A. Pengertian BAB I PERBANDINGAN Perbandingan adalah istilah matematika untuk membandingkan dua obyek atau lebih. Sebagai contoh misalnya Ali berumur 12 tahun 5 bulan dan Budi 12 tahun 8 bulan. Pertanyaan yang diajukan adalah mana yang lebih muda Ali atau Budi atau mana yang lebih tua diantara Ali dan Budi. Jika pertanyaannya mana yang lebih muda maka jawabannya adalah Ali (12 tahun 5 bulan) lebih muda dari Budi (12 tahun 8 bulan). Secara matematika Jika A (Ali) dan B (Budi) maka menurut urutan naik: A B 12 tahun 5 bln 8 bln 13 tahun Perbandingan dua obyek dapat dilakukan menurut urutan naik atau menurut urutan turun. Karena pada garis bilangan di atas posisi Ali lebih kiri dari posisi Budi, maka ditulis A < B. Sebaliknya karena posisi Budi lebih kanan dari posisi Ali maka menurut urutan turun Budi lebih tua dari Ali. Sehingga secara lambang ditulis B > A. Perhatikan bahwa A < B senilai dengan (equivalen/sama makna dengan) B > A. Secara lambang ditulis (A < B) (B > A) dibaca (A < B) ekuivalen dengan (B > A). Pada makalah ini perbandingan yang dimaksud adalah perbandingan yang berupa rasio yakni perbandingan yang berupa pembagian dua ukuran obyek. Contohnya seperti berikut. 180 cm 135 cm 90 cm 45 cm 3p 4p p = satuan pembanding. p Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 1
135 Tinggi Ali = dari tinggi Budi, jika satuan pembandingnya p = 1 cm 180 = 3p 4 p 3 4, jika satuan pembandingnya p dengan p = 45 cm. B. Terapan Perbandingan Permasalahan perbandingan yang sering muncul dalam kehidupan sehari-hari antara lain adalah perbandingan antara uang yang dimiliki seseorang terhadap orang yang lain. Perbandingannya dapat berupa perbandingan yang satuan pembandingnya sama dan perbandingan yang satuan pembandingnya berbeda. 1. Satuan Pembandingnya Sama Contoh Masalah Uang Ali dibanding uang Budi dibanding uang Cahya adalah 2:5:7. Jumlah uang mereka Rp70.000,00. Tentukan uang mereka masing-masing. Berpakah selisih antara uang Ali dengan uang Cahya? Pemecahan Masalah Jika uang Ali dibanding uang Budi dibanding uang Cahya adalah 2:5:7 maka Ali diwakili oleh 2 petak, Budi 5 petak, dan Cahya 7 petak, atau A = 2p, B = 5p, dan C = 7p. Selanjutnya jika yang diketahui adalah jumlah uangnya, maka petak-petak yang bersesuaian disambungkan, sebaliknya jika yang diketahui adalah selisihnya maka petakpetak yang bersesuaian disandingkan. 2. Satuan Pembandingnya Tak Sama Contoh Masalah Uang Ali dibanding dengan uang Budi 3 : 5. Uang Budi dibanding uang Cahya 2 : 3 Jumlah uang mereka Rp62.000,00. Berapa rupiah uang mereka masing-masing? Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 2
Jawab Yang diketahui adalah (1) perbandingan uang Ali banding Budi 3 : 5 (2) perbandingan uang Budi dan Cahya 2 : 3 (3) jumlah uang mereka Rp62.000,00. Yang ditanyakan adalah: uang mereka masing-masing a. Kerangka berpikir informal Ali Budi Cahya p p p q q q q q Ali Budi Cahya p p p q q q q q jumlahnya = 62.000 Karena perbandingan Ali dengan Budi 3 : 5, maka Ali diwakili oleh 3 petak yang masing-masing petaknya berukuran p dan Budi diwakili oleh 5 petak yang masingmasing petaknya berukuran p, sehingga Ali = 3p dan Budi = 5p (lihat gambar). Karena perbandingan Budi dengan Cahya 2 : 3, maka Budi diwakili oleh 2 petak baru yang masing-masing petaknya berukuran q dan Cahya diwakili oleh 3 petak yang masing-masing petaknya juga berukuran q, sehingga Budi = 2q dan cahya = 3q (lihat gambar). Dari gambar milik Budi kita peroleh kesamaan 5p = 2q maka q = 5 2 p. Selanjutnya semua satuan pembandingnya kita nyatakan dalam p. Hasilnya Ali : Budi : Cahya = 3p : 5p : 3q : dengan q = 2 5 p. = 3p : 5p : 3 ( 2 5 p) = 3p: 5p : 15 2 p = 6 : 10 : 15. Perbandingan yang baru ini mempunyai hubungan dengan sebelumnya. Gambarannya adalah sebagai berikut. Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 3
