t 3 F (12) = t 12. R X = {1, 2, 3,..., 12} f (t) = f (1) = 1 144 f (t) = f (1) + f (2) = 1 144 + 3 144 = 4 144 f (t) = f (1) + f (2) + f (3) = 1 144 + 3 144 + 5 144 = 9 144 f (t) = f (1) + f (2) +... + f (12) = 1 Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit F Teorema (X ) menyatakan 5.14 akumulasi dari f (t) dari t paling kecil sampai Misal t = x. X adalah suatu variabel random dengan fungsi distribusi kumulatif F (X ). Maka fungsi distribusi kumulatif memenuhi: a. F ( ) = 0, b. F ( ) = 1, dan c. F (x) adalah fungsi naik, yaitu, jika x < y, maka F (x) F (y) untuk semua bilangan riil x, y. Teorema 5.15 Jika ruang R X dari variabel random X diberikan oleh R X = {x 1 < x 2 < x 3 <... < x n }, maka f (x 1 ) = F (x 1 ) f (x 2 ) = F (x 2 ) F (x 1 ) f (x 3 ) = F (x 3 ) F (x 2 ). f (x n ) = F (x n ) F (x n 1 )

Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit Contoh 5.16 Tentukan pdf dari variabel random X yang fungsi distribusi kumulatifnya diberikan oleh 0, 00 jika x < 1, 0, 25 jika 1 x < 1, F (x) = 0, 50 jika 1 x < 3, 0, 75 jika 3 x < 5, 1, 00 jika x 5. Tentukan probabilitas dari P(X 3), P(X = 3), dan P(X < 3)! Penyelesaian: Ruang dari variabel random adalah pdf dari X adalah Sehingga, R X = { 1, 1, 3, 5} f ( 1) = 0, 25 f (1) = 0, 50 0, 25 = 0, 25 f (3) = 0, 75 0, 50 = 0, 25 Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu f (4) = 1, 00 0, 75 = 0, 25 Definisi 5.17 P(X 3) = F (3) = f ( 1) + f (1) + f (3) Misal X adalah variabel = random 0, 75 kontinu yang harganya merupakan anggota himpunan bilangan riil R. Suatu fungsi berharga riil P(X = 3) = F (3) F (2) = 0, 75 0, 5 non-negatif, f : R R, dikatakan pdf dari variabel random kontinu X jika memenuhi: = 0, 25 1 f (x) P(X 0 < 3) = P(X 2) = f ( 1) + f (1) 2 = 0, 50 f (x)dx = 1 Selanjunya jika A adalah suatu kejadian, maka P(A) = f (x)dx. A

Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu Contoh 5.18 Apakah fungsi f : R R yang didefinisikan oleh { 2x 2 jika 1 < x < 2, f (x) = 0 yang lainnya, merupakan pdf dari variabel random X? Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu Definisi 5.19 Misal f (x) adalah pdf dari variabel random kontinu X. Fungsi distribusi kumulatif F (x) dari X didefinisikan sebagai berikut F (x) = P(X x) = x f (t)dt (19) Teorema 5.20 Jika F (x) adalah fungsi distribusi kumulatif dari variabel random kontinu X, maka pdf f (x) dari X adalah turunan dari F (x), yaitu d F (x) = f (x) (20) dx Contoh 5.21 Tentukan pdf dari variabel random yang mempunyai fungsi distribusi kumulatif: F (x) = 1 1 + e x, < x <

Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu Teorema 5.22 Misalkan X adalah variabel random kontinu yang mempunyai fungsi distribusi kumulatif (cdf) F (x), maka akan memenuhi: a. P(X x) = F (x), b. P(X > x) = 1 F (x), c. P(X = x) = 0, dan d. P(a < X b) = F (b) F (a). e. P(a < X b) = P(a X < b) = P(a X b) = P(a < X < b)