Ali Budi Cahya 6 10 15 jumlahnya = 31 petak = 62.000 Karena jumlahnya diketahui = 62.000 rupiah, maka berdasarkan gambar mudah dilihat bahwa 6 6 Uang Ali = 62.000 = 62.000 = 12.000 rupiah. 6 10 15 31 Uang Budi = Uang Cahya = 10 6 10 15 15 6 10 15 10 62.000 = 62.000 = 20.000 rupiah. 31 15 62.000 = 62.000 = 30.000 rupiah. 31 Total = 62.000 rupiah. b. Kerangka berpikir formal Karena perbandingan uang Ali dan Budi = 3 : 5, maka Ali = 3p dan Budi = 5p. Karena perbandingan uang Budi dan Cahya = 2 : 3, maka Budi = 2q dan Cahya = 3q. Maka uang Budi = 5p = 2q. + Dari 5p = 2q diperoleh 2q = 5p, atau q = 2 5 p. Karena perbandingan Ali : Budi = 3p : 5p, dan Budi : Cahya = 2q : 3q, maka Jika dibandingkan, maka Ali : Budi : Cahya 3p : 5p 2q : 3q. Dengan demikian maka perbandingan uang Ali : Budi : Cahya = 3p : 5p : 3q ; dengan q = 2 5 p. = 3p : 5p : 3 ( 2 5 p) = 3p : 5p : 3 ( 2 5 p) = 3p: 5p : 15 2 p = 6 : 10 : 15. Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 4
Karena jumlah uang mereka Rp62.000,00 maka Uang Budi = 10 6 10 15 10 62.000 = 62.000 = 20.000 rupiah. 31 Uang Ali = 6 6 10 15 6 62.000 = 62.000 = 12.000 rupiah. 31 Uang Cahya = 15 6 10 15 15 62.000 = 62.000 = 30.000 rupiah. 31 Total = 62.000 rupiah. + c. Cara cepat Uang Ali : Budi = 3 : 5 31 Budi : Cahya = 2 : 3 Uang Ali : Budi : Cahya = 6 : 10 : 15 10 15 Karena jumlah uang mereka Rp62.000,00 maka 6 Uang Ali = 62.000 = 12.000 rupiah. 31 10 Uang Budi = 62.000 = 20.000 rupiah. 31 15 Uang Cahya = 62.000 = 30.000 rupiah. 31 6 Total = 62.000 rupiah. + Latihan 2 1. Harga 4 buah buku Rp10.000,00. Berapakah harga 11 buku? 2. Harga 7 bungkus rokok Rp28.000,00. Berapakah harga 25 bungkus rokok jenis itu? 3. Uang Ali dan uang Budi jumlahnya Rp45.000,00. Perbandingan uang Ali dan Budi 2 : 3. Berapa uang mereka masing-masing? 4. Selisih uang Ali dan uang Budi Rp30.000,00. Perbandingan uang Ali dan uang Budi 2 : 7. Berapa rupiah uang mereka masing-masing? 5. Uang Ali, uang Budi, dan uang Cahya jumlahnya Rp50.000,00. Perbandingan uang Ali, uang Budi, dan uang Cahya Budi 4 : 7 : 9. Berapa rupiah uang mereka masing-masing? Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 5
6. Uang Ali, uang Budi, dan uang Cahya jumlahnya Rp60.000,00. Perbandingan uang Ali, Budi, dan Cahya adalah 2 : 3 : 7. Berapa rupiah uang mereka masing-masing? 7. Uang Ali, uang Budi, dan uang Cahya jumlahnya Rp60.000,00. Perbandingan uang Ali, uang Budi, dan uang Cahya adalah 5 : 6 : 9. Tentukan jumlah uang Budi dan uang Cahya. 8. Perbandingan uang Ali dan uang Budi 3 : 7, uang Budi dan uang Cahya 3 : 2. Jika jumlah uang mereka Rp44.000,00. Tentukan uang mereka masing-masing. 9. Perbandingan uang Ali dan uang Budi 3 : 7, uang Budi dan uang Cahya 3 : 2. Jika selisih uang Ali dan Cahya Rp10.000,00. Tentukan uang mereka masing-masing. Berapa pula jumlah uang mereka? 10.Uang Andi, uang Bakri, dan uang Cahya perbandingannya 3 : 5 : 8. Jika jumlah uang Andi dan Bakri Rp40.000,00. Tentukan jumlah uang Bakri dan Cahya. Kunci Latihan 1 1. Rp27.500,00 6. Rp10.000,00; Rp15.000,00; Rp35.000,00. 2. Rp100.000,00 7. Rp45.000,00. 3. Rp18.500,00 dan Rp27.500,00 8. Rp9.000,00 ; Rp21.000,00 ; Rp14.000,00 4. Rp12.000,00 dan Rp42.000,00 9. Rp18.000,00 ; Rp42.000,00 ; Rp28.000,0 5. Rp10.000,00; Rp17.500,00; Rp22.500,00. 10. Rp65.000,00. Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 6
BAB II PERBANDINGAN SENILAI A. PENGERTIAN Apabila terdapat dua kelompok data sedemikian sehinggga ada korespondensi satu-satu antara kedua kelompok data tersebut dengan sifat nilai perbandingan setiap dua elemen/ unsur pada kelompok kiri sama dengan perbandingan 2 elemen yang bersesuaian pada kelompok kanan maka kedua kelompok data itu disebut berbanding senilai. B. PERBANDINGAN SENILAI Ciri perbandingan senilai adalah jika nilai banyak obyek di kelompok kiri semakin bertambah berakibat nilai banyak obyek yang bersesuaian di kelompok kanan juga menjadi semakin bertambah. Salah satu contohnya adalah seperti berikut. Contoh: Baris ke Banyak Harga Pensil Pensil dalam rupiah 1 2 3 4 1 300 2 600 3 900 4 1200 5 x y Dari data tersebut perhatikan bahwa: Banyak pensil baris ke - 2 Banyak pensil baris ke - Banyak pensil baris ke - 2 Banyak pensil baris ke 4-4 2 4 1 2 600 1200 1 2 Tampak bahwa nilai perbandingan banyak pensil pada baris ke 2 dan ke 4 = nilai perbandingan harga pensil pada dua baris yang bersesuaian. Contoh lain misalnya: Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 7
Banyak pensil baris ke -1 Banyak pensil baris ke - 3 Banyak pensil baris ke -1 Banyak pensil baris ke - 3 300 900 300 900 1 3 Ternyata nilai perbandingan banyak pensil pada baris ke 1 dan ke 3 = nilai perbandingan harga pensil pada dua baris yang bersesuaian. Demikian seterusnya bila diselidiki lebih lanjut akan selalu bersifat seperti itu. Perbandingan dengan ciri seperti itu selanjutnya disebut perbandingan senilai. Jika diperhatikan lebih lanjut ternyata cirinya adalah nilai perbandingannya searah. Perhatikan fakta yang dimaksud. Banyak Harga Pensil Pensil dalam rupiah 1 300 2 600 3 900 4 1200 x y Perhatikan arah perbandingannya searah. Atas ke bawah data kiri dan data kanan nilai perbandingannya sama. 1 300 1 300 2 600 =, =, =, dst 2 600 3 900 3 900 Sehingga secara umum berlaku 1 300 y = x y 300 = 1 x. Contoh Terapan Harga 12 kg beras Rp72.000,00. Berapakah harga 18 kg beras tersebut? Jawab Karena makin banyak beras yang dibeli (dalam kg) berakibat makin banyak uang yang dikeluarkan untuk membelinya dengan rasio proporsional dan konsisiten, maka antara Latihan 2 1. Manakah diantara pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan perbandingan senilai. a. Berat kopi dengan harga kopi b. Harga TV dengan ukuran layar tampilannya dalam inchi c. Lama menjemur celana dengan banyak celana yang dijemur d. Ukuran layar TV dengan dengan banyaknya obyek yang mampu diliput e. Ukuran kwh (kilowatt jam) pemakaian listrik dengan harga langganan tiap satuan kwh. Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 8
2. Jika harga 15 kg jagung Rp60.000,00 maka harga 12 kg jagung itu adalah... 3. Harga 5 buah buku Rp15.000,00. Berapakah harga 12 buku? 4. Untuk menempuh jarak 60 km sebuah mobil menghabiskan 5 liter bensin. Berapa liter bensin yang diperlukan mobil itu untuk menempuh jarak 84 km? 5. Lama menjemur hingga kering dari 100 kg gabah di terik matahari adalah 3,5 jam. Jika kita menjemur 400 kg gabah di tempat yang sama, maka lama pengeringannya adalah... jam. 6. Tarif pulsa telepon untuk pemakaian 50 pulsa sebesar Rp24.000,00. Berapa rupiah tarif untuk pemakaian 200 pulsa. 7. Jika biaya potong rambut untuk 6 orang Rp72.000,00. Tentukan biaya potong rambut untuk 15 orang. 8. Acara menginap di sebuah hotel selama 3 malam Rp1.950.000. Jika kita menginap di hotel itu selama 8 malam, berapa rupiah uang yang harus kita bayarkan? Kunci Latihan 2 1. a. ya b. tidak c. tidak d. tidak e. ya 2. Rp48.000,00 3. Rp36.000,00 4. 7 liter 5. 3,5 jam 6. Rp98.000,00 7. Rp180.000,00 8. Rp5.200.000,00 Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 9
BAB III PERBANDINGAN BERBALIK NILAI Apabila terdapat korespondensi satu-satu antara dua kelompok data dengan sifat nilai perbandingan 2 elemen yang bersesuaian di kelompok kedua berbalik nilainya dengan nilai perbandingan di kelompok pertama maka perbandingan antara kelompok pertama dengan kelompok kedua disebut perbandingan berbalik nilai. Contoh berikut akan memberikan gambaran yang lebih jelas yakni tentang tabel banyak ternak dan banyak hari yang diperlukan untuk menghabiskan persediaan makanan yang jumlahnya tertentu: Baris ke Banyak ternak Banyak hari untuk (ekor) menghabiskan makanan 1 6 40 2 8 30 3 10 24 4 12 20 5 20 12 x y Perhatikan bahwa perbandingan di kiri 8 6 sama nilainya dengan perbandingan di kanan 30 3 yang arahnya dibalik yaitu sebab jika disederhanakan nilainya sama-sama. 40 4 A. Contoh-contoh Perhitungan 1. Untuk mengeringkan kaos oblong sebanyak 15 helai diperlukan waktu penjemuran 3 jam. Berapakah waktu penjemuran yang diperlukan untuk mengeringkan kaos oblong sebanyak 30 helai? Jawab Secara nalar makin banyak kaos yang dijemur tidak berakibat makin lama atau makin cepat waktu penjemurannya hingga kering. Maka antara banyak kaos dan waktu penjemuran bukan merupakan perbandingan senilai dan sekaligus bukan merupakan perbandingan berbalik nilai. Dengan demikian waktu penjemurannya tetap 3 jam untuk berapapun jumlah kaos oblong yang dijemur. Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 10
2. Dengan kecepatan tetap, untuk menempuh jarak 60 km sebuah mobil memerlukan bensin 5 liter. Berapa liter bensin yang diperlukan untuk menempuh jarak 150 km? Jawab Karena semakin jauh jarak yang ditempuh suatu kendaraan bermotor akan berakibat semakin banyak bahan bakar yang diperlukan dan semakin dekat jarak yang ditempuh semakin sedikit bahan bakar yang diperlukan, maka jarak tempuh dan bahan bakar merupakan perbandingan senilai. Sehingga kerangka berfikir untuk menyelesaikan soal tersebut adalah sebagai berikut. Jarak tempuh Konsumsi bensin 60 km 5 liter 150 km x liter Karena perbandingannya senilai maka 60 5 = atau 60 x = 5(150) 150 x x = 5(150) 60 750 = = 12,5. 60 Jadi untuk menempuh jarak 150 km diperlukan bensin 12,5 liter. 3. Dengan kecepatan mobil rata-rata 72 km/jam jarak antara dua kota dapat ditempuh selama 5 jam. Berapakah kecepatan rata-rata mobil itu jika menginginkan lebih santai dengan lama perjalanan 8 jam? Jawab Karena untuk menempuh jarak yang sama jika kecepatan ditambah berakibat waktu tempuh berkurang, maka antara kecepatan dan waktu tempuh merupakan perbandingan berbalik nilai. Sehingga kerangka berfikir untuk menyelesaikan soal tersebut adalah seperti berikut. Kecepatan (dalam km/jam) Waktu tempuh (dalam jam) 72 5 x 8 Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 11
Karena perbandingannya berbalik nilai maka 72 8 = atau 8x = 72 (5) x 5 x = 72(5) 8 = 9(5) = 45. Sehingga untuk waktu tempuh 8 jam kecepatan rata-ratanya 45 km/jam. 4. Misalkan suatu pekerjaan mengecat tembok jika dikerjakan oleh 3 orang akan selesai Jawab Cara 1 dalam 7 hari. Setelah pekerjaan berlangsung 3 hari, karena sesuatu hal pekerjaan terhenti selama 2 hari. Jika pekerjaan itu ingin diselesaikan tepat waktu, berapa pekerja tambahan yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut? Menggunakan Penalaran Lengkap Dengan Gambar Misalkan pekerjaannya adalah mengecat tembok maka 1 pekerjaan yang dimaksud adalah selesainya pengecatan tembok itu. Gambaran bagian-bagian pekerjaan oleh 3 orang dan selesai dalam 7 hari itu adalah seperti berikut. Hari O 1 O 2 O 3 1 2 3 4 5 6 7 Terselesaikan dlm 3 hari (b) Hari O 1 O 2 O 3 Hari 1 2 3 4 5 6 7 O 1 O 2 O 3 (a) 1 2 3 4 5 6 7 (c) Sisa pekerjaan Pi Hari Pt O 1 O 2 O 3 O 4 O 5 O 6 1 2 3 4 5 6 7 (d) Sisa waktu 2 hari Wt Perhatikan bahwa gambar (a) adalah sebuah tembok yang dikerjakan oleh 3 orang selesai dalam 7 hari. Gambar (b) adalah pekerjaan yang telah diselesaikan oleh tiga orang pekerja O 1, O 2, dan O 3, dalam 3 hari pertama, gambar (c) adalah sisa pekerjaan yang belum Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 12
diselesaikan, seharusnya diselesaikan dalam 4 hari (hari ke-4 hingga hari ke-7), dan gambar (d) adalah sisa pekerjaan yang seharusnya diselesaikan dalam 4 hari menjadi diselesaikan dalam 2 hari terakhir sesuai target kerja 7 hari. Ternyata dengan terhentinya pekerjaan selama 2 hari maka untuk menyelesaikan pekerjaan sesuai terget waktu diperlukan tambahan pekerja O 4, O 5, dan O 6, yakni sebanyak 3 orang. Secara nalar, berdasarkan gambar tersebut adalah sebagai berikut. Pertama setiap 1 orang dalam 1 hari menyelesaikan 1 keping pekerjaan dari seluruhnya sebanyak 3 7 keping = 21 keping. Jadi 1 1 1 keping = pekerjaan, atau 1 keping = 21 3 7 pekerjaan. Kedua, pada 3 hari pertama sebelum pekerjaan terhenti (mogok kerja), berarti pekerjaan yang telah diselesaikan adalah 9 3 9 keping = pekerjaan = pekerjaan. 21 7 Sehingga pekerjaan yang tersisa adalah sama dengan 12 4 (21 9) keping = 12 keping = pekerjaan = pekerjaan. 21 7 Kini waktu yang tersisa = 7 hari (3 hari kerja + 2 hari mogok) = (7 3 2) hari = 2 hari. Selanjutnya dalam waktu 2 hari ini harus diselesaikan sisa pekerjaannya oleh 3 orang semula plus n orang pekerja tambahan yakni sama dengan (3 + n) orang. Sehingga ( 3 n) 2 4 = 21 7 4 21 (3 + n) = 7 2 3 + n = 6 n = 3. Kalikan semua ruas dengan bilangan 2 21 Kurangi semua ruas dengan bilangan 3. Maka berarti tambahan pekerja yang diperlukan sebanyak 3 orang. Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 13
Cara 2 Dengan Penalaran Tanpa Gambar Karena 3 orang, 7 hari menyelesaikan 1 pekerjaan 1 pekerjaan = 3 7 keping. 1 keping = 1 3 7 pekerjaan Semula 3 orang (sebelum mogok) dalam 3 hari, maka volume kerja yang telah diselesaikan = 3 3 keping = 3 3 3 7 pekerjaan = 7 3 pekerjaan. Maka volume kerja yang tersisa = (1 7 3 ) pekerjaan = 7 4 pekerjaan. Waktu yang tersisa untuk menyelesaikan pekerjaan = target waktu (waktu kerja yang sudah dilalui lama mogok) = 7 (3 + 2) hari = 2 hari. Karena dalam waktu 2 hari ini harus diselesaikan sisa pekerjaannya oleh 3 orang semula plus n orang pekerja tambahan yakni sama dengan (3 + n) orang. Maka ( 3 n) 2 4 = 21 7 4 21 (3 + n) = 7 2 Kalikan semua ruas dengan bilangan 2 21 3 + n = 6 n = 3. Kurangi semua ruas dengan bilangan 3. Maka berarti tambahan pekerja yang diperlukan sebanyak 3 orang. Cara 3 Dengan Menggunakan Rumus Langkah-langkah penalaran di atas digunakan untuk menentukan bentuk umum penyelesaian pekerjaan yang mengalami penghentian di tengah jadwal kerja yang seharusnya berjalan. Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 14
Secara umum jika Pt adalah banyaknya pekerja inti, Pt adalah banyaknya pekerja tambahan, Tw adalah target waktu penyelesaian pekerjaan, Wb adalah waktu yang sudah berjalan, dan Wt adalah lamanya waktu terhenti (waktu dihentikannya pekerjaan oleh karena suatu hal) maka berlaku rumus Pi Pt Pi = Tw Wb Tw Wb Wt atau P t = T w PW i W b t W t Pembuktian rumus tersebut menggunakan prinsip sisa pekerjaan pada gambar...(c) sama dengan sisa pekerjaan pada gambar...((d). Buktikan rumus tersebut!. Sebagai ilustrasinya perhatikan gambar berikut. Pi Hari O 1 O 2 O 3 Tw Wb 1 2 3 4 5 6 7 (c) Sisa pekerjaan Pi Hari Pt O 1 O 2 O 3 O 4 O 5 O 6 (d) Tw Wb - Wt Sisa waktu 2 hari Wt 1 2 3 4 5 6 7 Untuk masalah tersebut berarti: Pekerja inti = 3 orang Pi = 3 Pekerja tambahan = n orang Pt = n Target waktu penyelesaian Tw = 7 Waktu kerja yang sudah berjalan, Wb = 3 Waktu pekerjaan terhenti Wt = 2 Dengan menerapkan rumus Pi Pt Pi 3 n 3 = = Tw Wb Tw Wb Wt 7 3 7 3 2 maka perhitungan berikutnya adalah Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 15
3 n 3 = 2 3 + n = 6 n = 3. Maka pekerja tambahan yang diperlukan sebanyak n = 3 orang. Yakni O 4, O 5, O 6, yaitu orang keempat hingga orang keenam. Pekerjaan Oleh Tenaga Profesional dan Non-profesional Pekerjaan yang dilakukan bersama oleh beberapa tenaga kerja profesional dan non-profesional mempunyai prinsip yang sama dengan suatu pekerjaan yang dilakukan oleh 2 orang Ali dan Budi. Ali bekerja dari kiri dan Budi bekerja dari kanan. Contoh Suatu pekerjaan jika dilakukan oleh 2 orang profesional akan selesai dalam waktu 3 hari. Pekerjaan yang sama jika dilakukan oleh 3 orang non-profesional akan selesai dalam waktu 6 hari. Jika pekerjaan itu dikerjakan oleh 1 orang profesional dan 6 orang non-profesional, dalam berapa hari pekerjaan itu dapat diselesaikan? Jawab Hr ke-1 Hr ke-2 Hr ke-3 Tenaga Profes Diketahui 2 orang profesional 1 pekerjaan = 3 hari 3 orang non-profes 1 pekerjaan = 6 hari Tenaga Non-Prof Ditanyakan Jika 1 orang profesional dan 6 orang nonprofesional bekerjasama, dalam berapa hari Hr ke-6 Hr ke-2 Hr ke-1 pekerjaan itu dapat diselesaikan? Hr ke-1 Hr ke-2 Hr ke-6 Jawab 1 2 orang prof 3 hari 2 prof 1 hr = pek 3 1orang Profes 1 prof 1 hr = 6 1 pek. Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 16
3 org non-prof 6 hari 3 non-p 1 hr = 6 1 pek 1 non-p 1 hr = 18 1 pek 6 orang non-prof Jika 1 orang profesional dan 6 orang non-prof bekerjasama, maka 1 prof 1 hr = 6 1 pek = 18 3 pekerjaan Hr ke-3 Hr ke-2 Hr ke-1 6 non-p 1 hr = 18 6 pek = 18 6 pekerjaan Hasil 1 prof & 6 non-prof 1 prof & 6 non-prof. 1 hr = 18 3 + 18 6 = 18 9 pekerjaan Karena 1 hari = 18 9 pekerjaan, maka Hr ke-1 Hr ke-2 Hr ke-2 Hr ke-1 18 1 pekerjaan = hari = 2 hari. 9 Jadi jika pekerjaan itu dikerjakan oleh 1 orang profesional dan 6 orang non-profesional, maka pekerjaan itu akan selesai dalam 2 hari. Latihan 3 1. Katakan mana diantara pernyataan-pernyataan di bawah ini yang merupakan perbandingan senilai, mana yang merupakan perbandingan berbalik nilai dan mana yang bukan keduanya. a. banyaknya tenaga kerja dan waktu untuk menyelesaikan pekerjaan b. banyaknya tenaga kerja dan upah yang harus diberikan c. banyaknya baju yang dijemur di bawah sinar matahari dan waktu yang diperlukan untuk mengeringkan baju-baju itu d. banyaknya penumpang bus dengan banyaknya bahan bakar solar yang diperlukan untuk menempuh jarak tertentu e. ukuran inci televisi dengan harga televisi f. banyaknya penghuni asrama dengan banyaknya hari untuk menghabiskan 100kg beras g. besarnya ukuran cc silinder sepeda motor dengan harga beli sepeda motor tersebut Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 17
2. Suatu persediaan beras jika dikonsumsi oleh 15 orang penghuni asrama habis dalam waktu 24 hari. Jika penghuni asrama bertambah menjadi 18 orang, berapa lama persediaan beras itu akan habis dikonsumsi? 3. Suatu pekerjaan jika diselesaikan oleh 6 orang selesai dalam waktu 24 hari. Setelah dikerjakan 4 hari ternyata pekerjaan itu harus terhenti selama 8 hari. Berapa banyak pekerja tabahan yang diperlukan agar pekerjaan itu dapat diselesaikan tepat waktu. 4. Suatu pekerjaan jika diselesaikan oleh 4 orang selesai dalam waktu 20 hari. Setelah dikerjakan 4 hari ternyata pekerjaan itu harus terhenti selama 12 hari. Berapa banyak pekerja tambahan yang diperlukan agar pekerjaan itu dapat diselesaikan tepat waktu. 5. Seorang profesional dapat menyelesaikan suatu pekerjaan selama 48 hari. Sementara itu seorang non-profesional dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama selama 60 hari. Jika pekerjaan itu dikerjakan oleh 2 orang profesional dan 5 orang non-profesional, dalam waktu berapa hari pekerjaan itu dapat mereka selesaikan?. (Kunci..8 hari). 6. Seorang profesional dapat menyelesaikan suatu pekerjaan selama 50 hari. Sementara itu seorang non-profesional dapat menyelesaikan pekerjaan yang sama selama 90 hari. Jika pekerjaan itu dikerjakan oleh 5 orang profesional dan 6 orang non-profesional, dalam waktu berapa hari pekerjaan itu dapat mereka selesaikan?. (Kunci 6 hari) 7. Suatu asrama pelajar yang dihuni oleh 8. Suatu perjalanan dapat ditempuh dalam 10 orang menghabiskan persediaan beras waktu 3 jam dengan kecepatan rata- rata 70 yang ada dalam waktu 6 hari. Jika km/jam. Jika pengemudi menginginkan penghuni asrama itu bertambah menjadi perjalanan yang lebih santai dengan waktu 20 orang, maka persediaan beras yang tempuh 5 jam, maka kecepatan rata-ratanya ada itu akan habis dalam waktu... harus diturunkan menjadi... km/jam. (A) 1 hari (A) 42 (B) 2 hari (B) 40 (C) 3 hari (C) 36 (D) 4 hari (D) 35 Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 18
9. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan 10. Seorang pemborong dapat menyelesaidalam waktu 50 hari oleh 14 orang kan suatu pekerjaan dalam waktu 9 bupekerja. Karena sesuatu hal, setelah lan dengan 140 pekerja. Jika pembobekerja 10 hari pekerjaan terhenti rong tadi ingin menyelesaikan pekerjaselama 12 hari. Agar pekerjaan dapat an dalam waktu 7 bulan, maka banyak diselesaiakan trepat pada waktunya, pekerja yang diperlukan adalah... maka diperlukan tambahan pekerja (EBTANAS SMP 2000) sebanyak... orang (EBTANAS SMP 2004) A. 40 orang A. 6 B. 80 orang B. 10 C. 150 orang C. 20 D. 180 orang D. 34 11. Pemborong bangunan dapat menye- 12. Untuk menyelesaiakan suatu pekerjaan lesaiakan sebuah gedung dalam waktu selama 72 hari diperlukan pekerja 9 bulan dengan 210 pekerja. Jika sebanyak 24 orang. Setelah dikerjakan bangunan tersebut direncanakan selesai 30 hari pekerjaan dihentikan selama 6 dalam waktu 7 bulan, maka pemborong hari. Jika kemampuan bekerja setiap tersebut harus menambah pekerja seba- orang sama, dan agar pekerjaan tersebut nyak... selesai sesuai rencana semula, maka banyak pekerja tambahan yang diperlu- A. 10 orang kan adalah... (UN SMP 2010) B. 12 orang A. 8 orang C. 14 orang B. 6 orang D. 15 orang. C. 4 orang D. 2 orang. Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 19
Kunci Latihan 3 1. a. berbalik nilai b. senilai c. bukan keduanya d. bukan keduanya e. tidak sebab tidak konsisten f. berbalik nilai g. tidak sebab tidak konsisten h. bukan keduanya 2. 20 hari 3. 4 orang 4. 20 orang 5. 8 hari 6. 6 hari 7. C. 3 hari 8. A. 42 9. A. 6 orang 10. D. 180 orang 11. B. 12 orang 12. C. 4 orang Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 20
BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN Materi pecahan lanjut yang disampaikan pada makalah/modul ini terdiri dari perbandingan umun, perbandingan senilai, dan perbandingan berbalik nilai, serta terapannya dalam pemecahan masalah seperti misalnya setelah waktu pengerjaan berjalan sekian hari jika terjadi pemogokan selama kurun waktu beberapa hari. Pemecahan masalah yang dimaksud adalah bagaimana seorang pemilik pekerjaan dapat menyelesaikan pekerjaannya tepat waktu. Tentunya dengan menambah banyak pekerja. Banyak pekerja tambahan yang diperlukan agar pekerjaan dapat diselesaikan tepat waktu sesuai rencana itulah yang dimaksud sebagai pemecahan masalah. Tujuannya agar peserta (Guru SD peserta diklat lanjut) memiliki wawasan dengan pemecahan masalah yang tidak rutin. Harapannya adalah agar mereka memiliki tambahan pengetahuan yang bersifat lebih dibanding guru SD sesama mereka. B. SARAN Bagi para alumni diklat yang berkomitmen untuk merealisasikan komitmennya pada anak didik agar mereka menjadi senang dengan pelajaran matematika diberikan saran-saran sebagai berikut. 1. Laporkan kepada atasan langsung tentang pengalaman apa saja yang menarik selama menerima sajian akademik dalam kegiatan pelatihan 2. Pikirkan perangkat kerja apa saja yang mendesak untuk dibuat dan segera diterapkan/diimplementasikan di lapangan, jika sebagai guru pertama adalah yang untuk diterapkan di kelas yang diampunya, kemudian kepada sesama guru di sekolahnya, kemudian lagi pada kegiatan KKG dan terakhir barulah cita-cita ke lingkup yang lebih luas 3. Ciptakan segera perangkat tersebut dengan niat baik, tulus, dan iklas demi anak bangsa di masa depan 4. Diskusikan rencana tindak lanjut Anda pasca pelatihan kepada kepala sekolah dan kepada pengawas 5. Bersemboyanlah Apa yang terbaik yang saya miliki dan dapat saya perbuat untuk kemajuan bangsa ini sebagai andil dalam rangka mencerdaskan bangsa. Tuhan maha mengetahui dan pasti akan memberikan ganjaran yang patut disyukuri berupa sesuatu yang tak terduga di masa depan. Amin. Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 21
DAFTAR PUSTAKA Burton, David M. (1980). Elementary Number Theory. Boston: Allyn and Bacon, Inc. Depdikbud. (1998). GBPP Matematika SD Kurikulum 1994. Jakarta: Depdikbud. Depdiknas. (2003). Kurikulum 2004 (Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matematika SD/MI). Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Depdiknas. (2006). Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) Mata Pelajaran Matematika SD/MI. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. ---------------(2006). Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Estiningsih, Elly. (1994). KBM Matematika di Sekolah Dasar (Makalah Penataran). Yogyakarta: PPPG Matematika. Niven, Ivan Zuckerman, Hurbert S. (1978). An Intoduction to the Theory of Numbers (Third Edition). New York: John Wiley & Sons, Inc. Marsudi Raharjo : Pecahan, Diklat Lanjut Guru SD 2013 22